2023-2024学年人教版初中数学九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例 同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2017九下·福田开学考）如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，则树的高度为（ ）
A．4.8m B．6.4m C．8m D．10m
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似，
设树高x米，则 = ，
即 =
∴x=8
故选：C．
【分析】利用相似三角形对应线段成比例解题．
2．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为( )
A．米 B．1米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】易得图中的两三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例可得h的值。
【解答】∵BC⊥AD，DE⊥AD，
∴BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∵
∴h=
故选C
【点评】此题考查了两三角形相似，对应边成比例的知识，解题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答。本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出拍击球的高度，体现了方程的思想。
3．电影胶片上每一个图片的规格为3.5cm×3.5cm，放映屏幕的规格为2m×2m，若放映机的光源S距胶片20cm，要使放映的图象刚好布满整个屏幕，则光源S距屏幕的距离为（ ）
A．m B．m C．m D．15m
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】作出如图△ABC和BC边上的高AD，△APE和PE边上的高AR，由于△APE∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，列方程即可解答．
【解答】设AD交PE于R，
∵△APE∽△ABC，
∴=，
又∵PE=3.5cm，BC=200cm，AR=20cm，
∴=，
解得AD=cm=m．
故选B．
【点评】解答此题要弄清题意，作出辅助三角形，根据相似三角形的对应边成比例解答
4．“差之毫厘，失之千里”是一句描述开始时虽然相差很微小，结果会造成很大的误差或错误的成语.现实中就有这样的实例，如步枪在瞄准时的示意图如图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，眼睛距离目标为200m，步枪上准星宽度AB为2mm，若射击时，由于抖动导致视线偏离了准星1mm，则目标偏离的距离为（ ）cm．
A．25 B．50 C．75 D．100
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】设目标偏离的距离为xm，由于OE=80cm=0.8m，AB=2mm=0.002m，1mm=0.001m，由于AB∥CD，所以利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】设目标偏离的距离为xm，
∵OE=80cm=0.8m，AB=2mm=0.002m，1mm=0.001m，
∴BE=AB=0.001m，
∵AB∥CD，
∴△OBE∽△ODF，
∴，即，
解得x=0.25m=25cm．
故选A．
【点评】本题考查的是相似三角形在实际生活中的运用，在解答此题时要注意单位的换算，这是此题的易错点
5．如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的AH与BE，BF，DF，DG，CG分别交于点P，Q，K，M，N，设△BPQ， △DKM， △CNH 的面积依次为S1，S2，S3. 若S1+ S3=20，则S2的值为( )
A．8 B．12 C．10 D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】由条件可以得出△BPQ∽△DKM∽△CNH，可以求出△BPQ与△DKM的相似比为，△BPQ与△CNH相似比为，由相似三角形的性质，就可以求出S1，从而可以求出S2．
【解答】∵矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，
∴AB=BD=CD，AE∥BF∥DG∥CH，
∴四边形BEFD，四边形DFGC是平行四边形，∠BQP=∠DMK=∠CHN，
∴BE∥DF∥CG
∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH，
∵△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH，
∴＝＝，＝＝，
∴△BPQ∽△DKM∽△CNH
∴＝，＝
∴＝，=
∴S2=4S1，S3=9S1
∵S1+S3=20，
∴S1=2，
∴S2=8，故A答案正确．
故选A．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(2，0)，B(0，2)，⊙C的圆心为点C(-1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】切线的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】若△ABE的面积最小，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD；
Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；
由勾股定理，得：AD=2
；
∴S△ACD=
AD CD=
；
易证得△AOE∽△ADC，
∴=（
)2=（
)2=
，
即S△AOE=
S△ADC=
；
∴S△ABE=S△AOB-S△AOE=
×2×2-
=2-
；
故选D．
【分析】由于 OA的长为定值，若△ABE的面积最小，则BE的长最短，此时AD与⊙相切；可连接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的长，即可得到△ADC的 面积；易证得△AEO∽△ACD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△AOE的面积，进而可得出△AOB和△AOE的面积差，由此得解．此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；能够正确的判断出△BE面积最小时AD与⊙C的位置关系是解答此题的关键．
7．一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为1cm，面积为1cm2，工人分别按图中甲、乙两种方式把它加工成一个正方形桌面，则正方形的面积较大的是（ ）.
