人教版数学九年级上册21.2.1用直接开平方法及配方法解一元二次方程 教学设计（表格式）

用直接开平方法及配方法解一元二次方程 教学设计
课 题 用直接开平方法及配方法解一元二次方程
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教材内容 分 析 1.内容 用直接开平方法及配方法解一元二次方程 2.内容解析 一元一次方程、二元一次方程组、三元一次方程组区别是方程在“元”是不同，通过“消元”，最终把后两类都转化为一元一次方程从而得解；一元一次方程与一元二次方程区别是“次”的不同，通过“降次”把一元二次方程转化为一元一次方程从而得解。形如x2=p的方程，根据平方根的意义可以用直接开平方求解。如果将一般形式方程ax2+bx+c=0（a≠0）通过配方化为(x+n)2=p的形式，那么也可利用直接开平方求解。这就是配方法的基本思想. 本节课就是通过将一般形式方程ax2+bx+c=0（a≠0）配方化为(x+n)2=p的形式用直接开平方求解。配方法不仅为后面推导一元二次方程的求根公式作好了知识准备，而且也为后续学习二次函数等知识奠定了基础。 本节课的教学重点是：理解配方法的基本思想，会用配方法解一元二次方程。
设计理念 （1）知道方程符合x2=p或(x+n)2=p（p≥0）时，能通过开平方，将二次方程转化为一次方程求解。 （2）知道配方的基本步骤，当二次项系数为1时，将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，可以把方程一边化为(x+n)2=p的形式；并知道解二次项系数不为1的一元二次方程的基本步骤。 （3）能通过对比，发现二次项系数为1时，配方的关键是将方程两边同时加上一次项系数一半的平方；二次项系数不为1时，先将二次项系数化为1.
学情分析 学生在前面已经掌握了完全平方式a2±2ab＋b2=(a±b)2的结构特征，感受了转化思想。本节课先研究方程x2=p可以根据平方根的意义直接开平方。对后面配方法是怎样想到的？“配方”到底“配”才能成为完成平方式？并且保证是“恒等变形”，配方时，在方程两边加一次项系数一半的平方，注意是两边同时加，而不是只加一边。
教学目标 （1）会用直接开平方法解一元二次方程。 （2）掌握配方的基本步骤，会用配方法解一元二次方程。 （3）在探究用配方法解一元二次方程的过程中，进一步体会化归思想。
教学重难点 教学重点是：理解配方法的基本思想，会用配方法解一元二次方程。 教学难点是：如何将方程转化为(x+n)2=p的形式。
教学过程
教学环节（一） 师生活动 1.引入问题，获得思路 问题1 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感。按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？ 师生活动：老师展示章前引言，学生思考后，列出方程并整理得x2+2x-4=0. 教师追问：这个实例得到的是一个一元二次方程，现在将学习如何解这样的方程。请同学们回忆一下，我们以前学过解哪些方程？从这些方程的解法中，你能得到什么启发？ 师生活动：学生回顾以前学习过的方程，教师引导学生得出： 解二元一次方程组、三元一次方程组是通过“消元”，将方程转化为一元一次方程。类比可知，如果能设法把二次“降”为一次，那么就可以把一元二次方程转化为会解的一元一次方程了。
设计意图 设计在该环节里的技术应用的教研与技术融合的目的是否达到。如：“采用展示 石拱桥的图片导课”，让学生从实际生活中的几何图形中观察几何。 设计意图：通过类比“消元法”，得出解一元二次方程的基本思路——降次。
