(共90张PPT)
重温基础，高考“七分靠实力，三分靠心态”
一 集合与常用逻辑用语
必记结论
1.集合
(1)子集、真子集个数计算公式
对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2.
(2)集合运算中的常用方法
若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
2．含有一个量词的命题的否定
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，如下所述：
3.充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法：正、反方向推理，若p q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p q，且qD /p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．
(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．
命题 命题的否定
x∈M，p(x) x∈M， p(x)
x∈M，p(x) x∈M， p(x)
易错剖析
易错点1 忽视集合中元素的互异性
【突破点】 求解集合中元素含有参数的问题，先根据其确定性列方程，求出值后，再根据其互异性检验．
易错点2 未弄清集合的代表元素
【突破点】 集合的特性由元素体现，在解决集合的关系及运算时，要弄清集合的代表元素是什么．
易错点3 遗忘空集
【突破点】 空集是一个特殊的集合，空集是任何非空集合的真子集，由于思维定式的原因，在解题中常遗忘这个集合，导致解题错误或解题不全面．
易错点4 忽视不等式解集的端点值
【突破点】 进行集合运算时，可以借助数轴，要注意集合中的“端点元素”在运算时的“取”与“舍”．
易错点5 对含有量词的命题的否定不当
【突破点】 由于有的命题的全称量词往往可以省略不写，从而在进行命题否定时易只否定全称量词命题的判断词，而不否定被省略的全称量词．
易错快攻
易错快攻一 忽视不等式解集的端点值
1 [2022·北京卷]已知全集U＝{x|－3
A．(－2，1] B. (－3，－2)
C．[－2，1) D. (－3，－2]
答案：D
解析：因为U＝{x|－3易错快攻二 对含有量词的命题的否定不当
2 设命题p： x<0，x2≥1，则 p为( )
A． x≥0，x2<1
B． x<0，x2<1
C． x≥0，x2<1
D． x<0，x2<1
答案：B
解析：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以应先将存在量词改成全称量词，然后否定结论即可，所以命题p： x<0，x2≥1的否定是 x<0，x2<1，故选B.
二 不等式
必记结论
1.一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．
解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小．
2．一元二次不等式的恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是
3．分式不等式
>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；≥0(≤0)
4．利用基本不等式求最值
(1)对于正数x，y，若积xy是定值P，则当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)对于正数x，y，若和x＋y是定值S，则当x＝y时，积xy有最大值S2.
(3)已知a，b，x，y∈R＋，若ax＋by＝1，则有＝(ax＋by)·()＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝()2.
(4)已知a，b，x，y∈R＋，若＝1，则有x＋y＝(x＋y)·()＝a＋b＋≥a＋b＋2＝()2.
易错剖析
易错点1 不能正确应用不等式性质
【突破点】 在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要注意前提条件，如不等式两端同时乘以或同时除以一个数、式，两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，一定要注意使其能够这样做的条件．
易错点2 忽视基本不等式应用的条件
【突破点】 (1)利用基本不等式a＋b≥2以及变式ab≤()2等求函数的最值时，务必注意a，b为正数(或a，b非负)，特别要注意等号成立的条件．
(2)对形如y＝ax＋(a，b>0)的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意ax，同号．
易错点3 解含参数的不等式时分类讨论不当
【突破点】 解形如ax2＋bx＋c>0的不等式时，首先要考虑对x2的系数进行分类讨论．当a＝0时是一次不等式，解的时候还要对b，c进一步分类讨论；当a≠0且Δ>0时，不等式可化为a(x－x1)(x－x2)>0，再求解集．
易错点4 不等式恒成立问题处理不当
【突破点】 应注意恒成立与存在性问题的区别，如对任意x∈[a，b]都有f(x)≤g(x)成立，则为恒成立问题，可化为f(x)max≤g(x)min，但对存在x∈[a，b]，使f(x)≤g(x)成立，则为存在性问题，可化为f(x)min≤g(x)max，应特别注意两函数中的最大值与最小值的关系．
易错快攻
易错快攻一 忽视基本不等式的应用条件
1 函数y＝ax＋1－3(a>0，a≠1)过定点A，若点A在直线mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，则的最小值为( )
A．3 B. 2
C． D．
答案：C
解析：易知函数y＝ax＋1－3过定点A(－1，－2)．
因为点A在直线mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，所以－m－2n＝－2，即＋n＝1，
所以＝＝＋2 ＝，当且仅当＝即m＝n时取等号．故选C.
易错快攻二 解含参数的不等式时分类不当致误
2 已知函数f(x)＝ax2－x＋a.
(1)若 x>0，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
解析：若 x>0，ax2－x＋a≥0即a≥恒成立，
则只需满足a≥，x>0.
令h(x)＝(x>0)，则h(x)＝＝，当且仅当x＝1时等号成立，
故实数a的取值范围是.
(2)已知实数a∈R，解关于x的不等式f(x)≥0.
解析：不等式f(x)≥0即ax2－x＋a≥0，
①当a＝0时，f(x)≥0即－x≥0，此时f(x)≥0的解集为(－∞，0].
②当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x＋a的图象的对称轴为直线x＝，令ax2－x＋a＝0，则Δ＝，
(ⅰ)当a<－时，Δ<0，此时f(x)≥0的解集为 ；
(ⅱ)当a＝－时，Δ＝0，此时f(x)≥0的解集为，即{－1}；
(ⅲ)当－0，函数f(x)的零点为x0＝，此时f(x)≥0的解集为[]；
(ⅳ)当00，函数f(x)的零点为x0＝，此时f(x)≥0的解集为(－∞，；
(ⅴ)当a≥时，Δ≤0，此时f(x)≥0的解集为R.
综上，当a<－时，f(x)≥0的解集为 ；当a＝－时，f(x)≥0的解集为{－1}；当－三 函数、导数
必记结论
1.函数的定义域和值域
(1)求函数定义域的类型和相应方法
①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围．
②若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集；反之，已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈[a，b])的值域．
(2)常见函数的值域
①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R.
②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：当a>0时，值域为[，＋∞)，当a<0时，值域为(－∞，].
