2023-2024学年人教版初中数学九年级下册27.3 位似 同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·崂山期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是位似图形，以原点O为位似中心，若AC＝2OA，B点的坐标为（4，2），则点D的坐标为（ ）
A．（8，4） B．（8，6） C．（12，4） D．（12，6）
2．（2023九上·兴隆期中）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，已知点，则位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．在如图所示的6×7的方格中，点A，B，C，D是格点，线段CD是由线段AB位似放大得到的，则它们的位似中心是（ ）
A．P1． B．P2． C．P3． D．P4．
4．（2023九上·长春月考）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，位似比为2：3，则AB：DE的比值为（ )
A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：13
5．（2023九上·德惠月考）如图△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则△ABC与△ADE的面积之比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
6．（2023九上·河北月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把放大，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B．或
C． D．或
7．如图，在直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为，点A，B，E在x轴上．若正方形BEFG的边长为6，则点C的坐标为（ ）．
A．(3，2) B．(3，1) C．(2，2) D．(4，2)
8．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）
C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
二、填空题
9．如图，电影胶片上每一幅图片的规格为3.5cm×3.5cm，放映银幕的规格为3m×3m．若放映机的光源S距胶片1.4cm，则光源S距银幕 m时，放映的图像刚好布满整个银幕．
10．如图，△ABC和△DEF是位似三角形，AC=2DF，则S△ABC：S△DEF= ．
11．如图，在直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1．已知A(2，3)，则点A1的坐标是
12．（2017·河西模拟）如图，正方形ABCD与正方形EFGH是位似形，已知A（0，5），D（0，3），E（0，1），H（0，4），则位似中心的坐标是 ．
13．如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第，三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n= ．
三、解答题
14．（2021八下·姑苏期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， 的顶点在格点（网格线的交点）上，以点 为原点建立平面直角坐标系，点 的坐标为（1，0）.
（ 1 ）将 向左平移5个单位长度，得到 ，画出 ；
（ 2 ）以点 为位似中心，将 放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到 ，在所给的方格纸中画出 ；
（ 3 ）若点 是 的中点，经过（1）、（2）两次变换， 的对应点 的坐标是 .
15．如图，以点M为位似中心，画出四边形ABCD的位似四边形A1B1C1D1，使得四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似比为2：1．
四、作图题
16．（2023九下·江都）已知O是坐标原点，的坐标分别为.
⑴画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出的坐标为 ▲ ；
⑵在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图相似比为；
⑶若点在线段上，直接写出变化（2）后点D的对应点的坐标为 ▲ .
五、综合题
17．（2020·濮阳模拟）
（1）发现探究：如图1，矩形 和矩形 位似， ，连接 ，则线段 与 有何数量关系，关系是 .直线 与直线 所夹锐角的度数是 .
（2）拓展探究：如图2，将矩形 绕点 逆时针旋转角 ，上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图2给出的情况加以证明.
（3）问题解决：若点 是 的中点， ，连接 ， ，在矩形 绕点 旋转过程中，请直接写出 长的取值范围.
18．（2021·安徽模拟）如图，点 的坐标为 ，点 的坐标为
①以点 为旋转中心，将 顺时针方向旋转90°，得到 ；
②以点 为位似中心，将 放大 ，使相似比为 ，且点 在第三象限．
（1）在图中画出 和 ；
（2）请直接写出点 的坐标：（ ， ）
（3）在上面的（2）问下，直接写出在线段 上的任意动点 的对应点 的坐标：（ ， ）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】点的坐标；位似变换
【解析】【解答】∵AC=2OA，
∴OC=OA+AC=3OA，
∵△AOB与△COD是位似图形，以原点O为位似中心，
∴△AOB和△COD的位似比为1：3，
∵点B的坐标为（4，2），
∴点D的坐标为（12，6），
故答案为：D.
【分析】先求出△AOB和△COD的位似比为1：3，再结合点B的坐标为（4，2），求出点D的坐标为（12，6）即可。
2．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：如图所示：连接DB，OA并延长交于点M，则点M为位似中心，
∴位似中心的坐标是（4，2），
故答案为：B.
【分析】先求出位似中心，再求位似中心的坐标即可作答。
3．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：如图，
连接CA、DB，并延长，其交点即为它们的位似中心，
∴它们的位似中心是P3.