A．甲 B．乙 C．一样大 D．无法判断
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：在甲中：设小正方形边长为a，三角形面积1=，则BC=2，
AD=AC-CD=1-a，BF=BC-CF=2-a，
∵DE∥CF，
∴∠AED=∠B，
又 ∠ADE=∠EFB=90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正方形面积为；
在乙中：设小正方形边长为b，过点C作CM⊥AB于点M，交DE于N，
由题意AB=，
∵三角形面积1=，
∴CM=，
∵DE∥AB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正方形面积为，
∵，
∴甲的面积大于乙的面积.
故答案为：A.
【分析】要比较两个正方形面积面积，求出两个边长即可；在甲中，∠AED=∠B， ∠ADE=∠EFB=90°，两个角对应相等，两三角形相似，得出，相似三角形的对应边成比例，，解得；在乙中，要求DE，以现在的已知条件无法求出，题目给出三角形面积，由此可得三角形的高，故过C作三角形的高CM，由DE∥AB得，相似三角形对应高的比等于相似比，，由此，，因此甲中正方形的面积大于乙中正方形的面积.
8．（2019九上·福田期中）如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于G，BG延长交CD于点F，CG延长交BD于点H，交AB于N.下列结论：①DE=CN；② ；③S△DEC=3S△BNH；④∠BGN=45°；⑤ .其中正确结论的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】全等三角形的应用；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：①∵在正方形ABCD中， ， ，
∴
即：
∴ （ASA）
∴CN= DE，故①符合题意；
②∴在正方形ABCD中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，E为BC的中点， 四边形ABCD是正方形
∴ ，
∴ ，故②符合题意；
③如下图示，过H点作 ，
∴根据 ，有 ，
则：
∴ ，
即是： ，故③符合题意 ；
④过B作BP⊥CN于P，BQ⊥DG，交DE的延长线于E，
∴∠BPC=∠BQD=∠PGQ=90°，
∴四边形PBQG是矩形，
∴∠PBQ=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠NBP=∠QBE，
由①得：△BNC≌△CED，
∴EC=BN，
∵E是BC的中点，
∴BE=EC，
∴BE=BN，
∵∠BPN=∠BQE=90°，
∴△BPN≌△BQE，
∴BP=BQ，
∴四边形PBQG是正方形，
∴∠BGE=45°，故④符合题意；
⑤如图示，连接N，E
设 ，则 ， ，
∵CG⊥DE，
∴ ，
，
由 的面积可得：
化简得： ，
∴ ，
则有：
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
，
并∵
∴
∴ ，故⑤符合题意．
综上所述，
故答案为：D．
【分析】根据题目已知证明 可判断①符合题意；证明 可判断②符合题意；过H点作 ，利用 ， 求解即可判断③符合题意；添加辅助线过B作BP⊥CN于P，BQ⊥DG，交DE的延长线于E，利用△BNC≌△CED，证得△BPN≌△BQE，即可判断④符合题意；连接N，E，设 ，则 ， ，利用勾股定理求出CN，CE的长，然后根据 的面积求出GE，GN，再证 ，利用相似三角形对应边成比例，求出BG，BF的长，即可得⑤符合题意．
二、填空题
9．（2023九上·永年期中）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE、CE分别为8cm、6cm，则实像CD的高度为 cm．
【答案】4.5(也可填写)
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵AB//CD，
∴∠BAO=∠DCO，
∵∠AOB=∠COD，
∴△OAB∽△OCD，
∴，
∴，
解得：CD=4.5，
故答案为：4.5.
【分析】先证出△OAB∽△OCD，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入求出CD的长即可.
10．（2023九上·威远期中）如图，小明在测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为 ．
【答案】8m
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意可得：
∴∠ECF=90°，ED=4m，FD=16m，
∵∠ECD+∠FCD=90°，∠CED+∠ECD=90°，
∴∠CED=∠FCD，
∵∠EDC=∠FDC=90°，
∴△EDC∽△FDC，
∴，
∴，
∴DC2=4×16=64，
∴DC=8，
故答案为：8m.
【分析】先证出△EDC∽△FDC，可得，再将数据代入可得DC2=4×16=64，最后求出DC的长即可.
11．（2023·通榆模拟） 如图是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了在图中，杠杆的端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足与相交于点，要把这块石头翘起，至少要将杠杆的点向下压 ．
【答案】27
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得：AC∥BD，
∴△ACO∽△BDO，
∴AC：BD=OA：OB=3，
即AC：9=3，
∴AC=27cm，
故答案为：27.
