专题1.2 空间向量及其线性运算-重难点题型检测
【人教A版2019选择性必修第一册】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）已知为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（ ）
A．与共面的单位向量有无数个
B．与垂直的单位向量有无数个
C．与平行的单位向量只有一个
D．与同向的单位向量只有一个
2．（3分）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，化简下列各式的结果为的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2021秋 湖北期末）若空间四点M、A、B、C共面且，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
4．（3分）（2021秋 襄阳期末）如图所示，在三棱锥D﹣ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2021秋 福州期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M．设，则下列向量与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2021秋 湖北期末）如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC延长线上一点，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出下列各式：
①（）．
②（）．
③（）．
④（）．
其中运算结果为向量的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（3分）（2021秋 铁东区校级期末）已知{，，}是空间的一个基底，若，，若，则（ ）
A．﹣3 B． C．3 D．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022春 灌云县校级月考）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）（2022春 宁德期中）如图正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，则下列向量相等的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
11．（4分）（2021秋 重庆期末）若向量{，，}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，，2 B．，，
C．，， D．2，，
12．（4分）（2021秋 尤溪县校级月考）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC1的中点为O，则下列互为相反向量的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2021秋 荔湾区校级期中）已知三棱锥O﹣ABC，其中D是线段BC的中点，如图所示，用基向量，，表示向量的表达式为 ．
14．（4分）（2021秋 民勤县校级期末）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC，C1D1的中点，若abc，则a﹣b﹣c＝ ．
15．（4分）（2022春 天宁区校级期中）设，是两个不共线的空间向量，若2，，，且A，C，D三点共线，则实数k的值为 ．
16．（4分）（2022春 张掖期中）对于空间任意一点O，以下条件可以判定点P、A、B共线的是 （填序号）．
①；
②5；
③；
④．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021秋 江岸区校级月考）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是BB1中点，化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）．
18．（6分）（2021秋 邹城市期中）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，．试运用向量方法证明：E，F，B三点共线．
19．（8分）（2021秋 尤溪县校级月考）如图，在空间四边形SABC中，AC，BS为其对角线，O为△ABC的重心．
（1）求证：；
（2）化简：．
20．（8分）（2021秋 平邑县校级月考）如图所示，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足k，k（0≤k≤1），判断向量是否与向量，共面．
21．（8分）（2021秋 侯马市校级期中）如图所示，已知几何体ABCD﹣A1B1C1D1是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C1NC1B，设xyz，试求x，y，z的值．
22．（8分）（2021秋 龙华区校级月考）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E在A1D1上，且，
F在对角线A1C上，且．若，，．
（1）用，，表示；
（2）求证：E，F，B三点共线．专题1.2 空间向量及其线性运算-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）已知为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（ ）
A．与共面的单位向量有无数个
B．与垂直的单位向量有无数个
C．与平行的单位向量只有一个
D．与同向的单位向量只有一个
【解题思路】利用向量的定义，有大小，有方向两个方面进行判断，即可确定每个选项的正确性．
【解答过程】解：与共面的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故A正确；
与垂直的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故B正确；
与平行的单位向量，方向有两个方向，故不唯一，故C错误；
与同向的单位向量，方向唯一，故只有一个，故D正确．
故选：C．
2．（3分）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，化简下列各式的结果为的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】可先画出正方体，根据图形及相等向量、向量加法的集合意义即可化简每个选项，从而得出正确答案．
【解答过程】解：如图，
A.；
B.；
C.；
D.，由图形看出显然；
∴B正确．
故选：B．
3．（3分）（2021秋 湖北期末）若空间四点M、A、B、C共面且，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【解题思路】化简可得，由四点共面可知系数和，计算即可得解．
【解答过程】解：依题意，
由四点共面，则系数和，则k＝6．
故选：D．
4．（3分）（2021秋 襄阳期末）如图所示，在三棱锥D﹣ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】直接利用向量的线性运算的应用求出结果．
【解答过程】解：在三棱锥D﹣ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，则，；
所以．
故选：D．
5．（3分）（2021秋 福州期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M．设，则下列向量与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用空间向量的线性运算求解即可．
【解答过程】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，
∴（），
故选：C．
6．（3分）（2021秋 湖北期末）如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC延长线上一点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．
