1.功与功率
核心素养定位 物理观念 (1)理解功的概念，掌握功的计算式． (2)知道功是标量，理解正功、负功的含义． (3)理解功率的概念．
科学思维 (1)知道几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体做功的代数和． (2)会运用极限思想得到瞬时功率表达式P＝Fv. (3)能分析汽车发动机功率一定时，牵引力与速度之间的关系，并能分析、解释实际生活中的一些现象．
科学态度与责任 关注生产生活中常见机械做功、功率大小及其意义，养成分析物理过程的良好习惯．
一、功功是标量
1．内容：力对物体所做的功，等于________的大小、________的大小、力与位移夹角的________这三者的乘积．
2．公式：W＝________．
3．功的单位：在国际单位制中，功的单位是______，简称________，符号是________．
4．功的单位的物理意义：1 J等于________使物体在____________发生1 m位移的过程中所做的功，即1 J＝1 N×1 m＝________．
二、正功和负功
1．正功和负功既不表示大小，也不表示方向
α的取值 W的取值 含义
α＝ W＝0 力F________
0≤α＜ W________0 力F对物体做________
＜α≤π W________0 力F对物体做________
2.总功
当一个物体在几个力的共同作用下发生一段____________时，这几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体所做功的________．
合力恒定，可用W总＝F总l cos α计算
三、功率
1．定义：力做的________与完成这些功所用________之比，叫作功率．
2．定义式：P＝________．
3．单位：在国际单位制中，功率的单位是________，简称瓦，用符号W表示．技术上常用的单位是千瓦(kW)
4．意义：功率是标量，它是表示物体________的物理量．
5．功率与速度
(1)关系：当一个力与运动方向在同一直线上时，这个力对物体做功的功率等于这个力与______________的乘积．不在同一直线时用P＝Fv cos α计算
(2)关系式：P＝________．
①若v是物体的平均速度，则P＝Fv为对应时间t内的________．
②若v是瞬时速度，则P表示该时刻的________．
(3)应用：从P＝Fv可以看出，汽车、火车等交通工具，当发动机的输出功率P一定时，牵引力F与速度v成________，要增大牵引力，就要减小速度．
【情境思考】
一物体在两个力F1、F2的共同作用下发生了一段位移，做功分别为W1＝6 J、W2＝－6 J．
(1)何为动力？何为阻力？
(2)两个力大小相等吗？
如图所示，用力F拉动物体分别在光滑水平面上加速运动L、在粗糙水平面上匀速运动L、沿斜面向上减速运动L，哪种情况下力F做的功多？
分析：由功的公式可知，力F做的功一样多．
1 负号的意义
－6 J的功要比5 J的功多，－6 J的功和6 J的功一样多．
这里的“＋”“－”不表示大小，而表示做功的正负．
2
如图所示，木块受到相互垂直的两个力F1和F2.F1做的功为4 J，F2做的功为3 J，则F1和F2的合力做功是多少？
分析：合力做功为7 J，而非5 J，功是标量，直接代数求和．
3
P＝是功率的定义式，适用于任何情况下功率的计算．功率反映物体做功的快慢程度，与做功多少无关，功率越大，机械做功就越快．
“快”与“多”是不同的
4
“某秒末”或“到某位置时”的功率是指瞬时功率，只能用P＝Fv cos α求解；“某段时间内”或“某个过程中”的功率，是指平均功率，此时可用＝求解，也可以用＝Fcos α求解．
目标一 功及其正负
【导思】
甲图中人拉车向前运动，乙图中人拉车阻止车前行．
(1)甲图中人对小车做正功还是做负功？
(2)乙图中人对小车做正功还是做负功？
【归纳】
1．对功的理解
(1)两个决定因素
①作用在物体上的力；
②物体在力的方向上的位移．
(2)功是力在空间上的积累，它总是与一个过程相对应．
2．功是标量
(1)功是标量．功的正、负并不表示功的方向，而是表示动力做功还是阻力做功．
(2)一个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功．
3．判断功的正、负的方法
(1)根据力F与物体位移l的夹角α判断——常用于恒力做功的情形．
(2)根据力与物体瞬时速度的夹角θ判断——常用于变力做功的情形．
如图所示：
①若夹角θ是锐角，力做正功；
②若夹角θ是钝角，力做负功；
③若夹角θ是直角，力不做功．
【典例】
例 1 很多大型商场都安装了台阶式自动扶梯，方便乘客购物，如图所示，扶梯水平台阶上的人随扶梯一起做斜向上的匀加速运动．下列说法中不正确的是( )
A.重力对人做负功
B．支持力对人做正功
C．摩擦力对人做正功
D．合外力对人做功为零
例 2[2023·天津南开区高一下期末]下列说法中错误的是( )
A．－10 J的功大于＋5 J的功
B．功是标量，正、负表示外力对物体做正功或物体克服外力做功
C．一个力对物体做了负功，说明这个力一定阻碍物体的运动
D．功是矢量，正、负表示方向
目标二 功的计算
【导思】
仔细观察下列图片，请思考：
(1)如图甲所示，当F与l的夹角为α时，还能用公式W＝Fl来计算功吗？
(2)图乙中F的两个分力做功的情况是什么？说明什么问题？
(3)图丙的物理意义是什么？
(4)图丁中F1和F2分别对物体做的功是多少？代数和为多大？
(5)图丁中F1和F2合力为多大？合力做功是多少？
【归纳】
1．对公式W＝Fl cos α的理解
(1)公式W＝Fl cos α，可以理解为力乘在力的方向上的位移，即W＝F(l cos α)，也可以理解为位移乘在位移方向上的分力，即W＝(F cos α)l.
(2)力F对物体所做的功W，只与F、l、α三者有关，与物体的质量、运动状态、运动形式以及是否受其他力等因素均无关．
(3)因为功是过程量，反映力在空间位移上的累积效果，对应一段位移或一段过程，所以用公式W＝Fl cos α求力做的功时，一定要明确是哪个力在哪一段位移上(或在哪一个过程中)所做的功．
2．计算总功的两种方法
(1)首先由W＝Fl cos α计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3…，然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋….
(2)首先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合l cos α计算总功，α为F合的方向与l的方向间的夹角．
【典例】
例 3 如图所示，大小为12 N，沿水平方向的恒力F作用在质量为2 kg的木箱上，使木箱在水平地面上沿直线运动．已知木箱与水平地面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2.当木箱从静止开始运动了12 m时，下列说法正确的是( )
A．力F做的功W1＝120 J
B．重力做的功W2＝240 J
C．克服摩擦力做的功W3＝120 J
D．合力做的功W合＝0
例 4 如图所示，一位质量为m＝50 kg的滑雪运动员从高度h＝30 m的斜坡顶端自由滑下(初速度为零)．斜坡的倾角θ＝37°，滑雪板与雪面间的动摩擦因数μ＝0.1.运动员滑至坡底的过程中，不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8．
(1)各个力所做的功分别是多少？
(2)合力做了多少功？
目标三 对功率的理解及计算
【导思】
质量为m的苹果从高处自由下落，运动时间大于等于t.
(1)经时间t，重力对苹果做功的平均功率为多少？
(2)在t时刻，重力对苹果做功的瞬时功率为多少？
【归纳】
1．公式P＝和P＝Fv的比较
P＝ P＝Fv
适用 条件 ①功率的定义式，适用于任何情况下功率的计算，一般用来求平均功率 ②当时间t→0时，可由定义式确定瞬时功率 ①功率的计算式，仅适用于F与v同向的情况，若不同向，P＝＝＝Fv cos α ②v为平均速度时，功率为平均功率，v为瞬时速度时，功率为瞬时功率
联系 公式P＝Fv是P＝的推论
2.平均功率的计算
(1)利用＝；
(2)利用＝Fcos α，其中F为恒力，为物体运动的平均速度．
3．瞬时功率的计算
利用公式P＝Fv cos α进行计算，其中v为瞬时速度．若vF为物体的速度在力F方向上的分速度，则P＝FvF；若Fv为物体所受外力在速度v方向上的分力，则P＝Fvv.
4．公式P＝Fv中三个量的制约关系
条件 各量间的关系 应用
P一定 F与v成反比 汽车上坡时，要增大牵引力，应换低速挡减小速度
v一定 F与P成正比 汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力
F一定 v与P成正比 汽车在高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度
【典例】
例 5[2023·山东潍坊高一联考](多选)“高空抛物”一直被称为悬在城市头顶上的痛，尤其是人为的高空抛物，更给公共安全带来极大的危害．如图所示，若从约20 m高七楼阳台处，将一质量为1 kg的花盆水平推出，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.下列说法正确的是( )
A．1 s内重力的平均功率为50 W
B．整个过程中重力的平均功率为200 W
C．落到地面上时，重力的瞬时功率为200 W
D．落到地面上时，重力的瞬时功率为100 W
例 6 某医院按上级指示派出医疗小组开车到某地进行医疗救援，在某上坡的路段以10 m/s的速度匀速行驶．已知车辆和医疗小组人员总质量为2.0×103 kg，该上坡的路段与水平面成15°角，假设受到的阻力为1.8×103 N．此时汽车的发动机功率是(g＝10 m/s2，sin 15°＝0.26)( )
A．18 kW B．52 kW
C．70 kW D．20 kW
规律方法
求解功率的思路
(1)明确是求哪个力的功率．
(2)若求平均功率，还需明确是哪段时间内的平均功率，可由公式P＝F或P＝来计算．
(3)若求瞬时功率，需明确是哪一时刻或哪一位置，再确定该时刻或该位置的速度，应用公式P＝Fv来计算，如果F与v不同向，则利用P＝Fv cos α来计算(α为力与速度方向的夹角)．
例 7 下表列出了某种型号轿车的部分数据，试根据表中数据回答问题．
长/mm×宽/mm×高/mm 4 871×1 835×1 460
净重/kg 1 500
传动系统 前轮驱动5挡变速
发动机型 直列4缸
发动机排量/L 2.0
最高速度/(km/h) 252
100 km/h的加速时间/s 10
额定功率/kW 140
图为轿车中用于改变车速的挡位，手推变速杆到达不同挡位可获得不同的运行速度，从“1”到“5”逐挡速度增大，R是倒车挡．试问轿车要以最大动力上坡，变速杆应推至哪一挡？该车以额定功率和最高速度运行时，轿车的牵引力为多大( )
A.“1”挡 2 000 N B．“5”挡 2 000 N
C.“1”挡 4 000 N D．“5”挡 8 000 N
1.第24届冬季奥林匹克运动会在2022年由北京市和张家口市联合举办，雪车(也称“有舵雪橇”)比赛是冬奥会比赛项目之一．如图所示，在一段赛道上，运动员操控雪车无助力滑行，沿斜坡赛道由静止从A点滑行至B点，再沿水平赛道滑行至C点停下来．已知运动员和雪车的总质量为m，A、B两点间的竖直高度为h，雪车与赛道间的动摩擦因数处处相同，重力加速度为g，忽略空气阻力的影响．运动员及雪车从A点滑行到B点的过程中，下列说法正确的是( )
A．重力做正功 B．支持力做正功
C．支持力做负功 D．摩擦力做正功
2．如图所示，某同学在家中用拖把擦地板，在布沿地面移动0.9 m的过程中，拖布所受地面摩擦力的大小恒为20 N．此过程中地面摩擦力对布做的功为( )
A．9 J B．18 J
C．－9 J D．－18 J
3．如图所示，四个相同的小球在距地面相同的高度处以相同的速率分别竖直下抛、竖直上抛、平抛和斜抛，不计空气阻力．下列关于这四个小球从抛出到落地过程的说法中正确的是( )
A．各小球飞行过程中，重力的功率不变
B．小球落地时，重力的瞬时功率相同
C．小球落地时，重力的瞬时功率不完全相同
D．从开始运动至落地，重力对小球做功的平均功率相同
4．“玩具赛车顶篮球”是儿童特别喜欢的游戏．如图所示，质量m＝2 kg的玩具赛车在水平跑道上启动，以加速度大小a＝4 m/s2匀加速直线行驶，经过位移x＝32 m时恰好撞击正前方的篮球．已知玩具赛车运动时受到的阻力恒为Ff＝2 N，则玩具赛车从启动到撞击篮球过程牵引力F做的功WF和撞击篮球前瞬间牵引力F的瞬时功率PF分别为( )
A．WF＝320 J，PF＝80 W
B．WF＝320 J，PF＝160 W
C．WF＝160 J，PF＝160 W
D．WF＝160 J，PF＝80 W
5．如图所示，质量为20 kg的小孩坐在雪橇上，现用一个与水平方向成37°角、 大小为50 N的力拉着雪橇沿水平地面从静止开始以a＝0.4 m/s2的加速度做匀加速直线运动．已知雪橇的质量为20 kg，cos 37°＝0.8.
(1)5 s内拉力对雪橇和小孩做的功是多少？
(2)求5 s末地面与雪橇间摩擦力的瞬时功率大小．
1．功与功率
导学 掌握必备知识
一、
1．力 位移 余弦
2．Fl cos α
3．焦耳 焦 J
4．1 N的力 力的方向上 1 N·m
二、
1．不做功 ＞ 正功 ＜ 负功
2．位移 代数和
三、
1．功 时间
2.
3．瓦特
4．做功快慢
5．(1)物体速度 (2)Fv ①平均功率 ②瞬时功率 (3)反比
情境思考
提示：(1)F1为动力，F2为阻力． (2)不一定相等．
共研 突破关键能力
目标一
提示：(1)正功 (2)负功
[例1] 解析：人随电梯斜向上运动，位移方向与重力方向成钝角，由W＝FL cos α知重力做负功，A正确；电梯对人的支持力竖直向上，位移方向与支持力方向成锐角，由W＝FL cos α知支持力对人做正功，B正确；人具有水平向右的加速度，由牛顿第二定律知电梯对人的摩擦力方向水平向右，位移方向与摩擦力方向成锐角，由W＝FL cos α知摩擦力对人做正功，C正确；人随扶梯一起做斜向上的匀加速运动，合外力斜向上，合外力方向与位移方向相同，合外力对人做正功，D错误．
答案：D
[例2] 解析：功的正负与做功的多少无关，则－10 J的功大于＋5 J的功，选项A正确；功是标量，正、负表示外力对物体做正功或物体克服外力做功，选项B正确，D错误；一个力对物体做了负功，说明这个力一定阻碍物体的运动，选项C正确．
答案：D
目标二
提示：(1)不能．只有当力的方向与物体的位移方向相同时，才可以用公式W＝Fl来计算功．
(2)物体在分力F sin α的方向上没有位移，故这个分力不做功．而另一分力F cos α与物体的运动方向相同，故可以用公式W＝Fl计算，其值为F cos α·l.由于F与两个分力为等效替代关系，F做的功等效为分力F cos α做的功，即F做的功为W＝F cos α·l＝Fl cos α.
(3)力是矢量，位移也是矢量，我们既然可以分解力，也可以分解位移．把位移沿垂直于力和平行于力的方向分解，其中只有与力F方向一致的分位移l cos α才是有效位移，再用公式可得W＝F·l cos α，即W＝Fl cos α.这个结论与(2)的结论是一样的．
(4)F1与F2的合力在水平方向上，通过作力的矢量三角形可知，F1、F2与位移的夹角分别为θ1＝53°，θ2＝37°.
力F1做的功：W1＝F1l cos θ1＝3×10×0.6 J＝18 J.
力F2做的功：W2＝F2l cos θ2＝4×10×0.8 J＝32 J.
W1与W2的代数和W＝W1＋W2＝18 J＋32 J＝50 J.
(5)两力互相垂直，F1与F2的合力
F＝＝ N＝5 N，
合力F做的功W＝Fl＝5×10 J＝50 J．
[例3] 解析：根据做功公式可得力F做的功W1＝Fl＝144 J，故A错误；木箱在重力方向上没有位移，则重力不做功，故B错误；根据做功公式可得摩擦力Ff做的功W′3＝－Ffl＝－μmgl＝－120 J，所以克服摩擦力做的功W3＝120 J，故C正确；合力做的功W合＝W1＋W′3＝24 J，故D错误．
答案：C
[例4] 解析：(1)重力做的功为
WG＝mgh＝50×10×30 J＝1.5×104 J，
因支持力与速度始终垂直，所以支持力做功为WFN＝0.
