吉林省普通高中友好学校联合体2023-2024学年高一上学期第三十七届基础年段期末联考数学试题（含解析）

吉林地区普通高中友好学校联合体第三十七届基础年段期末联考
高一数学
数学试题共4页，全卷满分150分，考试时间为120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．
1．已知集合，，则
A． B．
C． D．
2．命题“”的否定为
A． B．
C． D．
3．已知，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数的零点所在区间为
A． B． C． D．
5．设函数，
A．12 B．9 C．6 D．3
6．半径为2的扇形，其周长为12，则该扇形圆心角的弧度数为
A．8 B．6 C．5 D．4
7．若，，，则下列大小关系正确的是
A． B． C． D．
8．角的终边经过点，且，则
A． B． C．或 D．或
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为符号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
10．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则具有性质
A．周期为 B．图象关于直线对称
C．图象关于点对称 D．在上单调递增
11．已知函数的图像经过点，则
A．的图像经过点 B．的图像关于原点对称
C．若，则 D．当时，恒成立
12．下列四个结论中，正确的是
A．当时，函数的最小值为3
B．若，，，则函数的最小值为4
C．当时，函数有最小值
D．当时，函数的最大值为0
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．其中第16题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
13．已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则_________．
14．不等式的解集为_________．
15．数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关．黄金分割常数也可以表示成，则_________．
16．已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是_________；若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是_________．
四、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明计算步骤．
17．（10分）已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．（12分）已知集合，
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
19．（12分）已知函数，且．
（1）求的值及的定义域；
（2）求不等式的解集．
20．（12分）某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室．由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左右两面墙的长度均为米，公司甲的报价为元．
（1）试求关于的函数解析式；
（2）现有公司乙也要参与此应急室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由．
21．（12分）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且．
（1）确定函数的解析式；
（2）用定义证明在上是增函数；
（3）解不等式．
22．（12分）已知．
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调增区间；
（3）当时，求的值域．
高一数学试题答案
一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A C B D C A
1．【答案】C
【解析】因为，
又，由并集的运算可知：，故选：C．
2．【答案】D
【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题
故原命题的否定是：。故选：D．
3．【答案】A
【解析】由结合函数是上的增函数，可得，
由结合函数是上的减函数，可得，
故“”是“”的充分不必要条件，故选：A．
4．【答案】C
【解析】，，
，为连续函数，且单调递增，
由零点存在性定理得：的零点所在区间为．故选：C．
5．【答案】B
【解析】，，
．故选B．
6．【答案】D
【解析】不妨设扇形的弧长为，所对的圆心角的弧度数为，
则有，即，解得，
所以该扇形圆心角的弧度数为4．故选：D．
7．【答案】C
【解析】，，．
故．
故选：C
8．【答案】A
【解析】因为角的终边经过点，，所以，解得，
所以，．故选：A．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
题号 9 10 11 12
答案 ACD AD BCD ABC
9．【答案】ACD
【解析】【分析】分别由不等式的同加同乘性质可得，注意选项B中为0的情况．
【详解】选项A：，．在不等式两边同除以得，A正确；
选项B：当时，，B错误；
选项C：同向不等式相加，不等号方向不变，C正确；
选项D：，，两边同除以得，，D正确．故选：ACD．
10．【答案】AD
【解析】由题意可得，
所以的最小正周期，故A正确；
因为，所以的图象不关于直线对称，故B错误；
因为，所以的图象不关于点对称，故C错误；
因为时，，所以在上单调递增，故D正确．故选：AD．
11．【答案】BCD
【解析】函数的图像经过点，，得，函数．
由，故A错误；
函数为奇函数，它的图像关于原点对称，故B正确；
若，函数在上单调递减，则，即，故C正确；
当时，，恒成立，故D正确；故选：BCD．
12．【答案】ABC
【解析】函数在上单调递增，所以当时取最小值，即3，A正确；
，所以B正确；
，所以C正确；
当时，，，，
有最小值，所以D错误．所以ABC正确．故选：ABC．
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．其中第16题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
13．【答案】3
【解析】函数为定义在上的奇函数，则．
故答案为：3．
14．【答案】
【解析】，又，则，所以．
15．【答案】2
【解析】．
故答案为：2．
16．【答案】（1）， （2）
【解析】时，函数的图象如下图所示：
要使在区间上单调递增，则，解得，又，所以的取值范围是；要使关于的方程有三个不同的根，则，即，所以的取值范围是，故答案为：；．
四、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明计算步骤．
17．【解析】（1），，；
（2）原式．
18．【解析】（1）当时，，
，因此，；
（2）．
①当时符合题意，此时，即；
②当时，要满足，则，
综上所述，当时，实数的取值范围是．
19．【解析】（1）因为，解得．
由题意可得，解得，故的定义域为．
（2）不等式等价于，
即，
由于在上单调递增，则，解得．
故不等式的解集为．
20．【解析】（1）由题意，得
即关于的函数解析式为．
（2）对于公司甲：
当且仅当，即时取等号．
即当左右两侧墙的长度为4米时，公司甲的报价最低为28800元．
对于公司乙：
当时，，
即公司乙的最高报价为22600元．
因为
所以无论取何值，公司甲的报价都比公司乙高，故公司乙竞标成功．
21．【解析】（1）因为函数，恒成立，
所以，则，
此时，所以，
解得，所以；
（2）证明：设，
则，
，
，且，则，
则，即，
所以函数是增函数．
（3），
，
是定义在上的增函数，，得，
所以不等式的解集为．
22．【解析】（1）
函数的最小正周期．
（2）由
得
所求函数的单调递增区间为．
（3），．
，，的值域为．