2023-2024学年人教版初中数学九年级下册27.3 位似 同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九上·金沙期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到，则点B的对应点为，则的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．如图，已知与位似，位似中心为点，且，则的周长与周长之比为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·永年期中）已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（ ）
A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
4．（2021九上·信都月考）如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．（2020九上·北京期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（ ）
A．(2，5) B．( ，5) C．(3，5) D．(3，6)
6．（2023九上·金沙期中）如图，与是位似图形，点O是位似中心，若，且的面积为1，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
7．（2023九上·晋州期中）如图所示，四边形和是以点O为位似中心的位似图形．若，四边形的面积是3，则四边形的面积是（ ）
A．9 B．12 C．27 D．48
8．（2023九上·石家庄期中）如图，以点O为位似中心，把△ABC的各边长放大为原来的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是（ ）
A．AO：AA'＝1：2
B．点A，O，A'三点在同一条直线上
C．S△ABC：S△A′B′C′＝1：4
D．BC∥B'C'
二、填空题
9．（2023九上·长春月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C是位似图形，位似中心是原点O，已知点A （2，a）、A' （4，b），则△ABC与△A' B' C'的相似比是
10．当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为(x，y)，位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上的对应点的坐标为 或 .
11．（2023九上·期末）如图所示，在直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心的坐标为 .
12．（2017九下·泰兴开学考）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD，则端点C的坐标为 ．
13．（2023九上·商河期中）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，画，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标是 ．
三、解答题
14．如图，平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上．
（1）以O点为位似中心，位似比的绝对值为2，将放大为，请在网格图中画出（只画出其中一种）；
（2）若，的面积分别为S、，写出S、的数量关系．
15．（2023九上·德惠月考）如图①②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知△ABC的顶点均在格点上．
（1）在图①中，以格点为顶点，画出一个△DCE与△ACB成位似图形，且位似比为1：2
（2）在图②中找出AB的一个三等分点点P．辅助线用虚线．
四、作图题
16．（2022九上·平阴期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形；
（2）直接写出点坐标 ．
五、综合题
17．（2023·瓯海模拟）如图，在8×8的正方形网格中，已知的顶点都在格点上，请在所给网格中按要求画出图形.
（1）在图1中，将绕着点C顺时针方向旋转得到（点A，B的对应点分别为，），并画出.
（2）在图2中，以点C为位似中心，作的位似图形，并使边长放大到原来的2倍，请画出的位似图形.
18．（2023九上·邳州期末）如图、在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，.
（1）以原点O为位似中心，在第三象限内画，使它与的相似比为2：1；
（2）点的坐标是 ，的面积是 .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由题意可得点 的坐标为点B的坐标乘以 或，
即或，
故答案为：C.
【分析】利用位似变换的性质将点B的坐标乘以 或即可得到结论.
2．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解： ∵与位似，位似中心为点，
∴∽，
∴的周长与周长之比为=OC：OF=3:2.
故答案为：A.
【分析】由位似的性质可得∽，根据相似三角形的性质即可求解.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用位似图形的面积之比等于位似比的平方求解即可.
4．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：根据图形位似的性质，如图，分别连接OB、OA、OC，
则图形②的三个顶点与△ABC的对应三个顶点的连线交于点O，从而图形②与△ABC位似．
故答案为：B
【分析】利用位似变换判断即可。
5．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0）
∴
∴点A的横纵坐标与点C的横纵坐标的比值也为
∵A（1，2）
∴点C的横坐标为 ，纵坐标为
∴C
故答案为：B.
【分析】根据位似图形的性质求出位似比，进而得到对应点的坐标即可。
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解： ，
，
与是位似图形，点O是位似中心，
，AB∥DE，
，
故答案为：D.
【分析】先根据，得到，利用位似的性质得到，AB∥DE，然后再根据相似三角形的性质列出算式计算进而求解.