摩擦力做的功为
WFf＝－Ffl＝－μmg cos 37°×＝－2×103 J.
(2)合力做的功为W合＝WG＋WFf＋WFN＝(1.5×104－2×103)J＝1.3×104 J.
答案：(1)重力做功为1.5×104 J，支持力做功为零，摩擦力做功为－2×103 J.
(2)1.3×104 J
目标三
提示：(1)苹果自由下落，t时刻速度为v＝gt，时间t内苹果的平均速度为＝＝gt，则在时间t内重力对苹果做功的平均功率＝mg＝mg2t.
(2)在t时刻重力做功的瞬时功率P＝mgv＝mg2t.
[例5] 解析：花盆只受重力，竖直方向上做自由落体运动，1 s内花盆下落的高度为h1＝＝5 m，所以1 s内重力做功为WG1＝mgh1＝50 J，平均功率P1＝＝50 W，A正确；花盆下落的时间可由公式h＝gt2求得，代入数据得t＝2 s，整个过程中重力做功为WG2＝mgh＝200 J，故平均功率为P2＝＝100 W，B错误；落到地面时，在竖直方向有v2＝2gh，解得到达地面上时竖直方向的速度为20 m/s，所以重力的瞬时功率P3＝mgv＝1×10×20 W＝200 W，C正确，D错误．
答案：AC
[例6] 解析：汽车的发动机功率P＝Fv，汽车匀速行驶时处于平衡状态，有F＝F阻＋mg sin 15°，联立以上两式求得P＝70 kW，故选C.
答案：C
[例7] 解析：由P＝Fv可知，当P一定时，v越小，F越大，因此，上坡时应推至“1”挡．当以最高速度行驶时，F＝＝ N＝2 000 N．故选项A正确．
答案：A
精练 落实学科素养
1．解析：由图可知，运动员及雪车从A点滑行到B点的过程中，重力方向与位移方向的夹角为锐角，根据W＝Gx cos θ，可知重力做正功，故A正确；支持力方向总是与运动方向垂直，支持力不做功，故B、C错误；摩擦力方向总是与运动方向相反，摩擦力做负功，故D错误．故选A.
答案：A
2．解析：根据W＝Ffx cos 180°＝－20×0.9 J＝－18 J，故选D.
答案：D
3．解析：小球在不同时刻的竖直分速度大小不同，据P＝mgvy知，重力的功率是变化的，A错误．四个球落地时的竖直分速度不完全相同，则小球落地时重力的瞬时功率不完全相同，仅有竖直上抛、竖直下抛的物体落地时，重力的瞬时功率相同，B错误，C正确．重力做功WG＝mgh，起点与终点的竖直高度相等，重力做功相等，但运动时间不同，由P＝知，重力对小球做功的平均功率不同，D错误．
答案：C
4．解析：玩具车以加速度大小a＝4 m/s2匀加速直线行驶，由牛顿第二定律有F－Ff＝ma，解得牵引力为F＝10 N，则玩具赛车从启动到撞击篮球过程牵引力F做的功为WF＝Fx＝320 J．撞击篮球前瞬间玩具车的速度为v＝＝16 m/s，则牵引力F的瞬时功率为PF＝Fv＝160 W，故选B.
答案：B
5．解析：(1)5 s内的位移x＝at2，
拉力做的功W＝Fx cos 37°，
解得W＝200 J.
(2)5 s末的速度v＝at，
对小孩和雪橇，由牛顿第二定律有F cos 37°－Ff＝2ma，
摩擦力做功的功率P＝－Ffv，
解得P＝－48 W.
答案：(1)200 J (2)－48 W2．重力势能
核心素养定位 物理观念 (1)知道重力做功的特点． (2)理解重力势能的表达式． (3)了解弹性势能的概念及决定因素．
科学思维 (1)通过不同路径重力做功的分析，归纳出重力做功与路径无关的特点． (2)通过重力做功与重力势能变化的关系，体会功能关系． (3)知道重力势能的大小与参考平面的选取有关，即重力势能具有相对性，但重力势能的变化量与参考平面的选取无关．
科学态度与责任 熟练掌握具体应用中重力做功和重力势能的特点和计算方法．
一、重力做的功
1．做功表达式：WG＝mgΔh＝mgh1－mgh2，式中Δh指初位置与末位置的高 度差，h1、h2分别指初位置、末位置的高度．Δh为重力方向上的位移
2．做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的________和________的位置有关，而跟物体运动的________无关．
3．做功的正负：物体下降时重力做____________功；物体被举高时重力做____________功．
二、重力势能
1．定义：我们把________叫做物体的重力势能，常用Ep表示． 标量
2．表达式：Ep＝________．
3．单位：在国际单位制中是______，符号为______.1 J＝1 kg·m·s－2·m＝1 N·m.
4．重力做功与重力势能变化的关系
初势能减去末势能
(1)表达式：WG＝________________．
(2)两种情况
①当物体从高处运动到低处时，重力做________，重力势能________，即WG＞0，Ep1＞Ep2.
②当物体由低处运动到高处时，重力做______，重力势能________，即WG＜0，Ep1＜Ep2.
1 重力做功与路径无关
物体沿路径Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动，重力做功相同．
1
重力势能是物体和地球所组成的系统共同具有的能量，而不是物体独有的，通常所说的物体的重力势能是一种简略的习惯说法．
2
重力势能的计算公式Ep＝mgh只适用于地球表面及其附近g值不变时，当g值变化时，不能用其计算．
三、重力势能的相对性
1．参考平面：物体的重力势能总是相对于某一________来说的，在参考平面上，物体的重力势能取为________．
2．相对性：选择不同的参考平面，物体重力势能的数值________(选填“相同”或“不同”)． 根据解题需要任意选取
3．正负的含义：参考平面上方物体的重力势能是________，参考平面下方物体的重力势能是________．“＋”“－”号代表重力势能的大小
四、弹性势能
1．定义：发生________的物体的各部分之间，由于有________的相互作用，也具有势能，这种势能叫作弹性势能．
2．弹簧的弹性势能：弹簧的长度为原长时，弹性势能为________；弹簧被________或被________时，就具有了弹性势能．
3．弹力做功与弹性势能的变化与重力做功和重力势能的变化相同
弹簧弹力做正功，弹簧的弹性势能________；弹簧弹力做负功，弹簧的弹性势能________．
4．影响因素
(1)弹簧的________．
(2)弹簧的________．
【情境思考】
如图，质量为m的足球在地面1的位置被踢出后落到地面3的位置，在空中达到的最高点2的高度为h.请对以下结论作出判断．
(1)足球由位置1运动到位置2时，重力做的功为mgh.( )
(2)足球由位置2运动到位置3时，重力势能减少了mgh.( )
(3)足球由位置1运动到位置3时，足球重力势能变化量为0.( )
2 重力势能的相对性
图中选择不同的参考平面，小球的重力势能有不同的值．
弹性势能有正负之分
取弹簧处于原长时的弹性势能为零，无论拉伸或压缩，弹簧的弹性势能都为正值．
发生弹性形变是物体具有弹性势能的必要条件．发生塑性形变时，因为物体各部分之间无弹力，所以不具有弹性势能．
目标一 重力做功的理解和计算
【导思】
如图所示，滑雪者靠重力沿山坡正在下滑，滑雪者下滑过程中会受到阻力的影响，还会受到滑雪杆或滑雪板的影响．
(1)在这种情况下，重力做正功还是负功？
(2)重力做功的多少会受其他力影响吗？
【归纳】
1．重力做功只与重力和物体高度变化有关，与运动路径无关．
2．物体下降时重力做正功，WG＝mgh；
物体上升时重力做负功，WG＝－mgh.
3．重力做功的特点可推广到任一恒力做功．恒力做功的特点是与具体路径无关，即恒力做的功等于力与在力的方向上的位移大小的乘积，跟初、末位置有关．
【典例】
例 1 如图所示，一物体从A点出发，分别沿粗糙斜面AB下滑、光滑斜面AC下滑及斜向上抛出，运动后到达同一水平面上的B、C、D三点．关于重力的做功情况，下列说法正确的是( )
A.沿AB面滑下时，重力做的功最多
B．沿AC面滑下时，重力做的功最多
C．沿AD抛物线运动时，重力做的功最多
D．三种情况下运动时，重力做的功相等
例 2 小李将质量为m的篮球(视为质点)从距水平地面的高度为h处由静止释放，篮球多次弹起后静止在地面上，篮球第n次弹起的高度hn＝(n＝1，2，3，…)．重力加速度大小为g.整个过程中，篮球受到的重力做的功为( )
A．0 B．mgh
C．mgh D．2mgh
目标二 对重力势能的理解及计算
【导思】
如图所示，打夯时，夯锤被高高举起，然后砸向地面，设夯锤质量为m，重力加速度大小为g.
(1)选择地面为参考平面，夯锤在地面上的重力势能是多少？夯锤从地面被举高h后重力势能是多少？
(2)选择离地面高度h处为参考平面，夯锤在地面上的重力势能是多少？夯锤在h处重力势能是多少？
【归纳】
1．重力势能与重力势能的变化量
(1)重力势能Ep＝mgh具有相对性，与参考平面的选取有关，其中h是相对参考平面的高度．当物体在参考平面下方h处时，重力势能Ep＝－mgh.
(2)重力势能是标量，但有正负，正负表示重力势能的大小．
(3)重力势能的变化量ΔEp与参考平面的选取无关，重力势能的变化量是绝对的．
2．重力做功与重力势能变化的关系
WG＝Ep1－Ep2
(1)当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，重力势能的减少量等于重力所做的功．
(2)当物体由低处运动到高处时，重力做负功(物体克服重力做功)，重力势能增加，重力势能的增加量等于物体克服重力所做的功．
【典例】
例 3 (多选)关于重力势能，以下说法中正确的是( )
A．某个物体处于某个位置，重力势能的大小是唯一确定的
B．只要重力做功，重力势能一定变化
C．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
D．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能变大了
例 4 如图所示，“天津之眼”摩天轮直径为110米，轮外装挂48个360°透明座舱，每个座舱可乘坐8个人，可同时供384个人观光．假设某一游客质量为m，游客到圆心的距离为R，重力加速度为g，摩天轮转动的角速度为ω，游客从最低点开始计时，以最低点为重力势能的零点．则经过时间t，游客重力势能随时间变化的关系式为( )
A.Ep＝mgR(1－cos ωt) B．Ep＝mgR(1＋cos ωt)
C．Ep＝mgR(1－sin ωt) D．Ep＝mgR(1＋sin ωt)
例 5 一棵树上有一个质量为0.3 kg的熟透了的苹果P，该苹果从树上A先落到地面C，后又滚入沟底D.A、B、C、D、E之间竖直距离如图所示．以地面C为零势能面，g取10 m/s2，则该苹果从A下落到D的过程中重力势能的减少量和在D处的重力势能分别是( )
A．15.6 J和9 J B．9 J和－9 J
C．15.6 J和－9 J D．15.6 J和 －15.6 J
规律方法
重力势能的三种求解方法
(1)根据重力势能的定义求解：选取零势能参考平面，由Ep＝mgh可求质量为m的物体在离零势能参考平面h处的重力势能．
(2)由重力做功与重力势能变化的关系求解：由WG＝Ep1－Ep2知Ep2＝Ep1－WG或Ep1＝WG＋Ep2.
(3)由等效法求重力势能：重力势能的变化与运动过程无关，只与初、末位置有关．ΔEp＝mgΔh＝Ep2－Ep1.
目标三 弹性势能
【导思】
如图所示，弹簧拉力器可以锻炼臂力．
(1)人不用力时，弹簧不伸长，此时弹簧有弹性势能吗？
(2)人拉弹簧时对弹簧做什么功？弹簧的弹性势能怎么变化？
(3)在弹簧弹性限度内，人将弹簧拉得越长，克服弹力做功越多吗？弹性势能越大吗？
【归纳】
1．对弹性势能的理解
(1)系统性：弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量，因此弹性势能具有系统性．
(2)(弹簧)弹性势能的影响因素：
①弹簧的形变量x；②弹簧的劲度系数k.
(3)相对性：弹性势能的大小与选定的弹性势能为零的位置有关，对于弹簧，一般规定弹簧处于原长时的弹性势能为零．
2．弹性势能与弹力做功的关系
(1)弹力做正功时，弹性势能减小．
(2)弹力做负功时，弹性势能增大．
(3)弹力做功与弹性势能变化的关系为W弹＝－ΔEp.
【典例】
例 6 (多选)如图所示，一个物体以速度v0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩至最短的过程中，以下说法正确的是( )
A．弹簧的弹力大小与弹簧的压缩量成正比
B．物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等
C.弹簧的弹力做正功，弹性势能增加
D．弹簧的弹力做负功，弹性势能增加
1.
如图所示，质量为m的工件悬吊在水平操作台面上方，工件重心离地面的高度为h1，操作台面离地面的高度为h2.已知重力加速度为g，若选操作台面为零势能面，工件的重力势能为( )
A．mgh1 B．mgh2
C．mg(h1－h2) D．mg(h1＋h2)
2.
如图所示，一颗人造地球卫星绕地球沿椭圆轨道运动，下列说法正确的是( )
A．卫星在A点的重力势能比在B点的重力势能大
B．卫星在B点的重力势能比在A点的重力势能大
C．卫星在A、B两点的重力势能相等
D．条件不足，无法比较卫星在A、B两点的重力势能
3.
登山，不仅可以强身健体，还可领略大自然的旖旎风光，陶冶人的情操．一位登山爱好者从某网红登山地山脚的A点登至山顶上的B点，这一过程中登山者克服重力做了一定的功．下列所述因素中与登山者克服重力做功多少无关的是( )
A．登山者连同所携带的装备的质量
B．当地的重力加速度的大小
C．B点与A点的高度差
D．登山者由A点登至B点的路线
4.
(多选)位于重庆永川乐和乐都主题公园的极限蹦极高度约60米，是西南地区的蹦极“第一高”．为了研究蹦极运动过程，做以下简化，将游客视为质点，他的运动始终沿竖直方向．弹性绳的一端固定在O点，另一端和游客相连．游客从O点自由下落，至B点弹性绳自然伸直，经过合力为零的C点到达最低点D，然后弹起，整个过程中弹性绳始终在弹性限度内，不考虑空气阻力的影响．游客在从O→B→C→D的过程中，下列说法正确的是( )
A．从O到C过程中，游客的机械能守恒
B．从B到D过程中，弹性绳的弹性势能一直增加
C．从O到C过程中，游客的重力势能减少，动能增加
D．从B到D过程中，游客的加速度一直减小
5.
“负重爬楼”是消防队员的日常训练项目之一．某次“10层负重登顶”比赛中，质量为70 kg的消防员背约30 kg的重物，在50 s内由地面到达10层楼顶．下列说法正确的是( )
A．楼梯对消防员的支持力做正功
B．消防员对重物做功约为3 000 J
C．消防员增加的重力势能约为7 000 J
D．消防员克服自身重力做功的平均功率约为420 W
6．假设某一青年女子在楼上将绣球水平抛出，抛出点离地4.5 m，绣球质量为0.6 kg，在离地2.0 m处被一男青年抢到．重力加速度取10 m/s2，在绣球被抛出至被抢到的过程中，下列说法正确的是( )
A．重力做功15 J
B．重力势能增加了15 J
C．若以抛出点为参考平面，绣球被抢到时的重力势能为－27 J
D．若以地面为参考平面时，上述过程中绣球重力势能的变化量最大
2．重力势能
导学 掌握必备知识
一、
2．起点 终点 路径
3．正 负
二、
1．mgh
2．mgh
3．焦耳 J
4．(1)Ep1－Ep2 (2)①正功 减少 ②负功 增加
三、
1．水平面 0
2．不同
3．正值 负值
四、
1．弹性形变 弹力
2．零 拉伸 压缩
3．减小 增大
4．(1)劲度系数 (2)形变量
情境思考
答案：(1)× (2)√ (3)√
共研 突破关键能力
目标一
提示：(1)重力做正功． (2)重力做功不受其他力的影响．
[例1] 解析：因为重力做功与路径无关，只与初末位置的高度差有关，所以三种情况做功相同，故D正确．
答案：D
[例2] 解析：由题意可知最终篮球将静止在地面上，整个过程篮球初、末状态的高度差为h，所以篮球受到的重力做的功为mgh，故选C.
