河南省名校学术联盟·高考模拟信息卷&押题卷
数学试卷（三）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合或，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数的实部与虚部之和为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
3．现有若干大小、质地完全相同的黑球和白球，已知某袋子中装有3个白球、2个黑球，现从袋中随机依次摸出2个球，若第一次摸出的是白球，则放回袋中；若第一次摸出的是黑球，则把黑球换作白球，放回袋中.记事件“第一次摸球摸出黑球”，事件“第二次摸球摸出白球”，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则“，”是“为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知函数，，则的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．已知O为坐标原点，椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点作圆O：的切线，与C交于M，N两点.设圆O的面积和的内切圆面积分别为，，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．
B．将的图象向左平移个单位长度可得到的图象
C．的图象在区间上存在对称轴
D．在区间上单调递增
10．某地教师招聘考试，有3200人参加笔试，满分为100分，笔试成绩前20%（含20%）的考生有资格参加面试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如频率分布直方图和扇形统计图所示，则（ ）
A．90后考生比00后考生多150人 B．笔试成绩的60%分位数为80
C．参加面试的考生的成绩最低为86分 D．笔试成绩的平均分为76分
11．已知双曲线C：的上、下焦点分别为，，过点作斜率为的直线l与C的上支交于M，N两点（点M在第一象限），A为线段的中点，O为坐标原点.若C的离心率为2，则（ ）
A． B．
C．可以是直角 D．直线OA的斜率为
12．如图，底面半径为1，体积为的圆柱的一个轴截面为，点M为下底面圆周上一动点，则（ ）
A．四面体体积的最大值为1
B．直线与可能平行
C．
D．当时，平面截圆柱的外接球的截面面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．在正四面体中，分别为棱，的中点，过和侧面内的一点的平面分别与，交于点，则直线与所成角的大小为 .
14．出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若，，，图中两个阴影三角形的周长分别为，，则的最小值为 .
15．已知函数的定义域为R，若为奇函数，且直线与的图象恰有5个公共点，，，，，则 .
16．如图，已知半圆的直径是半圆上异于点的四点，且，则当六边形面积最大时，的大小为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
(1)求C；
(2)若D是边的中点，且，求的面积.
18．已知数列的通项公式为，数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)设，记数列．的前项和为，从下面两个条件中选一个，判断是否存在符合条件的正整数，，，若存在，求出，，的一组值；若不存在，请说明理由．
①，，成等比数列且，，成等比数列；
②，成等差数列且，，成等差数列．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，侧面底面，，O为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若M为棱上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
20．矮化密植是指应用生物或栽培措施使果树生长树冠紧凑的方法，它与常规的矮小栽培相比有许多优势，如采用这种矮化果树可以建立比常规果园定植密度更高的果园，不仅能提高土壤及光能利用率，还能够获得更多的早期经济效益.某乡镇计划引进A，B两种矮化果树，已知A种矮化果树种植成功率为，成功后每公顷收益7.5万元；B种矮化果树种植成功率为，成功后每公顷收益9万元.假设种植不成功时，种植A，B两种矮化果树每公顷均损失1.5万元，每公顷是否种植成功相互独立.
(1)甲种植户试种两种矮化果树各1公顷，总收益为X万元，求X的分布列及数学期望；
(2)乙种植户有良田6公顷，本计划全部种植A，但是甲劝说乙应该种植两种矮化果树各3公顷，请按照总收益的角度分析一下，乙应选择哪一种方案
21．已知F是抛物线C：（）的焦点，过点F作斜率为k的直线交C于M，N两点，且.
(1)求C的标准方程；
(2)若P为C上一点（与点M位于y轴的同侧），直线与直线的斜率之和为0，的面积为4，求直线的方程.
22．已知函数.
(1)当曲线在点处的切线与直线垂直时，求a的值；
(2)讨论的极值点的个数.名校学术联盟·高考模拟信息卷&押题卷
数学（三）解析
1．B
【分析】化简集合N，根据集合的补集和并集运算求得结果.