故答案为：C.
【分析】连接CA、DB，并延长，其交点即为它们的位似中心，结合图形可求解.
4．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】 △ABC与△DEF位似且位似比为2：3
故选：A
【分析】根据位数图形及位似比的定义进行判定。
5．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：C
【分析】根据位似三角形的性质即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：以原点O为位似中心，相似比为2，把 放大，
点A的坐标为（2，2），
点A的对应点的坐标为（22，22）或（-22，-22）即（4，4）或（-4，-4），
故答案为：D.
【分析】根据位似变换的性质，以原点为位似中心，相似比为2，把 放大进行计算即可求解.
7．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，
∴，
而BE=EF=6，
∴，
∴BC=2，OB=3，
∴C（3，2）．
故答案为：A.
【分析】先根据位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比，列出等式，求解可得BC=2，OB=3，即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】试题【分析】根据题意画出相应的图形，找出点E的对应点E′的坐标即可。
【解答】根据题意得：
则点E的对应点E′的坐标是（-2，1）或（2，-1）．
故选D．
【点评】此题考查了位似图形，以及坐标与图形性质，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方。
9．【答案】1.2
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：解：设银幕距镜头的距离为xcm，运用位似图形的性质可得：
，
解得：x=120．
120cm=1.2m
即银幕距镜头的距离为1.2m，
故答案为：1.2m.
【分析】根据位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比可列出等式，求解即可得出银幕距镜头的距离.
10．【答案】4：1
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，
又∵AC=2DF，
∴
∴
故答案为：4：1．
【分析】根据位似图形是相似图形，放假相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解.
11．【答案】(，2)
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，且A（2，3），
∴点A1的坐标是，即点A1的坐标是，
故答案为：，
【分析】根据当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为（x，y），位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky），结合题中图形即可求解.
12．【答案】（0， ），（﹣6，7）
【知识点】坐标与图形性质；位似变换
【解析】【解答】解：设当B与F是对应点，设直线BF的解析式为：y=kx+b，
则 ，
解得： ，
故直线BF的解析式为：y=﹣ x+ ，
则x=0时，y= ，
即位似中心是：（0， ），
设当C与E是对应点，设直线CE的解析式为：y=ax+c，
则 ，
解得： ，
故直线CE的解析式为：y=﹣x+1，
设直线DF的解析式为：y=dx+e，
则 ，
解得： ，
故直线DF的解析式为：y=﹣ x+3，
则 ，
解得：
即位似中心是：（﹣6，7），
综上所述：所述位似中心为：（0， ），（﹣6，7）．
故答案为：（0， ），（﹣6，7）．
【分析】根据位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比；设当B与F是对应点，设直线BF的解析式为y=kx+b，得到直线BF的解析式y=﹣ x+ ，则x=0时，y= ，即位似中心是（0， ）；设当C与E是对应点，设直线CE的解析式为y=ax+c，得到直线DF的解析式为y=﹣ x+3，即位似中心是（﹣6，7），综上所述：所述位似中心为（0， ），（﹣6，7）．
13．【答案】16
【知识点】正方形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：由图形的变化规律可得
×256=，
解得n=16．
故答案为：16．
【分析】由图形的变化规律可知正方形OAnBnCn的边长为×256，据此即可求解．
14．【答案】解：（1）如图，△A1B1C1；即为所求. （2）如图，△A2B2C2即为所求.
（3）（6，-2）
【知识点】作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（3）若点M是AB的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标为（6，-2），
故答案为：（6，-2）.
【分析】（1）根据平移的规律：向左平移5个单位，点的横坐标减5，纵坐标不变，分别找出△A1B1C1的各顶点的坐标，连接即可得到所求三角形；
（2）根据位似变换中对应点的坐标的变化规律分别找出相应的顶点坐标，再连接即可得到图形△A2B2C2；
（3）根据平移和位似变换中的坐标变换规律写出点M2的坐标，即可得出答案.
15．【答案】解：当四边形A1B1C1D1与四边形ABCD在点M的同一侧时，连接AM，BM，分别作DM，AM，BM，CM的垂直平分线，确定DM，AM，BM，CM的的中点D1，A1，B1，C1，连接D1A1，A1B1，B1 C1，如图：即为所求.
