专题1.7 空间向量及其运算的坐标表示-重难点题型精讲
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系及相关概念
①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.
②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
(2)右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．空间一点的坐标
在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
3．空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
4．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
5．空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当b≠0时，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝＝；
cos〈a，b〉＝＝ .
6．空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
则P1P2＝||＝.
【题型1 求空间点的坐标】
【方法点拨】
(1)求某点M的坐标的方法：
作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在
z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．
(2)空间点对称问题的解题策略：
①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．
②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．
【例1】（2022春 溧阳市期中）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，则点A1的坐标为（ ）
A．（0，4，7） B．（﹣2，0，1） C．（2，0，﹣1） D．（2，0，1）
【变式1-1】（2021秋 蕲春县期中）设点M（1，1，1），A（2，1，﹣1），O（0，0，0）．若，则点B的坐标为（ ）
A．（1，0，﹣2） B．（3，2，0） C．（1，0，2） D．（3，﹣2，0）
【变式1-2】（2020秋 西昌市期末）空间直角坐标系中，点P（﹣1，2，﹣3）关于平面yOz对称的点P1的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣2，﹣3） B．（1，2，﹣3） C．（1，﹣2，﹣3） D．（1，2，3）
【变式1-3】（2021秋 新源县期末）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2菱形，∠CBB1＝60°，BC1交B1C于点O，AO⊥侧面BB1C1C，且△AB1C为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则点A1的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 空间向量运算的坐标表示】
【方法点拨】
空间向量坐标运算的规律及注意点:
(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定；
(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．
(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．
【例2】（2021秋 河池期末）已知（1，2，3），（0，﹣1，4），则23等于（ ）
A．（﹣4，6，14） B．（﹣4，0，6） C．（﹣4，3，6） D．（2，1，18）
【变式2-1】（2021秋 柯桥区期末）在空间直角坐标系中，向量，，则向量（ ）
A．（0，1，10） B．（﹣4，7，0）
C．（4，﹣7，0） D．（﹣4，﹣12，25）
【变式2-2】（2021秋 乌兰察布月考）已知向量（2，3，﹣4），（﹣4，﹣3，﹣2），2，则（ ）
A．（0，3，﹣6） B．（0，6，﹣20） C．（0，6，﹣6） D．（6，6，﹣6）
【变式2-3】（2021秋 和平区期末）已知（2，﹣3，1），（2，0，3），（0，1，﹣2），则43等于（ ）
A．（4，﹣4，6） B．（﹣6，﹣6，﹣5） C．（10，0，7） D．（10，﹣6，19）
【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】
【例3】（2021秋 黄陵县校级期末）已知，，则（ ）
A．﹣5 B．﹣7 C．3 D．
【变式3-1】（2022春 厦门期末）若A（2，﹣4，﹣1），B（﹣1，5，1），C（3，﹣4，1），则（ ）
A．﹣11 B．3 C．4 D．15
【变式3-2】（2020秋 泉州期末）已知，，，则x的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣4） B．（﹣∞，10） C．（﹣4，+∞） D．（10，+∞）
【变式3-3】（2021秋 无锡期末）（理科）若向量、的坐标满足，，则 等于（ ）
A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．7
【题型4 空间向量的模与两点间的距离】
【方法点拨】
求空间中两点间的距离的步骤:
(1)建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标A()，B()；
(2)利用公式|AB|= ||==求A、B间的距离.
【例4】（2021秋 临沂期末）若（﹣1，2，3），（1，﹣1，﹣5），则（ ）
A． B． C．5 D．10
【变式4-1】（2022春 古田县校级月考）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（2，﹣1，1）关于y轴的对称点为B，则|AB|＝（ ）
A．2 B．2 C．2 D．
【变式4-2】（2022 湛江校级模拟）已知向量（0，﹣1，1），（4，1，0），|λ|且λ＞0，则λ＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【变式4-3】（2022春 盐城期中）在空间直角坐标系中，B（﹣1，2，3）关于x轴的对称点为点B'，若点C（1，1，﹣2）关于Oxz平面的对称点为点C'，则|B'C'|＝（ ）
A． B． C． D．
【题型5 空间向量夹角问题】
【方法点拨】
建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标，求出相关向量的坐标表示，利用空间向量的夹角的余弦
值公式进行求解即可.
