专题1.8 空间向量及其运算的坐标表示-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2020秋 西昌市期末）空间直角坐标系中，点P（﹣1，2，﹣3）关于平面yOz对称的点P1的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣2，﹣3） B．（1，2，﹣3） C．（1，﹣2，﹣3） D．（1，2，3）
【解题思路】直接利用点关于面的对称的应用求出结果．
【解答过程】解：空间直角坐标系中，点P（﹣1，2，﹣3）关于平面yOz对称的点P1的坐标为B（1，2，﹣3）．
故选：B．
2．（3分）（2021秋 钦州期末）已知（1，2，1），（2，﹣4，1），则2等于（ ）
A．（4，﹣2，0） B．（4，0，3） C．（﹣4，0，3） D．（4，0，﹣3）
【解题思路】利用向量坐标运算性质即可得出．
【解答过程】解：22（1，2，1）+（2，﹣4，1）＝（4，0，3），
故选：B．
3．（3分）（2021秋 张家界期末）已知直线l的一个方向向量（2，﹣1，3），且直线l过A（0，y，3）和B（﹣1，2，z）两点，则y﹣z＝（ ）
A．0 B．1 C． D．3
【解题思路】根据k，即可得出．
【解答过程】解：（﹣1，2﹣y，z﹣3）．
∴k．
∴﹣1＝2k，2﹣y＝﹣k，z﹣3＝3k．
解得k，yz．
∴y﹣z＝0．
故选：A．
4．（3分）（2022春 成都期中）已知，，则向量与的夹角为（ ）
A．90° B．60° C．30° D．0°
【解题思路】根据题意，求出和的坐标，由空间向量数量积的计算公式可得（） （）＝0，分析可得答案．
【解答过程】解：根据题意，，，
则（cosα+sinα，﹣2，sinα+cosα），（cosα﹣sinα，0，sinα﹣cosα），
则（） （）＝（cos2α﹣sin2α）+（sin2α﹣cos2α）＝0，
故向量与垂直，即向量与的夹角为90°，
故选：A．
5．（3分）（2022 西湖区校级模拟）已知（1﹣t，2t﹣1，0），（3，t，t），则||的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据空间向量的坐标表示与数量积定义，利用二次函数的性质求出||的最小值．
【解答过程】解：（1﹣t，2t﹣1，0），（3，t，t），
则（2+t，1﹣t，t），
∴（2+t）2+（1﹣t）2+t2＝3t2+2t+5＝3，
∴t时||取得最小值为．
故选：B．
6．（3分）（2021秋 吉林期中）已知M（1，2，3），N（2，3，4），P（﹣1，2，﹣3），若且，则Q点的坐标为（ ）
A．（2，5，0） B．（﹣4，﹣1，﹣6）或（2，5，0）
C．（3，4，1） D．（3，4，1）或（﹣3，﹣2，﹣5）
【解题思路】设Q（x，y，z），则（x+1，y﹣2，z+3），（1，1，1），由，且，列出方程组，能求出Q点的坐标．
【解答过程】解：∵M（1，2，3），N（2，3，4），P（﹣1，2，﹣3），
∵，且，设Q（x，y，z），
∴（x+1，y﹣2，z+3），（1，1，1），
∴，
解得x＝﹣4，y＝﹣1，z＝﹣6或x＝2，y＝5，z＝0，
∴Q点的坐标为（﹣4，﹣1，﹣6）或（2，5，0）．
故选：B．
7．（3分）（2021 宝山区二模）设向量，其中a2+b2＝c2+d2＝1，则下列判断错误的是（ ）
A．向量与z轴正方向的夹角为定值（与c，d之值无关）
B．的最大值为
C．与的夹角的最大值为
D．ad+bc的最大值为1
【解题思路】在A中，取z轴的正方向向量（0，0，t），求出与的夹角即可判断命题正确；在B中，计算ac+bd，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；在C中，利用数量积求出与的夹角的最大值，即可判断命题正确；在D中，利用不等式求出最大值即可判断命题正确．
【解答过程】解：由向量，其中a2+b2＝c2+d2＝1，知：
在A中，设z轴正方向的方向向量（0，0，t），
向量与z轴正方向的夹角的余弦值：
cosα，∴α＝45°，
∴向量与z轴正方向的夹角为定值45°（与c，d之值无关），故A正确；
在B中，ac+bd1，
且仅当a＝c，b＝d时取等号，因此的最大值为1，故B错误；
在C中，由B可得：||≤1，∴﹣11，
∴cos，
∴与的夹角的最大值为，故C正确；
在D中，ad+bc1，
∴ad+bc的最大值为1．故D正确．
故选：B．