当四边形A1B1C1D1与四边形ABCD在点M的两侧时，连接AM，BM，分别作DM，AM，BM，CM的垂直平分线，确定DM，AM，BM，CM的的中点D1，A2，B2，C1，以点M为圆心，A2M和B2M的长为半径，在AM和BM的延长线上确定点A1，B1，连接D1A1，A1B1，B1 C1，如图：即为所求.
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】结合题意，当四边形A1B1C1D1与四边形ABCD在点M的同一侧时，连接AM，BM，分别作DM，AM，BM，CM的垂直平分线，找到DM的中点D1，AM的中点A1，BM的中点B1，CM的中点C1，连接D1A1，A1B1，B1C1，即为所求；当四边形A1B1C1D1与四边形ABCD在点M的两侧时，连接AM，BM，分别作DM，AM，BM，CM的垂直平分线，确定DM，AM，BM，CM的的中点D1，A2，B2，C1，以点M为圆心，A2M和B2M的长为半径，在AM和BM的延长线上确定点A1，B1，连接D1A1，A1B1，B1 C1，即为所求.
16．【答案】解∶⑴如图所示：即为所求；
；（1，-3）
⑵如图所示：即为所求；
⑶（-2a，-2b）
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）∵作的位似图形，新图与原图相似比为，且，
∴点D的对应点的坐标为；
故答案为：.
【分析】（1）利用方格纸的特点及旋转的性质，分别将点A、B绕点O顺时针旋转90°得到其对应点A1、B1，再连接A1O、B1O、A1B1，即可得出所求的△OA1B1；进而根据点A1的位置读出其坐标即可；
（2）连接AO并延长至点A2，使OA2=2OA，连接BO并延长至点B2，使OB2=2OB，连接OA2、A2B2、OB2，即可得出所求的△OA2B2；
（3）在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，新图形与原图形的位似比为k，与原图形上（x，y）对应的位似图形上的点的坐标是（-kx，-ky）或（kx，ky），根据性质即可直接得出答案.
17．【答案】（1）；30°
（2）结论仍然成立.
证明：如图2，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ∽ ，
∴ ，∠ABE=∠ACF，
∴ ，
∴直线 与直线 所夹锐角的度数= ；
（3）如图3，取 的中点N，连接GN、MN，在 中， （“=”号仅当G、N、M三点共线时成立），
∵ ，∴ ，
∵N为AF中点，M为CF中点，
∴ ，
∵N为AF中点，∠AGF=90°， ，
∴ ，
∴
即GM长的取值范围是： .
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；位似变换；旋转的性质
【解析】【解答】（1）解：∵ ，∠B=90°，
∴∠BAC=30°，
∵矩形 和矩形 位似，
∴A、F、C三点共线，EF∥BC，直线 与直线 所夹锐角的度数是30°，
∴ ；
故答案为： ； ；
【分析】（1）由矩形的性质和三角函数的知识可得∠BAC=30°，然后根据位似图形的性质可得A、F、C三点共线，EF∥BC以及直线 与直线 所夹锐角的度数，再根据平行线分线段成比例定理即得 与 的数量关系；
（2）易得 ，故可根据两边成比例且夹角相等证明 ∽ ，于是可得 ，∠ABE=∠ACF，于是只要求出 即可求出直线 与直线 所夹锐角的度数，进而可得结论；
（3）如图3，取 的中点N，连接GN、MN，由三角形的三边关系可知： （“=”号仅当G、N、M三点共线时成立），然后根据三角形的中位线定理和直角三角形斜边中线的性质可分别求出MN和GN的长，进而可得结果.
