珠海市2023-2024学年高一上学期大湾区期末考试数学预测卷一
本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（本题5分）（2023上·福建三明·高一校联考期中）已知集合或，，则集合中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．（本题5分）（2024上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（本题5分）（2023上·安徽合肥·高一合肥一中校考期中）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题5分）（2023上·辽宁·高一沈阳二中校联考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（本题5分）（2023上·江苏南京·高一期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（本题5分）（2024上·云南昆明·高一云南师大附中校考期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家规定，驾驶人员每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克为饮酒后驾车；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时的速度减少，那么他想要驾车至少要经过（参考数据：，）（ ）
A． B． C． D．
7．（本题5分）（2021上·上海浦东新·高一华师大二附中校考期中）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是( )
A． B．
C． D．
8．（本题5分）（2024上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（本题5分）（2023上·安徽·高一校联考期中）已知正数，满足，则下列各选项正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为8 D．
10．（本题5分）（2024上·宁夏银川·高一银川二中校考期末）下列关于函数的说法错误的是（ ）
A．函数的图象关于点中心对称 B．函数的定义域为
C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递增
11．（本题5分）（2024上·广东江门·高一鹤山市第一中学校考期末）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：
①，；②，，当时，.
则下列选项成立的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
12．（本题5分）（2024上·江苏盐城·高一盐城市第一中学校考期末）已知，为函数的两个零点，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C． D．若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（本题5分）（2024上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）函数的定义域为
14．（本题5分）（2024上·广东广州·高一统考期末）设是定义在上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为 .
15．（本题5分）（2023上·湖南株洲·高一校考期中）设，若在R上单调，则m的取值范围为 ．
16．（本题5分）（2024·全国·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题10分）（2024上·上海松江·高一统考期末）已知集合
(1)若，求和;
(2)若“”是 “”的充分条件，求实数的取值范围.
18．（本题12分）（2023上·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）已知点在角的终边上，且．
(1)求和的值；
(2)求的值．
19．（本题12分）（2024上·上海·高一校考期末）已知函数，且．
(1)求实数，判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(2)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式．
20．（本题12分）（2021上·浙江嘉兴·高一校联考期中）我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过立方米，则水价为每立方米元；第二档，若每户每月用水超过立方米，但不超过立方米，则超过部分水价为每立方米元；第三档，若每户每月用水超过立方米，则超过部分水价为每立方米元，同时征收其全月水费的用水调节税．设某户某月用水立方米，水费为元．
(1)试求关于的函数；
(2)若该用户当月水费为元，试求该年度的用水量；
(3)设某月甲用户用水立方米，乙用户用水立方米，若之间符合函数关系：．则当两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？
21．（本题12分）（2024上·江苏苏州·高一统考期末）已知函数（，）的图象过点，且相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数的图象的所有对称轴方程；
(2)若将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，求，的单调递减区间.
22．（本题12分）（2023上·浙江台州·高一校联考期中）已知函数，，
(1)当时，解不等式；
(2)若任意，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若，，使得不等式成立，求实数的取值范围.珠海市2023-2024学年高一上学期大湾区期末考试数学预测卷一答案详解
本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（本题5分）已知集合或，，则集合中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得，结合集合交集的运算，得到集合，即可求解.
【详解】由集合或，可得，
又由，可得，所以集合中元素的个数为.
故选：B.
2．（本题5分）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由对数函数的单调性结合复合函数的同增异减即可得答案.
【详解】由题意得，解得，
开口向下，对称轴为，
所以在上递增，在上递减；
因为是定义域上的递增函数，
利用复合函数的同增异减可得的单调递增区间为，
故选：D.
3．（本题5分）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简函数，结合，求得的取值范围，即可求解.
【详解】由题意，函数（），
令，则，可得，
故（）的值域为．
故选：A.
4．（本题5分）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件求解即可.
【详解】因为，而推不出，例如满足，但不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
5．（本题5分）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先由同角三角函数的基本关系式求得或，再将化为，代入的值即可得答案.
【详解】因为，所以，
则，
所以，即，
解得或.
又，将或代入，
均得到.
故选：C.
6．（本题5分）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家规定，驾驶人员每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克为饮酒后驾车；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时的速度减少，那么他想要驾车至少要经过（参考数据：，）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据题意表示出经过小时后，该驾驶员体内的酒精含量；再列出不等式求解即可.