【详解】由，解得，
，
又或，，
.
故选：B.
2．C
【分析】应用复数的乘除法化简复数，进而求实部与虚部之和.
【详解】，
所以实部与虚部之和为.
故选：C
3．D
【分析】根据条件概率公式概率计算方法进行计算即可.
【详解】根据题意可知，
第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率，
则,
故选：D.
4．A
【分析】由余弦函数的性质，分别验证充分性与必要性即可.
【详解】函数，
当时，，为偶函数，所以充分性成立；
为偶函数时，，解得，不能得到，所以必要性不成立.
故“，”是“为偶函数”的充分不必要条件.
故选：A
5．B
【分析】利用时的解析式的图象即可得到选项.
【详解】令，则，
所以，
，
则在轴右侧为部分抛物线，
对称轴为，时，或，
且处为空心，，
排除ACD.
故选：B
6．A
【分析】根据已知条件求出，，进而求解，再由投影向量的定义求出投影向量即可.
【详解】因为， ，又因为，
所以有①；
又因为，②；
联立①②，有，解得；
在向量方向上的投影向量为：.
故选：A
7．C
【分析】利用条件成等差数列可计算出，然后代入即可计算出.
【详解】由题知成等差数列可得：.
由题知时，数列为常数列不满足题义舍去.
即：
故选：
8．C
【分析】根据条件先表示出，然后在中根据等面积法表示出内切圆的半径，结合得到的关系式，根据齐次式的计算可求离心率.
【详解】因为在圆上，所以易知轴，
由解得，所以，
设的内切圆半径为，
由等面积法可知：，
所以，所以，
又因为，
所以，所以，
所以，所以，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的离心率问题，涉及椭圆的焦点三角形、三角形内切圆等问题，对学生的转化与计算能力要求较高，难度较大.解答本题的关键在于对面积的分析，其中等面积法是解决内切圆相关问题的有效方法.
9．AC
【分析】A选项根据最小正周期为，可得；B选项根据图象平移变换可判断；CD选项根据的对称轴和单调性求法可得.
【详解】选项A：，故A正确；
选项B：将的图象向左平移个单位长度可得到
，故B错误
选项C：，令，，
得其对称轴为，，
当时，得，故C正确；
选项D：，令，，
解得，，
所以其单调递增区间为，，
因不包含于，，故D错误.
故选：AC
10．BD
【分析】根据题意，由统计图表中的数据，结合频率分布直方图的面积和百分位数，以及平均数的计算公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由年龄的扇形统计图，可得90后的考生有人，
00后的考生有人，可得人，所以A不正确；
对于B中，由频率分布直方图性质，可得，
解得，则前三个矩形的面积和，
所以试成绩的分位数为分，所以B正确；
对于C中，设面试成绩的最低分为，由前三个矩形的面积和为，第四个矩形的面积为，则分，所以C不正确；
对于D中，根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得考试的平均成绩为：
分，所以D正确.
故选：BD.
11．ABD
【分析】ABC由直线的倾斜角，三角函数的诱导公式，余弦定理和双曲线的性质及离心率求出；D用点差法，结合中点和离心率，斜率公式求出.
【详解】
A：设直线的倾斜角为，因为直线的斜率为，所以，
则，所以，
由同角的三角函数关系可得，
在中由余弦定理可得：，
设，由双曲线定义可得，
因为离心率，
所以
将上述各式代入余弦定理可得，解得，
所以，故A正确；
B：延用A的解析，由互补角可知，
同理设，在中由余弦定理可得：，
由双曲线定义可得，
因为离心率，
所以
将上述各式代入余弦定理可得，解得，
所以，，
故B正确；
C：延用AB的解析，，，
在中由余弦定理可求得，
解得，
同理，在中由余弦定理可得，
因为，由余弦定理可得，故C错误；
D：设，
则，且A为线段的中点，
由点差法可得，
又，
所以，故D正确；
故选：ABD.
