专题1.4 空间向量的数量积运算-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）如图，在空间四边形ABCD中， 等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．不确定
【解题思路】用、和作基向量，表示出向量的数量积即可得出结论．
【解答过程】解：空间四边形ABCD中，
（） （） （）
＝0．
故选：C．
2．（3分）若A，B，C，D是空间中不共面的四点，且满足 0，则△BCD是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定
【解题思路】由题意知，AB⊥AC，AC⊥AD，AB⊥AD，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，由勾股定理可求BC、CD、BD的长度，在△BCD中，由余弦定理得B，C，D三个角的余弦值都是正数，可得B，C，D都是锐角，得到△BCD的形状．
【解答过程】解：∵ 0，∴AB⊥AC，AC⊥AD，AB⊥AD，
设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则BC，CD，BD，
△BCD中，由余弦定理得cosB0，
同理可得，cosC＞0，cosD＞0，
∴内角B，C，D都是锐角，即△BCD是锐角三角形．
故选：B．
3．（3分）（2021秋 宣城期中）我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，P为B1C1的中点，则 （ ）
A．6 B．﹣6 C．2 D．﹣2
【解题思路】由条件得AB⊥AC，AA1⊥AB，AA1⊥AC，将，用向量，，表示，代入数量积的公式进行运算可得结果．
【解答过程】解：根据堑堵的几何性质可知，AB⊥AC，AA1⊥AB，AA1⊥AC，
因为，（），
所以（） [（）]2+4＝6，
故选：A．
4．（3分）已知单位向量与x，y轴的夹角分别为60度，60度，与z轴的夹角为钝角，向量2j﹣k，则（ ）
A． B． C．1 D．1
【解题思路】设向量与z轴正向的夹角为α，由cos260°+cos260°+cos2α＝1，求出α的大小，再利用数量积运算求解即可．
【解答过程】解：设向量与z轴正向的夹角为α，
∵向量与x轴正向的夹角为60°，与y轴正向的夹角为60°，
∴cos260°+cos260°+cos2α＝1，
解得cos2α＝1，
∵与z轴的夹角为钝角，∴cosα，∴α＝135°，
∵2j﹣k，
则（2j﹣k）2 2×1×11×1×（）＝1，
故选：C．
5．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，体对角线AC1与BD1相交于点O，则有（ ）
A． B．
C． D． a2
【解题思路】利用空间向量基本定理、空间向量数量积的运算律以及向量垂直的充要条件，分别求解四个选项中的数量积，即可得到答案．
【解答过程】解：由题意，，故选项A错误；
a2，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D错误．
故选：C．
6．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有下列命题：①（）2＝32；② （）＝0；③与的夹角为60°，其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】根据空间向量的垂直和异面直线的所成的角即可求出．
【解答过程】解：对于①（）2＝（）2+（）2+（）2+2 2 2 32，故正确，
对于② （） 0，故②正确，
对于③∵∥，AD1，AC，D1C，分别为面的对角线，∴∠AD1C＝60°，∴与的夹角为120°，故错误，
故选：C．
7．（3分）已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】作出如图的图形，从图形上把各个向量对应的有向线段表示出来，对四个选项进行判别．
【解答过程】解：作出如图的形，
对于选项A，等式左边，由已知条件知⊥，由平行四边形法则知
||＝||故A正确．
对于选项B，由对选项A的判断，||而，故B正确．
对于选项C，由于三个线段的长度未知，不确定，故C不一定正确．
对于D选项，由线面垂直可得三组向量之间都是垂直的关系，故它们的内积都是0，D正确．
综上知，C不一定正确，故应选C．
8．（3分）（2021秋 北辰区期中）在四面体P﹣ABC中给出以下四个结论，则说法错误的是（ ）
A．若，则可知3
B．若Q为△ABC的重心，则
C．若 0， 0，则 0
D．若四面体P﹣ABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则||＝1
【解题思路】根据向量的线性运算与数量积的公式，逐一对选项进行计算即可．
【解答过程】解：对于A，，则32，
整理得22，
所以2，
故2，
所以3，故A正确；
对于B，由于Q为△ABC的重心，
所以，
所以33，
整理得，故B正确；
对于C，0，0，
则0，
所以 （）＝0，
整理得（）0，
所以0，
转换为0，
整理得0，故C正确；
对于D，由题可知，四面体各个面均为正三角形，
则||＝||＝||＝2，
，，两两之间的夹角均为60°，
又（），
由于2，
所以||，故D错误，