【详解】经过小时后，该驾驶员体内的酒精含量为：.
只需，即，.
因为函数在R上为减函数，
所以，
故他至少要经过5个小时后才能驾车.
故选：C.
7．（本题5分）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题可知，再利用中间量，根据与之间的关系求出的取值范围，即可判断a、b、、之间的关系.
【详解】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.
故选：A.
8．（本题5分）已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由在上单调递增，得，再由在上有且仅有1个零点，得或，取并集结合的前提条件，即可得答案.
【详解】当，，
因为在上单调递增，故，则；
当，，且，，
又因为在上有且仅有1个零点，
故讨论两种情况：
①，
②，
综上：的取值范围为，
故选：C.
二、多选题（共20分）
9．（本题5分）已知正数，满足，则下列各选项正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为8 D．
【答案】ABC
【分析】结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断
【详解】对于，因为，即，
所以，当且仅当时取等号，正确；
对于B，由基本不等式得，，
所以，当且仅当时取等号，故B正确；
对于C，即，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，由可得，即，故D错误.
故选：ABC.
10．（本题5分）下列关于函数的说法错误的是（ ）
A．函数的图象关于点中心对称 B．函数的定义域为
C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递增
【答案】ACD
【分析】根据正切函数的定义域、对称中心、单调性可判断出答案．
【详解】对于A，，即函数的图象关于点不成中心对称，故A错误；
对于B，由，，得，即函数的定义域为，故B正确，
对于C，，当时，函数无意义，故不存在单调性，故C错误；
对于D，由C选项知函数在区间上不具备单调性，故D错误，
故选：ACD．
11．（本题5分）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：
①，；②，，当时，.
则下列选项成立的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】AB
【分析】对A，由奇函数即可得；对B、C、D，结合奇偶性和单调性即可得.
【详解】由，得：函数是上的奇函数；
由，，，，
得在上单调递减；又是连续函数，
故可得在上单调递减；
对A：，令，故可得，A正确；
对B：可知，
由在上单调递减，可得，
即，故B正确；
对C：对，当时，；
当时，；
由在上单调递减，且可知，
的解集为，故C错误；
对D：，即，则，解得，故D错误；
故选：AB
12．（本题5分）已知，为函数的两个零点，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C． D．若，则
【答案】ABD
【分析】作出函数图象，得到零点范围，在逐个分析选项即可.
【详解】将问题化为与在上有两个交点，且横坐标分别为，，
由在上递减，且值域为；
由，且时，
在上递减，对应值域为；
在上递增，对应值域为；
综上，与交点在两侧，
即原函数的两个零点分别在区间、上各一个，
故恒成立，故A正确，
不妨设，则，
故解得，故B正确，C错误，
令，由指数函数单调性得在上单调递增，
若证，则证，，显然D正确，
故选：ABD
第II卷（非选择题）
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三、填空题（共20分）
13．（本题5分）函数的定义域为
【答案】
【分析】由对数函数的定义域以及含分式型函数的定义域求解即可.
【详解】由题意可得，解得，
故答案为：.
14．（本题5分）设是定义在上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】先得到在上单调递增，且为偶函数，故在上单调递减，分与两种情况，结合，得到不等式的解集.
【详解】不妨设，由得，
即，
故在上单调递增，
因为为R上的奇函数，所以，
的定义域为，且，
故为偶函数，在上单调递减，
当时，，
因为，所以，故，
即，解得，
当时，，
因为，所以，故，
解得，故不等式的解集为.
故答案为：
15．（本题5分）设，若在R上单调，则m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】作出函数，的图象，根据一次函数和二次函数的单调性结合图象即可得出答案.
【详解】在同一平面直角坐标系中，作出函数，的图象如图，
当时，或1，
由图象可知，当时，函数在上单调递增.
故答案为：.
16．（本题5分）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为 ．
【答案】10
【分析】判断函数的性质与最小值，判断函数的性质，作出函数与的大致图象，判断两个图象在上的交点情况，根据对称性得结果.
【详解】因为，所以函数的图象关于直线对称，
且在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为．
所以函数的图象关于直线对称，且的最大值为2．
由于的图象和的图象都关于直线对称，
所以先考虑两个图象在上的情形，
易知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减．
易知，，
所以可作出函数与的大致图象如图所示，
所以的图象和的图象在上有5个交点．
根据对称性可知两函数图象共有10个交点，且两两关于直线对称，
因此所有交点的横坐标之和为．
故答案为:.