答案：C
目标二
提示：(1)0 mgh (2)－mgh 0
[例3] 解析：选取不同的零势能面，同一位置同一物体的重力势能是不同的，故A错误．重力势能的改变量等于重力做功的多少，若重力做功，重力势能一定发生变化，故B正确．重力势能的表达式Ep＝mgh，若物体在零势能面的上方，重力势能为正值，则物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大；若物体在零势能面的下方，重力势能为负值，则物体与零势能面的距离越大，它的重力势能越小，故C错误．重力势能是标量，一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能增大了，故D正确．
答案：BD
[例4] 解析：设乘客与圆心的连线与竖直方向的夹角为θ，重力势能随时间变化的关系式为Ep＝mgh＝mgR(1－cos θ)，θ＝ωt，联立得Ep＝mgh＝mgR(1－cos ωt)，故选A.
答案：A
[例5] 解析：以地面C为零势能面，苹果从A下落到D的过程中重力势能的减少量ΔEp＝mgΔh＝0.3×10×(0.7＋1.5＋3.0)J＝15.6 J，D处的重力势能Ep＝mgh＝0.3×10×(－3.0)J＝－9 J．
答案：C
目标三
提示：(1)弹簧不伸长，没有弹性势能．
(2)人对弹簧做正功，弹性势能增加．
(3)将弹簧拉得越长，克服弹力做功越多，弹性势能越大．
[例6] 解析：由F＝kx知，A正确；弹簧开始被压缩时弹力较小，发生相同的位移时弹力做的功较少，弹簧的压缩量较大时，物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功较多，故B正确；物体压缩弹簧，弹簧的弹力与弹力作用点的位移方向相反，所以弹力做负功，弹性势能增加，故C错误，D正确．
答案：ABD
精练 落实学科素养
1．答案：C
2．答案：B
3．解析：根据WG＝mgh，可知重力做功与质量、当地的重力加速度和初末位置的高度有关，与路径无关，D正确，A、B、C错误．故选D.
答案：D
4．解析：从B到C过程中，弹力做功，则游客的机械能不守恒，故A错误．从B到D过程中，弹性绳被拉长，则弹性势能一直增加，故B正确．从O到C过程中，高度一直降低，则重力势能减少，速度一直增加，则动能增加，故C正确．从B到C，弹力小于重力，弹力从零开始逐渐变大，加速度减小，到C点时加速度为零；从C到D，弹力大于重力，加速度向上逐渐变大，则从B到D过程中，游客的加速度先减小后增大，故D错误．故选B、C.
答案：BC
5．解析：整个过程中，支持力的作用点没有发生位移，楼梯对消防员的支持力不做功，故A错误；重物重力势能增加ΔEp＝mg·Δh＝30×10×30 J＝9 000 J，则消防员对重物做功约为9 000 J，故B错误；消防员重力势能增加ΔEp1＝m1g·Δh＝70×10×30 J＝21 000 J，故C错误；消防员克服自身重力做功等于重力势能增加，约为21 000 J，则消防员克服自身重力做功的平均功率约为P＝＝ W＝420 W，故D正确．
答案：D
6．解析：重力做功为WG＝mgh＝0.6×10×(4.5－2.0) J＝15 J，A正确；重力做正功，重力势能减小，故重力势能减少了15 J，B错误；若以抛出点为参考平面，绣球被抢到时的重力势能为Ep＝－mg(h－h1)＝－0.6×10×(4.5－2)J＝－15 J，C错误；重力势能的变化与重力做功对应，与参考平面的选取无关，D错误．故选A.
答案：A3．动能和动能定理
核心素养定位 物理观念 (1)知道动能的定义和表达式．(2)知道动能定理的内容和表达式．
科学思维 正确理解动能定理，知道动能定理的适用条件，会用动能定理进行分析和计算．
科学探究 领悟应用功的表达式、牛顿第二定律和运动学公式推导动能定理的过程．
科学态度与责任 能用动能定理解释生产和生活中的现象或者解决实际问题，提高理论与实践相结合的能力．
一、动能的表达式
物体由于运动而具有的能量
1．表达式：Ek＝mv2v为瞬时速度大小
2．单位：国际单位制单位为焦耳，符号为________．
与功的单位相同
3．标矢性：动能是________量，只有________，没有方向．
二、动能定理
1．内容：力（合力）在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中____________．
动能定理对应一段过程
2．表达式：W＝________________．
3．动能定理既适用于恒力做功的情况，也适用于________做功的情况；既适用于直线运动，也适用于________运动．
【情境思考】
歼-15战机是我国自主研发的一款舰载战斗机．
(1)歼-15战机起飞过程中，合力做什么功？速度怎么变化？动能怎么变化？
(2)歼-15战机着舰过程中，动能怎么变化？合力做什么功？增加阻拦索的目的是什么？
同步卫星绕地球做匀速圆周运动，在卫星运动过程中，其速度是否变化？其动能是否变化？
卫星的速度发生变化，因为速度方向不断改变．卫星的动能不变，因为动能是标量，质量和速度大小不变，则动能不变．
Ek-x图像
用图像描述动能定理：Ek-x图像的斜率表示物体在该位置所受的合力．
目标一 对动能的理解
【导思】
如图所示，人用铁锤打击石头时要用质量较大的铁锤，还要高高抡起来．
这样可以增大铁锤打击石头时的什么能？
【归纳】
1．动能的“三性”
(1)相对性：选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系．
(2)标量性：动能是标量，只有大小，没有方向．
(3)瞬时性：动能是状态量．
2．对动能变化量的理解
(1)表达式：ΔEk＝Ek2－Ek1，即末动能减初动能．
(2)物理意义：
①ΔEk＞0，表示动能增加；
②ΔEk＜0，表示动能减少；
③ΔEk＝0，表示动能不变．
(3)变化原因：物体动能变化是因为合力做功．合力做正功，动能增加；合力做负功，动能减少．
特别提醒
物体速度变化(如速度的大小不变，方向变化)，物体的动能不一定变化(例如匀速圆周运动)，而动能变化，速度一定变化．
【典例】
例 1 关于物体的动能，下列说法中正确的是( )
A．物体速度变化，其动能一定变化
B．物体所受的合外力不为零，其动能一定变化
C．物体的动能变化，其运动状态一定发生改变
D．物体的速度变化越大，其动能变化一定也越大
例 2 如图所示，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h.若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点，c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2该摩托车恰能越过坑到达b点，则＝( )
A．20 B．18
C．9 D．3
目标二 对动能定理的理解及简单应用
【归纳】
1．对动能定理的理解
表达式W＝ΔEk中的W为外力对物体做的总功．
2．公式中“＝”体现的三个关系
(1)数量关系：合力做的功与物体动能的变化相等．
(2)单位关系：国际单位制单位都是焦耳．
(3)因果关系：合力做功是物体动能变化的原因．
3．对动能定理的几点说明
(1)动能定理的表达式是一个标量式，不能在某方向上应用动能定理，动能没有负值，但动能的变化量ΔEk有正负之分．
(2)一些变力做功，不能用W＝Fl cos θ求解，通常用动能定理解题．若整个过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可以考虑分段计算，又可以对整个过程分析．
(3)应用动能定理涉及“一个过程”和“两个状态”．所谓“一个过程”是指做功过程，应明确该过程合力所做的总功；“两个状态”是指初、末两个状态物体的动能．
【典例】
例 3 关于动能定理的表达式W＝Ek2－Ek1，下列说法正确的是( )
A．公式中的W为除重力外其他力做的总功
B．动能定理既适用于直线运动，又适用于曲线运动；适用于恒力做功，但不适用于变力做功
C．运动物体所受合外力不为零，则该物体一定做变速运动，其动能要变化
D．公式中的Ek2－Ek1为动能的变化量，当W>0时动能增加，当W<0时动能减少
例 4 如图，C919在水平跑道上滑跑试飞．当发动机提供2.1×105 N的牵引力时，C919滑跑1.6×103 m即可离地起飞．将滑跑过程视为初速度为零的匀加速直线运动，已知飞机的质量为7.0×104 kg，受到的阻力恒为其重力的.则C919起飞的速度约为( )
A．57 m/s B．80 m/s
C．89 m/s D．113 m/s
例 5[2022·全国甲卷]北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示．运动员从a处由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点，a、c两处的高度差为h.要求运动员经过c点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c点处这一段圆弧雪道的半径不应小于( )
A． B． C． D．
规律方法
应用动能定理解题的一般步骤
(1)选取研究对象(通常是单个物体)，明确它的运动过程．
(2)对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出外力做功的代数和．
(3)明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2.
(4)列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的辅助方程求解并验算．
1.下列关于运动物体的合外力做功与动能、速度变化的关系，正确的是( )
A．物体做变速运动，合外力一定不为零，动能一定变化
B．若合外力对物体做功为零，则合外力一定为零
C．物体所受的合外力做功，它的速度大小一定发生变化
D．物体的动能不变，所受的合外力必定为零
2．人骑自行车下坡，坡长l＝500 m，坡高h＝8 m，人和车总质量为100 kg，下坡时初速度为4 m/s，人不踏车的情况下，到达坡底时车速为10 m/s，g取10 m/s2.则下坡过程中阻力所做的功为( )
A．－400 J B．－3 800 J
C．－50 000 J D．－4 200 J
3．如图所示，AB为圆弧轨道，BC为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC的长度也是R.一质量为m的物体，与两个轨道间的动摩擦因数都为μ，当它由轨道顶端A处从静止下滑时，恰好运动到C处停止，那么物体在AB段克服摩擦力做的功为( )
A.μmgR
B．mgR
C．mgR
D．(1－μ)mgR
4．小孩玩冰壶游戏的简化模型，如图所示．将静止于O点的冰壶(视为质点)沿直线OB用水平恒力推到A点放手，此后冰壶沿直线滑行，最后停在B点．已知冰面与冰壶间的动摩擦因数为μ，冰壶质量为m，OA＝x，AB＝L，重力加速度为g.
(1)求冰壶在A点的速率vA；
(2)求冰壶从O点运动到A点的过程中受到小孩施加的水平推力F.
5．2022年2月18日，北京冬奥会自由式滑雪女子U型场地技巧决赛，中国选手谷爱凌展现超强实力，获得冠军，摘得北京冬奥会上的个人第二金．谷爱凌某次的运动可简化为如图乙所示的运动情景，U型场地可近似看成半径R＝4.5 m的半圆，她从高出U型场顶端H＝1.5 m处自由下落．谷爱凌和滑雪装备总质量为m＝60 kg，重力加速度g取 m/s2.
(1)忽略一切阻力，求谷爱凌滑到U型场最低点时对最低点的压力大小；
(2)谷爱凌在某次滑雪过程中调节动作，使其滑板与场地产生摩擦力，从高出U型场顶端H＝1.5 m处自由下落，恰好滑到A点，求这一过程中谷爱凌克服摩擦力做的功．
3．动能和动能定理
导学 掌握必备知识
一、
2．J
3．标 大小
二、
1．动能的变化
2．Ek2－Ek1
3．变力 曲线
情境思考
提示：(1)歼-15战机起飞过程中，不断加速，合力做正功，动能不断增大．
(2)歼-15战机着舰过程是一个减速过程，动能不断减小，合力做负功；增加阻拦索的目的是增大阻力，减小着舰过程中舰载机的位移．
共研 突破关键能力
目标一
提示：动能．
[例1] 解析：若速度的方向变化而大小不变，则其动能不变化，故A错误；物体所受合外力不为零，只要速度大小不变，其动能就不变化，如匀速圆周运动中，物体所受合外力不为零，但速度大小始终不变，动能不变，故B错误；物体动能变化，其速度大小一定发生变化，故运动状态改变，故C正确；若物体的速度变化仅由方向变化引起，其动能可能不变，如匀速圆周运动中，速度变化无论多大，动能始终不变，故D错误．
答案：C
[例2] 解析：由题意可知，摩托车经过a点后做平抛运动．设摩托车经过a点时对应的速度分别为v1、v2，对于第一次平抛运动，竖直方向有h＝，水平方向有h＝v1t1，E1＝；对于第二次平抛运动，竖直方向有0.5h＝，水平方向有3h＝v2t2，E2＝，联立解得＝18.故B正确．
答案：B
目标二
[例3] 解析：在动能定理的表达式W＝Ek2－Ek1中，W指的是合外力所做的功，包含重力做功，故A错误；动能定理适用于任何运动，既适用于直线运动，又适用于曲线运动，适用于恒力做功，也适用于变力做功，B错误；运动物体所受合外力不为零，则该物体一定做变速运动，若合外力方向始终与运动方向垂直，合外力不做功，动能不变，C错误；公式中的Ek2－Ek1为动能的变化量，当W>0时，Ek2－Ek1>0，动能增加，当W<0时，Ek2－Ek1<0，动能减少，D正确．
答案：D
[例4] 解析：依题意，根据动能定理可得(F－f)s＝mv2－0，f＝mg，求得v＝80 m/s，故选B.
答案：B
[例5] 解析：运动员从a处滑至c处，mgh＝，联立得N＝mg.由题意，结合牛顿第三定律可知，N＝F压≤kmg，得R≥，故D项正确．
答案：D
精练 落实学科素养
1．解析：物体做变速运动时，合外力一定不为零，但合外力不为零时，做功可能为零，动能可能不变，A、B错误；物体所受的合外力做功，它的动能一定变化，速度大小也一定变化，C正确；物体的动能不变，所受合外力做功一定为零，但合外力不一定为零，D错误．
答案：C
2．解析：下坡过程中运用动能定理得mgh＋Wf＝mv2－，解得Wf＝－3 800 J，故选B.
答案：B
3．解析：方法一：设物体经过B点时速度为v，从A到B由动能定理有mv2－0＝mgR－Wf，从B到C再由动能定理有＝－μmgR，联立可得Wf＝(1－μ)mgR，D正确．
方法二：直接从A到C由动能定理有0－0＝mgR－Wf－μmgR，解得Wf＝(1－μ)mgR，D正确．
答案：D
4．解析：(1)冰壶从A点运动至B点的过程中，只有滑动摩擦力对其做负功，由动能定理有－μmgL＝，解得vA＝.
(2)冰壶从O点运动至A点的过程中，水平推力F和滑动摩擦力同时对其做功，由动能定理有(F－μmg)x＝，解得F＝.
答案：(1) (2)
5．解析：(1)谷爱凌从高出U型场H＝1.5 m处运动滑到最低点的过程中，由动能定理可得mg(H＋R)＝mv2
在最低点由牛顿第二定律可得FN－mg＝
由牛顿第三定律可得F压＝FN
解得F压＝2 200 N
(2)整个过程由动能定理可得mgH－W克＝0
解得W克＝900 J
答案：(1)2 200 N (2)900 J4．机械能守恒定律
核心素养定位 物理观念 (1)知道什么是机械能，理解物体动能和势能的相互转化． (2)通过机械能守恒定律的学习，初步建立能量观念、体会守恒思想． (3)知道机械能守恒定律的内容和守恒条件．
科学思维 (1)会分析机械能守恒的条件，在具体实例中分析动能与势能(包括弹性势能)之间的相互转化． (2)理解机械能守恒定律的推导过程． (3)会从做功和能量转化的角度判断机械能是否守恒，能应用机械能守恒定律解决有关问题．
科学态度与责任 (1)通过对机械能守恒定律的验证，能认识科学规律的建立需要实验证据的检验． (2)能认识机械能守恒定律对日常生活的影响．
一、追寻守恒量
伽利略的斜面实验探究如图所示．
1．过程：将小球由斜面A上某位置由________释放，小球运动到斜面B上．
2．实验现象：小球从斜面A上由静止向下滚动的高度降低，速度________，向上滚动速度减小，高度________.因为有摩擦，到达右侧的最大高度，总比左侧释放的高度小．
3．假设推理：如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必将准确地终止于它开始运动时的________，不会更高一点，也不会更低一点．
4．实验结论：这说明某种“东西”在小球运动的过程中是____________．在物理学上我们把这个不变量叫作能量或者能．
二、动能与势能的相互转化
1．机械能的形式：重力势能、________与动能都是机械运动中的能量形式，统称为________．
2．表达式：E＝Ek＋Ep.