【分析】由题意得AC∥BD，根据平行线可证△ACO∽△BDO，利用相似三角形的对应边成比例即可求解.
12．（2021·丽水模拟）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥I，BF⊥I，点N，A，B在同一直线上。在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1=∠2测得EF=15米，FM=2米，MN=8米，∠ANE=45°。
（1）AB为 米；
（2）矩形ABCD的面积为 米2。
【答案】（1）
（2）600
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理的应用；矩形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AE⊥I，BF⊥I，
又∵∠ANE=45°，
∴△ANE和△BNF为等腰三角形，
∴AE=EN，BF=FN，
∵EF=15米，FM=2米，MN=8米，
∴AE=EN=25（米），BF=FN=10（米），
由勾股定理得，，
∴；
过点C作CH⊥l，过点B作PQ∥l交AE于点P，交CH于点Q，如图所示，
∴АЕ∥СН，
∴四边形PEHQ和四边形PEFB为矩形，
∴PB=EF=15，PE=BF=QH=10，BQ=FH，
∵∠1=∠2，∠AEF=∠CHM=90°，
∴△AEF∽△СНМ，
∴，
设MH=3x，CH=5x，
∴CQ=5x-10，BQ=FH=3x+2，
∵∠APB=∠ABC=∠CQB=90°，
∴∠ABP+∠PAB= ∠ABP+∠CBQ=90°，
∴∠PAB= ∠CBQ，
∴△АPВ∽△BQC，
∴，
∴，
∴x=6，
∴BQ=CQ=20，
∴，
∴矩形ABCD的面积，
故答案为：；600.
【分析】根据AE⊥I，BF⊥I，∠ANE=45°，可得出△ANE和△BNF为等腰三角形，再求得AE=EN=25（米），BF=FN=10（米），依据勾股定理可求得AN、BN的值，于是求出；过点C作CH⊥l，过点B作PQ∥l交AE于点P，交CH于点Q，根据矩形的性质可以得出PB=EF=15，PE=BF=QH=10，BQ=FH，由题意得∠1=∠2，∠AEF=∠CHM=90°，求得△AEF∽△СНМ，根据相似三角形的性质即可求出CH、MH的比值，再求出△АPВ∽△BQC，依据相似三角形的性质即可求出BC的长，根据矩形的面积公式即可求解.
13．如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则网球的击球的高度h为 ．
【答案】1.4
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得，DE∥BC，
所以，△ABC∽△AED，
所以，，
即，
解得h=1.4m．
故答案为：1.4．
【分析】判断出△ABC和△AED相似，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
三、解答题
14．小玲和晓静很想知道某塔的高度PQ，于是，他们带着标杆和皮尺进行测量，测量方案如下：如图所示，首先，小玲在处放置一平面镜，她从点沿QC后退，当退行到处时，恰好在镜子中看到塔顶的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离AB为；然后，晓静在处竖立了一根高的标杆EF，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得FM为为，已知，点Q，C，B，F，M在一条直线上，请根据以上所测数据，计算该塔的高度PQ.
【答案】解：∵∠PQC=∠ABC=90°，∠PCQ=∠ACB，
∴△PCQ∽△ACB，
∴，即，
∴QC=1.2PQ，
∵∠PQF=∠EFM=90°，∠PMQ=∠EMF，
∴△PMQ∽△EMF，
∴，
∴，即，
∴PQ=47m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由有两组角对应相等的两个三角形相似得△PCQ∽△ACB，由相似三角形对应边成比例可得出QC=1.2PQ，再根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△PMQ∽△EMF，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出PQ的长.
15．（2023九上·大名月考）在中，，是边的中点，以为角的顶点作.如图1，射线经过点，交边于点.
图1 图2 图3
（1）不添加辅助线，请直接写出图1中所有与相似的三角形；
（2）如图2，将从图1中的位置开始，绕点按逆时针方向旋转（旋转角不大于），射线，分别交，于点，.
①求证：；
②如图3，若，，在线段上有一点，且，若点始终在内（包括边界上），求的取值范围；
③若，直接写出旋转角为多少度时，与相似.
【答案】（1）解：；
（2）解：①证明：∵是的一个外角，∴.
∵，，∴.
又∵，∴；
②如图4，初始位置时，，如图5，当过点时，由①知，∴，即，解得，∴的取值范围为；
图4 图5
③当旋转角为20°或35°时，与相似.