③反比例函数y＝(k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}．
2．函数的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．
(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．
3．函数的单调性
函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质．
①单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0 >0 f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]<0 <0 f(x)在[a，b]上是减函数．
②若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f(g(x))的单调性．
4．指数函数与对数函数的基本性质
(1)定点：y＝ax(a>0，且a≠1)恒过(0，1)点；
y＝loga x(a>0，且a≠1)恒过(1，0)点．
(2)单调性：当a>1时，y＝ax在R上单调递增；y＝loga x在(0，＋∞)上单调递增；
当05．导数的几何意义
(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．
6．利用导数研究函数的单调性
(1)求可导函数单调区间的一般步骤
①求函数f(x)的定义域；
②求导函数f′(x)；
③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．
(2)由函数的单调性求参数的取值范围
①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立(注意：等号不恒成立)；
②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；
③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．
7．利用导数研究函数的极值与最值
(1)求函数的极值的一般步骤
①确定函数的定义域；
②解方程f′(x)＝0；
③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化；
若左正右负，则x0为极大值点；
若左负右正，则x0为极小值点；
若不变号，则x0不是极值点．
(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤
①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；
②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
易错剖析
易错点1 函数的单调区间理解不准确
【突破点】 对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可．
易错点2 判断函数的奇偶性时忽略定义域
【突破点】 一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数．
易错点3 不清楚导数与极值的关系
【突破点】 (1)f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还要考虑f′(x)在x0两侧是否异号．
(2)已知极值点求参数要进行检验．
易错点4 混淆“切点”致误
【突破点】 注意区分“过点A的切线方程”与“在点A处的切线方程”的不同．“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点．
易错点5 导数与单调性的关系理解不准确
【突破点】 (1)f′(x)>0(<0)(x∈(a，b))是f(x)在(a，b)上单调递增(递减)的充分不必要条件．
(2)对可导函数f(x)在(a，b)上为单调增(减)函数的充要条件为：对于任意x∈(a，b)，有f′(x)≥0(≤0)且f′(x)在(a，b)内的任何子区间上都不恒为零．若求单调区间，可用充分条件．若由单调性求参数，可用充要条件．即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，否则容易漏解．
易错快攻
易错快攻一 混淆“切点”致误
1 (1)[2023·全国甲卷]曲线y＝在点(1，)处的切线方程为( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x＋ D．y＝x＋
解析：由题意可知y′＝＝，则曲线y＝在点处的切线斜率k＝y′|x＝1＝，所以曲线y＝在点处的切线方程为y－＝(x－1)，即y＝x＋，故选C.
答案：C
(2)[2022·新高考Ⅰ卷]若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是____________________．
(－∞，－4)
解析：设切线的切点坐标为(x0，y0)．令f(x)＝(x＋a)ex，则f′(x)＝(x＋1＋a)ex，f′(x0)＝.因为y0＝，切线过原点，所以f′(x0)＝，即＝.整理，得＋ax0－a＝0.由题意知该方程有两个不同的实数根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0.
易错快攻二 混淆“函数的单调区间”“函数在区间上单调”“函数存在单调区间”
2 (1)已知函数f(x)＝x2－2x－a ln x在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
解析：因为f(x)＝x2－2x－a ln x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f′(x)＝2x－2－≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≤2x2－2x在(0，＋∞)上恒成立，
而y＝2x2－2x＝2－≥－，当且仅当x＝时，等号成立，
所以a≤－，
所以实数a的取值范围为.
(2)已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
解析：f(x)＝ln x－ax2－2x的定义域为(0，＋∞)，
由题意得f′(x)＝－ax－2<0在(0，＋∞)上有解，
即其中y＝＝－1≥－1，
故a>－1，故实数a的取值范围是(－1，＋∞)．
四 三角函数与平面向量
必记结论
1.诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 2.三种三角函数的性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
单调性 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减
对称性
3.三角函数图象的变换
由函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
cos (α±β)＝cos αcos β sin αsin β.
tan (α±β)＝.
sin (α＋β)sin (α－β)＝sin2α－sin2β(平方正弦公式)．
cos(α＋β)cos (α－β)＝cos2α－sin2β.
5．二倍角、辅助角及半角公式
(1)二倍角公式
sin2α＝2sin αcos α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan2α＝.
①1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2.
②1－sin 2α＝(sin α－cos α)2.
(2)辅助角公式
y＝a sin x＋b cos x＝(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝sin (x＋φ)，其中角φ的终边所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tan φ＝(a≠0)确定．
(3)半角公式
sin ＝± ，
cos ＝± ，
tan ＝± ＝＝.
6．正、余弦定理及其变形
定理 正弦定理 余弦定理
内容 a2＝b2＋c2－2bc cos A；
b2＝a2＋c2－2ac cos B；
c2＝a2＋b2－2ab cos C
变形
7.平面向量数量积的坐标表示
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
夹角
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
易错剖析
易错点1 不清楚向量夹角范围
【突破点】 数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如当a·b<0时，a与b的夹角不一定为钝角，要注意隐含的情况．
易错点2 忽视正、余弦函数的有界性
【突破点】 许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时注意正、余弦函数的有界性．
易错点3 忽视三角函数值对角的范围的限制
【突破点】 在解决三角函数中的求值问题时，不仅要看已知条件中角的范围，更重要的是注意挖掘隐含条件，根据三角函数值缩小角的范围．
易错点4 图象变换方向或变换量把握不准确
【突破点】 图象变换若先作周期变换，再作相位变换，应左(右)平移个单位．另外注意根据φ的符号判定平移的方向．
易错快攻
易错快攻一 忽视向量的夹角范围致误
1 已知向量a，b均为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为( )
A． B． C． D．
答案：C
解析：因为(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，
所以
所以即
设a，b的夹角为α，则cos α＝＝，
因为α∈[0，π]，
所以α＝，即a，b的夹角为，故选C.
易错快攻二 函数图象平移的方向把握不准
2 将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A． B． C．0 D．
答案：B
解析：将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为y＝sin ＝sin .
因为所得函数为偶函数，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
即φ＝kπ＋(k∈Z)，则φ的一个可能取值为，故选B.
五 数列
必记结论
1.等差数列
设Sn为等差数列{an}的前n项和，则
(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d，若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an.
(2)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成的数列是等差数列．
(3)＝n＋是关于n的一次函数或常数函数，数列也是等差数列．
(4)Sn＝＝＝＝….
(5)若等差数列{an}的项数为偶数)，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)(am，am＋1为中间两项)，S偶－S奇＝md，＝.
(6)若等差数列{an}的项数为奇数2m－1(m∈N*)，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m－1＝(2m－1)am(am为中间项)，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝.
(7)若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n).
2．等比数列
(1)an＝am·qn－m，an＋m＝anqm＝amqn(m，n∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；反之，不一定成立(m，n，p，q∈N*)．
(3){an}，{bn}成等比数列，则{λan}，，{anbn}，成等比数列(λ≠0，n∈N*)．
(4)若等比数列的项数为2n(n∈N*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则＝q.
(5)通项公式an＝a1qn－1＝·qn，从函数的角度来看，它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的积，其图象是指数型函数图象上一系列孤立的点．
(6)与等差中项不同，只有同号的两个数才能有等比中项；两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反数．
(7)三个数成等比数列，通常设这三个数分别为，x，xq；四个数成等比数列，通常设这四个数分别为，xq，xq3.