8．（3分）（2021秋 宁波期末）在空间直角坐标系中，，，O为坐标原点，满足a2+b2＝1，c2+d2＝4，则下列结论中不正确的是（ ）
A．的最小值为﹣6 B．的最大值为10
C．|AB|最大值为 D．|AB|最小值为1
【解题思路】设a＝cosα，b＝sinα，c＝2sinβ，d＝2cosβ，则2a（c﹣1）+2bd＝2ac+2bd﹣2a＝4sinβcosα+4cosβsinα﹣2cosα＝4sin（α+β）﹣2cosα，从而的最小值为﹣6，的最大值为6；（c﹣2a﹣1，d﹣2b，1）＝（2sinβ﹣2cosα﹣1，2cosβ﹣2sinα，1），从而||，从而||最大值为，最小值为1．
【解答过程】解：在空间直角坐标系中，
，，O为坐标原点，满足a2+b2＝1，c2+d2＝4，
设a＝cosα，b＝sinα，c＝2sinβ，d＝2cosβ，
在A中，2a（c﹣1）+2bd＝2ac+2bd﹣2a
＝4sinβcosα+4cosβsinα﹣2cosα＝4sin（α+β）﹣2cosα，
∴当α＝0，，的最小值为﹣6，故A正确；
在B中，2a（c﹣1）+2bd＝2ac+2bd﹣2a
＝4sinβcosα+4cosβsinα﹣2cosα＝4sin（α+β）﹣2cosα，
∴α＝π，β＝π时，的最大值为6，故B错误；
在C中，（c﹣2a﹣1，d﹣2b，1）＝（2sinβ﹣2cosα﹣1，2cosβ﹣2sinα，1），
∴||，
∴时，||的最大值为，故C正确；
在C中，||
，
令t，
则||1，
当cos时取等号，
故||取最小值1．故D正确．
故选：B．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021秋 三明期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A．点B1的坐标为（4，5，3）
B．点C1关于点B对称的点为（5，8，﹣3）
C．点A关于直线BD1对称的点为（0，5，3）
D．点C关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）
【解题思路】利用空间点的对称性即可得出．
【解答过程】解：由图形及其已知可得：点B1的坐标为（4，5，3），点C1（0，5，3）关于点B对称的点为（8，5，﹣3），
点A关于直线BD1对称的点为C1（0，5，3），
点C（0，5，0）关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）．
因此ACD正确．
故选：ACD．
10．（4分）（2022春 安溪县期末）若，，与的夹角为120°，则λ的值为（ ）
A．17 B．﹣17 C．﹣1 D．1
【解题思路】利用向量夹角公式直接求解．
【解答过程】解：∵，，与的夹角为120°，
∴cos120°，
解得λ＝﹣1或λ＝17．
故选：AC．
11．（4分）（2021秋 海珠区期末）已知直线l1、l2的方向向量分别是（2，4，x），（2，y，2），若||＝6且l1⊥l2，则x+y的值可以是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【解题思路】由||＝6且l1⊥l2，列出方程组，求出x，y的值，由此能求出x+y的值．
【解答过程】解：∵直线l1、l2的方向向量分别是（2，4，x），（2，y，2），||＝6且l1⊥l2，
∴，解得，
∴或，
∴x+y＝1或x+y＝﹣3．
故选：AC．
12．（4分）（2021秋 凤城市校级月考）已知空间四点O（0，0，0），A（0，1，2），B（2，0，﹣1），C（3，2，1），则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．点O到直线BC的距离为 D．O，A，B，C四点共面
【解题思路】直接利用空间向量，向量的模，向量垂直的充要条件，共面向量基本定理，向量的夹角的应用判定A、B、C、D的结论．
【解答过程】解：空间四点O（0，0，0），A（0，1，2），B（2，0，﹣1），C（3，2，1），
则（0，1，2），（2，0，﹣1），
所以||，||，
对于A：2，故A正确；
对于B：cos，，故B正确；
对于C：由于（2，0，﹣1），（1，2，2），
所以0，
故，
所以点O到直线BC的距离d＝||，故C正确；
对于D：根据已知的条件求出：（0，1，2），（2，0，﹣1），（3，2，1），
易知：不共线，
假设：共面，