3．转化的方式：通过__________________做功，机械能可以从一种形式转化成另一种形式． 每种能量转化都对应一个力做功
4．标矢性：机械能是状态量，是________(选填“标量”或“矢量”)．与某一时刻对应
三、机械能守恒定律
1．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以__________，而总的机械能________．不一定是只受重力或弹力
2．表达式
＝________________．
(2)Ek2＋Ep2＝________．
(3)E2＝________．
3．条件：物体系统内只有________或________做功．
【情境思考】
一支可伸缩的圆珠笔，内有一根弹簧，尾部有一个小帽，压一下小帽，笔尖就伸出．如图所示，手握笔杆，使笔尖向上，小帽抵在桌面上，在压下后突然放手，笔杆竖直向上跳起高度为10 cm，忽略空气阻力．
判断以下问题：
(1)圆珠笔弹起过程中，弹簧的弹性势能转化为圆珠笔的动能和重力势能．( )
(2)圆珠笔下落过程中，其动能转化为重力势能.( )
(3)圆珠笔下落过程中，其机械能不守恒．( )
(4)圆珠笔起跳的初速度约为1.4 m/s.( )
1 如何认识伽利略斜面实验中的动能与势能的转化？
重力做功只跟高度差有关，与是否受到阻力作用无关，小球在真空和油中下落时，两种情况重力做的功相等，重力势能的变化也相等．
小球在真空中自由下落时，mg(h1－h2)＝－0.
小球在油中下落时，
(mg－f)(h1－h2)＝－0.
由以上两式知，两种情况下，动能的变化量不相等．
小球在真空中自由下落时，重力势能全部转化为动能；小球在油中下落时，重力势能转化为动能和内能．
2
机械能守恒的条件绝不是合力做的功为零，更不是合力为零．物体所受合力为零，机械能不一定守恒，要注意与动能定理区分．
(1)机械能守恒的对象是系统，不是单个物体．若以地球为参考系，可将物体和地球组成的系统的机械能简称为物体的机械能．
(2)机械能的大小由物体的状态决定，即由物体所处的位置(高度)和速度大小决定．
目标一 对机械能守恒的理解及判断
【导思】
如图所示，过山车由高处在关闭发动机的情况下飞奔而下．
(1)过山车受哪些力作用？各做什么功？
(2)过山车下滑时，动能和势能怎么变化？两种能的和不变吗？
(3)若忽略过山车的摩擦力和空气阻力，过山车下滑时机械能守恒吗？
【归纳】
1．对机械能守恒条件的理解
(1)只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化．
(2)只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化．
(3)只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化．
(4)除受重力和弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和始终为零．
注意：机械能守恒的物体所受合外力不一定为零．
2．判断机械能守恒的方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)
(3)机械能的定义法
机械能等于动能与势能之和，若一个过程中动能不变，势能变化，则机械能不守恒，如匀速上升的物体机械能增加．
【典例】
例 1 以下四种情景中，a的机械能守恒的是(不计空气阻力)( )
例 2 (多选)如图所示，用轻弹簧相连的物块A和B放在光滑的水平面上，物块A紧靠竖直墙壁，一颗子弹沿水平方向射入物块B后留在其中．由子弹、弹簧和A、B所组成的系统在下列依次进行的过程中，机械能守恒的是( )
A．子弹射入物块B的过程
B．物块B与子弹同速向左运动，直到弹簧最短的过程
C.弹簧推着带子弹的物块B向右运动，直到弹簧恢复到原长的过程
D．带着子弹的物块B因惯性继续向右运动的过程
目标二 机械能守恒定律的应用
【导思】
如图，质量为m的小球从光滑曲面上滑下．当它到达高度为h1的位置A时，速度的大小为v1，滑到高度为h2的位置B时，速度的大小为v2.在由高度h1滑到高度h2的过程中(不计空气阻力)：
小球下滑过程中机械能守恒吗？若守恒，列出表达式．
【归纳】
1．机械能守恒定律的表达形式
2．用机械能守恒定律解题的基本思路
例 3 (多选)跳台滑雪是2022年北京冬奥会的比赛项目之一．如图所示为一简化后的跳台滑雪雪道示意图，运动员从O点由静止开始，在不借助其他外力的情况下，自由滑过一段圆心角为60°的光滑圆弧轨道后从A点水平飞出，然后落到斜坡上的B点．已知A点是斜坡的起点，光滑圆弧轨道半径为40 m，斜坡与水平面的夹角θ＝30°，运动员的质量m＝50 kg，重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力．下列说法正确的是( )
A.运动员从O点运动到B点的整个过程中机械能守恒
B．运动员到达A点时的速度为20 m/s
C．运动员到达B点时的动能为10 kJ
D．运动员从A点飞出到落到B点所用的时间为s
【典例】
例 4 如图所示，水平轻弹簧一端与墙相连，处于自由伸长状态，质量为4 kg的木块沿光滑的水平面以5 m/s的速度开始运动并挤压弹簧．
(1)求弹簧的最大弹性势能；
(2)求木块被弹回速度增大到3 m/s时弹簧的弹性势能．
1.如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断，正确的是( )
A．图甲中，火箭升空的过程中，若匀速升空机械能守恒，若加速升空机械能不守恒
B．图乙中物体匀速运动，机械能守恒
C．图丙中小球做加速运动，机械能守恒
D．图丁中，轻弹簧将A、B两小车弹开，两小车组成的系统机械能不守恒，两小车和弹簧组成的系统机械能守恒
2．如图为一位小朋友在水上世界玩水滑梯，她坐在离水面高为16 m的滑梯顶端由静止下滑．不考虑水的阻力，下滑过程可认为机械能守恒，小朋友的质量为30 kg，下列说法正确的是( )
A．无论选择哪个位置为零势能参考平面，她下滑时的总机械能总是4 800 J
B．无论选择哪个位置为零势能参考平面，她下滑时的总机械能变化量总是4 800 J
C．小朋友质量越大，下滑到水滑梯底端的速度越大
D．下滑时，小朋友会偏向滑道的外侧
3．如图所示是一儿童游戏机的工作示意图．光滑游戏面板与水平面成一夹角θ，半径为R的四分之一圆弧轨道BC与AB管道相切于B点，C点为圆弧轨道最高点，轻弹簧下端固定在AB管道的底端，上端系一轻绳，绳通过弹簧内部连一手柄P.将球投入AB管道内，缓慢下拉手柄使弹簧被压缩，释放手柄，弹珠被弹出，与游戏面板内的障碍物发生一系列碰撞后落入弹珠槽里，根据入槽情况可以获得不同的奖励．假设所有轨道均光滑，忽略空气阻力和手柄质量，弹珠视为质点，重力加速度为g.某次缓慢下拉手柄，使弹珠距B点为L，释放手柄，弹珠被弹出，到达C点时的速度为v，下列说法正确的是( )
A．弹珠从释放手柄到触碰障碍物之前的过程中机械能守恒
B．弹珠从释放手柄到离开弹簧的过程中，弹簧弹力一直做正功，弹珠动能一直增大
C．弹珠从释放手柄到运动到最高点的过程中，其动能和重力势能之和一直变大
D．此过程中，弹簧的最大弹性势能为mg(L＋R)sin θ＋mv2
4．(多选)2022年第24届冬奥会在北京—张家口成功举办，图甲为在张家口的国家跳台滑雪中心“雪如意”，图乙为跳台滑雪的示意图．质量为m的运动员从长直倾斜的助滑道AB的A点处由静止滑下．为了改变运动员的速度方向，在助滑道AB与起跳台D之间用一段弯曲滑道相切衔接，其中最低点C处附近是一段以O点为圆心的圆弧，圆弧轨道半径为R.A点与C点的竖直高度差为H，弯曲滑道末端即起跳台D点与滑道最低点C点的高度差为h，重力加速度为g.不计空气阻力及摩擦，则运动员( )
A.到达C点时的动能为mgH
B．到达C点时对轨道的压力大小为
C．到起跳台D点时的速度大小为
D．从C点到D点重力势能增加了mg(H－h)
5.
如图所示，竖直平面内的圆弧形光滑管道半径略大于小球半径，管道中心到圆心距离为R，A点与圆心O等高，AD为水平面，B点在O的正下方，小球自A点正上方由静止释放，自由下落至A点时进入管道，当小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的9倍，求：
(1)释放点距A点的竖直高度；
(2)落点C与A点的水平距离．
4．机械能守恒定律
导学 掌握必备知识
一、
1．静止
2．增大 升高
3．高度
4．不变的
二、
1．弹性势能 机械能
3．重力或弹力
4．标量
三、
1．互相转化 保持不变
2．(1)mgh1＋ (2)Ek1＋Ep1 (3)E1
3．重力 弹力
情境思考
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
共研 突破关键能力
目标一
提示：(1)过山车受重力、轨道支持力、摩擦力和空气阻力；重力做正功，轨道支持力不做功，摩擦力和空气阻力做负功．
(2)过山车下滑时，势能减少，动能增加，两种能的和减少．
(3)若忽略过山车的摩擦力和空气阻力，过山车下滑时机械能守恒．
[例1] 解析：物块a沿固定斜面匀速下滑和沿粗糙的圆弧面加速下滑的过程中，都受到摩擦力作用，有内能产生，则物块a的机械能不守恒，故A、B错误；摆球a由静止释放，自由摆动过程中，只有重力做功，摆球a的动能和重力势能相互转化，机械能守恒，故C正确；小球a由静止释放至运动到最低点的过程中，小球a和弹簧组成的系统机械能守恒，小球a的机械能不守恒，故D错误．
答案：C
[例2] 解析：子弹射入物块B的过程中，子弹和物块B组成的系统中摩擦力做功，一部分机械能转化成内能，机械能不守恒，A错误；物块B与子弹同速向左运动，直到弹簧最短的过程中，物块A、B、弹簧和子弹组成的系统虽然受墙壁的弹力作用，但此弹力不做功，只有系统内弹簧的弹力做功，动能和弹性势能发生转化，系统机械能守恒，B正确；同理，弹簧恢复到原长过程中，机械能也守恒，C正确；弹簧恢复原长后，整个系统继续向右运动，物块和弹簧组成的系统中只有弹簧弹力做功，故系统的机械能守恒，D正确．
答案：BCD
目标二
提示：机械能守恒；表达式为＝，即Ep1＋Ek1＝Ep2＋Ek2.
[例3] 解析：运动员在光滑的圆弧轨道上运动和随后平抛运动的过程中只有重力做功，机械能守恒，故A正确；运动员在光滑的圆弧轨道上运动的过程中机械能守恒，有＝mgh＝mgR(1－cos 60°)，解得vA＝20 m/s，故B正确；设运动员做平抛运动的时间为t，根据平抛运动规律有x＝vAt，y＝gt2，由几何关系得＝tan 30°＝，联立解得t＝ s，y＝ m．运动员从A点到B点的过程中机械能守恒，所以在B点的动能EkB＝，代入数据得EkB＝ kJ，故C、D错误．
答案：AB
关键点拨：解答本题的关键是要明确运动员的运动情况，掌握平抛运动的规律，能根据斜面倾角和初速度求平抛运动的竖直距离，知道做平抛运动的物体机械能守恒．
[例4] 解析：(1)对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有Epm＝＝×4×52 J＝50 J.
(2)对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有
＝＋Ep1
则Ep1＝＝32 J.
答案：(1)50 J (2)32 J
精练 落实学科素养
1．解析：题图甲中无论火箭匀速上升还是加速上升，都有推力做正功，机械能增加，A错误；题图乙中物体沿斜面匀速上升，动能不变，重力势能增加，机械能增加，B错误；题图丙中，小球沿粗糙斜面加速滚下过程中，除了重力做功，还有摩擦力做负功，机械能减少，C错误；题图丁中，弹簧的弹力做功，弹簧的弹性势能转化为两小车的动能，两小车组成的系统机械能增加，而两小车与弹簧组成的系统机械能守恒，D正确．
答案：D
2．解析：下滑过程机械能守恒，可知下滑时的总机械能变化量为零．下滑时的总机械能等于在顶端时的重力势能，由于重力势能具有相对性，选择不同位置为零势能参考平面，小朋友的初始位置重力势能不一样，则小朋友的机械能不一样，A、B错误；根据机械能守恒定律可得mgh＝mv2，解得下滑到水滑梯底端的速度大小为v＝，可知下滑到水滑梯底端的速度大小与小朋友的质量无关，C错误；小朋友下滑时，水平方向可认为做圆周运动，由于离心现象，小朋友会偏向滑道的外侧，D正确．故选D.
答案：D
3．解析：弹珠从释放手柄到触碰障碍物之前的过程中，弹簧对弹珠做了功，其机械能不守恒，故A错误；弹珠从释放手柄到离开弹簧的过程中，弹簧的弹力先大于重力沿斜面向下的分力，后小于重力沿斜面向下的分力，弹珠先加速后减速，所以其动能先增大后减小，故B错误；弹珠从离开弹簧到运动到最高点的过程中，机械能守恒，即动能和重力势能之和不变，故C错误；根据系统的机械能守恒得，弹簧的最大弹性势能等于弹珠在C点的机械能，为mg(L＋R)sin θ＋mv2，故D正确．故选D.
答案：D
4．解析：由A点到C点机械能守恒，则到达C点时的动能为Ek＝mgH，选项A正确；根据mv＝mgH，FC－mg＝m，解得FC＝mg＋，由牛顿第三定律得，到达C点时对轨道的压力大小F′C＝mg＋，选项B错误；从A点到D点由机械能守恒定律有mg(H－h)＝mv，解得到起跳台D点的速度大小vD＝，选项C正确；从C点到D点重力势能增加了mgh，选项D错误．故选AC.
答案：AC
5．解析：(1)在B点时管壁对小球的弹力大小为9mg，
则有9mg－mg＝，
又根据机械能守恒定律有mg(h＋R)＝，
解得释放点距A点的竖直高度h＝3R.
(2)设小球到达最高点时的速度为v2，落点C与A点的水平距离为x.由机械能守恒定律有＝＋2mgR.
由平抛运动规律有R＝gt2，R＋x＝v2t，
解得落点C与A点的水平距离为x＝(2－1)R.
答案：(1)3R (2)(2－1)R5．实验：验证机械能守恒定律
素养·目标要求
1．明确验证机械能守恒定律的基本思路并能进行相关量的测量．
2．能正确进行实验操作，分析实验数据得出结论，能定性地分析产生误差的原因．
一、实验思路
机械能守恒的前提是“只有________________做功”，因此研究过程一定要满足这一条件．
1．情形1：自由下落的物体只受到________作用，满足机械能守恒的条件．
实际中只要重力远大于阻力就可以
2．情形2：物体沿光滑斜面下滑时，虽然受到重力和斜面的支持力，但支持力与物体位移方向垂直，对物体________，满足机械能守恒的条件． 实际中不存在，只能尽量减少摩擦
二、物理量的测量及数据分析
运动过程中经过的任意两个状态
只有重力做功时，只发生重力势能和动能的转化．
(1)要验证的表达式：＋mgh2＝＋mgh1或＝________________．
(2)需测量的物理量：物体所处位置的________及物体的________．
两边都与质量成正比，因此不需要测量质量
三、实验步骤(以教材参考案例1为例)
1．安装装置：按图甲所示把打点计时器安装在铁架台上，用导线把打点计时器与电源连接好．
2．打纸带：在纸带的一端把重物用夹子固定好，另一端穿过打点计时器的限位孔，用手竖直提起纸带使重物停靠在打点计时器附近．先接通电源后释放纸带，让重物拉着纸带自由下落．重复几次，得到3～5条打好点的纸带．
3．选纸带并测量：选择一条点迹清晰的纸带，确定要研究的开始和结束的位置，测量并计算出两位置之间的距离Δh及在两位置时纸带的速度，代入表达式进行验证．
4．数据处理
(1)计算各点对应的瞬时速度
记下第1个点的位置O，在纸带上从离O点适当距离开始选取几个计数点1，2，3…并测量出各计数点到O点的距离h1、h2、h3…再根据公式vn＝，计算出1，2，3…，n点的瞬时速度v1、v2、v3…vn.