故选：D．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021秋 益阳期末）已知四面体ABCD的所有棱长都是2，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意，四面体是正四面体，每个三角形都是等边三角形，利用向量的数量积的定义解答．
【解答过程】解：由题意，空间四边形ABCD的每条边及AC、BD的长都为2，四面体时正四面体，所以每个面都是等边三角形，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，所以
||||cos60°＝2，故A正确；
（） 0，故B错误；
（） 1 1﹣1＝0，故C正确；
（） 11，故D正确．
故选：ACD．
10．（4分）（2021秋 武昌区校级月考）已知空间四边形ABCD的四条边和对角线长都为a，且E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列四个数量积中结果为﹣a2的式子的有（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据已知条件，结合平面向量数量积的性质及运算，即可求解．
【解答过程】解：对于A，2a acos120°＝﹣a2，故A正确，
对于B，2a acos60°＝a2，故B错误，
对于C，，故C正确，
对于D，，故D错误．
故选：AC．
11．（4分）（2020秋 新泰市校级期中）定义空间两个向量的一种运算 || ||sin，，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）
A．
B．λ（ ）＝（λ）
C．（） （ ）+（ ）
D．若（x1，y1），（x2，y2），则 |x1y2﹣x2y1|
【解题思路】A和B需要根据定义列出左边和右边的式子，再验证两边是否恒成立；C由定义验证若，且λ＞0，结论成立，从而得到原结论不成立；D根据数量积求出cos，，再由平方关系求出sin，的值，代入定义进行化简验证即可．
【解答过程】解：对于A， || ||sin，， || ||sin，，
故 恒成立；
对于B：λ（ ）＝λ（|| ||sin，），（λ） |λ||| ||sin＜λ，，
故λ（ ）＝（λ） 不会恒成立；
对于C，若，（） （1+|λ|）|| ||sin，，
（ ）+（ ）＝|| ||sin，|| ||sin，（1+|λ|）|| ||sin，，
显然（） （ ）+（ ）不会恒成立；
对于D，cos，，sin，，
即有 || || ||
|x1y2﹣x2y1|．
则 |x1y2﹣x2y1|恒成立．
故选：AD．
12．（4分）（2021秋 江岸区校级月考）已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与向量的夹角是60°
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为
【解题思路】本题考查的是用向量的知识和方法研究正方体中的线线位置关系及夹角与体积．用到向量的加法、减法、夹角及向量的数量积，研究了正方体中的线线平行、垂直，异面直线的夹角及正方体的对角线的计算、体积的计算．
【解答过程】解：由向量的加法得到：，∵，∴，所以A正确；
∵，AB1⊥A1C，∴，故B正确；
∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C不正确；
∵AB⊥AA1，∴，故0，因此D不正确．
故选：AB．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2021秋 海淀区期末）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， 1 ．
【解题思路】直接把向量转化再结合数量积即可求解结论．
【解答过程】解：∵在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
AB⊥BC，AB⊥CC1，
如图：
故（） 1，
故答案为：1．
14．（4分）（2021秋 临沂期中）已知四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则等于 1 ．
【解题思路】求出EG、EF、GF的长，从而求出∠EGF＝45°，再由|| || cos45°，能求出结果．
【解答过程】解：∵四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，
∴GF∥AC，GF1，EF∥BD，EF1，AG＝BG，
GE，
∴cos∠EGF，∴∠EGF＝45°，
∴|| || cos45°1．
故答案为：1．
15．（4分）（2021秋 金山区期末）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i＝1，2，…，8）是上底面上其余的八个点，则集合{y|y ，i＝1，2，3，…，8}中的元素个数为 1 ．
【解题思路】根据向量的垂直和向量的数量积即可求出．
【解答过程】解：，
则 （）＝||2 ，
∵⊥，
∴ 0，
∴ ||2＝1，
∴ （i＝1，2，…，8）的不同值的个数为1，
即集合{y|y ，i＝1，2，3，…，8}中的元素个数为1．
故答案为：1．
16．（4分）（2020秋 锦州期末）点P是棱长为2的正四面体表面上的动点，MN是该四面体内切球的一条直径，则 的最大值是 8 ．
【解题思路】点P位于正四面体ABCD的顶点时取得最大值，求出即可．
【解答过程】解：如图所示：
设正四面体ABCD的棱长为2，
设其内切球球心为点O，连接AO并延长交底面BCD于点E，