3．求数列通项公式的常用方法
(1)已知Sn(a1＋a2＋…＋an＝Sn)，求an，用作差法：
an＝
(2)已知a1·a2·…·an＝f(n)，an≠0，求an，用作商法：an＝
(3)已知an＋1－an＝f(n)，求an，用累加法：an＝)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋a1(n≥2)．
(4)已知＝f(n)，求an，用累乘法：an＝··…··a1＝f(n－1)·f(n－2)·…·f(1)·a1(n≥2)．
(5)构造等比数列法：若已知数列{an}中，an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1，q≠0)，a1≠，设存在非零常数λ，使得an＋1＋λ＝＋λ)，其中λ＝，则数列就是以a1＋为首项，p为公比的等比数列，先求出数列的通项公式，再求出数列{an}的通项公式即可．
4．数列求和的常用方法
(1)公式法：①等差数列的求和公式；②等比数列的求和公式；③常用公式，即1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，n∈N*.
(2)分组求和法：当直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和．
(3)倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项的和有共性，则常考虑选用倒序相加法进行求和．
(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成的，那么常选用错位相减法将其和转化为“一个新的等比数列的和”，从而进行求解．
(5)裂项相消法：如果数列的通项可分裂成“两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用的裂项形式有
①＝；
②＝；
③<＝，
＝<<
＝；
④
＝ [].
易错剖析
易错点1 不清楚an与Sn的关系
【突破点】 已知数列{an}的前n项和Sn，求an时，利用an＝Sn－Sn－1，需注意分n＝1和n≥2两种情况讨论．
易错点2 不清楚裂项和拆项的规律，导致多项或少项
【突破点】 “裂项法”的特点：①分式的每个分子相同，分母都是两个(或三个)代数式相乘，若不具备就需要转化；②剩余项一般是前后对称．常见形式有：.
易错点3 忽视对等比数列中公比的分类讨论
【突破点】 在解决等比数列{an}的前n项和时，通常只想到Sn＝，把q＝1的情况不自觉地排除在外，这是对前n项和公式理解不透所致．解等比数列的问题，一定要注意对公比的分类讨论．
易错快攻
易错快攻一 忽视对n＝1的检验失分
1 [2022·新高考Ⅰ卷]记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
解析：∵a1＝1，∴S1＝a1，∴＝1，
又∵{}是公差为的等差数列，∴＝1＋(n－1)＝，∴Sn＝，
∴当n≥2时，Sn－1＝，∴an＝Sn－Sn－1＝，
整理得：(n－1)an＝(n＋1)an－1，即＝，∴an＝a1××…×＝1××…×＝，
显然对于n＝1也成立，∴{an}的通项公式an＝.
(2)证明：＋…＋<2.
解析：证明：＝＝2()．
∴＋…＋＝2[(1－)＋()＋…＋()]＝2(1－)＜2.
易错快攻二 忽视公比q的取值
2 已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，则“A＝－B”是“数列{an}是等比数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：当A＝－B时，Sn＝Aqn－A，则an＝Aqn－1(q－1)，
当q＝1或A＝0时，an＝0，此时数列{an}不是等比数列．
若数列{an}是等比数列，当q＝1时，Sn＝na1，此时不具备Sn＝Aqn＋B(q≠0)的形式，故q≠1，
则Sn＝＝·qn，
此时A＝－，B＝，A＝－B.
综上，“A＝－B”是“数列{an}是等比数列”的必要不充分条件．故选B.
六 立体几何
必记结论
1.空间几何体的表面积和体积
几何体 侧面积 表面积 体积
圆柱 S侧＝2πrl S表＝2πr(r＋l) V＝S底h＝πr2h
圆锥 S侧＝πrl S表＝πr(r＋l)
圆台 S侧＝π(r＋r′)l S表＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l)
直棱柱 S侧＝Ch(C为底面周长) S表＝S侧＋S上＋S下(棱锥的S上＝0) V＝S底h
正棱锥
正棱台
球 S＝4πR2
2.球的组合体
(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．
(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长．
(3)球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为a(正四面体高a的)，外接球的半径为a(正四面体高a的)．
3．空间线面位置关系的证明方法
(1)线线平行： a∥b， a∥b，
a∥b， c∥b.
(2)线面平行： a∥α， a∥α，
a∥α.
(3)面面平行： α∥β， α∥β， α∥γ.
(4)线线垂直： a⊥b.
(5)线面垂直： l⊥α， a⊥β， a⊥β， b⊥α.
(6)面面垂直： α⊥β， α⊥β.
4．用空间向量证明平行、垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α、β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，υ＝(a3，b3，c3)．则有：
(1)线面平行
l∥α a⊥μ a·μ＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(2)线面垂直
l⊥α a∥μ a＝kμ a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.
(3)面面平行
α∥β μ∥υ μ＝λυ a2＝λa3，b2＝λb3，
c2＝λc3.
(4)面面垂直
α⊥β μ⊥υ μ·υ＝0 a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.
5．用向量求空间角
(1)直线l1，l2的夹角θ有cos θ＝|cos 〈l1，l2〉|(其中l1，l2分别是直线l1，l2的方向向量)．
(2)直线l与平面α的夹角θ有sin θ＝|cos 〈l，n〉|(其中l是直线l的方向向量，n是平面α的法向量)．
(3)平面α，β的夹角θ有cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|，则α－l－β二面角的平面角为θ或π－θ(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量)．
易错剖析
易错点1 不清楚空间点、线、面的位置关系
【突破点】 解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，要注意定理应用准确、考虑问题全面细致．
易错点2 表面积的计算不准确
【突破点】 在求表面积时还要注意空间物体是不是中空的，表面积与侧面积要认真区分．
易错点3 对折叠与展开问题认识不清致误
【突破点】 注意折叠或展开过程中平面图形与空间图形中的变量与不变量，不仅要注意哪些变了，哪些没变，还要注意位置关系的变化．
易错点4 建立空间直角坐标系不当致误
【突破点】 利用空间向量坐标法求解空间角或距离时，应首先考虑建立空间直角坐标系，但一定要找到两两垂直关系，该证明的需要证明．
易错快攻
易错快攻一 忽视平面图形翻折前后的显性关系
1 如图，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，∠A＝45°，AD＝4BC＝4，AB＝，现沿CN将△CDN折起，使△ADN为正三角形，且平面ADN⊥平面ABCN，过BM的平面与线段DN、DC分别交于E，F.
(1)求证：EF⊥DA；
解析：证明：∵BM⊥AD，CN⊥AD，
∴BM∥CN，
在四棱锥D ABCN中，CN 平面CDN，
BM 平面CDN，∴BM∥平面CDN，
又平面BMEF∩平面CDN＝EF，
∴BM∥EF，
∵平面ADN⊥平面ABCN且交于AN，BM⊥AN，
∴BM⊥平面ADN，即EF⊥平面ADN，
又DA 平面ADN，∴EF⊥DA.
(2)在棱DN上(不含端点)是否存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，若存在，请确定E点的位置；若不存在，说明理由．
解析：存在，E为棱DN上靠近N点的四等分点．
∵DA＝DN，AM＝MN＝1，
连接DM，∴DM⊥AN，又平面ADN⊥平面ABCN，且平面ADN∩平面ABCN＝AN，
∴DM⊥平面ABCN.