则存在实数λ和μ使得，
所以，无解，
故：不共面，故D错误；
故选：ABC．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022春 宁德期末）已知A（1，2，3），B（4，5，9），，则的坐标为 （1，1，2） ．
【解题思路】直接根据空间向量的坐标运算求解即可．
【解答过程】解：∵A（1，2，3），B（4，5，9），
∴（3，3，6），
∴（1，1，2），
故答案为：（1，1，2）．
14．（4分）（2022春 南岗区校级期末）动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上，记λ，当∠APC为钝角时，λ的取值范围是 ．
【解题思路】建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法求出即可．
【解答过程】解：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，
则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），
∴（1，1，﹣1），∴（λ，λ，﹣λ），
（﹣λ，﹣λ，λ）+（1，0，﹣1）＝（1﹣λ，﹣λ，λ﹣1），
（﹣λ，﹣λ，λ）+（0，1，﹣1）＝（﹣λ，1﹣λ，λ﹣1），
显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0，
∴0，∴（1﹣λ）（﹣λ）+（﹣λ）（1﹣λ）+（λ﹣1）2＝（λ﹣1）（3λ﹣1）＜0，得λ＜1，
因此，λ的取值范围是（，1）．
故答案为：（，1）．
15．（4分）（2021秋 辽宁期中）已知向量（1，﹣3，2），（﹣2，1，1），点A（﹣3，﹣1，4），B（﹣2，﹣2，2）．则|23|＝ ；在直线AB上存在一点E，使得⊥，则点E的坐标为 （，，） ．
【解题思路】利用向量坐标运算求则先求出，由此能求出|23|的值；求出（﹣3+t，﹣1﹣t，4﹣2t），利用⊥，能求出点E的坐标．
【解答过程】解：∵向量（1，﹣3，2），（﹣2，1，1），
∴（2，﹣6，4）+（﹣6，3，3）＝（﹣4，﹣3，7），
∴|23|；
∵点A（﹣3，﹣1，4），B（﹣2，﹣2，2）．在直线AB上，存在一点E，
∴（﹣3，﹣1，4）+t（1，﹣1，﹣2）＝（﹣3+t，﹣1﹣t，4﹣2t），
∵⊥，
∴6﹣2t﹣1﹣t+4﹣2t＝0，
解得t．
∴点E的坐标为．
故答案为：；．
16．（4分）（2021秋 遵化市期中）在空间直角坐标系O﹣xyz中，给出以下结论：
①点A（﹣2，1，3）关于z轴的对称点的坐标是（2，﹣1，3）；
②点B（4，﹣2，5）关于yOz平面对称的点的坐标是（4，2，﹣5）；
③若，，则，．
其中所有正确结论的序号是 ①③ ．
【解题思路】利用对称知识可求对称点的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即可．
【解答过程】解：①点A（﹣2，1，3）关于z轴的对称点的坐标是（2，﹣1，3），故①正确；
②点B（4，﹣2，5）关于yOz平面对称的点的坐标是（﹣4，﹣2，5），故②错误；
③cos，，∴，．故③正确．
故答案为：①③．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021秋 青铜峡市校级月考）已知点A，B关于点P（1，2，3）的对称点分别为A′，B′，若A（﹣1，3，﹣3），（3，1，5），求点B的坐标．
【解题思路】由题意可知，且P是线段AA'和BB'的中点，根据向量坐标运算性质即可得出．
【解答过程】解：由题意可知，且P是线段AA'和BB'的中点，
设B（x，y，z），则
所以，解得．
∴点B的坐标为（﹣4，2，﹣8）．
18．（6分）（2021秋 辽源期末）已知：（x，4，1），（﹣2，y，﹣1），（3，﹣2，z），∥，⊥，求：
（1），，；
（2）与所成角的余弦值．
【解题思路】（1）由向量的平行和垂直可得关于x，y，z的关系式，解之即可得向量坐标；
（2）由（1）可得向量与的坐标，进而由夹角公式可得结论．
【解答过程】解：（1）∵，
∴，
解得x＝2，y＝﹣4，
故（2，4，1），（﹣2，﹣4，﹣1），
又因为，所以0，即﹣6+8﹣z＝0，解得z＝2，
故（3，﹣2，2）；
（2）由（1）可得（5，2，3），（1，﹣6，1），
设向量与所成的角为θ，
则cosθ．