则E为正三角形BCD的中点，且AE⊥平面BCD，
连接BE并延长交CD于点F，则F为CD的中点，且BF⊥CD，
∴BF3，∴BEBF＝2，
∵AE⊥平面BCD，BE 平面BCD，
∴AE⊥BE，∴AE4，
∴S△BCD CD BF＝6，
∴正四面体ABCD的体积VS△BCD AE＝8，
设球O的半径为R，
则V＝VO﹣BCD+VO﹣ACD+VO﹣ABD+VO﹣ABC＝4VO﹣BCD＝4S△BCD R，
∴R1，∴AO＝AE﹣OE＝3，
∵，，
∴ （）（）2﹣1，
当最大，即点P位于正四面体ABCD的顶点时，则 取最大值，
此时， 2﹣1≤AO2﹣1＝9﹣1＝8．
故答案为：8．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021秋 太原期末）如图，三棱锥O﹣ABC各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且λ，记，，．
（1）用向量，，表示向量；
（2）求DE的最小值．
【解题思路】（1）根据题意，根据题意，连接OD，CD，由空间向量的运算方法可得λ（），即可得答案；
（2）根据题意，由正三棱锥的几何结构分析可得|OD|，且cos∠DOE，由空间向量的运算法则可得||2＝||2，变形可得||2＝λ2﹣λ，由二次函数的性质分析可得答案．
【解答过程】解：（1）根据题意，连接OD，CD，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，
且λ，记，，．
∴λ（）＝λ，
（2）根据题意，点D是棱AB的中点，则|OD|，且cos∠DOE，
||2＝||22﹣2 2＝（λ）2﹣2×λ×1cos∠DOEλ2﹣λ（λ）2，
则当λ时，||2取得最小值，
则||的最小值为．
18．（6分）如图，在平行六面体ABCD﹣A'B'C'D′中，AB＝4，AD＝3，AA'＝5，∠BAD＝90°，∠BAA'＝∠DAA′＝60°．求：
（1）；
（2）AB′的长；
（3）AC′的长．
【解题思路】（1）利用数量积的定义得．（2）因为，所以，代入数据求解；
（3）因为，所以，代入数据求解．
【解答过程】解：（1）．
（2）因为，所以．
（3）因为，，
所以．
19．（8分）（2021秋 惠州期末）如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，设，，．
（1）用，，表示，并求；
（2）求．
【解题思路】（1）利用向量的数量积运算，向量的求模公式求解即可．
（2）利用向量数量积运算求解即可．
【解答过程】解：（1）∵，，，
∴，
∵底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，
∴
．
（2） （） 22×10．
20．（8分）（2021秋 黑龙江期中）如图，四棱锥P﹣ABCD的各棱长都为a．
（1）用向量法证明BD⊥PC；
（2）求||的值．
【解题思路】（1）根据题意得出四边形ABCD是菱形，⊥；△PBD是等腰三角形，⊥；
利用平面向量的数量积求出⊥0，即证BD⊥PC；
（2）根据题意，利用Rt△POC，求出，的大小，再求模长||．
【解答过程】解：（1）证明：设AC、BD交于点O，连接PO，如图所示；
四棱锥P﹣ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝a，
∴四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，且OA＝OC；
即⊥， 0；
又PB＝PD＝a，
∴PO⊥BD，
即⊥， 0，；
∴ （）＝0，
即 0，
∴⊥，即BD⊥PC；
（2）根据题意，四棱锥P﹣ABCD是棱长相等的正四棱锥，且AB＝a，
根据对称性知，顶点P在底面的射影是菱形ABCD的中心O，
所以菱形ABCD是正方形；
所以在Rt△POC中，PC＝a，OCa，
所以OP＝OCa，
所以∠ACP，，，
所以2 2a×a×cosa2＝5a2；
所以||a．
21．（8分）（2021秋 武汉期中）如图，在三棱锥P﹣ABC中，点D为棱BC上一点，且CD＝2BD，点M为线段AD的中点．
（1）以{、、}为一组基底表示向量；
（2）若AB＝AC＝3，AP＝4，∠BAC＝∠PAC＝60°，求 ．
【解题思路】（1）直接利用向量的数乘运算及加减运算求解；
（2）由向量的单项式乘多项式及向量的数量积运算求解．
【解答过程】解：（1）∵M为线段AD的中点，∴，
∵CD＝2BD，∴，
∴
；
（2）
．
22．（8分）（2021秋 福田区校级期中）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，∠BAA1＝∠DAA1，AC1．
（1）求侧棱AA1的长；
（2）M，N分别为D1C1，C1B1的中点，求及两异面直线AC1和MN的夹角．
【解题思路】（1）由平方，再利用数量积的运算性质展开即可得出．
（2）由，（），再利用数量积的运算性质展开即可得出．
【解答过程】解：（1）设侧棱AA1＝x，
∵在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，
∴1，x2， 0， ， ，
又∵，
∴2＝（）22 2 2 26，
∴x2+2x﹣24＝0，∵x＞0，∴x＝4，
即侧棱AA1＝4．
（2）∵，（），
∴（） （）（ ）（1﹣1+2﹣2）＝0，
∴两异面直线AC1和MN的夹角为90°．专题1.4 空间向量的数量积运算-重难点题型检测