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】 解： （2）③第一种情况：
如下图所示：
∵在中，，是边的中点
∴ ∠NDB=90°
∵
∴ ∠M'DN'=55°
∵
∴ ∠BDF=∠B=55°
∴ ∠ADF=35°
∴ 旋转角为35°
第二种情况：
如下图所示：
∴ ∠BFD=∠B=55°
∴ ∠BDF=70°
∴ ∠ADF=20°
∴ 旋转角为20°
综上，当旋转角为20°或35°时，与相似.
【分析】本题考查三角形相似的性质与判定。
（1）结合AB=AC，可得∠B=∠C，根据MDN=∠B，可知 ；
（2） ① 由、和得，结合∠B=∠MDN，则可证；②当F在A点时，；当过点时，根据得，可知取值范围；③ 当α=55°时，分情况讨论：得旋转角是35°；当，则旋转角是20°.
四、综合题
16．（2023·仙居模拟）如图1，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像CD. 已知AB＝0.3 dm，胶片与屏幕的距离EF为定值，设点光源到胶片的距离OE长为x（单位：dm），CD长为y（单位：dm），当x＝6时，y＝4.3.
（1）求EF的长.
（2）求y关于x的函数解析式，在图2中画出图象，并写出至少一条该函数性质．
（3）若要求CD不小于3 dm，求OE的取值范围.
【答案】（1）解：∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∵OE、OF分别是△OAB及△OCD对应边上的高，
∴，
∵OF=OE+EF，AB=0.3，CD=4.3，OE=6，
∴＝，
解得EF＝80（dm）；
（2）解：由（1）得，，
∵AB=0.3，CD=y，OE=x，OF=OE+EF=x+80，
∴＝.
∴y＝0.3＋，
图象如图所示
由图象可得：当x＞0时，y随x的增大而减小；
（3）解：当CD≥3（dm）时，即当y≥3（dm）时，
得3≤0.3＋，
解得x≤，
∴OE的取值范围为0＜x≤.
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）①首先根据r＝AE算出r的长，进而将v=8与r=4代入r＝kv，即可求出k的值；
②在AE之间设出的两种速度的粒子，圆周运动的圆心角都是π，进而根据计算后比较即可得出答案；
（2）根据垂径定理，圆心一定在一条弦的垂直平分线上，再根据切线的性质，圆的切线一定垂直过切点的半径，故利用尺规作图法，作出弦DG垂直平分线ON，圆心一定在ON上，由于该圆与EF相切于点E，且AB⊥EF，所以圆心一定在AE上，故ON与AE的交点就是 弧形路径的圆心O ；
（3）该种粒子能从边CD上射出磁场，理由如下： 假设粒子从点D射出磁场时，圆周运动的圆心为O1，过点O1作O1M⊥ED，弧形路径的半径为r，首先用勾股定理算出DE的长，根据垂径定理得ME的长，然后判断出△ADE∽△MO1E，由相似三角形对应边成比例建立方程求出r的值，进而结合（1）知r=v，代入即可求出答案.
17．（2023·双柏模拟）如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，AD⊥DE于点D．
（l）求证：直线DE是⊙O的切线．
（1）如果BE=2，CE=4，求线段AD的长．
【答案】（1）解：连接BC
∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∴∠ACO＋∠OCB=90°
∵OC⊥DE
∴∠BCE＋∠OCB=90°
∴∠BCE=∠ACO
∵∠OAC=∠OCA
∴∠BCE=∠CAE
∵∠E=∠E
∴△BCE∽△CAE
∴
即
解得：AE=8
∴AB=AE－BE=6
∴OC=OB==3
∴OE=OB＋BE=5
∵OC∥AD
∴△EOC∽△EAD
∴
即
解得：AD=．
【知识点】切线的判定；相似三角形的应用
【解析】【分析】(1)连接 OC， 由角平分线的性质及等腰三角形的性质得出∠DAC=∠ACO ， 则AD∥OC ， 证得∠OCE=90° ， 则可得出结论；
(2)连接BC，证明△DAC∽△CAB ， 由相似三角形的性质得出，计算出
AB=6 ， 设出BC，AC ， 在△ABC中，由勾股定理求出AC的长，证明△DAC∽△CAB ， 得出.则
可求出答案.