【解答过程】解：∵，
∴
，
故选：A．
7．（3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出下列各式：
①（）．
②（）．
③（）．
④（）．
其中运算结果为向量的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】结合图形，对每一个算式进行判断即可．
【解答过程】解：∵①（）；
②（）
③（）（）；
④（）．
∴以上4个算式运算的结果都是向量．
故选：D．
8．（3分）（2021秋 铁东区校级期末）已知{，，}是空间的一个基底，若，，若，则（ ）
A．﹣3 B． C．3 D．
【解题思路】由，可得λ，根据空间向量基本定理列方程组可求得x，y的值，从而可得结论．
【解答过程】解：，
（x+3）（x﹣y）（3﹣y），
因为，所以λ，
即，解得，
所以3．
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022春 灌云县校级月考）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用向量的线性表示分别求出各选项中的向量即可判断．
【解答过程】解：，故A不正确；
，故B正确；
，故C不正确；
，故D正确．
故选：BD．
10．（4分）（2022春 宁德期中）如图正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，则下列向量相等的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【解题思路】根据相等向量的定义，结合正四棱柱的结构特征依次判断选项即可．
【解答过程】解：由正四棱柱可知，
，但与方向相反，故A不符题意；
，但与方向不同，故B不符题意；
，且与方向相同，故C符题意；
D：，且与方向相同，故D符题意．
故选：CD．
11．（4分）（2021秋 重庆期末）若向量{，，}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，，2 B．，，
C．，， D．2，，
【解题思路】直接利用向量的基底和向量的线性运算的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答过程】解：对于A：由于向量{，，}构成空间的一个基底，且满足，故A正确；
对于B：由于，故B正确；
对于C：由于，故C错误；
对于D：由于，故D正确．
故选：ABD．
12．（4分）（2021秋 尤溪县校级月考）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC1的中点为O，则下列互为相反向量的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【解题思路】可画出图形，根据图形即可判断每个选项的两向量是否互为相反向量．
【解答过程】解：如图，
根据图形可看出：选项A，D的两向量互为相反向量；，，∴选项B的两向量不是相反向量；，和互为相反向量，∴选项C的两向量互为相反向量．
故选：ACD．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2021秋 荔湾区校级期中）已知三棱锥O﹣ABC，其中D是线段BC的中点，如图所示，用基向量，，表示向量的表达式为 ．
【解题思路】根据向量的线性运算求出向量的表达式即可．
【解答过程】解：结合图像得：
（）
，
故答案为：．
14．（4分）（2021秋 民勤县校级期末）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC，C1D1的中点，若abc，则a﹣b﹣c＝ ﹣2
【解题思路】利用向量加法公式直接求解．
【解答过程】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC，C1D1的中点，
，
∵abc，
∴a，b，c＝1，
∴a﹣b﹣c＝﹣2．
故答案为：﹣2．
15．（4分）（2022春 天宁区校级期中）设，是两个不共线的空间向量，若2，，，且A，C，D三点共线，则实数k的值为 ．
【解题思路】先由求出，在根据A，C，D三点共线，得到，从而得到2﹣5k＝0，解出k即可．
【解答过程】解：∵2，，，
∴，
又∵A，C，D三点共线，∴，
∴2﹣5k＝0，∴k，
故答案为：．
16．（4分）（2022春 张掖期中）对于空间任意一点O，以下条件可以判定点P、A、B共线的是 ①③ （填序号）．
①；
②5；
③；
④．
【解题思路】由空间共线向量定理即可求解．
【解答过程】解：对于①，∵（t≠0），
∴（t≠0），∴（t≠0），
∴点P、A、B共线，故①正确；
对于②，∵5，∴5，∴共线，
∴P、O、B共线，点P、A、B不一定共线，故②错误；
对于③，∵（t≠0），∴（t≠0），
∴（t≠0），∴共线，∴P、A、B共线，故③正确；
对于④，∵，∴，
∴，∴，
∴，∴BP，OA平行或重合，故BP、OA平行时，点P、A、B不共线，故④错误．
故选：①③．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021秋 江岸区校级月考）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是BB1中点，化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）．
【解题思路】直接利用相等向量以及向量的加法和减法进行转化即可．
【解答过程】解：（1）；
（2）；
（3）．
18．（6分）（2021秋 邹城市期中）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，．试运用向量方法证明：E，F，B三点共线．
【解题思路】法一：分别求出，，根据共线向量的定义判断即可；
法二：求出，结合EF∩FB＝F，从而证明E，F，B三点共线．
【解答过程】证明：【方法一】在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，
连接EF，FB，A1B．因为，，
所以
；
，
显然，，所以，
又EF∩FB＝F，所以E，F，B三点共线．
【方法二】证明：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，
连接EF，FB．由题意，，，
易得，
所以．又EF∩FB＝F，故E，F，B三点共线．
19．（8分）（2021秋 尤溪县校级月考）如图，在空间四边形SABC中，AC，BS为其对角线，O为△ABC的重心．
（1）求证：；
（2）化简：．
【解题思路】（1）根据O为△ABC的重心，用、、表示、和，求和即可．
（2）根据空间向量的线性表示与运算法则，计算即可．
【解答过程】（1）证明：因为O为△ABC的重心，所以（）（），...①
同理，...②
，...③
所以①+②+③得．
（2）解：因为，
所以
．
20．（8分）（2021秋 平邑县校级月考）如图所示，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足k，k（0≤k≤1），判断向量是否与向量，共面．
【解题思路】利用向量的线性运算即可判断向量是否与向量，共面．
【解答过程】解：∵k（）＝（1﹣k）k．
kk（），
∴（1﹣k），
∴向量与向量，共面．
21．（8分）（2021秋 侯马市校级期中）如图所示，已知几何体ABCD﹣A1B1C1D1是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C1NC1B，设xyz，试求x，y，z的值．
【解题思路】直接利用向量的加法和线性运算的应用求出结果．
【解答过程】解：设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C1NC1B，
根据向量的运算：，
故x．
22．（8分）（2021秋 龙华区校级月考）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E在A1D1上，且，
F在对角线A1C上，且．若，，．
（1）用，，表示；
（2）求证：E，F，B三点共线．
【解题思路】（1）根据平面向量的基本定理，表示出即可．
（2）根据题意，应用平面向量的基本定理即可．
【解答过程】解：（1）
，
证明：（2）设，
∵，
∴，
∴，
，
∴
，
又∵由（1）知，
∴，且有公共点E，
所以E，F，B三点共线．
