2021年广东省深圳中学自主招生数学试题（含答案）

2021年广东省深圳中学自主招生数学试题
一、数学填空题（1-10题，每题4分共40分）
1．（4分）计算：＝　 　．
2．（4分）计算：）2022＝　 　．
3．（4分）已知 xyz≠0，且x+2y+z＝0，5x+4y﹣4z＝0．设，其中m和n是两个互质的正整数，则10m+n＝　 　．
4．（4分）已知实数x，y满足，则17x2﹣10y2＝　 　．
5．（4分）如图，已知△ABC中，AB＝10，D是AB的中点，∠DCA＝90°，∠DCB＝45°．则BC2＝　 　．
6．（4分）若反比例函数y＝的图象与一次函数y＝ax+b 的图象交于点 A（﹣2，m）＝和B（7，n），则（）4＝　 　．
7．（4分）定义新运算：＝ad﹣bc，例如：＝1×4﹣2×3＝﹣2．已知实数x满足＝，则x的最大值是 　 　．
8．（4分）如图，已知直线RS，ST，TR都与⊙O相切，且，∠RST＝90°，∠SRT＝60°，RS＝1，⊙O的直径为，其中a和b都是有理数，则100a+10b＝　 　．
9．（4分）在平面直角坐标系中，由抛物线y＝6﹣x2与x轴所围出的区域内有 　 　个整点（横纵坐标都是整数的点）（边界上的点不计）．
10．（4分）满足（|x﹣2|﹣|x﹣6|）（|x﹣6|﹣|x﹣12|）（|x﹣12|﹣|x﹣21|）＝0的全部实数x的乘积等于 　 　．
二、数学填空题（11-15题，每题6分，共30分）
11．（6分）如图所示为地板所铺瓷砖的一小部分．所有的瓷砖都是正方形，最小的正方形瓷砖是1cm×1cm，次小的则是3cm×3cm．若以线段XY为边长作正方形，则该正方形的面积为 　 　cm2．
12．（6分）已知三个非零实数x、y、z满足，则的值等于 　 　．
13．（6分）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，若在AC，AB上各取一点M，N使BM+MN的值最小，则这个最小值等于 　 　．
14．（6分）若正整数a、b、m满足a+b＝m+2且ab＝4m，则m的所有值之和等于 　 　．
15．（6分）一个14×18 的矩形ABCD，点P、Q、R、S分别为在AB、BC、CD、DA边上的点，如图所示．已知AP、PB、BQ、QC、CR、RD、DS、SA的长度都是正整数单位长，且PQRS为矩形，则矩形 PQRS的面积的最大值是 　 　．
参考答案
一、数学填空题（1-10题，每题4分共40分）
1．308； 2．972； 3．196； 4．﹣22； 5．40； 6．625； 7．4； 8．330； 9．14； 10．594；
二、数学填空题（11-15题，每题6分，共30分）
11．解：如图：
∵图中的四边形均为正方形，且最小正方形的边长为1cm,次小正方形的边长为3cm,
∴CF=BF=3cm,则AB=4cm,HY=TH=5cm,
∴DF=AF=AB+BF=7cm,DE=BF-1=2cm,XD=CD=CF+DF=10cm,
∴EY=CD+HY+1=16cm,XE=XD+DE=12cm,
在Rt△EXY中，EY=16cm,XE=12cm,
由勾股定理得：XY2=EY2+XE2=162+122=400，
∴以线段XY为边长作正方形，则该正方形的面积为400cm2．；
12．600； 13．16；
解：∵a+b=m+2①，ab=4m ②，
①×4-②，得4a+4b-ab-8=0，
因式分解，得（a-4）（b-4）=8，
∵a,b均为正整数，
且8=1×8或8=2×4，
∴a-4=1，b-4=8 或a-4=2，b-4=4，
∴a=5，b=12 或a=6，b=8．
∴4m=5×12或4m=6×8，
∴m=15或m=12，
∴m的所有值之和等于27．
故答案为：27．；
15．解：根据题意：设AP=RC=a,AS=CQ=b,PB=DR=18-a,SD=BQ=14-b,
由△APS∽△DSR，则 a（18-a）=b（14-b），
又因为a,b是正整数，故a（18-a）=13，24，33，40，45，48，49，得a=3，15，则b=5或9，
即有（a,b）=（3，5），（15，5），（3，9），（15，9），
S=14×18-ab-（18-a）（14-b），
S=102，150，150，102，
即：Smax=150．
故答案为：150．
第1页（共1页）