如图，以M为坐标原点，分别以MA，MB，MD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则D(0，0，)，B(0，1，0)，M(0，0，0)，N(－1，0，0)，
＝(0，1，－)，＝(0，－1，0)，＝(1，0，)，
设＝λ，(0<λ<1)，则E(λ－1，0，λ)，＝(λ－1，0，λ)，
设平面BMEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则
不妨令x＝λ，则z＝1－λ，n＝(λ，0，1－λ)，
设直线DB与平面BMEF所成角为α，则有
sin α＝|cos 〈n，〉|＝＝＝，
解得λ＝或λ＝－(舍)．
＝，即在棱DN上存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，E为棱DN上靠近N点的四等分点．
易错快攻二 建立空间直角坐标系忽视垂直关系的证明
2 [2023·新课标Ⅱ卷]如图，三棱锥A BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．
(1)证明：BC⊥DA；
解析：证明：如图，连接DE，AE，
因为DC＝DB，且E为BC的中点，所以DE⊥BC.
因为∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DC＝DB，
所以△ADB≌△ADC(SAS)．
可得AC＝AB，故AE⊥BC.
因为DE＝E，DE，AE 平面ADE，所以BC⊥平面ADE.
又DA 平面ADE，所以BC⊥DA.
(2)点F满足＝，求二面角D AB F的正弦值．
解析：由(1)知，DE⊥BC，AE⊥BC.
不妨设DA＝DB＝DC＝2，因为∠ADB＝∠ADC＝60°，所以AB＝AC＝2.
由题可知△DBC为等腰直角三角形，故DE＝EB＝EC＝.
因为AE⊥BC，所以AE＝＝.
在△ADE中，AE2＋ED2＝AD2，所以AE⊥ED.
以E为坐标原点，ED所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则D(，0，0)，B(0，，0)，A(0，0，)，＝(－，0，)，＝(0，－)．
设F(xF，yF，zF)，因为＝，所以(xF，yF，zF)＝(－，0，)，可得F(－，0，)．
所以＝(，0，0)．
设平面DAB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则，即，取x1＝1，则y1＝z1＝1，m＝(1，1，1)．
设平面ABF的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则，即，得x2＝0，取y2＝1，则z2＝1，n＝(0，1，1)．
所以cos 〈m，n〉＝＝＝.
记二面角D AB F的大小为θ，则sin θ＝＝＝，
故二面角D AB F的正弦值为.
七 解析几何
必记结论
1.直线方程的五种形式
(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(3)两点式：＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．
(4)截距式：＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．
2．直线的两种位置关系
当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：
(1)两直线平行l1∥l2 k1＝k2.
(2)两直线垂直l1⊥l2 k1·k2＝－1.
3．三种距离公式
(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离
|AB|＝.
(2)点到直线的距离d＝(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0)．
(3)两平行线间的距离d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2)．
4．圆的方程的两种形式
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
5．直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．
(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法．
6．椭圆的标准方程及几何性质
标准方程 图形 几何性质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)；B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b，0)，B2(b，0)
轴 线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为2a，短轴长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 a，b，c的关系 c2＝a2－b2 7.双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 图形 几何性质 范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 对称性 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 渐近线
a，b，c的关系 a2＝c2－b2 8.抛物线的标准方程及几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
几何性质 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0，0) 焦点
准线方程
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
离心率 e＝1 9.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1)若双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，则渐近线的方程为＝0，即y＝±x.
(2)若渐近线的方程为y＝±x(a>0，b>0)，即±＝0，则双曲线的方程可设为＝λ(λ≠0)．
(3)若所求双曲线与双曲线＝1(a>0，b>0)有公共渐近线，其方程可设为＝λ(λ>0，焦点在x轴上；λ<0，焦点在y轴上)．
10．抛物线焦点弦的相关结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为直线AB的倾斜角，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝.
(3)＝.
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切．
易错剖析
易错点1 遗漏方程表示圆的充要条件
【突破点】 二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其他条件求解．
易错点2 解决截距问题忽略“0”的情形
【突破点】 解决直线在两坐标轴上的截距或截距具有某种倍数关系的问题时，需注意两点：
(1)截距不是距离，直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.
(2)明确直线方程的截距式不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线．因此解题时应该从截距是否为0进行分类讨论．
易错点3 忽视斜率不存在的情况
【突破点】 (1)在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2 k1＝k2求解，忽略k1，k2不存在的情况，就会导致漏解．
(2)对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用l1⊥l2 k1·k2＝－1求解，要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在．
易错点4 忽略直线与圆锥曲线相交问题中的判别式
【突破点】 凡是涉及直线与圆锥曲线位置关系的问题，一定不能忘记对判别式的讨论．
易错点5 忽视双曲线定义中的条件
【突破点】 双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．
易错点6 忽视圆锥曲线定义中的焦点位置
【突破点】 椭圆的焦点位置由分母的大小确定，双曲线则是根据二次项系数的符号来确定的．解决此类问题时，一定要将方程化为曲线的标准形式．
易错快攻
易错快攻一 忽视直线与圆锥曲线相交问题中的判别式
1[2023·新课标Ⅱ卷]已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB 面积是△F2AB 面积的2倍，则m＝( )
A． B．C．－ D．－
答案：C
解析：由题意，F1(－，0)，F2(，0)，△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即＝2×，解得m＝－或m＝－3(舍去)．故选C.
易错快攻二 遗漏直线的斜率不存在的情况
2 [2023·新课标Ⅱ卷]已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为.
(1)求C的方程；
解析：设双曲线C的方程为＝1(a>0，b>0)，c为双曲线C的半焦距，
由题意可得，解得.
所以双曲线C的方程为＝1.
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上．
解析：方法一 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，
则x1＝my1－4，x2＝my2－4.
联立得，得(4m2－1)y2－32my＋48＝0.
因为直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以4m2－1≠0，且Δ>0.
由根与系数的关系得，所以y1＋y2＝y1y2.
因为A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，
所以A1(－2，0)，A2(2，0)．
直线MA1的方程为＝，直线NA2的方程为＝，
所以＝，得＝＝＝.
因为＝
＝
＝
＝－3，
所以＝－3，解得x＝－1，
所以点P在定直线x＝－1上．
解析：方法二 由题意得A1(－2，0)，A2(2，0)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，
则＝1，即＝16.
如图，连接MA2，
＝·＝＝＝4 ①.
由＝1，得4x2－y2＝－y2＝16，
4(x－2)2＋16(x－2)＋16－y2＝16，4(x－2)2＋16(x－2)－y2＝0.
由x＝my－4，得x－2＝my－6，my－(x－2)＝6，[my－(x－2)]＝1.
4(x－2)2＋16(x－2)·[my－(x－2)]－y2＝0，4(x－2)2＋(x－2)my－(x－2)2－y2＝0，
两边同时除以(x－2)2，得·＝0，
即－·＝0.