12．AD
【分析】对于A，可利用等体积转换法，，而三棱锥的高可以求出来，故只需求的最大值即可验证；对于B，可以利用反证法证伪；对于C，建立适当的空间直角坐标系，验证是否等于0即可；对于D，当时，可求出点坐标，进一步得平面的法向量以及圆柱的外接球的球心到平面的距离，而圆柱的外接球的半径为，故可求截面圆半径，进而得面积即可验证.
【详解】对于A，由题意，不妨设，则，
而由题意，所以，而为三棱锥的高，
所以，等号成立当且仅当，即四面体体积的最大值为1，故A正确；
对于B，若直线与平行，则四点共面，
而三点确定唯一平面，则点只能与点或点重合，
但与、与均不平行，产生矛盾，故B错误；
对于C，取圆弧的中点，连接，此时，可知，
又面，面，
所以，
所以两两互相垂直，故以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
点在平面中的以原点为圆心的单位圆上面，所以不妨设点，
又，所以，
所以，，即与不垂直，故C错误；
由对称性可知圆柱的外接球的球心应为的中点，不妨设为点，则，
当时，，所以，此时，
又，
所以，
不妨设平面的法向量为，
则，不妨令，解得，
即取平面的一个法向量为，
所以圆柱的外接球的球心到平面的距离为，
而圆柱的外接球的半径为，
所以截面圆的半径为，
所以当时，平面截圆柱的外接球的截面面积为，故D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点睛：D选项的关键是首项确定球心以及的位置，然后由点面距离的向量求法得圆柱的外接球的球心到平面的距离，由此即可顺利得解.
13．##
【分析】根据题意作图，利用正四面体的几何性质，结合中位线定理、线面平行判定与性质定理以及线面垂直判定定理，可得答案.
【详解】取的中点为，连接，结合题意，可作图如下：
在中，因为分别为中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面平面，且平面，
所以，则，
在等边中，为的中点，所以，同理可得，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，则，
所以直线与的夹角为,
故答案为：
14．
【分析】根据图形中的相似关系先表示出，然后利用基本不等式求解出最小值.
【详解】如图1，易知，且，
所以，所以；
如图2，易知，且，
所以，所以，
所以,
又因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以最小值为，
故答案为：.
15．
【分析】由的图象与直线有相同的对称中心，可求的值.
【详解】为奇函数，则有，
即，可得，
，所以函数的图象关于点对称.
直线，即，
由，解得，所以直线过定点，
即直线关于点对称.
直线与的图象恰有5个公共点，，，，，
则有，，.
故答案为：
16．
【分析】将六边形的面积表示出来，然后使用柯西不等式即可.
【详解】设六边形的面积为，
再设
那么……①
对①式使用柯西不等式有(对①式使5维基本不等式有)：
取等条件：……②
由题知：……③
联立②③解得：.
故答案为：.
【点睛】本题是填空最后一个题，难度中档，属于跨章节综合题.在高中阶段计算最值的常用方法：①不等式(包括基本不等式，柯西不等式)②辅助角公式③导数求极值.
17．(1)；
(2).
【分析】（1）由诱导公式将变成，由正弦定理得到与的关系，再用余弦定理计算的值，从而得出的值；
（2）由中点向量公式表示出，两边平方，将第一问的结论代入计算出的值，从而得到的值，再利用三角形面积公式计算即可。
【详解】（1）由得：，
由正弦定理得：，
又，由余弦定理得：
，
又，.
（2）由为中点知：，所以，
两边平方得：，
由（1）知，，所以，
解得，所以，.
又.
所以的面积为.
18．(1)；
(2)不存在，理由见解析.
【分析】（1）利用,求出，将代入即可;
（2）表示出数列，用裂项相消法，进一步表示出相应的，，或者，，，验证是否满足.