18．【答案】（1）如图，△AB1O1和△A2B2O2为所作；
（2）-3；-4
（3）3-2a；-2b
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（2）点A2的坐标：（-3，-4）；
故答案为-3，-4；
（3）点P2的坐标为（3-2a，-2b）．
故答案为3-2a，-2b．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出B、O的对应点B1、O1得到△AB1O1；把△OAB向左平移1个单位，再把平移后的各顶点的坐标都乘以-2后向右平移1个单位得到△A2B2O2各顶点的坐标，然后描点即可；
（2）（3）的图形变换规律写出A2和P2的坐标．
1 / 12023-2024学年人教版初中数学九年级下册27.3 位似 同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·崂山期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是位似图形，以原点O为位似中心，若AC＝2OA，B点的坐标为（4，2），则点D的坐标为（ ）
A．（8，4） B．（8，6） C．（12，4） D．（12，6）
【答案】D
【知识点】点的坐标；位似变换
【解析】【解答】∵AC=2OA，
∴OC=OA+AC=3OA，
∵△AOB与△COD是位似图形，以原点O为位似中心，
∴△AOB和△COD的位似比为1：3，
∵点B的坐标为（4，2），
∴点D的坐标为（12，6），
故答案为：D.
【分析】先求出△AOB和△COD的位似比为1：3，再结合点B的坐标为（4，2），求出点D的坐标为（12，6）即可。
2．（2023九上·兴隆期中）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，已知点，则位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：如图所示：连接DB，OA并延长交于点M，则点M为位似中心，
∴位似中心的坐标是（4，2），
故答案为：B.
【分析】先求出位似中心，再求位似中心的坐标即可作答。
3．在如图所示的6×7的方格中，点A，B，C，D是格点，线段CD是由线段AB位似放大得到的，则它们的位似中心是（ ）
A．P1． B．P2． C．P3． D．P4．
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：如图，
连接CA、DB，并延长，其交点即为它们的位似中心，
∴它们的位似中心是P3.
故答案为：C.
【分析】连接CA、DB，并延长，其交点即为它们的位似中心，结合图形可求解.
4．（2023九上·长春月考）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，位似比为2：3，则AB：DE的比值为（ )
A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：13
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】 △ABC与△DEF位似且位似比为2：3
故选：A
【分析】根据位数图形及位似比的定义进行判定。
5．（2023九上·德惠月考）如图△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则△ABC与△ADE的面积之比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：C
【分析】根据位似三角形的性质即可求出答案.
6．（2023九上·河北月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把放大，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：以原点O为位似中心，相似比为2，把 放大，
点A的坐标为（2，2），
点A的对应点的坐标为（22，22）或（-22，-22）即（4，4）或（-4，-4），
故答案为：D.
【分析】根据位似变换的性质，以原点为位似中心，相似比为2，把 放大进行计算即可求解.
7．如图，在直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为，点A，B，E在x轴上．若正方形BEFG的边长为6，则点C的坐标为（ ）．
A．(3，2) B．(3，1) C．(2，2) D．(4，2)
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，
∴，
而BE=EF=6，
∴，
∴BC=2，OB=3，
∴C（3，2）．
故答案为：A.
【分析】先根据位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比，列出等式，求解可得BC=2，OB=3，即可得出答案.
8．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）
C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】试题【分析】根据题意画出相应的图形，找出点E的对应点E′的坐标即可。
【解答】根据题意得：
则点E的对应点E′的坐标是（-2，1）或（2，-1）．
故选D．
【点评】此题考查了位似图形，以及坐标与图形性质，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方。
二、填空题
9．如图，电影胶片上每一幅图片的规格为3.5cm×3.5cm，放映银幕的规格为3m×3m．若放映机的光源S距胶片1.4cm，则光源S距银幕 m时，放映的图像刚好布满整个银幕．
【答案】1.2
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：解：设银幕距镜头的距离为xcm，运用位似图形的性质可得：
，
解得：x=120．
120cm=1.2m
即银幕距镜头的距离为1.2m，
故答案为：1.2m.
【分析】根据位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比可列出等式，求解即可得出银幕距镜头的距离.
10．如图，△ABC和△DEF是位似三角形，AC=2DF，则S△ABC：S△DEF= ．
【答案】4：1
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，
又∵AC=2DF，
∴
∴
故答案为：4：1．
【分析】根据位似图形是相似图形，放假相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解.
11．如图，在直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1．已知A(2，3)，则点A1的坐标是
【答案】(，2)
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，且A（2，3），
∴点A1的坐标是，即点A1的坐标是，
故答案为：，
【分析】根据当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为（x，y），位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky），结合题中图形即可求解.