7．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形，
∴四边形∽四边形，
∵，
∴OA：OA'=1：4，
∴S四边形ABCD：S四边形A'B'C'D'=1：16，
∵S四边形ABCD=3，
∴S四边形A'B'C'D'=16S四边形ABCD=16×3=48，
故答案为：D.
【分析】利用相似多边形的性质可得S四边形ABCD：S四边形A'B'C'D'=1：16，再结合S四边形ABCD=3，求出S四边形A'B'C'D'=16S四边形ABCD=16×3=48即可.
8．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：A：把△ABC的各边长放大为原来的2倍得到△A'B'C'，所以AO：A'O＝1：2 ，所以AO：AA'＝1：3 ，所以A说法错误；
B： 点A，O，A'三点在同一条直线上 ，所以B说法正确；
C：因为与的相似比为1：2，所以S△ABC：S△A′B′C′＝1：4 ，所以C说法正确；
D：由位似图形的性质可得 BC∥B'C' 所以D说法真确。
故答案为：A。
【分析】根据位似三角形的性质进行推导，即可得出答案。
9．【答案】1：2
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵ △ABC与△A'B'C是位似图形，
∴△ABC∽△A'B'C，
∵点A （2，a）、A' （4，b） ，
∴△ABC∽△A'B'C的相似比是1：2.
故答案为：1：2.
【分析】根据位似图形的性质可得△ABC∽△A'B'C，再利用点A、B的坐标求出相似比即可.
10．【答案】（kx，ky）；（-kx，-ky）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：以坐标原点为位似中心的位似图形有以下性质：当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为（x，y），位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.
故答案为：（kx，ky）；（-kx，-ky）.
【分析】根据以坐标原点为位似中心的位似图形的性质解答即可.
11．【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：连接DB，OA并延长交于点E
∴点M是位似中心，
∴点M（4，2）.
故答案为：（4，2）.
【分析】利用位似图形的性质可知。对应点的连线或延长线相交于一点（位似中心），因此连接DB，OA并延长交于点E，可得到位似中心点E的坐标.
12．【答案】（3，3）
【知识点】坐标与图形性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为：（3，3）．
故答案为：（3，3）．
【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
13．【答案】或
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由位似变化坐标变化性质可得：
B，坐标为 或
故答案为：或
【分析】根据位似变化性质用分别用去乘B点坐标即可得出答案。
14．【答案】（1）解：如图所示：即为所求；（另一种同样给分）
（2）解：∵，位似比的绝对值为2，放大为，
∴和相似比为，
∴
即：．
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质求得A、B、C对应点A1B1C1的位置，连接即可求解；
（2）利用位似图形的性质：面积比等于相似比的平方，代入数据即可求解.
15．【答案】（1）解：如图所示，△DCE即为所求
（2）解：如图所示，点P即为所求
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质即可求出答案.
（2）根据线段三等分点的性质即可求出答案.
16．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）（-6，4）
【知识点】点的坐标；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（2）∵，位似比为，
∴点坐标为．
故答案为：．
【分析】（1）根据位似图形的性质作出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据平面直角坐标系直接写出点的坐标即可。
17．【答案】（1）解：如图1所示，即为所求作，
（2）解：△CA'B'或△CA2B2就是所求的三角形.
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点，将点A、B绕着点C顺时针方向旋转90°得到其对应点A1、B1，再连接A1B1、A1C、B1C即可；
（2）延长CA至点A'，使CA'=2AC，延长CB至点B'，使CB'=2BC，再连接A'B'，△A'B'C就是所求的三角形；或延长AC至点A2，使CA2=2AC，延长BC至点B2，使CB2=2BC，再连接A2B2，△A2B2C就是所求的三角形.
18．【答案】（1）解：如图，即为所求作；
（2）(-2，-6)；4
【知识点】三角形的面积；作图﹣位似变换；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：（2）点的坐标是，
的面积是，
故答案为：，4.
【分析】（1）连接AO、BO、CO并延长，使A′O=2AO，B′O=2BO，C′O=2CO，然后顺次连接即可；
（2）根据点B′的位置可得相应的坐标，由三角形的面积公式可得△A′B′C′的面积.
