专题1.3 空间向量的数量积运算-重难点题型精讲
1．空间向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b.
2．空间向量的数量积
定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
性质 ①a⊥b a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2
运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
3．向量的投影
(1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
(2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
【题型1 数量积的计算】
求空间向量数量积的步骤：
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入求解．
【例1】（2021秋 温州期末）已知四面体ABCD，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【解题思路】先得到四面体ABCD为正四面体，再利用空间向量的数量积运算和线性运算求解即可．
【解答过程】解：∵四面体ABCD，所有棱长均为2，
∴四面体ABCD为正四面体，
∵E，F分别为棱AB，CD的中点，
∴（） （）
42×1
＝﹣2．
故选：D．
【变式1-1】（2021秋 沈河区校级期末）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意，四面体是正四面体，每个三角形是等边三角形，再利用向量的数量积的定义解答即可．
【解答过程】解：∵空间四边形ABCD的每条边及AC、BD的长都为a，
∴四面体是正四面体，所以每个面都是等边三角形，
∵点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，
∴ （）
a2×（）a2a2a2．
故选：D．
【变式1-2】（2021秋 南海区校级月考）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，，则的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【解题思路】根据已知条件，结合正方体的性质，以及向量数量积的运算规律，即可求解．
【解答过程】解：由正方体的性质可得，，，
故，，
∵，，，
∴．
故选：B．
【变式1-3】（2022春 南明区校级月考）已知MN是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，则的最大值为（ ）
A．4 B．12 C．8 D．6
【解题思路】利用空间向量的线性运算和数量积运算得到 4，再利用正方体的性质求解．
【解答过程】解：设正方体内切球的球心为G，则GM＝GN＝2，
（） （） （） ，
因为MN是正方体内切球的一条直径，
所以， 4，
所以 4，
又点P在正方体表面上运动，所以当P为正方体顶点时，||最大，且最大值为，
所以 4≤8，所以 最大值为8，
故选：C．
【题型2 向量的夹角及其应用】
求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．
【例2】（2021秋 定远县期末）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，设，，，则，等于（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【解题思路】由，得到，是∠DBA′的补角，由A′D＝A′B＝BD，得∠DBA′＝60°，由此能求出，．
【解答过程】解：∵正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，
设，，，，
∴，是∠DBA′的补角，
∵A′D＝A′B＝BD，∴∠DBA′＝60°，
∴，120°．
故选：D．
【变式2-1】（2021秋 吉安期末）已知空间中四个不共面的点O、A、B、C，若||＝||，且cos，cos，，则sin，的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【解题思路】根据cos，cos，和||＝||可得 ．故而 （）＝0，得出．
【解答过程】解：∵cos，cos，，∴，
∵||＝||，∴ ，∴ （）＝0，∴．
∴sin，sin1．
故选：A．
【变式2-2】（2020秋 洪泽县校级期末）空间四边形OABC中，OB＝6，OC＝4，BC＝4，，则cos的值是 ．
【解题思路】利用OB＝6，OC＝4，BC＝4，，以及两个向量的数量积的定义化简cos的值．
【解答过程】解：∵OB＝6，OC＝4，BC＝4，，
∴cos，
故答案为：.
【变式2-3】（2021秋 玉林期末）如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝2，EF＝4，CA＝CB＝3，若7，则与的夹角的余弦值等于 ．
【解题思路】推导出9＝（）229+4﹣2，从而2，由7，得 （）＝6，进而2，由此能求出与的夹角的余弦值．
【解答过程】解：由题意得：
9＝（）229+4﹣2，
∴2，
∵7，
∴ （）
＝6
＝6，
∴2，∴4，
∴与的夹角的余弦值为cos．
故答案为：．
【题型3 利用数量积求向量的模】
求线段长度(距离)：
①取此线段对应的向量；
②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
③利用＝，计算出，即得所求长度(距离)．
【例3】（2020秋 秦皇岛期末）在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为（ ）
A．3 B． C．6 D．
【解题思路】由，可得
222，即可得出．
【解答过程】解：，
则222
＝1+1+1+3×2×1×1×cos60°
＝6．
∴．
故选：D．
【变式3-1】（2022春 宝山区校级期中）如图，在大小为45°的二面角A﹣EF﹣D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与D两点间的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
【解题思路】由，利用数量积运算性质展开即可得出．
【解答过程】解：∵四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，∴0，
又大小为45°的二面角A﹣EF﹣D中，∴ 1×1×cos（180°﹣45°）．
∵，
∴3，
∴．
故选：D．
【变式3-2】（2021秋 郑州期末）在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为（ ）
A．3 B． C．6 D．
【解题思路】由，可得222，即可得出．
【解答过程】解：，
则222
＝1+1+1+3×2×1×1×cos60°
＝6．
∴．
故选：D．
【变式3-3】如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3、5，M、N分别在上、下底面圆周上，且，120°，则||等于（ ）
A． B．5 C． D．5
【解题思路】用，，表示出，计算再开方即可得出答案．
【解答过程】解：∵O2M⊥O1O2，O1N⊥O1O2，
∴ 0，0，
又3×5×cos60°．
∵，
∴2＝（）2
222+2 229+16+25+15＝65，
∴||．
故选：A．
【题型4 向量垂直的应用】
【例4】（2021秋 大连月考）已知a，b是异面直线，，分别为取自直线a，b上的单位向量，且23，k4，⊥，则实数k的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C．3 D．﹣3
【解题思路】，分别为取自直线a，b上的单位向量，且⊥，则||＝||＝1， 0，运用向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，解关于k的方程，即可得到．
【解答过程】解：，分别为取自直线a，b上的单位向量，且⊥，
则||＝||＝1， 0，
2k12（3k﹣8）0，
即为2k﹣12＝0，