教学环节（二） 师生活动 2.探索“配方法” 问题2 我们要得到一元二次方程的解法。为此，我们先从特殊的方程入手。你会解方程x2=25吗？依据是什么？ 师生活动：教师先引导学生判断方程x2=25是一元二次方程，并指出二次项系数、一次项系数和常数项各是多少，再根据平方根的意义解方程x2=25. 教师追问1：类似地，你能给出下列方程的解吗？ x2=3，2x2-8=0，x2=0，x2= -2. 教师追问2：上述方程有什么共同点？再判断它们解的情况。 师生活动：学生口答解方程的过程，归纳出一般形式x2=p，并根据p的取值范围得到方程的解的三种情况.教师板书。 设计意图：根据平方根的意义解一元二次方程x2=p，并根据p的取值讨论出方程的解的三种情况，为探究配方法奠定基础。 问题3 如果方程为(x+3)2=5，你认为怎么解？ 师生活动：学生通过观察对比这一类方程与x2=p没有实质差异，也可以根据平方根的意义，直接开平方，将方程(x+3)2=5两边开平方得x+3=±，将它转化为两个一元一次方程x+3=或x+3=。
设计意图 设计在该环节的技术应用是否合理。同样需要考虑到技术应用是否能满足教学、是否能创新教学环节、是否符合学生学情等一些列问题。 设计意图：通过对比让学生体会方程结构特征，为后续化归奠定基础。
教学环节 （三） 师生活动 问题4 怎样解方程x2+6x+4=0 ① 师生活动：先让学生观察、尝试。 教师追问1：我们能将这个方程转化为上面会解的方程吗？把方程（x+3）2=5的左边展开，得到x2+6x+9=5②.比较方程①②，你发现了什么？由此你能得到方程①的解法吗？ 教师追问2：把方程①化成方程（x+3）2=5的步骤是什么？其中的关键是什么？ 师生活动：先让学生独立思考、合作讨论。然后，教师组织交流，引导学生发现并总结转化的步骤： 第一步，把方程①左边的常数项变为9，得到x2+6x+9= 5； 第二步，将方程左边写成完全平方式。 教师追问3：为什么把方程①左边的常数项变为9？其它数为什么不行？ 师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论、发表意见，教师引导学生发现：要想使方程左边化成完全平方式，对照完全平方式中一次项系数的特征可知，当二次项系数为1时，需要在方程两边加上一次项系数一半的平方，即=32=9.而其它数不能把方程左边的式子化成完全平方式，所以不行.
设计意图 如上思考，建议要充分考虑到“恰当的时机使用恰当的技术”的问题。 设计意图：通过一系列教师追问，引导学生通过比较方程①和方程（x+3）2=5，获得配方的基本思路和步骤。
教学环节 （四） 师生活动 问题4 结合方程①的解答过程，请说出解一元二次方程x2+px+q=0的基本思路。具体步骤是什么？要注意什么问题？ 师生活动：学生独立思考、讨论、总结，教师引导学生得出：基本思路是将含有未知数的项配成完全平方式，最后得出具体步骤。 设计意图：引导学生讨论归纳出用配方法解方程x2+px+q=0的具体步骤。 练习 解方程x2+2x-4=0. 师生活动：学生独立完成。请学生板书，根据总结的步骤，给出规范格式，完成引例。这里要强调根据实际意义检验方程的根。 .
设计意图 设计意图：规范细化解题步骤，明确解题过程中每一步的目的
教学环节 （五） 师生活动 问题6 通过解方程（x+3）2=5，x2+6x+4=0，x2+2x-4=0，你能归纳这些方程的解的情况吗？ 师生活动：先由学生归纳，通过补充完善，得出：将方程化为（x+n）2=p，根据p的取值情况，得到方程的解的三种情况。
设计意图 设计意图：从特殊到一般，归纳用配方法解方程的一般思路。将方程配方成为（x+n）2=p的形式后，要让学生知道p可能的取值情况，由此得出方程的解的三种情况，为下节课推导求根公式奠定基础。
板书设计 （1）把方程转化为（x+n）2=p的形式，运用开平方法，降次求解. （2）解一元二次方程的一般步骤： （3）配方时，要注意在方程两边都加上一次项系数一半的平方。
教学反思 反思请多反思教学重难点用技术环境展示是否得到了优化、教学过程中的技术应用是否符合预期、学生互动是否满足效果、技术应用是否得到创新等问题。 1.本节课以实际问题为教学情境，激发了学生的求知欲和探索欲，有益于培养学生的应用意识。 　　2.我体会到了合作学习方式的重要，特别是“学困生”的表现，使我觉得今后教学中，更应注重树立新的教学观。 　　3.教学中，我没有照抄照搬教材，而是将某些内容进行整合，使得师生之间的互动。 　　4.体验到了课改的重要性，体验到了学“有用”数学的快乐。