12．（2017·河西模拟）如图，正方形ABCD与正方形EFGH是位似形，已知A（0，5），D（0，3），E（0，1），H（0，4），则位似中心的坐标是 ．
【答案】（0， ），（﹣6，7）
【知识点】坐标与图形性质；位似变换
【解析】【解答】解：设当B与F是对应点，设直线BF的解析式为：y=kx+b，
则 ，
解得： ，
故直线BF的解析式为：y=﹣ x+ ，
则x=0时，y= ，
即位似中心是：（0， ），
设当C与E是对应点，设直线CE的解析式为：y=ax+c，
则 ，
解得： ，
故直线CE的解析式为：y=﹣x+1，
设直线DF的解析式为：y=dx+e，
则 ，
解得： ，
故直线DF的解析式为：y=﹣ x+3，
则 ，
解得：
即位似中心是：（﹣6，7），
综上所述：所述位似中心为：（0， ），（﹣6，7）．
故答案为：（0， ），（﹣6，7）．
【分析】根据位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比；设当B与F是对应点，设直线BF的解析式为y=kx+b，得到直线BF的解析式y=﹣ x+ ，则x=0时，y= ，即位似中心是（0， ）；设当C与E是对应点，设直线CE的解析式为y=ax+c，得到直线DF的解析式为y=﹣ x+3，即位似中心是（﹣6，7），综上所述：所述位似中心为（0， ），（﹣6，7）．
13．如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第，三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n= ．
【答案】16
【知识点】正方形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：由图形的变化规律可得
×256=，
解得n=16．
故答案为：16．
【分析】由图形的变化规律可知正方形OAnBnCn的边长为×256，据此即可求解．
三、解答题
14．（2021八下·姑苏期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， 的顶点在格点（网格线的交点）上，以点 为原点建立平面直角坐标系，点 的坐标为（1，0）.
（ 1 ）将 向左平移5个单位长度，得到 ，画出 ；
（ 2 ）以点 为位似中心，将 放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到 ，在所给的方格纸中画出 ；
（ 3 ）若点 是 的中点，经过（1）、（2）两次变换， 的对应点 的坐标是 .
【答案】解：（1）如图，△A1B1C1；即为所求. （2）如图，△A2B2C2即为所求.
（3）（6，-2）
【知识点】作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（3）若点M是AB的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标为（6，-2），
故答案为：（6，-2）.
【分析】（1）根据平移的规律：向左平移5个单位，点的横坐标减5，纵坐标不变，分别找出△A1B1C1的各顶点的坐标，连接即可得到所求三角形；
（2）根据位似变换中对应点的坐标的变化规律分别找出相应的顶点坐标，再连接即可得到图形△A2B2C2；
（3）根据平移和位似变换中的坐标变换规律写出点M2的坐标，即可得出答案.
15．如图，以点M为位似中心，画出四边形ABCD的位似四边形A1B1C1D1，使得四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似比为2：1．
【答案】解：当四边形A1B1C1D1与四边形ABCD在点M的同一侧时，连接AM，BM，分别作DM，AM，BM，CM的垂直平分线，确定DM，AM，BM，CM的的中点D1，A1，B1，C1，连接D1A1，A1B1，B1 C1，如图：即为所求.
当四边形A1B1C1D1与四边形ABCD在点M的两侧时，连接AM，BM，分别作DM，AM，BM，CM的垂直平分线，确定DM，AM，BM，CM的的中点D1，A2，B2，C1，以点M为圆心，A2M和B2M的长为半径，在AM和BM的延长线上确定点A1，B1，连接D1A1，A1B1，B1 C1，如图：即为所求.
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】结合题意，当四边形A1B1C1D1与四边形ABCD在点M的同一侧时，连接AM，BM，分别作DM，AM，BM，CM的垂直平分线，找到DM的中点D1，AM的中点A1，BM的中点B1，CM的中点C1，连接D1A1，A1B1，B1C1，即为所求；当四边形A1B1C1D1与四边形ABCD在点M的两侧时，连接AM，BM，分别作DM，AM，BM，CM的垂直平分线，确定DM，AM，BM，CM的的中点D1，A2，B2，C1，以点M为圆心，A2M和B2M的长为半径，在AM和BM的延长线上确定点A1，B1，连接D1A1，A1B1，B1 C1，即为所求.
四、作图题
16．（2023九下·江都）已知O是坐标原点，的坐标分别为.