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一、选择题
1．（2023九上·金沙期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到，则点B的对应点为，则的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由题意可得点 的坐标为点B的坐标乘以 或，
即或，
故答案为：C.
【分析】利用位似变换的性质将点B的坐标乘以 或即可得到结论.
2．如图，已知与位似，位似中心为点，且，则的周长与周长之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解： ∵与位似，位似中心为点，
∴∽，
∴的周长与周长之比为=OC：OF=3:2.
故答案为：A.
【分析】由位似的性质可得∽，根据相似三角形的性质即可求解.
3．（2023九上·永年期中）已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（ ）
A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用位似图形的面积之比等于位似比的平方求解即可.
4．（2021九上·信都月考）如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：根据图形位似的性质，如图，分别连接OB、OA、OC，
则图形②的三个顶点与△ABC的对应三个顶点的连线交于点O，从而图形②与△ABC位似．
故答案为：B
【分析】利用位似变换判断即可。
5．（2020九上·北京期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（ ）
A．(2，5) B．( ，5) C．(3，5) D．(3，6)
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0）
∴
∴点A的横纵坐标与点C的横纵坐标的比值也为
∵A（1，2）
∴点C的横坐标为 ，纵坐标为
∴C
故答案为：B.
【分析】根据位似图形的性质求出位似比，进而得到对应点的坐标即可。
6．（2023九上·金沙期中）如图，与是位似图形，点O是位似中心，若，且的面积为1，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解： ，
，
与是位似图形，点O是位似中心，
，AB∥DE，
，
故答案为：D.
【分析】先根据，得到，利用位似的性质得到，AB∥DE，然后再根据相似三角形的性质列出算式计算进而求解.
7．（2023九上·晋州期中）如图所示，四边形和是以点O为位似中心的位似图形．若，四边形的面积是3，则四边形的面积是（ ）
A．9 B．12 C．27 D．48
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形，
∴四边形∽四边形，
∵，
∴OA：OA'=1：4，
∴S四边形ABCD：S四边形A'B'C'D'=1：16，
∵S四边形ABCD=3，
∴S四边形A'B'C'D'=16S四边形ABCD=16×3=48，
故答案为：D.
【分析】利用相似多边形的性质可得S四边形ABCD：S四边形A'B'C'D'=1：16，再结合S四边形ABCD=3，求出S四边形A'B'C'D'=16S四边形ABCD=16×3=48即可.
8．（2023九上·石家庄期中）如图，以点O为位似中心，把△ABC的各边长放大为原来的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是（ ）
A．AO：AA'＝1：2
B．点A，O，A'三点在同一条直线上
C．S△ABC：S△A′B′C′＝1：4
D．BC∥B'C'
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：A：把△ABC的各边长放大为原来的2倍得到△A'B'C'，所以AO：A'O＝1：2 ，所以AO：AA'＝1：3 ，所以A说法错误；
B： 点A，O，A'三点在同一条直线上 ，所以B说法正确；
C：因为与的相似比为1：2，所以S△ABC：S△A′B′C′＝1：4 ，所以C说法正确；
D：由位似图形的性质可得 BC∥B'C' 所以D说法真确。
故答案为：A。
【分析】根据位似三角形的性质进行推导，即可得出答案。
二、填空题
9．（2023九上·长春月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C是位似图形，位似中心是原点O，已知点A （2，a）、A' （4，b），则△ABC与△A' B' C'的相似比是
【答案】1：2
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵ △ABC与△A'B'C是位似图形，
∴△ABC∽△A'B'C，
∵点A （2，a）、A' （4，b） ，
∴△ABC∽△A'B'C的相似比是1：2.
故答案为：1：2.
【分析】根据位似图形的性质可得△ABC∽△A'B'C，再利用点A、B的坐标求出相似比即可.
10．当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为(x，y)，位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上的对应点的坐标为 或 .