【详解】（1）当时，，所以．
由题意知，
则当时，，
两式相减，得．
所以．当时，满足上式，故．
（2）（2）若选①，
因为，
所以
，
假设存在正整数，，使得，，成等比数列，且，，成等比数列，
则，且，即，
整理得，因为，
所以，即，
因为，所以，与矛盾，
所以不存在正整数，，，使得，，成等比数列且，，成等比数列．
若选②，
因为．
所以
，
假设存在正整数，，使得，，成等差数列，且，，成等差数列，
则，且，即，
去分母整理得，，
因为，所以有，
即，因为，，矛盾．
所以不存在正整数，，使得，，成等差数列，且，，成等差数列．
19．(1)证明见解析.
(2)
【分析】（1）先证，，根据线面垂直的判定定理可证；
（2）建立空间直角坐标系，根据向量法表示直线与平面所成角的正弦值，即可求得其最大值.
【详解】（1）
如图，连接，因为O为的中点，所以，
又因，，所以四边形为平行四边形，故，
因为，所以，
又因侧面底面，侧面底面，面，
所以平面，又因平面，所以，
又因，平面，平面，
所以平面.
（2）
过作，则，
如图建立空间直角坐标系，
由（1）可知，则为等边三角形，
又因，，
故，，
则，，，
则，，
设，，，
平面的一个量为，
设线与平面所成角为，
则，
则，
当时，，
当时，，
故当时，取得最大值为，即取得最大值为，
此时点与点重合.
综上可知，当点与点重合，与平面所成角的正弦值的最大值为.
20．(1)分布列见解析；
(2)乙应选择两种果树各种植3公顷
【分析】（1）依题意，分析得的可能取值及对应的概率，从而得解；
（2）依题意，求得全种植的收益期望与各种一半的收益期望，比较之即可得解.
【详解】（1）依题意，当均种植成功时，，此时，
当种植不成功，种植成功时，，此时，
当种稙成功，种植不成功时，，此时，
当均种植不成功时，，此时，
所以的可能取值为：，的分布列为：
16.5 7.5 6
数学期望为.
（2）全种植的收益期望为万元，
由（1）得，各种一半的收益期望为万元
因为，
乙应选择两种果树各种植3公顷.
21．(1)
(2)
【分析】（1）设MN的方程，与抛物线方程联立，表示出弦长，解得p的值；
（2）由对称性得点P与N关于y轴对称，直线MP的方程与抛物线的方程联立，可得直线MP过定点，由的面积等于4，得直线MP的方程.
【详解】（1）由题，，则直线的方程为，，，
联立方程组，得，，
，
则，抛物线的方程为.
（2）
由（1），，，
设直线MP的方程为，
因为直线MN与FP的斜率之和为0，所以P与N关于y轴对称，，
联立方程组，得，
所以，，得，所以直线MP过定点，
所以，所以，，
，，，
所以直线MP的方程为.
【点睛】直线MN与FP的斜率之和为0，等价与y轴平分，可得P与N关于y轴对称，利用（1）可得直线MP过定点，更易表示的面积.
22．(1)或
(2)时，有且只有1个极值点，当时，有2个极值点.
【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线斜率，进而表达出切线方程，根据斜率乘积为-1得到方程，求出a的值；
（2）求定义域，求导，对导函数因式分解，分和两种情况，进行分类讨论，得到函数的极值点情况.
【详解】（1），
，故，
故在点处的切线方程为，
由于该切线与直线垂直，故，解得或，
综上，或
（2）定义域为R，
，
当时，令得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故为的极小值点，
当时，令得或，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在处取得极小值，也是最小值，
最小值为，
所以恒成立，
令得或，此时单调递增，
令得，此时单调递减，
故为函数的极小值点，为函数的极大值点，
此时函数有2个零点，
综上，时，有且只有1个极值点，
当时，有2个极值点.
【点睛】方法点睛：极值点个数的判断问题，一般转化为零点的个数，注意求出导函数的零点，此零点不一定是原函数的极值点，还要结合函数的单调性或函数图象进行验证.