1 / 12023-2024学年人教版初中数学九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例 同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2017九下·福田开学考）如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，则树的高度为（ ）
A．4.8m B．6.4m C．8m D．10m
2．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为( )
A．米 B．1米 C．米 D．米
3．电影胶片上每一个图片的规格为3.5cm×3.5cm，放映屏幕的规格为2m×2m，若放映机的光源S距胶片20cm，要使放映的图象刚好布满整个屏幕，则光源S距屏幕的距离为（ ）
A．m B．m C．m D．15m
4．“差之毫厘，失之千里”是一句描述开始时虽然相差很微小，结果会造成很大的误差或错误的成语.现实中就有这样的实例，如步枪在瞄准时的示意图如图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，眼睛距离目标为200m，步枪上准星宽度AB为2mm，若射击时，由于抖动导致视线偏离了准星1mm，则目标偏离的距离为（ ）cm．
A．25 B．50 C．75 D．100
5．如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的AH与BE，BF，DF，DG，CG分别交于点P，Q，K，M，N，设△BPQ， △DKM， △CNH 的面积依次为S1，S2，S3. 若S1+ S3=20，则S2的值为( )
A．8 B．12 C．10 D．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(2，0)，B(0，2)，⊙C的圆心为点C(-1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（ ）
A．2
B．
C．
D．
7．一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为1cm，面积为1cm2，工人分别按图中甲、乙两种方式把它加工成一个正方形桌面，则正方形的面积较大的是（ ）.
A．甲 B．乙 C．一样大 D．无法判断
8．（2019九上·福田期中）如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于G，BG延长交CD于点F，CG延长交BD于点H，交AB于N.下列结论：①DE=CN；② ；③S△DEC=3S△BNH；④∠BGN=45°；⑤ .其中正确结论的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
9．（2023九上·永年期中）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE、CE分别为8cm、6cm，则实像CD的高度为 cm．
10．（2023九上·威远期中）如图，小明在测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为 ．
11．（2023·通榆模拟） 如图是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了在图中，杠杆的端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足与相交于点，要把这块石头翘起，至少要将杠杆的点向下压 ．
12．（2021·丽水模拟）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥I，BF⊥I，点N，A，B在同一直线上。在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1=∠2测得EF=15米，FM=2米，MN=8米，∠ANE=45°。
（1）AB为 米；
（2）矩形ABCD的面积为 米2。
13．如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则网球的击球的高度h为 ．
三、解答题
14．小玲和晓静很想知道某塔的高度PQ，于是，他们带着标杆和皮尺进行测量，测量方案如下：如图所示，首先，小玲在处放置一平面镜，她从点沿QC后退，当退行到处时，恰好在镜子中看到塔顶的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离AB为；然后，晓静在处竖立了一根高的标杆EF，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得FM为为，已知，点Q，C，B，F，M在一条直线上，请根据以上所测数据，计算该塔的高度PQ.
15．（2023九上·大名月考）在中，，是边的中点，以为角的顶点作.如图1，射线经过点，交边于点.
图1 图2 图3
（1）不添加辅助线，请直接写出图1中所有与相似的三角形；
（2）如图2，将从图1中的位置开始，绕点按逆时针方向旋转（旋转角不大于），射线，分别交，于点，.
①求证：；
②如图3，若，，在线段上有一点，且，若点始终在内（包括边界上），求的取值范围；
③若，直接写出旋转角为多少度时，与相似.
四、综合题
16．（2023·仙居模拟）如图1，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像CD. 已知AB＝0.3 dm，胶片与屏幕的距离EF为定值，设点光源到胶片的距离OE长为x（单位：dm），CD长为y（单位：dm），当x＝6时，y＝4.3.
（1）求EF的长.
（2）求y关于x的函数解析式，在图2中画出图象，并写出至少一条该函数性质．
（3）若要求CD不小于3 dm，求OE的取值范围.