【例5】（2022春 内江期末）已知，，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【变式5-1】（2021秋 禅城区校级期中）已知向量，（k，2，0），若与夹角为，则k的值为（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
【变式5-2】（2021秋 渭滨区期末）已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2021秋 广东期中）已知向量（2，﹣1，3），（﹣4，2，t）的夹角为钝角，则实数t的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣6） B．
C． D．
【题型6 空间向量的平行与垂直】
【方法点拨】
(1)利用空间向量证明两直线平行的步骤
①建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标；②求出直线的方向向量；③证明两向量共线；④说明
其中一个向量所在直线上的点不在另一个向量所在直线上，即表示方向向量的有向线段不共线，即可得证.
(2)利用空间向量证明两直线垂直的步骤
①建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标；②求出直线的方向向量的坐标；③计算两向量的数量
积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直.
【例6】（2021秋 迎江区校级月考）已知向量，，若⊥，则实数λ的值为（ ）
A．1 B．1或﹣2 C．﹣2 D．2
【变式6-1】（2021秋 安康期末）已知A（2，1，3），B（1，3，1），C（4，y，z），若∥，则y﹣2z＝（ ）
A．﹣20 B．﹣17 C．11 D．4
【变式6-2】（2021秋 庆安县校级期末）已知（1，5，﹣2），（3，1，z），若，则实数z的值为（ ）
A．5 B．2 C．3 D．4
【变式6-3】（2021秋 屯溪区校级期中）已知向量（1，1，0），（﹣1，0，2），且k与2互相平行，则k＝（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2专题1.7 空间向量及其运算的坐标表示-重难点题型精讲
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系及相关概念
①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.
②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
(2)右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．空间一点的坐标
在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
3．空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
4．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
5．空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当b≠0时，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝＝；
cos〈a，b〉＝＝ .
6．空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
则P1P2＝||＝.
【题型1 求空间点的坐标】
【方法点拨】
(1)求某点M的坐标的方法：
作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在
z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．
(2)空间点对称问题的解题策略：
①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．
②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．
【例1】（2022春 溧阳市期中）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，则点A1的坐标为（ ）
A．（0，4，7） B．（﹣2，0，1） C．（2，0，﹣1） D．（2，0，1）
【解题思路】点A1的坐标为（a，b，c），由，能求出点A1的坐标．
【解答过程】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，
设点A1的坐标为（a，b，c），
则由，得（﹣1﹣a，2﹣b，4﹣c）＝（1，2，3），
解得a＝﹣2，b＝0，c＝1，
则点A1的坐标为（﹣2，0，1）．
故选：B．
【变式1-1】（2021秋 蕲春县期中）设点M（1，1，1），A（2，1，﹣1），O（0，0，0）．若，则点B的坐标为（ ）
A．（1，0，﹣2） B．（3，2，0） C．（1，0，2） D．（3，﹣2，0）
【解题思路】根据空间向量的线性坐标运算法则，即可得解．
【解答过程】解：设B（x，y，z），则（x﹣2，y﹣1，z+1），
因为，（1，1，1），
所以（1，1，1）＝（x﹣2，y﹣1，z+1），
所以x＝3，y＝2，z＝0，即点B为（3，2，0）．
故选：B．
【变式1-2】（2020秋 西昌市期末）空间直角坐标系中，点P（﹣1，2，﹣3）关于平面yOz对称的点P1的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣2，﹣3） B．（1，2，﹣3） C．（1，﹣2，﹣3） D．（1，2，3）
【解题思路】直接利用点关于面的对称的应用求出结果．
【解答过程】解：空间直角坐标系中，点P（﹣1，2，﹣3）关于平面yOz对称的点P1的坐标为B（1，2，﹣3）．
故选：B．
【变式1-3】（2021秋 新源县期末）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2菱形，∠CBB1＝60°，BC1交B1C于点O，AO⊥侧面BB1C1C，且△AB1C为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则点A1的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】过A1作A1E⊥平面BCC1B1，垂足是E，连结B1E，C1E，则B1E∥OC1，C1E∥OB1，A1E∥AO，由此能求出点A1的坐标．