【答案】（kx，ky）；（-kx，-ky）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：以坐标原点为位似中心的位似图形有以下性质：当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为（x，y），位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.
故答案为：（kx，ky）；（-kx，-ky）.
【分析】根据以坐标原点为位似中心的位似图形的性质解答即可.
11．（2023九上·期末）如图所示，在直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心的坐标为 .
【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：连接DB，OA并延长交于点E
∴点M是位似中心，
∴点M（4，2）.
故答案为：（4，2）.
【分析】利用位似图形的性质可知。对应点的连线或延长线相交于一点（位似中心），因此连接DB，OA并延长交于点E，可得到位似中心点E的坐标.
12．（2017九下·泰兴开学考）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD，则端点C的坐标为 ．
【答案】（3，3）
【知识点】坐标与图形性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为：（3，3）．
故答案为：（3，3）．
【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
13．（2023九上·商河期中）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，画，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标是 ．
【答案】或
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由位似变化坐标变化性质可得：
B，坐标为 或
故答案为：或
【分析】根据位似变化性质用分别用去乘B点坐标即可得出答案。
三、解答题
14．如图，平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上．
（1）以O点为位似中心，位似比的绝对值为2，将放大为，请在网格图中画出（只画出其中一种）；
（2）若，的面积分别为S、，写出S、的数量关系．
【答案】（1）解：如图所示：即为所求；（另一种同样给分）
（2）解：∵，位似比的绝对值为2，放大为，
∴和相似比为，
∴
即：．
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质求得A、B、C对应点A1B1C1的位置，连接即可求解；
（2）利用位似图形的性质：面积比等于相似比的平方，代入数据即可求解.
15．（2023九上·德惠月考）如图①②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知△ABC的顶点均在格点上．
（1）在图①中，以格点为顶点，画出一个△DCE与△ACB成位似图形，且位似比为1：2
（2）在图②中找出AB的一个三等分点点P．辅助线用虚线．
【答案】（1）解：如图所示，△DCE即为所求
（2）解：如图所示，点P即为所求
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质即可求出答案.
（2）根据线段三等分点的性质即可求出答案.
四、作图题
16．（2022九上·平阴期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形；
（2）直接写出点坐标 ．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）（-6，4）
【知识点】点的坐标；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（2）∵，位似比为，
∴点坐标为．
故答案为：．
【分析】（1）根据位似图形的性质作出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据平面直角坐标系直接写出点的坐标即可。
五、综合题
17．（2023·瓯海模拟）如图，在8×8的正方形网格中，已知的顶点都在格点上，请在所给网格中按要求画出图形.
（1）在图1中，将绕着点C顺时针方向旋转得到（点A，B的对应点分别为，），并画出.
（2）在图2中，以点C为位似中心，作的位似图形，并使边长放大到原来的2倍，请画出的位似图形.
【答案】（1）解：如图1所示，即为所求作，
（2）解：△CA'B'或△CA2B2就是所求的三角形.
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点，将点A、B绕着点C顺时针方向旋转90°得到其对应点A1、B1，再连接A1B1、A1C、B1C即可；
（2）延长CA至点A'，使CA'=2AC，延长CB至点B'，使CB'=2BC，再连接A'B'，△A'B'C就是所求的三角形；或延长AC至点A2，使CA2=2AC，延长BC至点B2，使CB2=2BC，再连接A2B2，△A2B2C就是所求的三角形.
18．（2023九上·邳州期末）如图、在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，.
（1）以原点O为位似中心，在第三象限内画，使它与的相似比为2：1；
（2）点的坐标是 ，的面积是 .
【答案】（1）解：如图，即为所求作；
（2）(-2，-6)；4
【知识点】三角形的面积；作图﹣位似变换；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：（2）点的坐标是，
的面积是，
故答案为：，4.
【分析】（1）连接AO、BO、CO并延长，使A′O=2AO，B′O=2BO，C′O=2CO，然后顺次连接即可；
（2）根据点B′的位置可得相应的坐标，由三角形的面积公式可得△A′B′C′的面积.
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