专题1.1 空间向量及其线性运算-重难点题型精讲
1．空间向量的概念
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||.
(4)几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量称为单位向量
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a
共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量
2．空间向量的线性运算
空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝
减法 a－b＝－＝
数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0
运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
3．共线向量
(1)空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．
4．共面向量
(1)共面向量
如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
(2)向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
【题型1 空间向量概念的理解】
【方法点拨】
在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．
【例1】（2021秋 城关区校级期末）下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则与所在直线平行
B．向量、、共面即它们所在直线共面
C．空间任意两个向量共面
D．若，则存在唯一的实数λ，使
【变式1-1】（2021秋 西夏区校级月考）下列命题正确的是（ ）
A．若与共线，与共线，则与共线
B．向量共面就是它们所在的直线共面
C．零向量没有确定的方向
D．若，则存在唯一的实数λ使得
【变式1-2】下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．若向量平行，则所在直线平行
B．若，则的长度相等而方向相同或相反
C．若向量满足，则
D．相等向量其方向必相同
【变式1-3】（2021秋 福建期中）给出下列命题：
①若空间向量
②空间任意两个单位向量必相等
③若空间向量
④在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，必有
⑤向量（1，1，0）的模为；
其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型2 空间向量的加减运算】
【方法点拨】
①巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
【例2】（2021秋 东莞市期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2021秋 西城区校级期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2021秋 潞州区校级期末）如图，在空间四边形P﹣ABC中，（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2021秋 大兴区期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，（ ）
A． B． C． D．
【题型3 空间向量的线性运算】
【方法点拨】
①数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
②明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题．
【例3】（2021秋 金华期末）在四棱锥A﹣BCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2021秋 湖北期末）如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC延长线上一点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2021秋 光明区期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2022春 海陵区校级期中）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 空间向量的线性运算（求参数）】
【例4】（2022春 萧县校级月考）已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且xyz，2，，则x+y+z的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式4-1】（2021秋 重庆期中）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在棱BB1和DD1上，且BE，DF．若，则x+y+z＝（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．
【变式4-2】（2021秋 温州期末）如图的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M在BB1上，点N在DD1上，且BMBB1，D1ND1D，若，则x+y+z＝（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2021秋 香坊区校级期中）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是面BB1C1C的中心，若abc，给出以下结论：
①a+b+c＝2；
②b；
③a＝1；
④a＝2c；
⑤a＝b．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型5 向量共线的判定及应用】
【方法点拨】
①判断或证明两向量，(≠)共线，就是寻找实数λ，使＝λ成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．
②判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ；
【例5】（2022春 湾里区期中）已知非零向量，，且、、不共面．若，则x+y＝（ ）
A．﹣13 B．﹣5 C．8 D．13
【变式5-1】（2021秋 镜湖区校级期末）在四面体O﹣ABC中，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，若，则使G与M，N共线的x的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式5-2】（2022春 市中区校级月考）已知空间的一组基底，若与共线，则x+y的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．0
【变式5-3】（2021秋 邹城市期中）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，．试运用向量方法证明：E，F，B三点共线．
【题型6 向量共面的判定及应用】
【方法点拨】
①若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
②证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．
【例6】（2022春 成都期中）已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且2xy，若M，A，B，C四点共面，则x+y的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式6-1】（2022春 杨浦区校级期中）下列条件中，一定使空间四点P、A、B、C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（2022春 常州期中）对于空间任意一点O，若，则A，B，C，P四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．与O点位置有关
【变式6-3】（2022春 海陵区校级月考）设A，B，C，D为空间中的四个点，则“”是“A，B，C，D四点共面”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件专题1.1 空间向量及其线性运算-重难点题型精讲
1．空间向量的概念
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||.