(2)验证方案
方法一：利用起始点和第n点计算．计算ghn和，如果在实验误差允许的范围内，ghn＝，则验证了机械能守恒定律．
方法二：任取两点计算．
①任取两点A、B，测出hAB，算出ghAB.
②算出的值．
③在实验误差允许的范围内，如果ghAB＝，则验证了机械能守恒定律．
方法三：图像法(如图所示)．
若在实验误差允许范围内图线是一条过原点且斜率为g的直线，则机械能守恒定律得到验证．
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变．
(1)安装．①打点计时器的两个限位孔要在同一竖直线上（尽量减小纸带与打点计时器的摩擦），且离地高度适当． 打出足够多的点
②电源：电磁打点计时器使用低压交变电源(约8 V)，不可用直流电源．
(2)实验准备．①重物：选择质量大、密度大、体积适中的金属球或重锤．
减小摩擦阻力、空气阻力的影响
②纸带：保证纸带竖直，重物靠近打点计时器，如图中，只有D图符合要求．
(3)打点．先闭合电源，待打点稳定后再释放纸带．
刚闭合电源时，打点周期不稳定
(4)测量．在测量各点到O点的距离时，应当用刻度尺从O点量起，一次性读出各点到O点的距离． 减小偶然误差
(5)数据分析．只需验证＝ghn即可．
分析：与h成正比，故 h图线过原点，斜率表示g.
目标一 教材原型实验
【典例】
例 1 如图为验证机械能守恒定律的实验装置示意图．现有器材：带铁夹的铁架台、电磁打点计时器、导线、纸带、带夹子的重物、天平．回答下列问题．
(1)为完成此实验，除了所给的器材，还需要的器材有________(填入正确选项前的字母)．
A．米尺 B．秒表
C．低压直流电源 D．低压交变电源
(2)实验中产生误差的原因：__________________________、__________________________(写出两个原因)．
(3)实验中由于打点计时器两限位孔不在同一竖直线上，使纸带通过时受到较大阻力，这样将造成________．
A．mgh＝mv2
B．mgh>mv2
C．mgh例 2[2023·安徽亳州高一联考]某实验小组用如图甲所示的实验装置验证机械能守恒定律．某同学按照正确操作得到的纸带如图乙所示，其中O是起始点，M、N、P为从合适位置开始选取的连续点中的三个点，打点频率为50 Hz.该同学用刻度尺测量O到M、N、P各点的距离，并记录在图乙中，已知重物的质量为0.5 kg，取重力加速度g＝9.80 m/s2.
(1)在实验过程中，下列实验操作和数据处理正确的是________．
A．释放重物前，使重物尽量远离打点计时器
B．做实验时，先接通打点计时器的电源，再释放重物
C．为测量打点计时器打下某点时重物的速度v，可测量该点到O点的距离h，再根据公式v＝计算
D．为测量打点计时器打下某点时重物的速度v，可测量该点到O点的时间t，再根据公式v＝gt计算
(2)打点计时器打N点时，重物的速度大小为________m/s，动能的增加量ΔEk＝________J(结果保留三位有效数字)．
(3)从O点到N点，重物重力势能的减少量为________J.(结果保留三位有效数字)
(4)若测出纸带上各点到O点之间的距离，根据纸带算出打点计时器打各点时重物的速度v及重物下落的高度x，则在机械能守恒的情况下，下列以v2为纵轴、x为横轴画出的图像正确的是________．
规律方法
实验数据处理的三点提醒
(1)应用计算法计算有关数据时要注意单位统一．
(2)不能应用公式v＝来求解瞬时速度．
(3)应用图像法时要注意坐标轴的意义不同，对应斜率的意义也不同．
根据关系式mgh＝mv2可知：
①如果是v2 h图像，则图线的斜率k＝2g.
②如果是v2 h图像，则图线的斜率k＝g.
③如果是h v2图像，则图线的斜率k＝.
目标二 探索创新实验
【典例】
例 3 (多选)为验证在自由落体过程中物体的机械能是守恒的，某同学设计了一个实验，实验装置如图所示．图中A、B两点分别固定了两个速度传感器，速度传感器可以测出运动物体的瞬时速度．在实验中测得一物体自由下落经过A点时的速度是v1，经过B点时的速度是v2，为了证明物体经过A、B两点时的机械能相等，这位同学又设计了以下几个步骤，你认为其中不必要或者错误的是( )
A．用天平测出物体的质量
B．测出A、B两点间的竖直距离
C.必须利用
与2gh是否相等即可
例 4 某同学设计了一个用拉力传感器验证机械能守恒定律的实验．一根轻绳一端连接固定拉力传感器，另一端连接小钢球，如图甲所示．拉起小钢球至某一位置由静止释放，使小钢球在竖直平面内摆动，记录钢球摆动过程中拉力传感器示数的最大值Tmax和最小值Tmin.改变小钢球的初始释放位置，重复上述过程．根据测量数据在直角坐标系中绘制的Tmin Tmax图像是一条直线，如图乙所示．
(1)若小钢球摆动过程中机械能守恒，则图乙中直线斜率的理论值为________．
(2)由图乙得：直线的斜率为________，小钢球的重力为________N．(结果均保留两位有效数字)
(3)该实验系统误差的主要来源是________(填正确答案标号)．
A．小钢球摆动角度偏大
B．小钢球初始释放位置不同
C．小钢球摆动过程中有空气阻力
例 5 利用气垫导轨验证机械能守恒定律实验的实验装置如图甲所示．水平桌面上固定一倾斜的气垫导轨，导轨上A点处有一带长方形挡光条的滑块，其总质量为M，左端由跨过轻质光滑定滑轮的细绳与一质量为m的小球相连．挡光条两条长边与导轨垂直，导轨上B点处有一光电门，可以测量挡光条经过光电门时的挡光时间t，用d表示A点到光电门B处的距离，b表示挡光条的宽度．将挡光条通过光电门的平均速度视为滑块通过B点时的瞬时速度，实验开始时滑块在A处由静止开始运动．
(1)滑块通过B点的瞬时速度可表示为________________________________________________________________________；
(2)某次实验测得导轨倾角θ＝30°，重力加速度用g表示，滑块从A处到达B处时小球和滑块组成的系统动能增加量可表示为ΔEk＝________，系统的重力势能减少量可表示为ΔEp＝________，在误差允许的范围内，若满足________________________，则可认为系统的机械能守恒．
(3)用上述实验方法，某同学改变A、B间的距离，得到滑块到B点时对应的速度v，作出的v2 d图像如图乙所示，并测得M＝m，则重力加速度g＝________m/s2.
1.(多选)用自由落体法验证机械能守恒定律，就是看是否等于mghn(n为计数点的编号)．下列说法中正确的是( )
A．打点计时器打第一个点O时，重物的速度为零
B．hn是计数点n到起始点O的距离
C．必须测量重物的质量
D．用vn＝gtn计算vn，tn＝(n－1)T(T为打点周期)
2．如图所示，用倾斜放置的气垫导轨验证机械能守恒定律．已知滑块和挡光条的总质量为m，挡光条的宽度为d，重力加速度为g.现将滑块由静止释放，两个光电门G1和G2分别记录了挡光条通过光电门的时间t1和t2，则滑块通过两个光电门的过程中动能的增加量ΔEk＝________，通过两个光电门过程中重力势能的减少量ΔEp＝________(用图中所标符号表示)．若两者在实验误差允许范围内相等，则验证了滑块在下滑过程中机械能守恒．
若实验中滑块以初速度v0下滑，用上述方法______(选填“能”或“不能”)验证机械能守恒定律．
3.[2023·重庆高中高一下质量调研]某研究小组用如图甲所示的实验装置“验证机械能守恒定律”．
(1)供实验选择的重物有以下四个，最优选择为________．
A．质量为10 g的砝码
B．质量为200 g的木球
C．质量为50 g的塑料球
D．质量为200 g的铁球
(2)实验时应将打点计时器接到________电源上(选“交流”或“直流”)．
(3)根据图乙所示纸带上的测量数据，可得出打B点时重物的速度为________m/s，根据(1)可知重物在B点时的动能为Ek＝________J.已知O为初始速度为零的点，则OB重力势能的减少量为Ep＝________J.Ep不完全等于Ek的原因是______________________________________．(均保留小数点后两位，g＝10 m/s2)
(4)研究小组的同学反思所做的实验后发现误差较大，操作也不便，于是在老师的指导下利用如图丙所示的DIS实验装置对验证机械能守恒定律实验进行改进．其简图如图丁所示．由光电门与轻质摆杆组成的单摆绕O点转动，实验时，质量为m的光电门从M点由静止下摆，依次经过6个宽度为d的挡光条，光电门摆至左边海绵止动阀处被卡住不再回摆．已知摆长为L，当摆杆与竖直方向的夹角为θ(θ小于90°)时，光电门经过挡光条的时间为Δt，以圆弧最低点N所在平面为零势能面，则光电门的势能Ep＝________，动能Ek＝________，然后对比不同挡光条处势能和动能之和是否相等．(用字母m、L、θ、d、Δt、g表示)
4．某同学用如图甲所示的装置验证机械能守恒定律．安装打点计时器后，接通电源，让打点计时器正常工作后，松开纸带．
(1)将纸带上打出的第一个点记为0，并在离0点较远的任意点依次选取几个连续的点，分别记为1，2，3…量出各点与0点的距离h，算出各点对应的速度，分别记为v1至v6，数据如表格所示．
速度 v1 v2 v3 v4 v5 v6
数值/ (m/s) 2.80 2.99 3.29 3.39 3.59 3.78
表格中有一个速度的数据有较大误差，代表符号为________．
(2)修正数据后，该同学计算出各点对应速度的平方值，并作v2 h图像，如图乙所示．若得出的直线斜率为k，则测出的重力加速度g＝________．与真实值相比，测出的g值________(选填“偏小”或“偏大”)．
5．实验：验证机械能守恒定律
导学 掌握必备知识
一、
重力或弹力
1．重力
2．不做功
二、
(1)mgh1－mgh2 (2)高度 运动速度
共研 突破关键能力
目标一
[例1] 解析：(1)在处理数据时需要测量长度，故需要米尺；电磁打点计时器工作时需要使用低压交变电源．
(2)造成误差的原因：①纸带和打点计时器之间有摩擦；②用米尺测量纸带上点的位置关系时读数有误差；③计算重力势能变化量时，选取的始、末间距太小；④交变电源的频率不稳定；⑤重物质量太小等．
(3)由于阻力作用，重物重力势能的减少量大于动能的增加量，即mgh>mv2.
答案：(1)AD (2)见解析 (3)B
[例2] 解析：(1)为了能在纸带上打出更多的点，释放重物前，使重物尽量靠近打点计时器，A错误；做实验时，先接通打点计时器的电源，再释放重物，否则纸带上的点太少，B正确；本实验需验证机械能守恒，所以不能用自由落体运动的规律计算速度，即不能用v＝或v＝gt来计算重物的速度v，C、D错误．
(2)打点计时器打N点时，重物的速度大小为v＝ m/s＝2.13 m/s，动能的增加量为ΔEk＝mv2≈1.13 J.
(3)重物重力势能的减少量为ΔEp＝mgh＝0.5×9.80×0.237 2 J≈1.16 J.
(4)根据机械能守恒定律得mgx＝mv2，解得v2＝2gx.v2-x图像为一条过原点的倾斜直线，C正确．
答案：(1)B (2)2.13 1.13 (3)1.16 (4)C
目标二
[例3] 解析：物体重力势能减少量为mgh，动能增加量为，计算gh和，如果在实验误差允许的范围内gh＝，则机械能守恒定律得到验证．综上应选A、C.
答案：AC
[例4] 解析：(1)设初始位置时，细线与竖直方向夹角为θ，则细线拉力最小值为Tmin＝mg cos θ
到最低点时细线拉力最大，则mgl(1－cos θ)＝mv2，
Tmax－mg＝m，联立可得Tmax＝3mg－2Tmin，
即若小钢球摆动过程中机械能守恒，则图乙中直线斜率的理论值为－2.
(2)由图乙得直线的斜率为k＝－＝－2.1，
3mg＝1.77 N，则小钢球的重力为mg＝0.59 N．
(3)该实验系统误差的主要来源是小钢球摆动过程中有空气阻力，使得机械能减小．
答案：(1)－2 (2)－2.1 0.59 (3)C
[例5] 解析：(1)将遮光片通过光电门的平均速度看作滑块通过B点时的瞬时速度，则滑块通过B点的瞬时速度v＝.
(2)系统动能的增加量ΔEk＝(M＋m)v2＝，系统重力势能的减小量ΔEp＝mgd－Mgd sin 30°＝(m－)gd，比较ΔEk和ΔEp，若在实验误差允许的范围内相等，即ΔEk＝ΔEp，则可认为系统机械能是守恒的．
(3)根据系统机械能守恒，有(M＋m)v2＝(m－)gd，则v2＝，图线的斜率k＝g＝ m/s2，解得g＝9.6 m/s2.
答案：(1) (2) (m－)gd ΔEk＝ΔEp (3)9.6
精练 落实学科素养
1．解析：＝mghn成立的条件是初速度为0，hn是起始点到计数点n的距离＝mghn可改写为＝ghn，故不需要测重物的质量；vn＝gtn是理想值，不是实际值，实验中应用公式vn＝来计算vn.
答案：AB
2．解析：滑块经过两个光电门G1和G2的速度分别为v1＝，v2＝，则动能的增加量为ΔEk＝m()2－m·()2＝md2(－).
滑块重力势能的减少量为ΔEp＝.
若实验中滑块以初速度v0下滑，只有重力做功，机械能守恒，用上述方法仍能验证机械能守恒定律．
答案： 能
3．解析：(1)为了减小阻力的影响，重物选择质量大一些，体积小一些的，故选质量为200 g的铁球，故选D.
(2)实验时应将打点计时器接到交流电源上．
(3)根据题图乙所示纸带上的测量数据，可得出打B点时重物的速度为vB＝×10－2 m/s＝3.90 m/s；根据(1)可知重物在B点的动能为Ek＝≈1.52 J．已知O为初始速度为零的点，则OB重力势能的减少量为Ep＝mghOB≈1.57 J．Ep不完全等于Ek的原因是受到空气阻力且纸带与打点计时器之间存在摩擦．
(4)以圆弧最低点N所在平面为零势能面，则光电门的势能为Ep＝mg(L－L cos θ)，动能为Ek＝m()2.
答案：(1)D (2)交流 (3)3.90 1.52 1.57 受到空气阻力且纸带与打点计时器之间存在摩擦
(4)mg(L－L cos θ) m()2
4．解析：(1)如果根据mgh＝mv2得v＝，此式难以判定哪个数据有较大误差．
因v1、v2、v3…的时间间隔相等，据v＝gt可知，速度的差值Δv应是恒定值，分析知Δv≈0.2 m/s，可以判定v3的数据误差较大．(2)由mgh＝mv2可得g＝＝；由于重物和纸带下落过程中受到阻力作用，与真实值相比，测出的g值偏小．
答案：(1)v3 (2) 偏小第八章素养综合评价
(时间：75分钟 满分：100分)
一、单项选择题(本题共7小题，每小题4分，共28分，每小题只有一个选项符合题意．)
1.
如图所示，篮球从手中①位置投出后落到篮筐上方③位置，其在空中到达的最高点为②位置(空气阻力不能忽略).下列说法正确的是( )
A．在②位置篮球动能等于0
B．从①位置到③位置的过程中只有重力做功
C．从①位置到②位置，篮球的动能全部转化为重力势能
D．从②位置到③位置，篮球动能的变化量等于合力做的功
2.