17．（2023·双柏模拟）如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，AD⊥DE于点D．
（l）求证：直线DE是⊙O的切线．
（1）如果BE=2，CE=4，求线段AD的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似，
设树高x米，则 = ，
即 =
∴x=8
故选：C．
【分析】利用相似三角形对应线段成比例解题．
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】易得图中的两三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例可得h的值。
【解答】∵BC⊥AD，DE⊥AD，
∴BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∵
∴h=
故选C
【点评】此题考查了两三角形相似，对应边成比例的知识，解题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答。本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出拍击球的高度，体现了方程的思想。
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】作出如图△ABC和BC边上的高AD，△APE和PE边上的高AR，由于△APE∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，列方程即可解答．
【解答】设AD交PE于R，
∵△APE∽△ABC，
∴=，
又∵PE=3.5cm，BC=200cm，AR=20cm，
∴=，
解得AD=cm=m．
故选B．
【点评】解答此题要弄清题意，作出辅助三角形，根据相似三角形的对应边成比例解答
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】设目标偏离的距离为xm，由于OE=80cm=0.8m，AB=2mm=0.002m，1mm=0.001m，由于AB∥CD，所以利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】设目标偏离的距离为xm，
∵OE=80cm=0.8m，AB=2mm=0.002m，1mm=0.001m，
∴BE=AB=0.001m，
∵AB∥CD，
∴△OBE∽△ODF，
∴，即，
解得x=0.25m=25cm．
故选A．
【点评】本题考查的是相似三角形在实际生活中的运用，在解答此题时要注意单位的换算，这是此题的易错点
5．【答案】A
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】由条件可以得出△BPQ∽△DKM∽△CNH，可以求出△BPQ与△DKM的相似比为，△BPQ与△CNH相似比为，由相似三角形的性质，就可以求出S1，从而可以求出S2．
【解答】∵矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，
∴AB=BD=CD，AE∥BF∥DG∥CH，
∴四边形BEFD，四边形DFGC是平行四边形，∠BQP=∠DMK=∠CHN，
∴BE∥DF∥CG
∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH，
∵△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH，
∴＝＝，＝＝，
∴△BPQ∽△DKM∽△CNH
∴＝，＝
∴＝，=
∴S2=4S1，S3=9S1
∵S1+S3=20，
∴S1=2，
∴S2=8，故A答案正确．
故选A．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式
6．【答案】D
【知识点】切线的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】若△ABE的面积最小，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD；
Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；
由勾股定理，得：AD=2
；
∴S△ACD=
AD CD=
；
易证得△AOE∽△ADC，
∴=（
)2=（
)2=
，
即S△AOE=
S△ADC=
；
∴S△ABE=S△AOB-S△AOE=
×2×2-
=2-
；
故选D．
【分析】由于 OA的长为定值，若△ABE的面积最小，则BE的长最短，此时AD与⊙相切；可连接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的长，即可得到△ADC的 面积；易证得△AEO∽△ACD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△AOE的面积，进而可得出△AOB和△AOE的面积差，由此得解．此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；能够正确的判断出△BE面积最小时AD与⊙C的位置关系是解答此题的关键．
7．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：在甲中：设小正方形边长为a，三角形面积1=，则BC=2，
AD=AC-CD=1-a，BF=BC-CF=2-a，
∵DE∥CF，
∴∠AED=∠B，
又 ∠ADE=∠EFB=90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正方形面积为；
在乙中：设小正方形边长为b，过点C作CM⊥AB于点M，交DE于N，
由题意AB=，
∵三角形面积1=，
∴CM=，
∵DE∥AB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正方形面积为，
∵，
∴甲的面积大于乙的面积.
故答案为：A.
【分析】要比较两个正方形面积面积，求出两个边长即可；在甲中，∠AED=∠B， ∠ADE=∠EFB=90°，两个角对应相等，两三角形相似，得出，相似三角形的对应边成比例，，解得；在乙中，要求DE，以现在的已知条件无法求出，题目给出三角形面积，由此可得三角形的高，故过C作三角形的高CM，由DE∥AB得，相似三角形对应高的比等于相似比，，由此，，因此甲中正方形的面积大于乙中正方形的面积.