(4)几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量称为单位向量
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a
共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量
2．空间向量的线性运算
空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝
减法 a－b＝－＝
数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0
运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
3．共线向量
(1)空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．
4．共面向量
(1)共面向量
如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
(2)向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
【题型1 空间向量概念的理解】
【方法点拨】
在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．
【例1】（2021秋 城关区校级期末）下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则与所在直线平行
B．向量、、共面即它们所在直线共面
C．空间任意两个向量共面
D．若，则存在唯一的实数λ，使
【解题思路】A．若，，则与所在直线平行或重合；
B．向量、、共面，则它们所在直线可能共面，也可能不共面；
C．根据共面向量基本定理即可判断出；
D．利用向量共线定理可知：若，则存在唯一的实数λ，使使或．
【解答过程】解：A．若，，则与所在直线平行或重合，因此不正确；
B．向量、、共面，则它们所在直线可能共面，也可能不共面，因此不正确；
C．根据共面向量基本定理可知：空间任意两个向量共面，正确；
D．若，则存在唯一的实数λ，使使或，因此不正确．
综上可知：只有C正确．
故选：C．
【变式1-1】（2021秋 西夏区校级月考）下列命题正确的是（ ）
A．若与共线，与共线，则与共线
B．向量共面就是它们所在的直线共面
C．零向量没有确定的方向
D．若，则存在唯一的实数λ使得
【解题思路】从向量共线反例判断A，共面向量定理判断B，零向量的定义判断C，共线向量定理判断D．推出正确命题选项．
【解答过程】解：若与共线，与共线，则与共线，如果，与不共线，A不正确．
向量共面就是它们所在的直线共面，这是不正确的，三个向量所在直线可以互为异面直线．
零向量没有确定的方向，满足零向量的定义．
若，则存在唯一的实数λ使得，不正确，因为，存在这一条件．
故选：C．
【变式1-2】下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．若向量平行，则所在直线平行
B．若，则的长度相等而方向相同或相反
C．若向量满足，则
D．相等向量其方向必相同
【解题思路】根据空间中任意两个向量必然共面，可判断A；根据相等向量和相反向量的定义，可判断B；根据向量不能比较大小，可判断C；根据相等向量的概念，可判断D．
【解答过程】解：对于A，若向量平行，则所在直线平行或重合，故A错误；
若，则，的长度相等而方向不存在确定关系，故B错误；
向量不能比较大小，故C错误；
相等向量其方向必相同，故D正确．
故选：D．
【变式1-3】（2021秋 福建期中）给出下列命题：
①若空间向量
②空间任意两个单位向量必相等
③若空间向量
④在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，必有
⑤向量（1，1，0）的模为；
其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】在①中，向量与方向不一定相同；在②中，空间任意两个单位向量的方向不一定相同；在③中，若空间向量，则向量与不一定相等；在④中，由向量相等的定义得必有；在⑤中，由模式的定义得向量（1，1，0）的模为．
【解答过程】解：在①中，若空间向量，向量与方向不一定相同，故①是假命题；
在②中，空间任意两个单位向量的模必相等，但方向不一定相同，故②是假命题；
在③中，若空间向量，则向量与不一定相等，故③是假命题；
在④中，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由向量相等的定义得必有，故④是真命题；
在⑤中，由模式的定义得向量（1，1，0）的模为，故⑤是真命题．
故选：C．
【题型2 空间向量的加减运算】
【方法点拨】
①巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
【例2】（2021秋 东莞市期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据已知条件，结合向量的加减法法则，即可求解．
【解答过程】解：∵ABCD﹣A1B1C1D1为平行四面体，
∴．
故选：B．
【变式2-1】（2021秋 西城区校级期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用空间向量的线性运算法则求解．
【解答过程】解：∵，
∴，
故选：C．
【变式2-2】（2021秋 潞州区校级期末）如图，在空间四边形P﹣ABC中，（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】直接利用向量的线性运算求出结果．
【解答过程】解：．
故选：A．
【变式2-3】（2021秋 大兴区期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据已知条件，结合向量的加减法法则，即可求解．
【解答过程】解：由题意可得，．
故选：C．
【题型3 空间向量的线性运算】
【方法点拨】
①数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
②明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题．
【例3】（2021秋 金华期末）在四棱锥A﹣BCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】直接利用向量的线性运算的应用求出结果．
【解答过程】解：在四棱锥A﹣BCD中，M，N分别为AB，CD的中点；
所以，，
故；
故选：A．
【变式3-1】（2021秋 湖北期末）如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC延长线上一点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．
【解答过程】解：∵，
∴
，
故选：A．
【变式3-2】（2021秋 光明区期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用向量加法法则能求出结果．
【解答过程】解：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点，，
则
．
故选：D．
【变式3-3】（2022春 海陵区校级期中）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意利用空间向量基本定理求解即可．