如图所示，同一物体m分别放在A、B两个位置，A在二楼天花板下方，B在一楼地面上．以二楼地面为参考平面，下列说法正确的是( )
A．物体m在B位置的重力势能大于0
B．将物体m从B移到A的过程中，重力做负功，重力势能减小
C．选不同的参考平面，物体m在A位置的重力势能都相同
D．选不同的参考平面，物体m从A移到B的过程中，重力势能的变化量都相同
3.
“娃娃机”将商品陈列在一个透明的箱内，其上有一个可控制抓取玩具的机械爪，使用者要凭自己的技术操控机械爪，以取到自己想要的玩具．关于“娃娃机”，下列说法正确的是( )
A．机械爪抓到玩具匀速上升时，玩具机械能守恒
B．机械爪抓到玩具加速水平移动时，玩具的机械能增加
C．玩具从机械爪掉下时，速度增加，玩具的机械能增加
D．机械爪抓到玩具加速上升时，机械爪做的功等于玩具重力势能的变化量
4．中国制造的某一型号泵车如图所示，表中列出了其部分技术参数．假设泵车的泵送系统以150m3/h的输送量给30m高处输送混凝土，已知混凝土密度为2.4×103kg/m3，则每小时泵送系统对混凝土做的功至少为(g取10m/s2)( )
发动机最大输出功率/kW 332 最大输送高度/m 63
整车满载质量/kg 5.4×104 最大输送量/(m3/h) 180
A．1.08×107JB．5.04×107JC．1.08×108JD．2.72×108J
5.
[2023·四川内江高一期末]如图所示，物体自倾角为θ、长为L的固定于水平地面的斜面顶端由静止开始滑下，到斜面底端时与固定挡板发生碰撞，碰后物体又沿斜面上升，多次往复后，物体最后停靠在挡板上．设碰撞时无动能损失，物体总共滑过的路程为s，则物体与斜面间的动摩擦因数为( )
A．B．C．D．
6．在某次帆船运动比赛中，质量为500kg的帆船，在风力和水的阻力共同作用下做直线运动的v t图像如图所示．下列表述正确的是( )
A.在0～1s内，合外力对帆船做了1000J的功
B．在0～2s内，合外力对帆船做了250J的负功
C．在1～2s内，合外力对帆船不做功
D．在0～3s内，合外力始终对帆船做正功
7．排球课上小明同学练习垫球，现将质量为m的排球，以初速度v0竖直向上垫起，由于空气阻力作用，排球上升时加速度大小为g，小明在原垫起点接住排球，排球在整个运动过程中受到的阻力大小恒定．关于排球的运动，下列说法正确的是( )
A．整个过程阻力不做功B．整个过程克服阻力做功mv
C．返回垫起点时重力的瞬时功率为mgv0D．返回垫起点时重力的瞬时功率为mgv0
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．)
8．如图甲所示，在水平地面上放置一质量m＝4kg的物体，让其在随位移均匀减小的水平推力作用下运动，推力随位移x变化的图像如图乙所示．已知物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10m/s2.下列说法正确的是( )
A.物体先做加速运动，推力撤去时开始做减速运动
B．水平推力所做的功为200J
C．物体运动0～4m的过程中合力做的功为120J
D．物体在运动过程中的加速度先变小后不变
9．如图所示，重10N的滑块在倾角为30°的斜面上，从a点由静止下滑，到b点接触到一轻弹簧．滑块压缩弹簧到c点开始弹回，返回b点离开弹簧，最后又回到a点．已知ab＝0.8m，bc＝0.4m，那么在整个过程中，下列说法正确的是( )
A.滑块动能的最大值是6J
B．弹簧弹性势能的最大值是6J
C．从c到b弹簧的弹力对滑块做的功是6J
D．滑块和弹簧组成的系统整个过程机械能守恒
10．2022年6月17日，我国完全自主设计建造的航空母舰“福建舰”顺利下水．根据设计，“福建舰”发动机最大输出功率为P，最大航行速度为vm，其航行时所受的阻力随速度增大而增大．下列关于“福建舰”的说法正确的是( )
A．若匀加速启动，则牵引力逐渐增大B．若恒定功率启动，则做匀加速直线运动
C．以vm匀速航行时，所受的阻力为D．以匀速航行时，输出功率为
三、非选择题(本题共5小题，共54分．按题目要求作答，计算题要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位．)
11．(7分)在用落体法验证机械能守恒定律实验中：
(1)下列图中释放纸带的操作正确的是________．
(2)甲同学按照正确的步骤操作，利用纸带算出的重物重力势能的减少量ΔEp往往略大于动能的增加量ΔEk，这是因为________________________________________________________________________．
(3)
乙同学设计了如图所示的实验装置验证机械能守恒定律：通过电磁铁控制一小铁球从A点自由下落，小铁球下落过程中经过光电门B时，计时器(图中未画出)记录挡光时间t，用刻度尺测出A、B之间的距离h.已知小铁球的直径为d，当地重力加速度为g，当题中所给的d、t、h、g满足关系式______________时，即可验证小铁球下落过程中机械能守恒．
12．(9分)[2023·河南郑州高一下期末]某实验小组采用如图甲所示的装置验证机械能守恒定律，实验的主要步骤如下．
A．将导轨调至水平
B．测出挡光条的宽度d
C．用天平测出托盘和砝码的总质量m，滑块和挡光条的总质量M
D．将滑块放在气垫导轨上，通过轻质细绳与托盘连接，测出挡光条到光电门的距离L
E．将滑块由静止释放，读出挡光条通过光电门的挡光时间Δt
F．对测量数据进行分析，得出实验结论
(1)下列关于本实验的分析中，不正确的是________．
A．调节气垫导轨左端的滑轮，使细绳与导轨平行
B．滑块初始位置与光电门间的距离适当大些
C．挡光条的宽度越大，测量结果越精确
D．应使托盘和砝码质量远小于滑块和挡光条的总质量
(2)
实验时发现光电门坏了，他们就在气垫导轨右端装上电磁打点计时器来进行实验．如图乙所示是他们得到的一条纸带，图中A、B、C、D、E、F为连续的6个计数点，相邻的两计数点间还有4个计时点未标出，其中AB＝4.80cm, BC＝8.00cm, CD＝11.20cm, DE＝14.40cm, EF＝17.60cm.若M＝400g，m＝200g，重力加速度g＝9.8m/s2，电源频率为50Hz，则打点计时器打下B点时滑块的速度为vB＝________m/s，从打下B点到打下E点的过程中系统动能的增加量ΔEk＝________J，重力势能的减少量ΔEp＝________J．多次实验后发现ΔEk总是小于ΔEp，原因是____________________________________________．(计算结果保留两位有效数字)
13．(10分)
如图所示，质量为m＝2kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5.已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2.
(1)求前2s内重力的平均功率．
(2)求2s末重力的瞬时功率．
14．(12分)我国自主研发的“人体高速弹射装置”几秒钟内就能将一名滑冰运动员从静止状态加速到指定速度，辅助速度滑冰运动员训练弯道滑行技术．如图所示，某次训练中弹射装置在加速段将一质量m＝80kg的运动员加速到速度v0＝15m/s，此后，运动员自己稍加施力便可保持该速度不变，匀速通过变道段，再进入半径R＝30m的水平弯道做匀速圆周运动．已知加速段克服阻力做功为3000J，运动员可视为质点，不考虑空气阻力影响，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.
(1)求弹射装置对运动员做功W的大小．
(2)求过水平弯道时，运动员受到冰面作用力F的大小和方向．
15．(16分)
如图所示，在足够长的光滑水平桌面上固定一个四分之一光滑圆弧形槽，半径R＝0.45m，末端与桌面相切．将质量m＝0.1kg的小球(可视为质点)由槽的顶端无初速度释放，经桌面上A点水平飞出，小球恰好无碰撞地沿圆弧轨道切线从B点进入固定的竖直光滑圆弧轨道，B、C为圆弧轨道的两端点，其连线水平，O为圆弧轨道的最低点．已知圆弧轨道对应圆心角θ＝106°，半径r＝1m．取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.
(1)求小球沿圆弧形槽下滑到槽底端时的速度大小．
(2)求桌面离水平地面的高度h.
(3)求小球运动至O点时对圆弧轨道的压力大小．
第八章素养综合评价
1．解析：由题图可知，篮球在由②位置到③位置的过程中具有水平位移，说明篮球在②位置速度不为0，动能不为0，A错误；由于空气阻力不能忽略，则篮球在从①位置运动到③位置的过程中要克服空气阻力做功，因此从①位置到②位置的过程中篮球的一部分动能转化为重力势能和内能，B、C错误；根据动能定理可知，篮球从②位置运动到③位置，动能的变化量等于合力做的功，D正确．
答案：D
2．解析：物体m的位置在参考平面下方，重力势能小于0，选项A错误；将物体m从B移到A的过程中，重力做负功，重力势能增大，选项B错误；选不同的参考平面，物体m在A位置的重力势能不相同，选项C错误；重力势能的变化量只和重力做功有关，而重力对同一物体做功只和初末位置的高度差有关，与参考平面的选择无关，选项D正确．
答案：D
3．解析：玩具匀速上升时动能不变，重力势能增大，所以玩具的机械能变大，A错误；玩具加速水平运动时动能增大，机械能增加，B正确；玩具从机械爪掉下时，若不计空气阻力，玩具的机械能守恒，若考虑空气阻力，玩具的机械能减少，C错误；玩具加速上升时，动能和重力势能均变大，机械爪做的功等于玩具重力势能与动能的增加量之和，D错误．
答案：B
4．解析：由功的公式得，泵车每小时做的功W＝Fl＝mgh＝ρVgh＝2.4×103×150×10×30J＝1.08×108J．A、B、D错误，C正确．
答案：C
5．解析：碰撞时无动能损失，物体最终停在挡板上，对全过程运用动能定理得mgLsinθ－μmgscosθ＝0，解得μ＝.
答案：C
6．解析：在0～1s内，帆船的速度增大，动能增大，根据动能定理W合＝ΔEk，得W合＝mv2－0＝×500×22J＝1000J，即合外力对帆船做了1000J的功，故A正确；在0～2s内，动能增加，根据动能定理W合＝ΔEk，得W′合＝mv′2－0＝×500×12J＝250J，即合外力对帆船做了250J的正功，故B错误；在1～2s内，动能减小，根据动能定理W合＝ΔEk，则合外力对帆船做负功，故C错误；在0～3s内，根据动能定理W合＝ΔEk，合外力对帆船先做正功，后做负功，故D错误．
答案：A
7．解析：排球上升过程，根据牛顿第二定律，有mg＋Ff＝ma，代入数据，可得Ff＝mg，该过程排球的位移大小为x＝＝，则整个运动过程中，阻力做功为Wf＝－f×2x，代入数据，可得Wf＝－mv，所以整个过程克服阻力做功为|Wf|＝mv，故A、B错误；设返回垫起点时排球速度为v，整个过程中由动能定理，有Wf＝mv2－mv，整理可得v＝v0，所以返回垫起点时重力的瞬时功率为P＝mgv＝mgv0，故C错误，D正确．
答案：D
8．解析：物体先做加速运动，当推力大小小于摩擦力大小时开始做减速运动，A错误；F x图像中图线与横轴所围图形的面积表示推力对物体所做的功，由题图乙得推力对物体所做的功W＝200J，B正确；物体运动过程中摩擦力的大小Ff＝μmg＝20N，则物体运动0～4m的过程中摩擦力所做的功Wf＝－Ffx＝－20×4J＝－80J，则合力做的功W总＝W＋Wf＝(200－80) J＝120J，C正确；由题图乙可知推力一直减小，而摩擦力不变，故加速度先减小后反向增大，最后不变，D错误．
答案：BC
9．解析：滑块能回到原释放点，说明无摩擦力做功，故机械能守恒，D正确；以c点为零势能参考平面，则滑块在a点的重力势能为6J，在c点处的速度为0，重力势能也为0，因系统机械能守恒，则弹簧弹性势能的最大值为6J，从c到b弹簧的弹力对滑块做的功等于弹性势能的减小量，故为6J，B、C正确；滑块动能最大时，弹性势能不为零，重力势能大于零，故动能的最大值小于6J，A错误．
答案：BCD
10．解析：若匀加速启动，则F－Ff＝ma，因阻力Ff随速度增加而增大，则牵引力逐渐增大，选项A正确；若恒定功率启动，则根据P＝Fv，a＝＝，则随着速度增加，加速度减小，则做加速度减小的变加速直线运动，选项B错误；以vm匀速航行时，此时F＝Ff，则所受的阻力为Ff＝F＝，选项C正确；以匀速航行时，牵引力F′等于阻力F′f，但是不等于Ff，则根据P′＝F′，可知输出功率不等于，选项D错误．
答案：AC
11．解析：(1)释放重物前，让重物紧靠打点计时器，手拉着纸带的上端，使纸带处于竖直位置，故A正确，B、C、D错误．
(2)利用纸带算出的重物重力势能的减少量ΔEp往往略大于动能的增加量ΔEk，这是因为重物下落过程中受到阻力作用，而阻力做负功，动能增加量小于重力势能减少量．
(3)根据极短时间内的平均速度等于瞬时速度知，小铁球经过光电门的速度大小为v＝，由于小铁球初速度为零，则动能的增加量为ΔEk＝mv2＝m()2，重力势能的减少量为ΔEp＝mgh，若满足m()2＝mgh，即()2＝gh，即可验证小铁球下落过程中机械能守恒．
答案：(1)A (2)重物下落过程中受到阻力作用
(3)()2＝gh
12．解析：(1)实验时，应将气垫导轨调至水平，细绳与导轨平行，故A正确，不符合题意；为了减小误差，滑块初始位置与光电门间的距离应适当大些，故B正确，不符合题意；挡光条的宽度越小，测量结果越精确，故C错误，符合题意；本实验不需要托盘和砝码质量远小于滑块和挡光条的总质量，故D错误，符合题意．
(2)根据某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度可得，打点计时器打下B点时滑块的速度为vB＝＝0.64m/s，打点计时器打下E点时滑块的速度为vE＝＝1.6m/s，则从打下B点到打下E点的过程中系统动能的增加量为ΔEk＝(m＋M)v－(m＋M)v≈0.65J，重力势能的减少量为ΔEp＝mgΔh＝mgxBE≈0.66J．多次实验后发现ΔEk总是小于ΔEp，原因是滑块和挡光条需要克服空气阻力及纸带与打点计时器间的摩擦力做功．
答案：(1)CD (2)0.64 0.65 0.66 滑块和挡光条需要克服空气阻力及纸带与打点计时器间的摩擦力做功
13．解析：(1)木块沿斜面下滑时，由牛顿第二定律可得
mgsinθ－μmgcosθ＝ma
解得a＝2m/s2
前2s内木块的位移为l＝at2＝×2×22m＝4m
重力在前2s内做的功为
W＝mglsinθ＝2×10×4×0.6J＝48J
重力在前2s内的平均功率
＝＝W＝24W.
(2)木块在2s末的速度
v＝at＝2×2m/s＝4m/s
2s末重力的瞬时功率
P＝mgvsinθ＝2×10×4×0.6W＝48W.
答案：(1)24W (2)48W
14．解析：(1)根据动能定理可知W－Wf＝mv
解得弹射装置对运动员做功的大小为W＝12000J
(2)竖直方向有FN＝mg
水平方向有Fx＝m
所以运动员受到冰面作用力F的大小为
F＝＝1000N
与水平方向夹角满足tanθ＝＝
与水平方向夹角为θ＝53°斜向右上方．
答案：(1)12000J (2)1000N 与水平方向夹角为53°斜向右上方
15．解析：(1)小球沿圆弧形槽下滑到槽底端过程中机械能守恒，有mgR＝mv，解得v1＝3m/s.
(2)小球离开桌面后以3m/s的初速度做平抛运动，竖直方向有h＝gt2，
小球恰好无碰撞地沿圆弧轨道切线从B点进入固定的竖直光滑圆弧轨道，则有tan53°＝，
联立解得h＝0.8m.
