河北省张家口市2023-2024学年高三上学期1月期末考试数学试题（含解析）

张家口市2023-2024学年度高三年级第一学期期末考试
数学2024．1
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
A． B．
C． D．
2．已知复数，则
A． B． C． D．
3．我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．在3，4，5，6，8，10，12，13这8个数中任取3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为
A． B． C． D．
4．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为，则该圆台的表面积为
A．5 B．6 C．11 D．12
5．的展开式中，的系数为
A．30 B．60 C．120 D．32
6．某工厂生产过程中产生的废水含有毒物质，需循环过滤后排放，过滤过程中有毒物质的含量与时间之间的关系为，若循环过滤2h后消除了10％的有毒物质，则6h后有毒物质的含量占原有有毒物质的百分比约为
A．70％ B．71％ C．73％ D．76％
7．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，，且双曲线C与椭圆E在第一象限的交点为P，若的面积为，则双曲线C的离心率为
A． B． C． D．
8．已知定义在R上的函数满足，，且，若，则
A．0 B． C．2 D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知数列是公比为q的等比数列，数列是公差为d的等差数列，且，，则下列选项正确的有
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，E，M是棱上的点，M为的中点，F是棱上的点，若平面，则下列选项正确的有
A．平面平面 B．E为的中点
C． D．平面
11．已知，函数，下列选项正确的有
A．当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象
B．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则实数的最小值为
C．若在区间上单调递增，则的取值范围是
D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围是
12．已知椭圆的离心率为，，为椭圆C的左、右焦点，P是椭圆C的上顶点，过的直线l交椭圆C于A，B两点，则下列选项正确的有
A．为等边三角形
B．直线，的斜率之积为
C．
D．当直线l与垂直时，若的周长为16，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，则__________．
14．已知向量，的夹角为，，，则__________．
15．过圆内一点作相互垂直的两条弦和，若，则__________．
16．已知函数在R上无零点，则实数a的取值范围是__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．（本小题满分10分）
某公司男女职工人数相等，该公司为了解职工是否接受去外地长时间出差，进行了如下调查：在男女职工中各随机抽取了100人，经调查，男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20．
（1）根据所给数据，完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否接受去外地长时间出差与性别有关联？
单位：人
性别 接受 不接受 合计
男
女
合计
（2）若将频率视为概率，用样本估计总体，从该公司中随机抽取5人，记其中接受去外地长时间出差的人数为X，求X的数学期望，
附表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：，其中．
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面，，，．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
19．（本小题满分12分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）若，，求的面积；
（2）已知为边的中线，且，求的最大值．
20．（本小题满分12分）
已知数列满足，
（1）若，证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前2n项和．
21．（本小题满分12分）
已知定点，点D是直线上一动点，过点D作l的垂线，与线段的中垂线交于点M，动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）不过点的直线与曲线C交于A，B两点，以为直径的圆经过点P，证明：直线过定点．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若函数在处的切线经过点，求a的值；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
张家口市2023－2024学年度高三年级第一学期期末考试
数学参考答案及评分标准2024.1
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B【解析】由，得，所以集合；由，得，所以集合，所以．故选B．
2．A【解析】，故．故选A．