＝＝，
由根与系数的关系得＝－ ②.
由①②可得＝.
：y＝(x＋2)＝：y＝(x－2)．
由，解得x＝－1.
所以点P在定直线x＝－1上．
八 概率与统计
必记结论
1.统计中四个数字特征
(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；
(2)中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数；
(3)平均数：样本数据的算术平均数，
即＝(x1＋x2＋…＋xn)；
(4)方差与标准差
方差：
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2].
标准差：
s＝ .
2．排列数、组合数公式及其相关性质
(1)排列数公式
＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)＝＝n！＝n(n－1)(n－2)·…·2·1(n∈N*)．
(2)组合数公式
＝＝(m≤n，n，m∈N*).
3．二项式定理
(a＋b)n＝bn(n∈N*).这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中各项的系数(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数．式中的an－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝an－kbk(其中)．
4．概率的计算公式
(1)古典概型的概率公式
P(A)＝；
(2)互斥事件的概率计算公式
P(A＝P(A)＋P(B)；
(3)对立事件的概率计算公式
P()＝1－P(A)；
(4)相互独立事件的概率：
P(AB)＝P(A)P(B)；
(5)条件概率：P(B|A)＝＝；
5．二项分布：
Pn(k)＝pk(1－p)n－k；E(X)＝np；D(X)＝np(1－p).
6．超几何分布：
P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．
E(X)＝.
7．正态分布
(1)正态分布的定义及表示
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
正态总体在三个特殊区间内取值的概率值．
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7.
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
②曲线在x＝μ处达到峰值 .
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
④曲线与x轴之间的面积为1.
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
易错剖析
易错点1 对统计图表中的概念理解不清，识图不准确
【突破点】 求解统计图表问题，重要的是认真观察图表，发现有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意图中的每一个小矩形的面积是落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1，当小矩形等高时，说明频率相等，计算时不要漏掉其中一个．
易错点2 对等可能事件认识不清致误
【突破点】 解与等可能事件相关的题目时，由于对等可能性事件的基本事件构成理解不清，往往计算基本事件或多或少或所划分事件根本不等可能性，从而导致失误．
易错点3 对抽样概念把握不准
【突破点】 解决随机抽样问题时，造成失分原因是分层中不明确有几层，计算比例时找不准比例关系．在学习时应熟练掌握各种抽样方法的步骤，注意系统抽样中各段入样的个体编号成等差数列，公差即每段的个体数．
易错快攻
易错快攻 用频率分布直方图解题时误把纵轴当作频率
[2022·新高考Ⅱ卷]在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
解析：平均年龄＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(岁)．
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；
解析：设A＝{一人患这种疾病的年龄在区间[20，70)}，所以
P(A)＝1－P()＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89.
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率．(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1)．
解析：设B＝{任选一人年龄位于区间[40，50)}，C＝{任选一人患这种疾病}，
则由条件概率公式可得
P(C|B)＝＝＝＝0.001 437 5≈0.001 4.(共19张PPT)
创设自然真实情景 助力应用能力考查
高考数学全国卷在命制情景化试题过程中，在裁剪素材方面，注意控制文字数量和阅读理解难度；在抽象数学问题方面，设置合理的思维强度和抽象程度；在解决问题方面，通过设置合适的运算过程和运算量，力求使情景化试题达到试题要求层次与考生认知水平的契合与贴切．
一是创设现实生活情景
数学试题情景取材于学生生活中的真实问题，贴近学生实际，具有现实意义，具备研究价值．
1.[2023·全国甲卷]有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为( )
A．120 B．60
C．40 D．30
答案：B
解析：不妨记五名志愿者为a，b，c，d，e，假设a连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有＝12种方法，同理：b，c，d，e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5×12＝60种．故选B.
对 接 训 练
1.[2022·全国甲卷]某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则( )
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
答案：B
解析：由统计图可知，讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率分别为65%，60%，70%，60%，65%，75%，90%，85%，80%，95%.对于A项，将这10个数据从小到大排列为60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，因此这10个数据的中位数是第5个与第6个数的平均数，为＝72.5%＞70%，A错误；对于B项，由统计图可知，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率分别为90%，85%，80%，90%，85%，85%，95%，100%，85%，100%，所以讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为×(90%＋85%＋80%＋90%＋85%＋85%＋95%＋100%＋85%＋100%)＝89.5%＞85%，B正确；对于C项，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的方差＝×[(90%－89.5%)2＋(85%－89.5%)2＋…＋(85%－89.5%)2＋(100%－89.5%)2]＝，所以标准差s后＝6.5%.讲座前这10位社区居
民问卷答题的正确率的平均数为×(60%＋60%＋65%＋65%＋70%＋75%＋80%＋85%＋90%＋95%)＝74.5%，所以讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的方差为＝×[(60%－74.5%)2＋(60%－74.5%)2＋…＋(90%－74.5%)2＋(95%－74.5%)2]＝，所以标准差s前≈11.93%.所以s前＞s后，C错误；对于D项，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%－60%＝35%，讲座后问卷答题的正确率的极差为100%－80%＝20%，D错误．故选B.
二是设置科学研究情景
科学研究情景的设置不仅考查数学的必备知识和关键能力，而且引导考生树立理想信念，热爱科学，为我国社会主义事业作出贡献．
2. [2023·新高考Ⅱ卷]某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；
解析：由题图知(100－95)×0.002＝1%>0.5%，所以95设X为患病者的该指标，
则p(c)＝P(X≤c)＝(c－95)×0.002＝0.5%，
解得c＝97.5.
设Y为未患病者的该指标，
则q(c)＝P(Y>c)＝(100－97.5)×0.01＋5×0.002＝0.035＝3.5%.
(2)设函数f(c)＝p(c)＋q(c)，当c∈[95，105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95，105]的最小值．
解析：当95≤c≤100时，
p(c)＝(c－95)×0.002＝0.002c－0.19，
q(c)＝(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.01c＋1.01，
所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝－0.008c＋0.82；
当100p(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＝0.012c－1.19，
q(c)＝(105－c)×0.002＝－0.002c＋0.21，
所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝0.01c－0.98.
综上所述，f(c)＝.
由一次函数的单调性知，函数f(c)在[95，100]上单调递减，在(100，105]上单调递增，
作出f(c)在区间[95，105]上的大致图象(略)，可得f(c)在区间[95，105]的最小值f(c)min＝f(100)＝－0.008×100＋0.82＝0.02.