【解答过程】解：三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2菱形，∠CBB1＝60°，
BC1交B1C于点O，AO⊥侧面BB1C1C，且△AB1C为等腰直角三角形，
如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，
过A1作A1E⊥平面BCC1B1，垂足是E，连结B1E，C1E，
则B1E∥OC1，C1E∥OB1，A1E∥AO，
∴点A1的坐标为（，1，1）．
故选：B．
【题型2 空间向量运算的坐标表示】
【方法点拨】
空间向量坐标运算的规律及注意点:
(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定；
(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．
(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．
【例2】（2021秋 河池期末）已知（1，2，3），（0，﹣1，4），则23等于（ ）
A．（﹣4，6，14） B．（﹣4，0，6） C．（﹣4，3，6） D．（2，1，18）
【解题思路】运用空间向量坐标的线性运算即可得出答案．
【解答过程】解：由（1，2，3），（0，﹣1，4），
可得32（1，2，3）+3（0，﹣1，4）＝（2，1，18），
故选：D．
【变式2-1】（2021秋 柯桥区期末）在空间直角坐标系中，向量，，则向量（ ）
A．（0，1，10） B．（﹣4，7，0）
C．（4，﹣7，0） D．（﹣4，﹣12，25）
【解题思路】进行向量坐标的加法运算即可．
【解答过程】解：∵，
∴．
故选：A．
【变式2-2】（2021秋 乌兰察布月考）已知向量（2，3，﹣4），（﹣4，﹣3，﹣2），2，则（ ）
A．（0，3，﹣6） B．（0，6，﹣20） C．（0，6，﹣6） D．（6，6，﹣6）
【解题思路】推导出4，利用向量坐标运算法则直接求解．
【解答过程】解：∵向量（2，3，﹣4），（﹣4，﹣3，﹣2），2，
∴4（8，12，﹣16）+（﹣8，﹣6，﹣4）＝（0，6，﹣20）．
故选：B．
【变式2-3】（2021秋 和平区期末）已知（2，﹣3，1），（2，0，3），（0，1，﹣2），则43等于（ ）
A．（4，﹣4，6） B．（﹣6，﹣6，﹣5） C．（10，0，7） D．（10，﹣6，19）
【解题思路】使用向量的坐标运算计算．
【解答过程】解：43（2，﹣3，1）+（8，0，12）﹣（0，3，﹣6）＝（10，﹣6，19）．
故选：D．
【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】
【例3】（2021秋 黄陵县校级期末）已知，，则（ ）
A．﹣5 B．﹣7 C．3 D．
【解题思路】利用向量空间向量坐标运算法则求解．
【解答过程】解：∵，，
∴1﹣6+0＝﹣7．
故选：B．
【变式3-1】（2022春 厦门期末）若A（2，﹣4，﹣1），B（﹣1，5，1），C（3，﹣4，1），则（ ）
A．﹣11 B．3 C．4 D．15
【解题思路】先求出的坐标表示，再利用向量数量积的坐标表示计算即可
【解答过程】解：由已知，（2﹣3，﹣4﹣（﹣4），﹣1﹣1）＝（﹣1，0，﹣2），
（﹣1﹣3，5﹣（﹣4），1﹣1）＝（﹣4，9，0），
∴4+0+0＝4，
故选：C．
【变式3-2】（2020秋 泉州期末）已知，，，则x的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣4） B．（﹣∞，10） C．（﹣4，+∞） D．（10，+∞）
【解题思路】利用向量数量积公式直接求解．
【解答过程】解：∵，，，
∴2+18+5x＜0，解得x＜﹣4，
∴x的取值范围是（﹣∞，﹣4）．
故选：A．
【变式3-3】（2021秋 无锡期末）（理科）若向量、的坐标满足，，则 等于（ ）
A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．7
【解题思路】利用向量的运算和数量积运算即可得出．
【解答过程】解：∵（1，﹣2，0）；
（﹣3，1，2）．
∴1×（﹣3）﹣2×1+0＝﹣5．
故选：B．
【题型4 空间向量的模与两点间的距离】
【方法点拨】
求空间中两点间的距离的步骤:
(1)建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标A()，B()；
(2)利用公式|AB|= ||==求A、B间的距离.
【例4】（2021秋 临沂期末）若（﹣1，2，3），（1，﹣1，﹣5），则（ ）
A． B． C．5 D．10
【解题思路】求出，由此能求出．
【解答过程】解：∵（﹣1，2，3），（1，﹣1，﹣5），
∴（0，1，﹣2），
则．
故选：A．
【变式4-1】（2022春 古田县校级月考）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（2，﹣1，1）关于y轴的对称点为B，则|AB|＝（ ）
A．2 B．2 C．2 D．
【解题思路】首先求出关于y轴的对称点坐标，再根据空间两点的距离公式计算可得结果．
【解答过程】解：点A（2，﹣1，1）关于y轴的对称点为B（﹣2，﹣1，﹣1），
∴|AB|2．
故选：C．
【变式4-2】（2022 湛江校级模拟）已知向量（0，﹣1，1），（4，1，0），|λ|且λ＞0，则λ＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【解题思路】对|λ|两边平方，列出方程解出．
【解答过程】解：||，||，1．
∵|λ|，∴（）2＝29．即λ2||2+2λ||2＝29，∴2λ2﹣2λ﹣12＝0，∵λ＞0，∴λ＝3．
故选：D．
【变式4-3】（2022春 盐城期中）在空间直角坐标系中，B（﹣1，2，3）关于x轴的对称点为点B'，若点C（1，1，﹣2）关于Oxz平面的对称点为点C'，则|B'C'|＝（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】写出B关于x轴的对称点B'，点C关于Oxz平面的对称点C'，再计算|B'C'|的值．
【解答过程】解：空间直角坐标系中，B（﹣1，2，3）关于x轴的对称点为点B'（﹣1，﹣2，﹣3），
点C（1，1，﹣2）关于Oxz平面的对称点为点C'（1，﹣1，﹣2），
所以|B'C'|．
故选：B．
【题型5 空间向量夹角问题】
【方法点拨】
建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标，求出相关向量的坐标表示，利用空间向量的夹角的余弦
值公式进行求解即可.