【解答过程】解：∵，，∴（），
∴，∴A错误；
∵，∴（），
所以，
故选：D．
【题型4 空间向量的线性运算（求参数）】
【例4】（2022春 萧县校级月考）已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且xyz，2，，则x+y+z的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【解题思路】由空间向量的线性运算直接计算即可．
【解答过程】解：由题可知，，
所以，
所以，所以，
故选：B．
【变式4-1】（2021秋 重庆期中）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在棱BB1和DD1上，且BE，DF．若，则x+y+z＝（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．
【解题思路】根据已知条件，结合空间向量及其线性运算法则，即可求解．
【解答过程】解：
，
，
即x＝﹣1，y＝1，z，
∴．
故选：D．
【变式4-2】（2021秋 温州期末）如图的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M在BB1上，点N在DD1上，且BMBB1，D1ND1D，若，则x+y+z＝（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用向量的三角形法则、向量的运算性质即可得出．
【解答过程】解：∵，，，
∴
，
∴x＝﹣1，y＝1，z，
∴x+y+z．
故选：B．
【变式4-3】（2021秋 香坊区校级期中）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是面BB1C1C的中心，若abc，给出以下结论：
①a+b+c＝2；
②b；
③a＝1；
④a＝2c；
⑤a＝b．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据空间向量的线性运算表示向量，可得各数值，逐一判断即可．
【解答过程】解：如图所示：
，
即a＝1，b，c，
所以a+b+c＝2，①正确，
b，②正确，
a＝1，③正确，
a＝2c，④正确，
a＝2b，⑤错误，
故选：D．
【题型5 向量共线的判定及应用】
【方法点拨】
①判断或证明两向量，(≠)共线，就是寻找实数λ，使＝λ成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．
②判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ；
【例5】（2022春 湾里区期中）已知非零向量，，且、、不共面．若，则x+y＝（ ）
A．﹣13 B．﹣5 C．8 D．13
【解题思路】根据向量共线可得，从而可解方程组求出x，y，再求出x+y即可．
【解答过程】解：∵，，不共面，故，，可看作空间向量的一组基底，
∵，故存在λ≠0，使得，
即（x+1）82y3λ2λ4λ，
∴，解得：，
则x+y＝﹣5．
故选：B．
【变式5-1】（2021秋 镜湖区校级期末）在四面体O﹣ABC中，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，若，则使G与M，N共线的x的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【解题思路】由已知可得，．假设G与M，N共线，则存在实数λ使得，与比较可得．
【解答过程】解：，．
假设G与M，N共线，则存在实数λ使得，
与比较可得：，，
解得x＝1．
故选：A．
【变式5-2】（2022春 市中区校级月考）已知空间的一组基底，若与共线，则x+y的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．0
【解题思路】根据与共线可得出，再根据为基底，从而根据空间向量基本定理可得出x+y的值．
【解答过程】解：因为与共线，空间的一组基底，
所以，
所以x+y＝0．
故选：D．
【变式5-3】（2021秋 邹城市期中）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，．试运用向量方法证明：E，F，B三点共线．
【解题思路】法一：分别求出，，根据共线向量的定义判断即可；
法二：求出，结合EF∩FB＝F，从而证明E，F，B三点共线．
【解答过程】证明：【方法一】在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，
连接EF，FB，A1B．因为，，
所以
；
，
显然，，所以，
又EF∩FB＝F，所以E，F，B三点共线．
【方法二】证明：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，
连接EF，FB．由题意，，，
易得，
所以．又EF∩FB＝F，故E，F，B三点共线．
【题型6 向量共面的判定及应用】
【方法点拨】
①若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
②证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．
【例6】（2022春 成都期中）已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且2xy，若M，A，B，C四点共面，则x+y的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】由共面向量定理能求出x+y．
【解答过程】解：M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，
且2xy，M，A，B，C四点共面，
则由共面向量定理得：﹣2+x+y＝1．解得x+y＝3．
故选：D．
【变式6-1】（2022春 杨浦区校级期中）下列条件中，一定使空间四点P、A、B、C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】要使空间中的P、A、B、C四点共面，只需满足，且x+y+z＝1即可．
【解答过程】解：对于A选项，，（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）＝﹣3≠1，所以点P与A、B、C三点不共面；
对于B选项，，1+1+1＝3≠1，所以点P与A、B、C三点不共面；
对于C选项，，，所以点P与A、B、C三点不共面；
对于D选项，，，所以点P与A、B、C三点共面．
故选：D．
【变式6-2】（2022春 常州期中）对于空间任意一点O，若，则A，B，C，P四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．与O点位置有关
【解题思路】由共面向量基本定理、空间向量基本定理即可得出．
【解答过程】解：∵，可得1，
∴四点P、A、B、C必共面．
故选：B．
【变式6-3】（2022春 海陵区校级月考）设A，B，C，D为空间中的四个点，则“”是“A，B，C，D四点共面”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据空间向量共面定理，结合充分条件，必要条件的定义判断即可．
【解答过程】解：A，B，C，D为空间中的四个点，
①当时，则A，B，C，D四点共面，
②当A，B，C，D四点中有三点共线时，满足A，B，C，D四点共面，但不满足，
∴是A，B，C，D四点共面的充分不必要条件，
故选：A．