对 接 训 练
2.[2023·全国甲卷]为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物)．
(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X，求X的分布列和数学期望；
解析：依题意，X的可能取值为0，1，2，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为：
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
X 0 1 2
P
(2)测得40只小鼠体重如下(单位：g)：(已按从小到大排好)
对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5
23.2 24.6 24.8 25.0 25.4
26.1 26.3 26.4 26.5 26.8
27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8
8.2 9.4 10.0 10.4 11.2
14.4 17.3 19.2 20.2 23.6
23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
(ⅰ)求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：
对照组
实验组
解析：(ⅰ)依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，
由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，
可得第11位数据为14.4，后续依次为17.3，17.3，18.4，19.2，20.1，20.2，20.4，21.5，23.2，23.6，…，
故第20位为23.2，第21位数据为23.6，
所以m＝＝23.4，
故列联表为：
对照组 6 14 20
实验组 14 6 20
合计 20 20 40
(ⅱ)根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．
参考数据：
k0 0.10 0.05 0.010
P(k2≥k0) 2.706 3.841 6.635
解析：(ⅱ)由(ⅰ)可得，K＝＝6.400>3.841，
所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．
三是设计劳动生产情景
3. [2020·新高考Ⅰ卷]某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan ∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12 cm，DE＝2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为__________ cm2.
＋4
解析：如图，连接OA，作AQ⊥DE，交ED的延长线于Q，AM⊥EF于M，交DG于E′，交BH于F′，记过O且垂直于DG的直线与DG的交点为P，设OP＝3m，则DP＝5m，不难得出AQ＝7，AM＝7，于是AE′＝5，E′G＝5，∴∠AGE′＝∠AHF′＝，△AOH为等腰直角三角形，又AF′＝5－3m，OF′＝7－5m，AF′＝OF′，∴5－3m＝7－5m，得m＝1，∴AF′＝5－3m＝2，OF′＝7－5m＝2，∴OA＝2，则阴影部分的面积S＝×π×(2)2＋×2×2＝(＋4)(cm2)．
3.[2023·全国乙卷]某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)．试验结果如下：
记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，记z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2.
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
(1)求，s2；
解析：由题意，求出zi的值如表所示，
则＝×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11，
s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61.
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
zi 9 6 8 －8 15 11 19 18 20 12
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)．
解析：因为2＝2＝＝11＝>，
所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．(共17张PPT)
多得分，要想解题巧，数学思想离不了
高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想．
数学思想方法与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时，它们又直接对知识的形成起到指导作用．因此，在平时的学习中，我们应对数学思想方法进行认真的梳理与总结，逐个认识它们的本质特征，逐步做到自觉地、灵活地将其运用于所需要解决的问题之中．
一 函数与方程思想
函数思想 方程思想
函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决 方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，使问题得到解决
函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系 1.[2023·新课标Ⅰ卷]设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．
(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；
解析：因为3a2＝3a1＋a3，所以3(a2－a1)＝a1＋2d，
所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d，
所以an＝nd.
因为bn＝，所以bn＝＝，所以S3＝＝＝6d，
T3＝b1＋b2＋b3＝＝.
因为S3＋T3＝21，
所以6d＋＝21，解得d＝3或d＝，
因为d>1，所以d＝3.
所以{an}的通项公式为an＝3n.
(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.
解析：因为bn＝，且{bn}为等差数列，所以2b2＝b1＋b3，即2×＝，所以＝，所以－3a1d＋2d2＝0，解得a1＝d或a1＝2d.
①当a1＝d时，an＝nd，所以bn＝＝＝，S99＝＝＝99×50d，T99＝＝＝.因为S99－T99＝99，所以99×50d－＝99，即50d2－d－51＝0，解得d＝或d＝－1(舍去)．
②当a1＝2d时，an＝(n＋1)d，所以bn＝＝＝，
S99＝＝＝99×51d，
T99＝＝＝.
因为S99－T99＝99，所以99×51d－＝99，即51d2－d－50＝0，解得d＝－(舍去)或d＝1(舍去)．综上，d＝.
对 接 训 练
1.[2023·新课标Ⅱ卷](多选)若函数f(x)＝a ln x＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则( )
A．bc>0 B．ab>0
C．b2＋8ac>0 D．ac<0
答案：BCD
解析：因为函数f(x)＝a ln x＋(a≠0)，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，因为函数f(x)既有极大值也有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，则即，所以.故选BCD.
二 数形结合思想
以形助数(数题形解) 以数辅形(形题数解)
借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想 借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想
数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合 2.若2x>2x>log2x，则x的取值范围为( )
A．(3，4) B．(4，＋∞)
C．(0，2) D．(1，2)
答案：D
解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝2x，y＝2x，y＝log2x的图象，如图所示，
根据数形结合可知：当12x>log2x，∴x的取值范围为(1，2)．故选D.
对 接 训 练
2.已知函数f(x)＝，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1，0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案：C
解析：函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.
三 分类讨论思想
分类讨论的原则 分类讨论的常见类型
(1)不重不漏 (2)标准要统一，层次要分明 (3)能不分类的要尽量避免，决不无原则的讨论 (1)由数学概念而引起的分类讨论
(2)由数学运算要求而引起的分类讨论
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论
(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论
(5)由参数的变化而引起的分类讨论
分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略 3.[2023·全国乙卷]已知函数f(x)＝(＋a)ln (1＋x)．
(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
解析：当a＝－1时，f(x)＝ln (1＋x)，f′(x)＝－ln (1＋x)＋·，
所以f′(1)＝－ln 2，
又f(1)＝0，所以点(1，f(1))处的切线方程为y－0＝－(x－1)ln 2，即x ln 2＋y－ln 2＝0.
(2)若函数f(x)在(0，＋∞)单调递增，求a的取值范围．
解析：由题意得f′(x)＝－ln (1＋x)＋·≥0(x＞0)，即≥0(x＞0)，因为x2(1＋x)>0，所以只需满足ax2＋x－(1＋x)ln (1＋x)≥0(x＞0)．
设g(x)＝ax2＋x－(1＋x)ln (1＋x)，则g′(x)＝2ax＋1－ln (1＋x)－1＝2ax－ln (1＋x)．
若a≤0，则g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，于是在(0，＋∞)上g(x)若a>0，设h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝2a－，h′(0)＝2a－1.
①若0＜a＜，则h′(0)＝2a－1＜0，令h′(x)＝0，得x＝－1，因为h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，故当0＜x＜－1时，h′(x)＜0，当x＞－1时，h′(x)＞0，
所以h(x)即g′(x)在上单调递减，在上单调递增，于是当0＜x＜－1时，g′(x)②若a≥，因为h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，h′(x)＞h′(0)＝2a－1≥0，所以h(x)即g′(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以在(0，＋∞)上g′(x)>g′(0)＝0，于是g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以在(0，＋∞)上g(x)>g(0)＝0，满足题意．
综上所述，a的取值范围为.
对 接 训 练
3.设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1，2，3，…)，则q的取值范围是____________________．
(－1，0)
解析：因为{an}是等比数列，Sn>0，可得a1＝S1>0，q≠0.
当q＝1时，Sn＝na1>0；
当q≠1时，Sn＝＞0，
即＞0(n∈N*)，则有 ①
或 ②
由①得－1＜q＜1且q≠0，由②得q＞1.