【例5】（2022春 内江期末）已知，，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【解题思路】利用空间向量的夹角余弦值公式，即可求得．
【解答过程】解：∵，，
∴．
故选：B．
【变式5-1】（2021秋 禅城区校级期中）已知向量，（k，2，0），若与夹角为，则k的值为（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
【解题思路】根据空间向量坐标求得，由空间向量的夹角公式和向量的数量积运算得，即可求出k的值．
【解答过程】解：因为，且与夹角为，
则，
所以，
可知k＜0，解得：．
故选：A．
【变式5-2】（2021秋 渭滨区期末）已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】通过空间向量的数量积求解x，然后求解向量的夹角．
【解答过程】解：，，且，
可得x﹣2＝﹣3，解得x＝﹣1，
向量与的夹角为θ，cosθ，θ∈[0，π]，
所以θ．
故选：A．
【变式5-3】（2021秋 广东期中）已知向量（2，﹣1，3），（﹣4，2，t）的夹角为钝角，则实数t的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣6） B．
C． D．
【解题思路】向量（2，﹣1，3），（﹣4，2，t）的夹角为钝角，得，由此能求出实数t的取值范围．
【解答过程】解：∵向量（2，﹣1，3），（﹣4，2，t）的夹角为钝角，
∴，
解得t，且t≠﹣6，
∴实数t的取值范围为（﹣∞，﹣6）∪（﹣6，）．
故选：B．
【题型6 空间向量的平行与垂直】
【方法点拨】
(1)利用空间向量证明两直线平行的步骤
①建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标；②求出直线的方向向量；③证明两向量共线；④说明
其中一个向量所在直线上的点不在另一个向量所在直线上，即表示方向向量的有向线段不共线，即可得证.
(2)利用空间向量证明两直线垂直的步骤
①建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标；②求出直线的方向向量的坐标；③计算两向量的数量
积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直.
【例6】（2021秋 迎江区校级月考）已知向量，，若⊥，则实数λ的值为（ ）
A．1 B．1或﹣2 C．﹣2 D．2
【解题思路】利用向量垂直的性质列方程直接求解．
【解答过程】解：∵向量，，⊥，
∴λ（1+λ）﹣2＝0，
解得实数λ＝1或λ＝﹣2．
故选：B．
【变式6-1】（2021秋 安康期末）已知A（2，1，3），B（1，3，1），C（4，y，z），若∥，则y﹣2z＝（ ）
A．﹣20 B．﹣17 C．11 D．4
【解题思路】根据已知条件，结合空间向量的坐标运算，即可求解．
【解答过程】解：∵A（2，1，3），B（1，3，1），C（4，y，z），
∴，，
∵∥，
∴，解得y＝﹣3，z＝7，
∴y﹣2z＝﹣17．
故选：B．
【变式6-2】（2021秋 庆安县校级期末）已知（1，5，﹣2），（3，1，z），若，则实数z的值为（ ）
A．5 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据，则 0，然后利用数量积的坐标关系建立等式，可求出z的值．
【解答过程】解：∵（1，5，﹣2），（3，1，z），，
∴ 0即1×3+5×1+（﹣2）×z＝0，解得：z＝4．
故选：D．
【变式6-3】（2021秋 屯溪区校级期中）已知向量（1，1，0），（﹣1，0，2），且k与2互相平行，则k＝（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2
【解题思路】利用向量坐标运算法则先求出k，2，再由k与2互相平行，列方程能求出k．
【解答过程】解：向量（1，1，0），（1，0，2），
∴k（k﹣1，k，﹣2），2（3，2，2），
∵k与2互相平行，
∴，
解得k＝﹣2．
故选：B．