19．（8分）（2021秋 天河区校级期中）如图，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为（，，0），点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°．
（1）求向量的坐标．
（2）求与的夹角的余弦值．
【解题思路】（1）过D作DE⊥BC于E，则DE＝CD sin30°，OE＝OB﹣BDcos60°，由此能求出D的坐标，从而能求出．
（2）与的夹角的余弦值cos，由此能求出结果．
【解答过程】解：（1）过D作DE⊥BC于E，则DE＝CD sin30°，
OE＝OB﹣BDcos60°＝1，
∴D的坐标为D（0，，），
又∵C（0，1，0），∴（0，，）．
（2）依题设有A点坐标为A（，，0），
∴（），（0，2，0），
则与的夹角的余弦值：
cos．
20．（8分）（2021秋 福田区校级期中）已知（1，1，0），（﹣1，0，2），
（1）求|2|；
（2）若k与2的夹角为钝角，求实数k的取值范围．
【解题思路】（1）先求出（3，2，﹣2），由此能求出|2|；
（2）求出k（k﹣1，k，2），2（3，2，﹣2），从而（k） （2）＝5k﹣7，再由k与2的夹角为钝角，能求出实数k的取值范围．
【解答过程】解：（1）（1，1，0），（﹣1，0，2），
∴（3，2，﹣2），
∴|2|；
（2）k（k﹣1，k，2），2（3，2，﹣2），
∴（k） （2）＝3k﹣3+2k﹣4＝5k﹣7，
∵k与2的夹角为钝角，
∴（k） （2）＝5k﹣7＜0，且k≠﹣2，
解得k，且k≠﹣2，
∴实数k的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，）．
21．（8分）（2022春 乌苏市校级期中）已知空间向量（2，4，﹣2），（﹣1，0，2），（x，2，﹣1）．
（Ⅰ）若∥，求；
（Ⅱ）若⊥，求cos，的值．
【解题思路】（Ⅰ）利用空间向量共线定理，列式求解x的值，由向量模的坐标运算求解即可；
（Ⅱ）利用向量垂直的坐标表示，求出x的值，从而得到，由空间向量的夹角公式求解即可．
【解答过程】解：（Ⅰ）空间向量（2，4，﹣2），（﹣1，0，2），（x，2，﹣1），
因为∥，
所以存在实数k，使得，
所以，解得x＝1，
则；
（Ⅱ）因为⊥，
则，解得x＝﹣2，
所以，
故cos，．
22．（8分）（2021春 江门期末）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．
（1）求△ABC的面积；
（2）若向量，且，求向量的坐标．
【解题思路】（1）根据已知条件，运用向量的夹角公式，可得，再结合三角形面积公式，即可求解．
（2）），可得，λ∈R，结合向量模公式和向量平行的坐标表示，即可求解．
【解答过程】解：（1）设向量，的夹角为θ，
由已知，，，
，，
∵0≤θ≤π，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，λ∈R，
∵，即，即，
∴，
即或．专题1.8 空间向量及其运算的坐标表示-重难点题型检测
【人教A版2019选择性必修第一册】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2020秋 西昌市期末）空间直角坐标系中，点P（﹣1，2，﹣3）关于平面yOz对称的点P1的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣2，﹣3） B．（1，2，﹣3） C．（1，﹣2，﹣3） D．（1，2，3）
2．（3分）（2021秋 钦州期末）已知（1，2，1），（2，﹣4，1），则2等于（ ）
A．（4，﹣2，0） B．（4，0，3） C．（﹣4，0，3） D．（4，0，﹣3）
3．（3分）（2021秋 张家界期末）已知直线l的一个方向向量（2，﹣1，3），且直线l过A（0，y，3）和B（﹣1，2，z）两点，则y﹣z＝（ ）
A．0 B．1 C． D．3
4．（3分）（2022春 成都期中）已知，，则向量与的夹角为（ ）
A．90° B．60° C．30° D．0°
5．（3分）（2022 西湖区校级模拟）已知（1﹣t，2t﹣1，0），（3，t，t），则||的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2021秋 吉林期中）已知M（1，2，3），N（2，3，4），P（﹣1，2，﹣3），若且，则Q点的坐标为（ ）