(3)小球由A点到O点，由机械能守恒定律得
mg(h＋r－rcos53°)＝mv2－mv，
在O点，由牛顿第二定律得F－mg＝m，
代入数据解得F＝4.3N，
根据牛顿第三定律，小球运动至O点时对圆弧轨道的压力大小为4.3N.
答案：(1)3m/s (2)0.8m (3)4.3N
关键点拨：多过程的机械能守恒问题多与其他知识相结合考查，一定要注意机械能守恒的条件，分析在哪个过程中机械能守恒，然后列式求解．拓 展 课8 摩擦力做功问题 变力做功的计算
素养·目标要求
1．理解摩擦力做功的特点，会分析一对相互作用的摩擦力的做功情况．
2．掌握一般的变力做功的求解方法．
拓展一 摩擦力做功
【导思】
如图所示，在光滑的水平面上，物体A放在长为l的木板B的右端，现用水平力F向右拉木板．
(1)若物体A相对木板B滑动，当B前进x时，物体A从木板B左端滑下．已知A、B间的滑动摩擦力为Ff，求摩擦力分别对A、B做了多少功？这一对滑动摩擦力做功的总和为多少？
(2)若物体A相对木板B没有滑动，当B前进x时，物体A受到的静摩擦力为F′f，求静摩擦力分别对A、B做了多少功？这一对静摩擦力做功的总和为多少？
【归纳】
1．作用力、反作用力做功的特点
虽然作用力和反作用力等大反向，但是由于它们分别作用在两个物体上，产生的位移效果无必然联系，故作用力和反作用力的功不一定一正一负，大小也不一定相等．
2．摩擦力做功的特点
不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力，都既可以是动力又可以是阻力，还可能与位移方向垂直，所以不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力，既可能对物体做正功，也可能对物体做负功，还可能不对物体做功．
3．一对静摩擦力做功的特点
一对相互作用的静摩擦力等大反向且物体之间相对静止，即两个物体的对地位移相同，由W＝Fl cos α可判断一对相互作用的静摩擦力做功的总和为零．
4．一对滑动摩擦力做功的特点
一对相互作用的滑动摩擦力等大反向但物体之间相对滑动，即两个物体的对地位移不相同，由W＝Fl cos α可判断一对相互作用的滑动摩擦力做功的总和不为零，且两力做功的总和一定为负值．
【典例】
例 1 (多选)如图所示，B物体在拉力F的作用下向左运动，在运动的过程中，A、B之间有相互作用力．则对力做功的情况，下列说法正确的是( )
A．A、B都克服摩擦力做功
B．A、B间弹力对A、B都不做功
C．摩擦力对B做负功，对A不做功
D．A、B间弹力对A不做功，对B做正功
例 2 (多选)如图所示，一子弹以水平速度射入放置在光滑水平面上原来静止的木块，并留在木块中．在此过程中，子弹钻入木块的深度为d，木块的位移为l，木块与子弹间的阻力大小为f.下列说法正确的是( )
A．f对木块做功为fl
B．f对木块做功为f(l＋d)
C．f对子弹做功为－fd
D．f对子弹做功为－f(l＋d)
拓展二 求变力做功的常用方法
【归纳】
1．用W＝Pt求功
当牵引力为变力，且发动机的功率一定时，由功率的定义式P＝，可得W＝Pt，
2．用图像法求功
如图所示，在F x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功．位于x轴上方的“面积”代表正功，位于x轴下方的“面积”代表负功．
3．微元法
当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和．例如，滑动摩擦力、空气阻力总与物体相对运动的方向相反，可把运动过程细分，其中每一小段都是恒力做功，整个运动过程中所做的总功是各个阶段所做功的和，即力与路程的乘积．
例如：质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功WFf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR.
4．平均值法
当力的方向不变，大小随位移按线性规律变化时，即F是位移l的线性函数，平均力＝，再由W＝l cos α求功．
【典例】
例 3 如图甲所示，轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m＝0.5 kg的物块相连，弹簧处于原长状态，物块静止，物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2.以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴，现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示．物块运动至x ＝0.4 m处时速度为零，则此过程物块受到的力F和摩擦力做功之和为(g取10 m/s2)( )
A．3.1 J B．3.5 J
C．1.8 J D．2.0 J
例 4 如图所示，在水平桌面上，长R＝5 m的轻绳一端固定于O点(俯视图)，另一端系一质量为m＝2.0 kg的小球，现对小球施加一个大小不变的拉力F＝10 N，方向始终与小球在该点的切线成37°角，F拉着小球从M点运动到N点．已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.则拉力F做的功与小球克服摩擦力做的功的比值为( )
A． B．2 C． D．4
例 5 一辆汽车质量为800 kg，从静止开始运动，所受阻力为汽车重力的，其牵引力的大小与汽车前进距离的变化关系式为F＝100x＋Ff，Ff是汽车所受的阻力．则在汽车前进20 m的过程中，牵引力做的功是多少？(g取10 m/s2)
拓展课8 摩擦力做功问题 变力做功的计算
拓展一
提示：(1)滑动摩擦力对A做的功为Ff(x－l)，对B做的功为－Ffx，这一对滑动摩擦力做功的总和为－Ffl.
(2)静摩擦力对A做的功为F′fx，对B做的功为－F′fx，这一对静摩擦力做功的总和为0.
[例1] 解析：
如图所示，A、B间有相互作用的摩擦力f1与f2、弹力FAB与FBA.A没有发生位移，f2、FBA对A不做功，B发生了位移，f1做负功，FAB与位移成90°角，不做功．
答案：BC
[例2] 解析：木块的位移大小为l，由W＝Fl cos α得，f对木块做的功为W＝fl，子弹的位移大小为l＋d，木块对子弹的作用力的方向与位移方向相反，故木块对子弹的作用力做负功，W′＝－f(l＋d)，故A、D正确．
答案：AD
拓展二
[例3] 解析：物块与水平面间的摩擦力为Ff＝μmg＝1 N，现对物块施加水平向右的外力F，由F-x图线与x轴所围面积表示功可知F做功W＝3.5 J，克服摩擦力做功Wf＝Ffx＝0.4 J，则物块受到的外力F和摩擦力做功之和为W－Wf＝3.1 J．故A正确．
答案：A
[例4] 解析：将圆弧分成很多小段l1，l2，…，ln，拉力F在每小段上做的功为W1，W2，…，Wn.因为拉力F大小不变，方向始终与小球在该点的切线成37°角，所以W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…，Wn＝Fln cos 37°，则W＝W1＋W2＋…＋Wn＝F cos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝F cos 37°·R＝π J，同理可得小球克服摩擦力做功Wf＝μmg·R＝π J，所以拉力F做的功与小球克服摩擦力做的功的比值为2.故选B.
答案：B
[例5] 解析：由题意可知，开始时的牵引力
F1＝Ff＝×800×10 N＝400 N，
汽车前进20 m时的牵引力F2＝(100×20＋400)N＝2 400 N，
汽车前进20 m的过程中的平均牵引力
＝＝＝1 400 N，
所以，在汽车前进20 m的过程中，汽车的牵引力做的功．W＝l＝1 400×20 J＝28 000 J.
答案：28 000 J拓 展 课9 机车的两种启动方式
素养·目标要求
会分析两种机车启动方式中各物理量的变化并能进行相关计算．
拓展一 以恒定功率启动
【导思】
一汽车在水平路面上以恒定功率P从静止开始加速运动，运动过程中受到的阻力大小为Ff.
(1)机车功率指的是合力做功的功率(总功率)还是牵引力做功的功率？
(2)汽车在启动过程中速度v、加速度a怎么变化？汽车的最大速度是多大？
(3)试在图中定性画出此过程中的v-t图像．
【归纳】
机车以恒定功率启动后，若运动过程中所受阻力Ff不变，由于牵引力F＝，随着v增大，牵引力F减小．根据a＝可知，当速度增大时，加速度a减小，直至F＝Ff时，加速度a减小为零，机车达到最大速度vm，此后机车以速度vm做匀速直线运动．
【总结】(1)这一过程中机车的运动情况：
①没有达到最大速度时，机车做加速度逐渐减小的变加速直线运动，有F－Ff＝ma，F＝；
②达到最大速度时，a＝0，F＝Ff，此后机车做匀速直线运动，保持最大速度vm＝＝.
(2)这一过程的P-t图像、v-t图像和F-t图像分别如图甲、乙、丙所示．
【注意】恒定功率下启动的机车，在达到最大速度之前，做变加速运动．因为F是变力，所以发动机做的功用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算．
【典例】
例 1 一场别开生面的节能车竞赛在平直的水平测试道上进行，40支车队以各家独门绝技挑战1 L汽油行驶里程的最高纪录．某公司研制开发的某型号小汽车发动机的额定功率为24 kW，小汽车连同驾乘人员总质量为m＝2 000 kg，在水平路面上行驶时受到恒定的阻力是800 N．小汽车以额定功率由静止开始运动直到冲线，以1 037.5 s的成绩夺得30 km的冠军，则下列判断不正确的是( )
A．小汽车行驶的最大速度为30 m/s
B．小汽车行驶速度为20 m/s时，加速度为1 m/s2
C．小汽车行驶30 km的过程中牵引力做的功为2.49×107 J
D．小汽车行驶30 km的过程中阻力做功为－2.4×107 J
例 2 在水平路面上运动的汽车的额定功率为100 kW，质量为10 t，设阻力大小恒定，且为车重力的(g取10 m/s2)，汽车以不变的额定功率从静止启动．
(1)汽车的加速度如何变化？
(2)当汽车的加速度为2 m/s2时，速度为多大？
(3)汽车在运动过程中所能达到的最大速度的大小是多少？
拓展二 以恒定加速度启动
【导思】
若一汽车在水平路面上以恒定加速度开始启动，额定功率为P额，运动过程中受到的阻力大小为Ff.
(1)汽车匀加速运动过程中，牵引力如何变化？汽车的实际功率如何变化？
(2)当汽车的实际功率达到额定功率P额时，汽车的速度是多大？此时汽车的速度是否为最大速度？之后功率将如何变化？
(3)分析整个运动过程并画出汽车运动的v-t图像．
(4)画出整个过程中汽车运动的P-t图像．
(5)求出整个过程中汽车的最大速度．
【归纳】
由a＝知，当加速度a不变时，牵引力F恒定，机车做匀加速直线运动．再由P＝Fv知，F一定，发动机实际输出功率P随v的增大而增大，当P增大到额定功率后，保持额定功率不变．v继续增大，牵引力F减小，直至F＝Ff时，a＝0，车速达到最大值，vm＝＝，此后机车做匀速直线运动．
【总结】(1)这一过程中机车的运动情况：
①机车先做匀加速直线运动，持续时间为
t1＝＝＝；
②当P＝P额时，机车做加速度逐渐减小的变加速直线运动；
③当F＝Ff时，机车的速度最大，有vm＝＝，最后做匀速直线运动．
(2)这一过程的P-t图像、v-t图像和F-t图像分别如图甲、乙、丙所示．
【典例】
例 3 一列火车总质量m ＝500 t，发动机的额定功率P＝6×105 W，在水平直轨道上行驶时，轨道对火车的阻力Ff是火车重力的(g取10 m/s2)．
(1)求火车在水平直轨道上行驶的最大速度；
(2)在水平直轨道上，发动机以额定功率P工作，求当行驶速度分别为v1＝1 m/s和v2＝10 m/s时，火车的瞬时加速度a1、a2的大小；
(3)火车在水平直轨道上以36 km/h的速度匀速行驶时，求发动机的实际功率P′；
(4)若火车从静止开始，保持0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，求这一过程维持的最长时间．
规律方法
机车启动过程中几个物理量的求法
(1)机车的最大速度vmax的求法：达到最大速度时，a＝0，即牵引力F等于阻力F阻，故vmax＝＝.
(2)匀加速启动最长时间的求法：牵引力F＝ma＋F阻，匀加速的最后速度v′max＝，时间t＝.
(3)瞬时加速度的求法：据F＝求出对应瞬时速度v的牵引力，则加速度a＝.
拓展课9 机车的两种启动方式
拓展一
提示：(1)机车功率指的是发动机的功率，即牵引力做功的功率．
(2)速度v逐渐增大，加速度a逐渐减小，a＝0时，v达到最大，最大速度为vm＝.
(3)如图所示
[例1] 解析：当小汽车以最大速度匀速行驶时，牵引力F等于阻力Ff，由功率公式可得vm＝＝ m/s＝30 m/s，故A正确；由牛顿第二定律得－Ff＝ma，当v＝20 m/s时，解得a＝0.2 m/s2，故B错误；小汽车行驶30 km的过程中牵引力做的功为WF＝Pt＝24 000×1 037.5 J＝2.49×107 J，故C正确；小汽车行驶30千米的过程中阻力做功为WFf＝－Ffl＝－800×30 000 J＝－2.4×107 J，故D正确．
答案：B
关键点拨：本题考查了汽车以恒定功率启动问题．对于恒定功率启动，需要注意牵引力、加速度的变化对应着速度的变化．
[例2] 解析：(1)若汽车以额定功率从静止启动，v变大，由P额＝Fv知，牵引力F减小，根据牛顿第二定律有F－Ff＝ma，可知汽车的加速度逐渐减小，当F＝Ff时，加速度为零．
(2)由牛顿第二定律得，F1－Ff＝ma1
P额＝F1v1
联立解得v1＝ m/s.
(3)当汽车速度达到最大时，a2＝0，F2＝Ff，故vmax＝＝ m/s＝10 m/s.
答案：(1)见解析 (2) m/s (3)10 m/s
拓展二
提示：(1)由题意知a不变，Ff不变，由F－Ff＝ma知，F也不变，由P＝Fv知，此过程汽车的实际功率P增大．
(2)刚达到额定功率时，F－Ff＝ma
P额＝Fv1，得v1＝
此后汽车功率不变，速度继续增大，此时速度不是最大速度．
(3)如图所示，汽车先做匀加速直线运动，当功率达到额定功率后做加速度减小的加速运动，最终做匀速直线运动．
(4)如图所示
(5)vm＝
[例3] 解析：(1)当牵引力等于阻力，即F＝Ff＝ kmg时，火车的加速度为零，速度达到最大值vm，此时火车将以额定功率行驶，则vm＝＝＝＝12 m/s.
(2)当v(3)火车以v3＝36 km/h＝10 m/s的速度匀速行驶，则发动机的实际功率P′＝Ffv3＝5×105 W.
(4)由题分析得F′＝Ff＋ma＝3×105 N，在此过程中，速度增大，发动机功率增大，设功率增大到额定功率时速度为v′，即v′＝＝2 m/s，由v′＝at得t＝＝4 s.