解得k＝6．
故选：B．
【变式4-1】（2022 浦东新区校级模拟）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可证AD1⊥B1C，选项B，当四边形ABCD为正方形时，可证AC⊥BD1，选项C，由长方体的性质可证AB⊥AD1，分别可得数量积为0，选项D，可推在△BCD1中，∠BCD1为直角，可判BC与BD1不可能垂直，可得结论．
【解答过程】解：选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此时有0；
选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时有0；
选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此时必有0；
选项D，由长方体的性质可得BC⊥平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1为直角三角形，∠BCD1为直角，
故BC与BD1不可能垂直，即0．
故选：D．
【变式4-2】若A，B，C，D是空间中不共面的四点，且满足 0，则△BCD是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定
【解题思路】由题意知，AB⊥AC，AC⊥AD，AB⊥AD，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，由勾股定理可求BC、CD、BD的长度，在△BCD中，由余弦定理得B，C，D三个角的余弦值都是正数，可得B，C，D都是锐角，得到△BCD的形状．
【解答过程】解：∵ 0，∴AB⊥AC，AC⊥AD，AB⊥AD，
设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则BC，CD，BD，
△BCD中，由余弦定理得cosB0，
同理可得，cosC＞0，cosD＞0，
∴内角B，C，D都是锐角，即△BCD是锐角三角形．
故选：B．
【变式4-3】（2021秋 扶余县校级期中）如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【解题思路】根据题意，若空间非零向量的数量积为0，则这两个向量必然互相垂直．据此依次分析选项，判定所给的向量是否垂直，即可得答案．
【解答过程】解：根据题意，依次分析选项：
对于A、PC与BD不一定垂直，即向量、不一定垂直，则向量、的数量积不一定为0，
对于B、根据题意，有PA⊥平面ABCD，则PA⊥AD，又由AD⊥AB，则有AD⊥平面PAB，进而有AD⊥PB，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0，
对于C、根据题意，有PA⊥平面ABCD，则PA⊥AB，又由AD⊥AB，则有AB⊥平面PAD，进而有AB⊥PD，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0，
对于D、根据题意，有PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0，
故选：A．专题1.3 空间向量的数量积运算-重难点题型精讲
1．空间向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b.
2．空间向量的数量积
定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
性质 ①a⊥b a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2
运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
3．向量的投影
(1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
(2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
【题型1 数量积的计算】
求空间向量数量积的步骤：
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入求解．
【例1】（2021秋 温州期末）已知四面体ABCD，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【变式1-1】（2021秋 沈河区校级期末）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2021秋 南海区校级月考）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，，则的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【变式1-3】（2022春 南明区校级月考）已知MN是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，则的最大值为（ ）
A．4 B．12 C．8 D．6
【题型2 向量的夹角及其应用】
求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．
【例2】（2021秋 定远县期末）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，设，，，则，等于（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【变式2-1】（2021秋 吉安期末）已知空间中四个不共面的点O、A、B、C，若||＝||，且cos，cos，，则sin，的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式2-2】（2020秋 洪泽县校级期末）空间四边形OABC中，OB＝6，OC＝4，BC＝4，，则cos的值是 ．
【变式2-3】（2021秋 玉林期末）如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝2，EF＝4，CA＝CB＝3，若7，则与的夹角的余弦值等于 ．
【题型3 利用数量积求向量的模】
求线段长度(距离)：
①取此线段对应的向量；
②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
③利用＝，计算出，即得所求长度(距离)．
【例3】（2020秋 秦皇岛期末）在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为（ ）
A．3 B． C．6 D．
【变式3-1】（2022春 宝山区校级期中）如图，在大小为45°的二面角A﹣EF﹣D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与D两点间的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
【变式3-2】（2021秋 郑州期末）在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为（ ）
A．3 B． C．6 D．
【变式3-3】如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3、5，M、N分别在上、下底面圆周上，且，120°，则||等于（ ）
A． B．5 C． D．5
【题型4 向量垂直的应用】
【例4】（2021秋 大连月考）已知a，b是异面直线，，分别为取自直线a，b上的单位向量，且23，k4，⊥，则实数k的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C．3 D．﹣3
【变式4-1】（2022 浦东新区校级模拟）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】若A，B，C，D是空间中不共面的四点，且满足 0，则△BCD是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定
【变式4-3】（2021秋 扶余县校级期中）如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