8．【答案】D
【知识点】全等三角形的应用；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：①∵在正方形ABCD中， ， ，
∴
即：
∴ （ASA）
∴CN= DE，故①符合题意；
②∴在正方形ABCD中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，E为BC的中点， 四边形ABCD是正方形
∴ ，
∴ ，故②符合题意；
③如下图示，过H点作 ，
∴根据 ，有 ，
则：
∴ ，
即是： ，故③符合题意 ；
④过B作BP⊥CN于P，BQ⊥DG，交DE的延长线于E，
∴∠BPC=∠BQD=∠PGQ=90°，
∴四边形PBQG是矩形，
∴∠PBQ=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠NBP=∠QBE，
由①得：△BNC≌△CED，
∴EC=BN，
∵E是BC的中点，
∴BE=EC，
∴BE=BN，
∵∠BPN=∠BQE=90°，
∴△BPN≌△BQE，
∴BP=BQ，
∴四边形PBQG是正方形，
∴∠BGE=45°，故④符合题意；
⑤如图示，连接N，E
设 ，则 ， ，
∵CG⊥DE，
∴ ，
，
由 的面积可得：
化简得： ，
∴ ，
则有：
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
，
并∵
∴
∴ ，故⑤符合题意．
综上所述，
故答案为：D．
【分析】根据题目已知证明 可判断①符合题意；证明 可判断②符合题意；过H点作 ，利用 ， 求解即可判断③符合题意；添加辅助线过B作BP⊥CN于P，BQ⊥DG，交DE的延长线于E，利用△BNC≌△CED，证得△BPN≌△BQE，即可判断④符合题意；连接N，E，设 ，则 ， ，利用勾股定理求出CN，CE的长，然后根据 的面积求出GE，GN，再证 ，利用相似三角形对应边成比例，求出BG，BF的长，即可得⑤符合题意．
9．【答案】4.5(也可填写)
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵AB//CD，
∴∠BAO=∠DCO，
∵∠AOB=∠COD，
∴△OAB∽△OCD，
∴，
∴，
解得：CD=4.5，
故答案为：4.5.
【分析】先证出△OAB∽△OCD，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入求出CD的长即可.
10．【答案】8m
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意可得：
∴∠ECF=90°，ED=4m，FD=16m，
∵∠ECD+∠FCD=90°，∠CED+∠ECD=90°，
∴∠CED=∠FCD，
∵∠EDC=∠FDC=90°，
∴△EDC∽△FDC，
∴，
∴，
∴DC2=4×16=64，
∴DC=8，
故答案为：8m.
【分析】先证出△EDC∽△FDC，可得，再将数据代入可得DC2=4×16=64，最后求出DC的长即可.
11．【答案】27
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得：AC∥BD，
∴△ACO∽△BDO，
∴AC：BD=OA：OB=3，
即AC：9=3，
∴AC=27cm，
故答案为：27.
【分析】由题意得AC∥BD，根据平行线可证△ACO∽△BDO，利用相似三角形的对应边成比例即可求解.
12．【答案】（1）
（2）600
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理的应用；矩形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AE⊥I，BF⊥I，
又∵∠ANE=45°，
∴△ANE和△BNF为等腰三角形，
∴AE=EN，BF=FN，
∵EF=15米，FM=2米，MN=8米，
∴AE=EN=25（米），BF=FN=10（米），
由勾股定理得，，
∴；
过点C作CH⊥l，过点B作PQ∥l交AE于点P，交CH于点Q，如图所示，
∴АЕ∥СН，
∴四边形PEHQ和四边形PEFB为矩形，
∴PB=EF=15，PE=BF=QH=10，BQ=FH，
∵∠1=∠2，∠AEF=∠CHM=90°，
∴△AEF∽△СНМ，
∴，
设MH=3x，CH=5x，
∴CQ=5x-10，BQ=FH=3x+2，
∵∠APB=∠ABC=∠CQB=90°，
∴∠ABP+∠PAB= ∠ABP+∠CBQ=90°，
∴∠PAB= ∠CBQ，
∴△АPВ∽△BQC，
∴，
∴，
∴x=6，
∴BQ=CQ=20，
∴，
∴矩形ABCD的面积，
故答案为：；600.
【分析】根据AE⊥I，BF⊥I，∠ANE=45°，可得出△ANE和△BNF为等腰三角形，再求得AE=EN=25（米），BF=FN=10（米），依据勾股定理可求得AN、BN的值，于是求出；过点C作CH⊥l，过点B作PQ∥l交AE于点P，交CH于点Q，根据矩形的性质可以得出PB=EF=15，PE=BF=QH=10，BQ=FH，由题意得∠1=∠2，∠AEF=∠CHM=90°，求得△AEF∽△СНМ，根据相似三角形的性质即可求出CH、MH的比值，再求出△АPВ∽△BQC，依据相似三角形的性质即可求出BC的长，根据矩形的面积公式即可求解.