⑴画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出的坐标为 ▲ ；
⑵在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图相似比为；
⑶若点在线段上，直接写出变化（2）后点D的对应点的坐标为 ▲ .
【答案】解∶⑴如图所示：即为所求；
；（1，-3）
⑵如图所示：即为所求；
⑶（-2a，-2b）
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）∵作的位似图形，新图与原图相似比为，且，
∴点D的对应点的坐标为；
故答案为：.
【分析】（1）利用方格纸的特点及旋转的性质，分别将点A、B绕点O顺时针旋转90°得到其对应点A1、B1，再连接A1O、B1O、A1B1，即可得出所求的△OA1B1；进而根据点A1的位置读出其坐标即可；
（2）连接AO并延长至点A2，使OA2=2OA，连接BO并延长至点B2，使OB2=2OB，连接OA2、A2B2、OB2，即可得出所求的△OA2B2；
（3）在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，新图形与原图形的位似比为k，与原图形上（x，y）对应的位似图形上的点的坐标是（-kx，-ky）或（kx，ky），根据性质即可直接得出答案.
五、综合题
17．（2020·濮阳模拟）
（1）发现探究：如图1，矩形 和矩形 位似， ，连接 ，则线段 与 有何数量关系，关系是 .直线 与直线 所夹锐角的度数是 .
（2）拓展探究：如图2，将矩形 绕点 逆时针旋转角 ，上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图2给出的情况加以证明.
（3）问题解决：若点 是 的中点， ，连接 ， ，在矩形 绕点 旋转过程中，请直接写出 长的取值范围.
【答案】（1）；30°
（2）结论仍然成立.
证明：如图2，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ∽ ，
∴ ，∠ABE=∠ACF，
∴ ，
∴直线 与直线 所夹锐角的度数= ；
（3）如图3，取 的中点N，连接GN、MN，在 中， （“=”号仅当G、N、M三点共线时成立），
∵ ，∴ ，
∵N为AF中点，M为CF中点，
∴ ，
∵N为AF中点，∠AGF=90°， ，
∴ ，
∴
即GM长的取值范围是： .
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；位似变换；旋转的性质
【解析】【解答】（1）解：∵ ，∠B=90°，
∴∠BAC=30°，
∵矩形 和矩形 位似，
∴A、F、C三点共线，EF∥BC，直线 与直线 所夹锐角的度数是30°，
∴ ；
故答案为： ； ；
【分析】（1）由矩形的性质和三角函数的知识可得∠BAC=30°，然后根据位似图形的性质可得A、F、C三点共线，EF∥BC以及直线 与直线 所夹锐角的度数，再根据平行线分线段成比例定理即得 与 的数量关系；
（2）易得 ，故可根据两边成比例且夹角相等证明 ∽ ，于是可得 ，∠ABE=∠ACF，于是只要求出 即可求出直线 与直线 所夹锐角的度数，进而可得结论；
（3）如图3，取 的中点N，连接GN、MN，由三角形的三边关系可知： （“=”号仅当G、N、M三点共线时成立），然后根据三角形的中位线定理和直角三角形斜边中线的性质可分别求出MN和GN的长，进而可得结果.
18．（2021·安徽模拟）如图，点 的坐标为 ，点 的坐标为
①以点 为旋转中心，将 顺时针方向旋转90°，得到 ；
②以点 为位似中心，将 放大 ，使相似比为 ，且点 在第三象限．
（1）在图中画出 和 ；
（2）请直接写出点 的坐标：（ ， ）
（3）在上面的（2）问下，直接写出在线段 上的任意动点 的对应点 的坐标：（ ， ）．
【答案】（1）如图，△AB1O1和△A2B2O2为所作；
（2）-3；-4
（3）3-2a；-2b
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（2）点A2的坐标：（-3，-4）；
故答案为-3，-4；
（3）点P2的坐标为（3-2a，-2b）．
故答案为3-2a，-2b．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出B、O的对应点B1、O1得到△AB1O1；把△OAB向左平移1个单位，再把平移后的各顶点的坐标都乘以-2后向右平移1个单位得到△A2B2O2各顶点的坐标，然后描点即可；
（2）（3）的图形变换规律写出A2和P2的坐标．
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