故q的取值范围是(－1，0)
四 转化与化归思想
转化与化归的原则 常见的转化与化归的方法
(1)熟悉化原则 (2)简单化原则 (3)直观化原则 (4)正难则反原则 (1)直接转化法 (2)换元法 (3)等价转化法 (4)构造法 (5)正难则反法
转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学思想方法 4.已知函数f(x)＝3e|x|.若存在实数t∈[－1，＋∞)，使得对任意的x∈[1，m]，m∈Z且m>1，都有f(x＋t)≤3ex，试求m的最大值．
解析：∵当t∈[－1，＋∞)且x∈[1，m]时，x＋t≥0，
∴f(x＋t)≤3ex ex＋t≤ex t≤1＋ln x－x.
∴原命题等价转化为：存在实数t∈[－1，＋∞)，使得不等式t≤1＋ln x－x对任意x∈[1，m]恒成立．
令h(x)＝1＋ln x－x(1≤x≤m)．∵h′(x)＝－1≤0，
∴函数h(x)在[1，＋∞)上为减函数，
又x∈[1，m]，∴h(x)min＝h(m)＝1＋ln m－m.∴要使得对任意x∈[1，m]，t值恒存在，只需1＋ln m－m≥－1.∵h(3)＝ln 3－2＝ln >ln ＝－1，
h(4)＝ln 4－3＝ln ∴满足条件的最大整数m的值为3.
对 接 训 练
4.[2022·新高考Ⅰ卷](多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)，若f(－2x)，g(2＋x)均为偶函数，则( )
A．f(0)＝0 B. g(－)＝0 C. f(－1)＝f(4) D. g(－1)＝g(2)
答案：BC
解析：因为f(－2x)，g(2＋x)均为偶函数，所以f(－2x)＝f(＋2x)，g(2＋x)＝g(2－x)．令t＝－2x，则x＝，所以f(t)＝f(3－t)，即f(x)＝f(3－x)．对两边求导，得f′(x)＝－f′(3－x)，即g(x)＋g(3－x)＝0，所以g(x)的图象关于点(，0)对称，即g()＝0.又因为g(2＋x)＝g(2－x)，所以g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(x)的周期为4×(2－)＝2，所以g()＝g(－)＝0，所以B正确．因为f′(2＋x)＝f′(2－x)，所以f(2＋x)＝－f(2－x)＋C，其中C为常数，所以f(2＋x)＋f(2－x)＝C，所以f(x)的图象关于点(2，)对称．又因为f(x)＝f(3－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f(x)的周期为4×(2－)＝2，所以f(－1)＝f(1)，f(4)＝f(2)．又因为f(x)＝f(3－x)，所以f(1)＝f(2)，所以f(－1)＝f(4)，所以C正确．g(x)的图象不关于直线x＝对称，所以D错误．因为f(0)＝f(2)＝，所以当C＝0时，f(0)＝0，当C≠0时，f(0)≠0，所以A错误．故选BC.(共31张PPT)
少失分，保住基本分才能得高分
选择、填空在高考中属于保分题目，只有“保住基本分，才能得高分”．在平时的训练中，针对选择、填空题，要做到两个方面：
一是练准度：高考中遗憾的不是难题做不出来，而是简单题和中档题做错，会做的题目没做对，平时训练一定要重视选择、填空的正确率．
二是练速度：提高选择、填空题的答题速度，能为攻克后面的解答题赢得充足时间．
方法一 直接法
(1)直接法是直接从题设出发，抓住命题的特征，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断而得出结果． (2)拿到一个选择题应根据其所提供信息，迅速确定最佳解法．而高考卷中大部分选择题需要用直接法求解． (3)直接法的解题过程与常规解法基本相同，不同的是解选择题时可利用选项的暗示性，同时应注意：在计算和论证时应尽量简化步骤，合理跳步，以提高解题速度，注意一些形成结论的应用，如球的性质、正方体的性质，等差、等比数列的性质． 1.(1)[2023·新课标Ⅰ卷]设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
答案：D
解析：由题意得y＝x(x－a)在区间(0，1)单调递减，所以x＝≥1，解得a≥2.故选D.
(2)[2022·新高考Ⅱ卷]已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．100π B．128π C．144π D．192π
答案：A
解析：设三棱台上底面A1B1C1、下底面ABC的外接圆半径分别为r1，r2，外接圆圆心分别为O1，O2，三棱台的外接球半径为R，球心为O.令|OO1|＝t，则|OO2|＝|t－1|.由题意及正弦定理得2r1＝＝6，2r2＝＝8，所以r1＝3，r2＝4，所以R2＝＋t2＝＋(t－1)2，即R2＝9＋t2＝16＋(t－1)2，解得所以三棱台外接球的表面积为4πR2＝100π.故选A.
听课笔记：
对 接 训 练
1.[2023·新课标Ⅱ卷]已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝( )
A． B．
C． D．
答案：D
解析：方法一 由题意，cos α＝＝1－2sin2，得sin2＝＝＝()2，又α为锐角，所以sin>0，所以sin ＝，故选D.
方法二 由题意，cos α＝＝1－2sin2，得sin2＝，将选项逐个代入验证可知D选项满足，故选D.
2．[2023·全国乙卷]已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为________．
答案：
解析：将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，于是y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－，所以A到C的准线的距离为1－＝.
方法二 排除法
排除法也叫淘汰法，就是充分运用单项选择题的特征，即有且只有一个正确选项这一信息，从选项入手，根据题设条件与各选项的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选项进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论的方法．使用该法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个正确． 2.(1)[2022·全国甲卷]函数y＝(3x－3－x)cos x在区间的图象大致为( )
答案：A
解析：设函数f(x)＝(3x－3－x)cosx，则对任意x∈[－]，都有f(－x)＝(3－x－3x)cos (－x)＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，因此排除B，D选项．又f(1)＝(3－3－1)cos 1＝cos 1＞0，所以排除C选项．故选A.
(2)[2021·新高考Ⅰ卷]下列区间中，函数f(x)＝7sin 单调递增的区间是( )
A． B．
C． D．
答案：A
解析：因为函数y＝sin x的单调递增区间为(2kπ－，2kπ＋，
对于函数f＝7sin ，由2kπ－解得2kπ－取k＝0，可得函数f的一个单调递增区间为，
则 ，(，π)
对 接 训 练
3.设函数f(x)＝，则满足f(x)＋f(x－)＞1的x的取值范围是( )
A．(－∞，) B．()
C．(－∞，) D．(，＋∞)
答案：C
解析：当x＝1时，f(1)＋f()＝0＋＝＜1，由此排除D选项；当x＝0时，f(0)＋f(－)＝1＋＞1，由此排除B选项；当x＝时，f()＋f(0)＝＋1＝＞1，由此排除A选项．综上所述，选C.
4．[2022·全国乙卷]如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象，则该函数是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
答案：A
解析：对于B选项，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故B不符合题意；对于C选项，当x＝3时，y＝＝cos 3.因为cos 3>－1，所以cos 3>－，与图象不符，故C不符合题意．对于D选项，当x＝3时，y＝>0，与图象不符，故D不符合题意．综上，用排除法选A.