3．D【解析】在这8个数中任取3个数共有种取法，能组成勾股定理关系的有，，，共3组，由古典概型，可知这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为．故选D．
4．C【解析】由题意，得上底面面积为，下底面面积为．易得该圆台的母线长为2，所以侧面积为，所以该圆台的表面积为．故选C．
5．B【解析】的展开式中含的项为，其系数为．故选B．
6．C【解析】设为过滤过程中有毒物质的含量与时间的函数，由题意知，当时，，，，又，所以．设，则．故选C．
7．A【解析】由椭圆的方程可知，半焦距．又的面积，所以，代入椭圆的方程，得，所以．又，解得，所以双曲线的离心率．故选A．
8．B【解析】由，，得，所以，所以，故是以4为周期的周期函数．又，所以，．又，所以，所以，故．又，所以．故选B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．BC【解析】由，得．
当时，，所以A错误；
当时，，所以，所以B正确；
由上知，时，，所以，，，即，所以C正确；
当时，，所以，，所以D错误．故选BC．
10．ABD【解析】对于A选项，由平面，平面，所以平面平面，故A正确；
对于B选项，因为平面，所以，又为等边三角形，所以为的中点，故B正确；
对于C选项，因为平面，所以．设的边长为2，则，．取的中点，连接，，则，，所以．在中，由余弦定理，得．在中，，所以，，所以，故C错误；
对于D选项，由上知，，又为的中点，所以，所以．又平面，平面，所以平面，故D正确．故选ABD．
11．BCD【解析】当时，，所以函数的图象向右平移个单位长度后得，所以A错误；
由题意，得，所以，得．又，所以实数的最小值为，所以B正确；
若在上单调递增，则，解得．又，所以只有当时，成立，所以C正确；
若在上只有一个零点，则解得，所以D正确．故选BCD．
12．ACD【解析】设为坐标原点，因为椭圆的离心率为，所以，即，．又，，所以为等边三角形，所以A正确；
当直线垂直于轴时，不妨设点在点上方，则，两点的坐标分别为，，又，所以直线，的斜率之积为，所以B错误；
设，因为，，所以．因为，，所以．因为，又，所以，故成立，所以C正确；
如图，由上知，为等边三角形．因为直线与垂直，所以直线为线段的垂直平分线，所以直线的斜率为，且，，所以的周长等于的周长．又，所以的周长为，所以，故，，所以直线的方程为，代入椭圆方程，整理化简得．设，则，，故，故D正确．故选ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【解析】．
14．【解析】．．
15．【解析】圆的圆心为，半径为，故．设圆心到直线和的距离分别为，，故．又，所以，解得，所以．又，解得．
16．【解析】，由，得．设，则．在区间上，，函数单调递增，在区间上，，函数单调递减，在区间上，，函数单调递减，在区间上，，函数单调递增，又，，当时，，当时，，则函数的图象如图所示，所以当时，函数在上无零点．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．解：（1）依题意，列出列联表如下：
单位：人
性别 接受 不接受 合计
男 40 60 100
女 20 80 100
合计 60 140 200
零假设为：是否接受去外地长时间出差与性别相互独立，即是否接受去外地长时间出差与性别无关，
所以．
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．
（2）由题意，接受去外地长时间出差的频率为，
所以接受去外地长时间出差的概率为．
随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，5，
由题意，得，
所以的数学期望．
18．（1）证明：因为平面，所以，，．
又，，所以与全等，所以．
又，所以．
又，所以，即．
又，，所以平面．
（2）解：由（1）可知，，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设．
因为，所以为等边三角形，所以，
所以，，，，
，，，．
设为平面的法向量，则有
即可取．
设为平面的法向量，则有
即可取，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
19．解：（1）由正弦定理，得，
所以．
又，
所以，又，
所以，又，故．
由余弦定理，得，
由，解得，所以的面积．
（2）设，则．
由及正弦定理可得，，
所以，，
故，
其中，，
当时，的最大值为．
20．（1）证明：由题意，得，，
故，
所以，即，
又，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列．
（2）解：由上知，故，
所以．
设，
故
．
21．（1）解：法一由题意知为线段的中垂线上的点，所以．
又，所以点到直线的距离与点到定点的距离相等，所以点的轨迹以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线的方程为．
法二 设，由，知．
设为的中点，得．
又因为，所以，斜率的乘积为，
即，化简得．
（2）证明：设，．
由得，则，．
因为以为直径的圆经过点，所以，
所以．
又，，
所以
，
故或．
若，则直线过点，与题意矛盾，所以，
故，所以直线，过定点．
22．解：（1），又，故，
所以函数在处的切线方程为．
又切线方程过点，所以，故．
（2）解法1：的定义域为．由，得．
设，则．
又，所以．
设，当时，，函数单调递增，
又，，
所以在区间上存在，使，
所以在区间上，，函数单调递减，
在区间上，，函数单调递增，
所以．
又由，得，即，所以，即，
所以，
故，即的取值范围为．
解法2：的定义域为．
由，得，故．
设，则．
设，则．
在区间上，，函数单调递减，
在区间上，，函数单调递增，所以，
故，即的取值范围为．