A．（2，5，0） B．（﹣4，﹣1，﹣6）或（2，5，0）
C．（3，4，1） D．（3，4，1）或（﹣3，﹣2，﹣5）
7．（3分）（2021 宝山区二模）设向量，其中a2+b2＝c2+d2＝1，则下列判断错误的是（ ）
A．向量与z轴正方向的夹角为定值（与c，d之值无关）
B．的最大值为
C．与的夹角的最大值为
D．ad+bc的最大值为1
8．（3分）（2021秋 宁波期末）在空间直角坐标系中，，，O为坐标原点，满足a2+b2＝1，c2+d2＝4，则下列结论中不正确的是（ ）
A．的最小值为﹣6 B．的最大值为10
C．|AB|最大值为 D．|AB|最小值为1
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021秋 三明期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A．点B1的坐标为（4，5，3）
B．点C1关于点B对称的点为（5，8，﹣3）
C．点A关于直线BD1对称的点为（0，5，3）
D．点C关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）
10．（4分）（2022春 安溪县期末）若，，与的夹角为120°，则λ的值为（ ）
A．17 B．﹣17 C．﹣1 D．1
11．（4分）（2021秋 海珠区期末）已知直线l1、l2的方向向量分别是（2，4，x），（2，y，2），若||＝6且l1⊥l2，则x+y的值可以是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
12．（4分）（2021秋 凤城市校级月考）已知空间四点O（0，0，0），A（0，1，2），B（2，0，﹣1），C（3，2，1），则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．点O到直线BC的距离为 D．O，A，B，C四点共面
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022春 宁德期末）已知A（1，2，3），B（4，5，9），，则的坐标为 ．
14．（4分）（2022春 南岗区校级期末）动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上，记λ，当∠APC为钝角时，λ的取值范围是 ．
15．（4分）（2021秋 辽宁期中）已知向量（1，﹣3，2），（﹣2，1，1），点A（﹣3，﹣1，4），B（﹣2，﹣2，2）．则|23|＝ ；在直线AB上存在一点E，使得⊥，则点E的坐标为 ．
16．（4分）（2021秋 遵化市期中）在空间直角坐标系O﹣xyz中，给出以下结论：
①点A（﹣2，1，3）关于z轴的对称点的坐标是（2，﹣1，3）；
②点B（4，﹣2，5）关于yOz平面对称的点的坐标是（4，2，﹣5）；
③若，，则，．
其中所有正确结论的序号是 ．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021秋 青铜峡市校级月考）已知点A，B关于点P（1，2，3）的对称点分别为A′，B′，若A（﹣1，3，﹣3），（3，1，5），求点B的坐标．
18．（6分）（2021秋 辽源期末）已知：（x，4，1），（﹣2，y，﹣1），（3，﹣2，z），∥，⊥，求：
（1），，；
（2）与所成角的余弦值．
19．（8分）（2021秋 天河区校级期中）如图，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为（，，0），点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°．
（1）求向量的坐标．
（2）求与的夹角的余弦值．
20．（8分）（2021秋 福田区校级期中）已知（1，1，0），（﹣1，0，2），
（1）求|2|；
（2）若k与2的夹角为钝角，求实数k的取值范围．
21．（8分）（2022春 乌苏市校级期中）已知空间向量（2，4，﹣2），（﹣1，0，2），（x，2，﹣1）．
（Ⅰ）若∥，求；
（Ⅱ）若⊥，求cos，的值．
22．（8分）（2021春 江门期末）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．
（1）求△ABC的面积；
（2）若向量，且，求向量的坐标．