13．【答案】1.4
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得，DE∥BC，
所以，△ABC∽△AED，
所以，，
即，
解得h=1.4m．
故答案为：1.4．
【分析】判断出△ABC和△AED相似，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
14．【答案】解：∵∠PQC=∠ABC=90°，∠PCQ=∠ACB，
∴△PCQ∽△ACB，
∴，即，
∴QC=1.2PQ，
∵∠PQF=∠EFM=90°，∠PMQ=∠EMF，
∴△PMQ∽△EMF，
∴，
∴，即，
∴PQ=47m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由有两组角对应相等的两个三角形相似得△PCQ∽△ACB，由相似三角形对应边成比例可得出QC=1.2PQ，再根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△PMQ∽△EMF，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出PQ的长.
15．【答案】（1）解：；
（2）解：①证明：∵是的一个外角，∴.
∵，，∴.
又∵，∴；
②如图4，初始位置时，，如图5，当过点时，由①知，∴，即，解得，∴的取值范围为；
图4 图5
③当旋转角为20°或35°时，与相似.
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】 解： （2）③第一种情况：
如下图所示：
∵在中，，是边的中点
∴ ∠NDB=90°
∵
∴ ∠M'DN'=55°
∵
∴ ∠BDF=∠B=55°
∴ ∠ADF=35°
∴ 旋转角为35°
第二种情况：
如下图所示：
∴ ∠BFD=∠B=55°
∴ ∠BDF=70°
∴ ∠ADF=20°
∴ 旋转角为20°
综上，当旋转角为20°或35°时，与相似.
【分析】本题考查三角形相似的性质与判定。
（1）结合AB=AC，可得∠B=∠C，根据MDN=∠B，可知 ；
（2） ① 由、和得，结合∠B=∠MDN，则可证；②当F在A点时，；当过点时，根据得，可知取值范围；③ 当α=55°时，分情况讨论：得旋转角是35°；当，则旋转角是20°.
16．【答案】（1）解：∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∵OE、OF分别是△OAB及△OCD对应边上的高，
∴，
∵OF=OE+EF，AB=0.3，CD=4.3，OE=6，
∴＝，
解得EF＝80（dm）；
（2）解：由（1）得，，
∵AB=0.3，CD=y，OE=x，OF=OE+EF=x+80，
∴＝.
∴y＝0.3＋，
图象如图所示
由图象可得：当x＞0时，y随x的增大而减小；
（3）解：当CD≥3（dm）时，即当y≥3（dm）时，
得3≤0.3＋，
解得x≤，
∴OE的取值范围为0＜x≤.
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）①首先根据r＝AE算出r的长，进而将v=8与r=4代入r＝kv，即可求出k的值；
②在AE之间设出的两种速度的粒子，圆周运动的圆心角都是π，进而根据计算后比较即可得出答案；
（2）根据垂径定理，圆心一定在一条弦的垂直平分线上，再根据切线的性质，圆的切线一定垂直过切点的半径，故利用尺规作图法，作出弦DG垂直平分线ON，圆心一定在ON上，由于该圆与EF相切于点E，且AB⊥EF，所以圆心一定在AE上，故ON与AE的交点就是 弧形路径的圆心O ；
（3）该种粒子能从边CD上射出磁场，理由如下： 假设粒子从点D射出磁场时，圆周运动的圆心为O1，过点O1作O1M⊥ED，弧形路径的半径为r，首先用勾股定理算出DE的长，根据垂径定理得ME的长，然后判断出△ADE∽△MO1E，由相似三角形对应边成比例建立方程求出r的值，进而结合（1）知r=v，代入即可求出答案.
17．【答案】（1）解：连接BC
∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∴∠ACO＋∠OCB=90°
∵OC⊥DE
∴∠BCE＋∠OCB=90°
∴∠BCE=∠ACO
∵∠OAC=∠OCA
∴∠BCE=∠CAE
∵∠E=∠E
∴△BCE∽△CAE
∴
即
解得：AE=8
∴AB=AE－BE=6
∴OC=OB==3
∴OE=OB＋BE=5
∵OC∥AD
∴△EOC∽△EAD
∴
即
解得：AD=．
【知识点】切线的判定；相似三角形的应用
【解析】【分析】(1)连接 OC， 由角平分线的性质及等腰三角形的性质得出∠DAC=∠ACO ， 则AD∥OC ， 证得∠OCE=90° ， 则可得出结论；
(2)连接BC，证明△DAC∽△CAB ， 由相似三角形的性质得出，计算出
AB=6 ， 设出BC，AC ， 在△ABC中，由勾股定理求出AC的长，证明△DAC∽△CAB ， 得出.则
可求出答案.
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