四、解答题（共70分）
17．（本题10分）已知集合
(1)若，求和;
(2)若“”是 “”的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据集合交集和并集的概念直接计算求解即可；
（2）将充分条件转化为集合包含关系进而列式求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
（2）因为“”是 “”的充分条件，
所以，
又因为，
所以，所以，
所以实数的取值范围为
18．（本题12分）已知点在角的终边上，且．
(1)求和的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）三角由三角函数的定义即可求解.
（2）由三角函数定义、商数关系进行切弦互换即可.
【详解】（1）由三角函数的定义知：，则，
于是解得，得.
（2）已知终边过点得，
于是有.
19．（本题12分）已知函数，且．
(1)求实数，判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(2)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式．
【答案】(1)，在上的单调递增，证明见详解
(2)
【分析】（1）先由求出实数，再用定义法判断和证明函数的单调性；
（2）利用函数的单调性和奇偶性得出关于的不等式，求出取值范围.
【详解】（1）由题知，则，所以.
在上的单调递增.
证明：对，且，
则
，
因为，
所以，，
所以，即，
所以在上的单调递增.
（2）由（1）知，
定义域为关于原点对称，
又，
所以为奇函数.
由，
得，
即，
又，，
由（1）知在上的单调递增，
所以，
所以.
20．（本题12分）我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过立方米，则水价为每立方米元；第二档，若每户每月用水超过立方米，但不超过立方米，则超过部分水价为每立方米元；第三档，若每户每月用水超过立方米，则超过部分水价为每立方米元，同时征收其全月水费的用水调节税．设某户某月用水立方米，水费为元．
(1)试求关于的函数；
(2)若该用户当月水费为元，试求该年度的用水量；
(3)设某月甲用户用水立方米，乙用户用水立方米，若之间符合函数关系：．则当两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？
【答案】(1)
(2)立方米
(3)元
【分析】（1）根据题意分类讨论可得函数解析式；（2）结合（1）中的函数解析式，代入求解；（3）根据题意整理可得，结合二次函数的性质运算求解.
【详解】（1）因为某户该月用水立方米，
按收费标准可知，当时，；
当时，；
当时，．
所以
（2）由题可得，当该用户水费为元时，处于第二档，
所以， 解得．
所以该月的用水量为立方米．
（3）因为，
所以．
当时，，此时．
所以此时两户一共需要支付的水费是元．
21．（本题12分）已知函数（，）的图象过点，且相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数的图象的所有对称轴方程；
(2)若将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，求，的单调递减区间.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对称轴距离得到周期，则求出，再将点代入即可得到解析式，最后写出对称轴通式，解出即可；
（2）先根据平移的原则得到平移后的解析式，再写出单调减区间的通式，解出不等式，对合理赋值即可.
【详解】（1）因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期为，即，由，解得.
因为的图象过点，所以，
又因为，所以，即，
所以.
令，得，
即图象的对称轴方程为.
（2）由题意得，
令，得，
令，得和，
所以的单调递减区间为.
22．（本题12分）已知函数，，
(1)当时，解不等式；
(2)若任意，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若，，使得不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）作差后解一元二次不等式即可.
（2）解法一：构造函数，分类讨论求解二次函数最小值，然后列不等式求解即可；
解法二：分离参数，构造函数，利用基本不等式求解最值即可求解；
（3）把问题转化为，利用动轴定区间分类讨论即可求解.
【详解】（1）当时，，
所以，所以，所以的解集为.
（2）若对任意，都有成立，即在恒成立，
解法一：设，，对称轴，由题意，只须，
①当，即时，在上单调递增，所以，符合题意，所以；
②当，即时，在上单调递城，在单调递增，
所以，解得且，
所以.
综上，.
解法二：不等式可化为，即，设，，
由题意，只须，，
当且仅当即时等号成立，则，
所以，即.
（3）若对任意，存在，使得不等式成立，
即只需满足，，
，对称轴，在递减，在递增，
，，，对称轴，
①即时，在递增，恒成立；
②即时，在递减，在递增，
，，所以，故；
③即时，在递减，，，
所以，解得，综上：.
【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立（有解）问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数单调性、基本不等式求解最值是解决问题的关键.