方法三 特值、特例法
(1)特值、特例法是解答单项选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略． (2)当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程． 3.(1)[2023·全国乙卷]已知f(x)＝是偶函数，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案：D
解析：因为f(x)＝为偶函数，
则f(－1)＝f(1)即＝，
整理得＝，所以a－1＝1，即a＝2.故选D.
(2)如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )
A．3∶1 B．2∶1
C．4∶1 D．∶1
答案：B
解析：将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ(＝0)，则有VC－AA1B＝VA1－ABC＝，故过P，Q，C三点的截面把棱柱分成的两部分的体积之比为2∶1.故选B.
对 接 训 练
5.下列说法正确的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a>b，c>d，则a－c>b－d
C．若a>b，c>d，则ac>bd
D．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d
答案：D
解析：A：当c＝0时，显然ac2>bc2不正确，因此本选项说法不正确；B：当a＝c＝1，b＝d＝0时，显然a－c>b－d不正确，因此本选项说法不正确；C：当a＝c＝0，b＝d＝－1时，显然ac>bd不正确，因此本选项说法不正确；D：根据不等式的性质可知该选项说法正确．故选D.
6．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是________．
解析：a1，a3，a9的下标成等比数列，故可令an＝n，又易知它满足题设条件，于是＝.
方法四 数形结合法
(1)“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化．在解答选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论． (2)对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，往往可以简捷地得出正确的结果． 4.(1)[2021·新高考Ⅱ卷](多选)如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足MN⊥OP的是( )
A B C D
答案：BC
解析：设正方体的棱长为2，
如图①所示，连接AC，则MN∥AC，
故∠POC(或其补角)为异面直线OP，MN所成的角，
在直角三角形OPC中，OC＝，CP＝1，故tan ∠POC＝＝，
故MN⊥OP不成立，故A错误．
如图②所示，取NT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥NT，PQ⊥MN，
由正方体SBCM NADT可得SN⊥平面ANTD，而OQ 平面ANDT，
故SN⊥OQ，而SN＝N，故OQ⊥平面SNTM，
又MN 平面SNTM，OQ⊥MN，而OQ＝Q，
所以MN⊥平面OPQ，而PO 平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确．
如图③，连接BD，则BD∥MN，由B的判断可得OP⊥BD，
故OP⊥MN，故C正确．
如图④，取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC，PQ，OQ，PK，OK，
则AC∥MN，
因为DP＝PC，故PQ∥AC，故PQ∥MN，
所以∠QPO或其补角为异面直线PO，MN所成的角，
因为正方体的棱长为2，故PQ＝AC＝，OQ＝＝＝，
PO＝＝＝，QO2故PO，MN不垂直，故D错误．故选BC.
(2)[2023·全国甲卷]向量|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos 〈a－c，b－c〉＝( )
A．－ B．－C． D．
解析：因为a＋b＋c＝0，所以a＋b＝－c，
即a2＋b2＋2a·b＝c2，即1＋1＋2a·b＝2，所以a·b＝0.
如图，设＝a，＝b，＝c，由题知，OA＝OB＝1，OC＝，△OAB是等腰直角三角形，AB边上的高OD＝，AD＝，所以CD＝CO＋OD＝＝，tan ∠ACD＝＝，cos ∠ACD＝，cos 〈a－c，b－c〉＝cos ∠ACB＝cos 2∠ACD＝2cos2∠ACD－1＝2×－1＝.
故选：D.
答案：D
对 接 训 练
7.[2023·新课标Ⅰ卷]已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．
[2，3)
解析：因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，
令f(x)＝cosωx－1＝0，则cos ωx＝1有3个根，
令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，
结合余弦函数y＝cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3.
8．[2022·新高考Ⅰ卷]已知椭圆C：＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是________．
13
解析：由题意知e＝＝，所以a＝2c，b＝c，所以△AF1F2是等边三角形，所以DE垂直平分AF2，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，所以△ADE的周长为|DE|＋|AD|＋|AE|＝|DE|＋|DF2|＋|EF2|.由椭圆的定义，可知|DE|＋|DF2|＋|EF2|＝4a＝8c.因为直线DE的斜率k＝tan 30°＝，所以直线DE的方程为y＝(x＋c)，即x＝y－c.由椭圆方程＝1，得3x2＋4y2＝12c2.将x＝y－c代入并整理得13y2－6cy－9c2＝0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝－，所以|DE|＝·＝·＝＝c＝6，解得c＝.所以△ADE的周长是8c＝13.
方法五 构造法
构造法就是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决． 5.(1)[2022·全国甲卷]已知a＝，b＝cos ，c＝4sin ，则( )
A．c>b>a B．b>a>c
C．a>b>c D．a>c>b
答案：A
解析：a－c＝－4sin ＝1－－.不妨设f(x)＝1－x2－＝.令h(x)＝x－x3－sin x，则h′(x)＝1－x2－cos x．令g(x)＝1－x2－cos x，则g′(x)＝－3x＋sin x．当x∈时，sin x＜3x，所以当x∈时，g′(x)＜0，所以g(x)在上单调递减，所以当x∈时，g(x)＜g(0)＝0，所以当x∈时，h′(x)＜0，所以h(x)在上单调递减．所以当x∈时，h(x)＜h(0)＝0，所以当x∈时，f(x)＜0，所以f＜0，即a＜c.结合四个选项，排除B，C，D.故选A.
(2)如图，已知球O的面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________．
π
解析：如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以CD＝＝2R，
所以R＝，故球O的体积V＝＝π.
对 接 训 练
9.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1，0)
C．(－∞，－1) D．(0，1)
答案：A
解析：构造函数g(x)＝，则g′(x)＝，
由题意知，当x>0时，g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数．
∵f(x)是奇函数，f(－1)＝0，∴f(1)＝－f(－1)＝0.
∴g(1)＝＝0，∴当x∈(0，1)时，g(x)>0，从而f(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，从而f(x)<0.
又∵g(－x)＝＝＝＝g(x)，(x≠0)∴g(x)是偶函数，
∴当x∈(－∞，－1)时，g(x)<0，从而f(x)>0；
当x∈(－1，0)时，g(x)>0，从而f(x)<0.
综上，所求x的取值范围是(－∞，－1)故选A.
10．已知正四面体ABCD的外接球的体积为8π，则这个正四面体的表面积为________.
16
解析：将正四面体ABCD放在一个正方体内，设正方体的棱长为a，如图所示．设正四面体ABCD的外接球的半径为R，则πR3＝8π，得R＝.∵正四面体的外接球和正方体的外接球是同一个球，∴a＝2R＝2，∴a＝2，∵正四面体ABCD的每条棱长均等于正方体的面对角线长，∴正四面体ABCD的棱长为a＝4，因此，这个正四面体的表面积为4××42×sin ＝16.