【人教A版2019选择性必修第一册】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）如图，在空间四边形ABCD中， 等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．不确定
2．（3分）若A，B，C，D是空间中不共面的四点，且满足 0，则△BCD是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定
3．（3分）（2021秋 宣城期中）我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，P为B1C1的中点，则 （ ）
A．6 B．﹣6 C．2 D．﹣2
4．（3分）已知单位向量与x，y轴的夹角分别为60度，60度，与z轴的夹角为钝角，向量2j﹣k，则（ ）
A． B． C．1 D．1
5．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，体对角线AC1与BD1相交于点O，则有（ ）
A． B．
C． D． a2
6．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有下列命题：①（）2＝32；② （）＝0；③与的夹角为60°，其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（3分）已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）（2021秋 北辰区期中）在四面体P﹣ABC中给出以下四个结论，则说法错误的是（ ）
A．若，则可知3
B．若Q为△ABC的重心，则
C．若 0， 0，则 0
D．若四面体P﹣ABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则||＝1
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021秋 益阳期末）已知四面体ABCD的所有棱长都是2，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）（2021秋 武昌区校级月考）已知空间四边形ABCD的四条边和对角线长都为a，且E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列四个数量积中结果为﹣a2的式子的有（ ）
A． B． C． D．
11．（4分）（2020秋 新泰市校级期中）定义空间两个向量的一种运算 || ||sin，，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）
A．
B．λ（ ）＝（λ）
C．（） （ ）+（ ）
D．若（x1，y1），（x2，y2），则 |x1y2﹣x2y1|
12．（4分）（2021秋 江岸区校级月考）已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与向量的夹角是60°
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2021秋 海淀区期末）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， ．
14．（4分）（2021秋 临沂期中）已知四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则等于 ．
15．（4分）（2021秋 金山区期末）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i＝1，2，…，8）是上底面上其余的八个点，则集合{y|y ，i＝1，2，3，…，8}中的元素个数为 ．
16．（4分）（2020秋 锦州期末）点P是棱长为2的正四面体表面上的动点，MN是该四面体内切球的一条直径，则 的最大值是 ．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021秋 太原期末）如图，三棱锥O﹣ABC各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且λ，记，，．
（1）用向量，，表示向量；
（2）求DE的最小值．
18．（6分）如图，在平行六面体ABCD﹣A'B'C'D′中，AB＝4，AD＝3，AA'＝5，∠BAD＝90°，∠BAA'＝∠DAA′＝60°．求：
（1）；
（2）AB′的长；
（3）AC′的长．
19．（8分）（2021秋 惠州期末）如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，设，，．
（1）用，，表示，并求；
（2）求．
20．（8分）（2021秋 黑龙江期中）如图，四棱锥P﹣ABCD的各棱长都为a．
（1）用向量法证明BD⊥PC；
（2）求||的值．
21．（8分）（2021秋 武汉期中）如图，在三棱锥P﹣ABC中，点D为棱BC上一点，且CD＝2BD，点M为线段AD的中点．
（1）以{、、}为一组基底表示向量；
（2）若AB＝AC＝3，AP＝4，∠BAC＝∠PAC＝60°，求 ．
22．（8分）（2021秋 福田区校级期中）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，∠BAA1＝∠DAA1，AC1．
（1）求侧棱AA1的长；
（2）M，N分别为D1C1，C1B1的中点，求及两异面直线AC1和MN的夹角．