答案：(1)12 m/s (2)1.1 m/s2 0.02 m/s2 (3)5×105 W
(4)4 s拓 展 课10动能定理的应用
素养·目标要求
1．进一步理解动能定理，会利用动能定理分析变力做功问题．
2．会利用动能定理分析相关的图像问题．
3．会利用动能定理分析多过程问题．
拓展一 用动能定理求变力做功
【导思】
如图所示，足球比赛时，某方获得一次罚点球机会，运动员将质量为m的足球以速度v0迅速踢出，结果足球以速度v撞在高为h的门梁上而被弹出．现用g表示当地的重力加速度，则此足球在空中飞往门梁的过程中克服空气阻力所做的功等于多少？
【归纳】
应用动能定理求变力做功的方法步骤
(1)明确研究对象、运动过程及初、末状态的速度．
(2)分析物体的受力情况，确定全过程中哪些力是恒力，哪些力是变力．如果是恒力，写出恒力做功的表达式；如果是变力，用相应符号表示变力做的功．
(3)分析物体的运动过程，确定其初、末状态的动能．
(4)运用动能定理列式求解，并对结果进行讨论．
【典例】
例 1 如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一质量为m的小球向右滑行，并冲上固定在水平地面上的斜面．设小球在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，重力加速度为g，则从A到C的过程中弹簧弹力做的功是( )
A．mgh－mv2 B．mv2－mgh
C．－mgh D．－(mgh＋mv2)
例 2 如图所示，一质量为m的小球(可视为质点)在半径为R的半球形容器中(容器固定)由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力为FN.重力加速度为g，则小球自A滑到B的过程中，摩擦力对其做的功为( )
A．R(FN－3mg) B．R(3mg－FN)
C．R(FN－mg) D．R(FN－2mg)
例 3 某同学参加学校运动会立定跳远项目比赛，起跳直至着地过程如图所示．测量得到比赛成绩是2.5 m，目测空中脚离地最大高度约0.8 m．忽略空气阻力，则起跳过程该同学所做的功最接近( )
A．65 J B．750 J
C．1 025 J D．1 650 J
拓展二 动能定理在图像问题中的应用
【归纳】
动能定理与图像结合问题的分析方法：
(1)首先，看清楚图像的种类(如v t图像、F x图像、Ek x图像等)；
(2)然后，挖掘图像的隐含条件，求出所需物理量．如利用v t图像与t轴所包围“面积”求位移，利用F x图像与x轴所包围“面积”求功，利用Ek x图像的斜率求合力等．
(3)最后，分析还有哪些力做功，根据动能定理列方程，求出相应的物理量．
【典例】
例 4 质量为2 kg的物体以一定的初速度沿倾角为30°的斜面向上滑行．在向上滑行的过程中，其动能随位移的变化关系如图所示，则物体返回到出发点时的动能为(g取10 m/s2)( )
A．34 J B．56 J
C．92 J D．196 J
例 5 如图甲所示，一辆小汽车以5 m/s的速度从水平路段的A点，以P1＝6 kW的恒定功率沿平直公路AB行驶，在斜坡底端B处瞬时换挡，以P2＝112 kW的恒定功率沿倾角为30°的BC段斜坡上行，用12 s通过整个ABC路段，其v t图像如图乙所示．在图乙上t＝12 s处水平虚线与曲线相切，假设小汽车在AB段和BC段受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力等)大小相等，换挡时小汽车的速率不变．求：
(1)小汽车的质量m；
(2)小汽车在4～12 s时间内运动的路程．
例 6[2023·重庆巴蜀中学高一下月考]如图甲所示，由弹丸发射器、固定在水平地面上的倾角为37°的斜面以及放置在水平地面上的光滑半圆形挡板墙(挡板墙上分布有多个力传感器)构成的游戏装置，半圆形挡板墙的半径R＝0.5 m，斜面高度h＝0.9 m，弹丸与斜面间的动摩擦因数μ1＝0.5.游戏者调节发射器，弹丸到B点时速度沿斜面且大小为5 m/s，接着他将半圆形挡板墙向左平移使C、D两点重合，挡板墙上各处的力传感器收集到的侧压力F与墙上转过圆心角θ之间的关系如图乙所示，g取10 m/s2.下列说法正确的是 ( )
A．弹丸的质量为0.1 kg
B．弹丸的质量为0.4 kg
C．弹丸与地面间的动摩擦因数为0.6
D．弹丸与地面间的动摩擦因数为0.8
拓展三 应用动能定理解决多过程问题
【归纳】
对于包含多个运动阶段的复杂运动过程，可以选择分段或全程应用动能定理．
(1)分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，然后联立求解．
(2)全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，确定整个过程中合外力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解．
(3)当题目已知量和所求量不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单、更方便．
【典例】
例 7 如图所示，轻弹簧左端固定在竖直墙上，右端在O位置．质量为m的物块A(可视为质点)以初速度v0从距O点右方x0处的P点向左运动，与弹簧接触后压缩弹簧，将弹簧右端压到O′点位置后，A又被弹簧弹回．A离开弹簧后，恰好回到P点．物块A与水平面间的动摩擦因数为μ.
(1)求物块A从P点出发又回到P点的过程，克服摩擦力所做的功．
(2)求O点和O′点间的距离x1.
例 8 2022年北京冬季奥运会跳台滑雪项目场地侧视简图如图所示，雪坡AB段为倾角θ＝37°的斜面．某次赛前熟悉滑道的过程中，质量m＝60 kg的运动员从助滑道的A点由静止开始下滑，到达B点后进入圆心角为90°、半径R＝15 m的圆弧轨道BCD，其中C点为圆弧轨道的最低点，最后从D点沿切线方向离开，最终落在倾角α＝37°的着陆坡上，着陆坡足够长．已知A、B两点的竖直高度差h＝23 m，DE段长度为1.2 m，EF段的竖直高度差为3 m．运动员运动到着陆坡上G点正上方的H点时，速度方向水平．不计一切阻力和摩擦，运动员可视为质点，g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，求：
(1)该运动员从A滑到B的过程中重力所做的功WG；
(2)该运动员运动到C点时对轨道的压力FN；
(3)HG两点间的高度差Δh.
拓展课10 动能定理的应用
拓展一
提示：不能用W＝Fl cos α求出变力做的功，可由其做功的结果——动能的变化量来求变力做的功，即用动能定理W＝ΔEk求变力做的功．由动能定理知－Wf－mgh＝mv2－，得Wf＝－mv2－mgh.
[例1] 解析：由A到C的过程运用动能定理可得－mgh＋W＝0－mv2，所以W＝mgh－mv2，故A正确．
答案：A
[例2] 解析：小球到达最低点B时，由牛顿第三定律得，支持力F′N＝FN，根据牛顿第二定律有F′N－mg＝m，小球自A滑到B的过程，根据动能定理有Wf＋mgR＝mv2，故摩擦力对其所做的功Wf＝RFN－mgR＝R(FN－3mg)．选项A正确．
答案：A
[例3] 解析：人从最高点落地可看作平抛运动．设人在最高点的速度为v0，则h＝gt2，x＝v0t，从起跳到最高点过程中，由动能定理得W－mgh＝.则起跳过程中该同学所做的功为W＝，解得W≈750 J.
答案：B
拓展二
[例4] 解析：物体上滑的过程中重力与摩擦力都做负功，由动能定理得－mgx·sin 30°－Ffx＝0－Ek0，下滑的过程中重力做正功，摩擦力做负功，由动能定理得mgx·sin 30°－Ffx＝Ek－0，代入数据得Ek＝34 J．故A正确．
答案：A
[例5] 解析：(1)小汽车在AB段做匀速直线运动，F1＝Ff
由P1＝F1v1得Ff＝＝ N＝1.2×103 N.
在斜坡BC段12 s末，加速度为零，由平衡条件得，
F2＝mg sin 30°＋Ff，P2＝F2v2，
得m＝＝2×103 kg.
(2)在BC段，由动能定理知
P2t2－mgL sin 30°－LFf＝，
代入数据解得L≈73.3 m.
答案：(1)2×103 kg (2)73.3 m
[例6] 解析：弹丸从B点到D点过程，由动能定理得mgh－μ1mg cos 37°·＝
，联立解得m＝0.2 kg，故A、B错误；设弹丸与地面之间的动摩擦因数为μ2，转过3 rad后的速度为v，由动能定理得－μ2mg·3×R＝，由牛顿第三定律得，转过3 rad后挡板墙对弹丸的压力为5.2 N，由牛顿第二定律得5.2 N＝m，联立解得μ2＝0.6，故C正确，D错误．
答案：C
拓展三
[例7] 解析：(1)物块A从P点出发又回到P点的过程，根据动能定理得A克服摩擦力所做的功为Wf＝.
(2)物块A从P点出发又回到P点的过程，根据动能定理得2μmg(x1＋x0)＝－x0.
答案：－x0
[例8] 解析：(1)由WG＝mgh，可知WG＝1.38×104 J
(2)由A点到C点由动能定理得mg[h＋(R－R cos θ)]＝
可得轨道对运动员的支持力为F′N＝2 680 N
根据牛顿第三定律可得运动员对轨道的压力大小为FN＝2 680 N，方向竖直向下．
(3)由A点到D点由动能定理得mg[h－(R cos θ－R sin θ)]＝，得vD＝20 m/s
运动员从D点离开后做斜上抛运动，设到H点时上升的高度为Δh1，水平位移为x1，则有Δh1＝＝12.8 m
x1＝vD cos 53°＝19.2 m
另外FG的高度差为Δh3＝(x1－xDE)tan α＝13.5 m
所以Δh＝Δh1＋hEF＋Δh3＝29.3 m.
答案：(1)1.38×104 J
(2)2 680 N，方向竖直向下
(3)29.3 m拓 展 课11 多物体组成的系统机械能守恒问题
素养·目标要求
1．能灵活应用机械能守恒定律的三种表达形式．
2．会分析多个物体组成的系统的机械能守恒问题．
3．知道动能定理与机械能守恒定律的区别，体会二者在解题时的异同．
4．能灵活运用动能定理和机械能守恒定律解决综合问题．
拓展一 多物体组成的系统机械能守恒问题
【归纳】
连接体问题是力学部分的难点，本书通过对近几年高考题及各地模拟题的深入研究，总结出以下两类可以利用系统机械能守恒来快速解题的连接体模型．
1．速率相等的连接体模型
(1)如图所示的两物体组成的系统，当释放B后，在A、B运动的过程中，二者的速度均沿绳子方向，因为A、B在相等时间内运动的路程相等，所以A、B的速率相等．
(2)系统的机械能是否守恒不从做功角度判断，而从能量转化的角度判断，即如果系统中只有动能和势能相互转化，系统的机械能守恒．这类题目的典型特点是系统不受摩擦力作用．
2．角速度相等的连接体模型
如图所示的两物体组成的系统，当释放后A、B在竖直平面内绕过O点的轴转动，在转动的过程中相等时间内A、B转过的角度相等，则A、B转动的角速度相等．
3．机械能守恒定律表达式的选取技巧
(1)当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp来求解．
(2)当研究对象为两个物体组成的系统时：
①若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解；
②若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解；
③从机械能的转化角度来看，系统中某一类型机械能的减少量等于系统中其他类型机械能的增加量，可用E减＝E增来求解．
【典例】
例 1 如图所示，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边的光滑定滑轮与质量为M的砝码相连．已知M＝2m，让绳拉直后使砝码从静止开始下降h(未落地)时，木块仍没离开桌面，则砝码的速度为多少？
例 2 如图所示，在长为L的轻杆的中点A和端点B各固定一个质量均为m的小球，杆可绕O轴无摩擦地转动，使杆从水平位置无初速度释放摆下．求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功？(重力加速度为g)
拓展二 动能定理和机械能守恒定律的综合应用
【归纳】
1．动能定理和机械能守恒定律的比较
机械能守恒定律 动能定理
表达式 E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp ΔEA＝－ΔEB W＝ΔEk
适用范围 只有重力或弹力做功 无条件限制
研究对象 物体与地球组成的系统 质点
物理意义 重力或弹力做功的过程是动能与势能转化的过程 合外力对物体做的功是动能变化的量度
2.选用原则
(1)单个物体只受重力作用时，动能定理和机械能守恒定律表达式并无本质区别；两个及两个以上物体组成的系统问题，应用机械能守恒定律解答会更方便．若有摩擦力做功的情况，则只能用动能定理解答．
(2)能用机械能守恒定律解决的问题都能用动能定理解决；能用动能定理解决的问题不一定能用机械能守恒定律解决．
(3)动能定理比机械能守恒定律应用更广泛、更普遍．
【典例】
例 3 如图，足够长的光滑斜面倾角为30°，质量相等的甲、乙两物块通过轻绳连接放置在光滑轻质定滑轮两侧，并用手托住甲物块，使两物块都静止，移开手后，甲物块竖直下落．当甲物块下降0.8 m时，求乙物块的速度大小(此时甲未落地，g＝10 m/s2)．请用机械能守恒定律和动能定理分别求解，并比较解题的难易程度．
例 4 如图所示，一粗糙斜面AB与光滑圆弧轨道BCD相切，C为圆弧轨道的最低点，圆弧BC所对圆心角θ＝37°.已知圆弧轨道半径为R＝0.5 m，斜面AB的长度为L＝2.875 m．质量为m＝1 kg的小物块(可视为质点)从斜面顶端A点处由静止开始沿斜面下滑，从B点进入圆弧轨道，恰能通过最高点D.sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)物块通过C、D点的速度大小；
(2)物块经过C点时对圆弧轨道的压力大小FC；
(3)物块与斜面间的动摩擦因数μ.
例 5 如图所示，曲面AB与半径为r、内壁光滑的四分之一细圆管BC平滑连接于B点，管口B端切线水平，管口C端正下方立一根轻弹簧，轻弹簧一端固定，另一端恰好与管口C端齐平．质量为m的小球(可视为质点)在曲面上某点由静止释放，进入管口B端时，上管壁对小球的作用力为mg(g为重力加速度)．
(1)求小球到达B点时的速度大小vB；
(2)若释放点距B点的高度为2r，求小球在曲面AB上运动时克服阻力所做的功W；
(3)小球通过BC后压缩弹簧，压缩弹簧过程中弹簧弹性势能的最大值为Ep，求弹簧被压缩的最大形变量x.
拓展课11 多物体组成的系统机械能守恒问题
拓展一
[例1] 解析：方法一：用E1＝E2求解．
设砝码开始下降时离桌面的距离为x，取桌面所在的水平面为参考面，则系统的初始机械能E1＝－Mgx，
系统的末机械能E2＝－Mg(x＋h)＋(M＋m)v2.
由E1＝E2得－Mgx＝－Mg(x＋h)＋(M＋m)v2，
解得v＝
方法二：用ΔEk＝－ΔEp求解．
在砝码下降h的过程中，系统增加的动能为
ΔEk＝(M＋m)v2，
系统减少的重力势能为ΔEp＝－Mgh，
由ΔEk＝－ΔEp得(M＋m)v2＝Mgh，
解得v＝
方法三：用ΔEA＝－ΔEB求解．
在砝码下降过程中，木块增加的机械能ΔEm＝mv2，
砝码减少的机械能ΔEM＝Mv2－Mgh
由ΔEm＝－ΔEM得
mv2＝Mgh－Mv2，解得v＝.
答案：
[例2] 解析：杆竖直时，两球的角速度相等，则vB＝2vA
两小球组成系统的机械能守恒，取B球的最低点为重力势能参考平面，则有2mgL＝＋mgL
整理得vA＝ ，vB＝
设杆对A做的功为WA，有WA＋mgL＝－0，
解得WA＝－0.2mgL
设杆对B做的功为WB，有WB＋mgL＝－0，
解得WB＝0.2mgL.
答案：－0.2mgL 0.2mgL
拓展二
[例3] 解析：方法一：利用机械能守恒定律
设甲、乙两物块质量均为m，物块甲下降h＝0.8 m
甲、乙两物块机械能守恒有
mgh－mgh sin 30°＝(2m)v2
解得v＝2 m/s
故此时乙的速度大小为2 m/s
方法二：利用动能定理
设甲、乙两物块的质量都为m，甲下落0.8 m时两物块速度大小都为v
对甲，由动能定理有mgh－FTh＝mv2①
对乙，由动能定理有FTh－mgh sin 30°＝mv2②
由①②式联立解得，v＝2 m/s
故乙此时速度大小为2 m/s
综上所述，此题用机械能守恒定律解题更简单一些．
[例4] 解析：(1)由题意知小物块沿光滑轨道从C到D且恰能通过最高点，在最高点D由牛顿第二定律有
mg＝
解得vD＝ m/s
从C到D由机械能守恒定律得
＝＋mg·2R
解得vC＝5 m/s.
(2)在C点时由牛顿第二定律可得
F′C－mg＝
由牛顿第三定律得FC＝F′C
代入数据得FC＝60 N.
(3)对小物块从A经B到C过程，由动能定理有
mg[L sin θ＋R(1－cos θ)]－μmgL cos θ＝－0
代入数据得μ＝0.25.
答案：(1)5 m/s m/s (2)60 N (3)0.25
[例5] 解析：(1)小球在B点时，由牛顿第二定律可得
mg＋mg＝
解得vB＝.
(2)小球从被释放至滑到B点过程，由动能定理得
mg·2r－W＝－0
解得W＝mgr.
(3)当弹性势能最大时，小球的速度为0.
小球从B点到最低点，与弹簧构成的系统机械能守恒＝Ep
解得x＝－2r.
答案：(1) (2)mgr (3)－2r
