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北师大版 七年级 数学 下册 第四章《三角形》 单元测试题（解析版）
选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分）
1 . 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5cm 2cm 3cm B．5cm 2cm 2cm
C．5cm 2cm 4cm D．5cm 12cm 6cm
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．
【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A、3＋2＝5，不能组成三角形，不符合题意；
B、2＋2＝4＜5，不能组成三角形，不符合题意；
C、4＋2＝6＞5，能够组成三角形，符合题意；
D、5＋6＝11＜12，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，
他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（ ）
A．① B．② C．③ D．①和②
【答案】C
【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【详解】第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃.
故选C.
3 . 在两个三角形中给出条件：
①两角一边对应相等； ②两边一角对应相等； ③两角夹边对应相等；
④两边夹角对应相等； ⑤三边对应相等； ⑥三角形对应相等．
其中能判断出三角形全等的是（ ）
A．①②③⑤ B．①③④⑤
C．①④⑤⑥ D．②③④⑤
【答案】B
【详解】试题解析：①正确，符合AAS；
②不正确，该角应该是两边的夹角；
③正确，符合ASA；
④正确，符合SAS；
⑤正确，符合SSS；
⑥不正确，判定三角形全等必须有边的参与.
故选B.
4 . 如图，将一副三角板按如图的方式放置，图中等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角板的构成及三角形的外角性质是解题关键．
根据三角板的每个角度及三角形的有关性质求解．
【详解】在中由三角形外角性质可得：
，
，，
，
故选：B．
5．如图，点F，A，D，C在同一直线上，△ABC≌△DEF，AD=3，CF=10，则AC等于（ ）
A．5 B．6 C．6.5 D．7
【答案】C
【分析】根据全等三角形对应边相等AC=DF，得AF=DC，然后求出DC的长度，再根据AC=AD+DC，代入数据计算即可．
【详解】∵△ABC≌△DEF，
∴AC=FD即CD+AD=AF+AD，
∴AF=DC，
∵AD=3，CF=10，
∴DC= (CF AD)= (10 3)=3.5，
∴AC=AD+DC=3+3.5=6.5，
故答案选C.
6 . 如图是一个平分角的仪器，其中．将点A放在角的顶点，
和沿着角的两边固定，沿画一条射线，就是这个角的平分线．
此仪器的原理是（ ）
A． B． C． D．
解：∵，，
∴， ∴，
∴就是这个角的平分线．
故选：A．
7．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（ ）
A．30° B．75° C．105° D．30°或75°
【答案】D
【详解】试题分析：因为等腰三角形的一个角为75°，没有明确说明是底角还是顶角，
所以要分两种情况进行分析．
解：当75°角为底角时，顶角为180°﹣75°×2=30°；
75°角为顶角时，其底角==52.5°，
所以其顶角为30°或75°．
故选D．
我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．
如图是油纸伞的张开示意图，，，则的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
解：在△AEG和△AFG中，，
∴△AEG≌△AFG（SSS），
故选：D．
9 . 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，
且BD交AC于点D，CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论：
①BCD≌CBE;②BAD≌BCD;③BDA≌CEA;④BOE≌COD;⑤ACE≌BCE;
上述结论一定正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．①③④
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质及角平分线定义可得有关角之间的相等关系．运用三角形全等的判定方法AAS或ASA判定全等的三角形．
【详解】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE．
∴①△BCD≌△CBE （ASA）；
③△BDA≌△CEA （ASA）；
④△BOE≌△COD （AAS或ASA）．
故选D．
10 . 如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，
连接，，下列说法：
①和面积相等；②；③；④；⑤．
其中正确的是（ ）
A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
【答案】C
【分析】根据三角形中线的定义可得，根据等地等高的三角形面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应边相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∴和面积相等，故①正确；
而和不一定相等，故②不正确；
在和中，
，
∴，故③正确；
∴，
∴，故④正确；
∵，
∴，故⑤错误，
正确结论为：①③④，
故选：C．
填空题（本大题共有8个小题，每小题4分，共32分）
11 ．如图，∠1的度数为 ．
【答案】
【分析】根据三角形内角和定理和邻补角，即可解答．
【详解】如图
∵∠3=140°
∴∠4=180°-∠3=40°
又∠1=∠2+∠4,且∠2=80°
∴∠1=120°
故答案为：120°
12 . 如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，
在河岸BM上截取BC=CD，作DE⊥BD交AC的延长线于点E，垂足为点D，
测得ED=3，CD=4，则A、B两点间的距离等于_______．
解：在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=DE=3．
故答案为：3．
13 . 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，
在边和上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合．
过角尺顶点C的射线便是的平分线，
这里构造全等三角形的依据是 ．（填简写）
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据题意可知和的三边都相等，则可利用证明得到，据此可得答案．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
14．如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高，∠B＝50°，∠C＝70°，则∠DAE＝ °．
【答案】10
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，然后求解即可．
【详解】解：∵∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD=∠BAC=×60°=30°，
∵AE是高，
∴∠BAE=90°-∠B=90°-50°=40°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°．
故答案为：10．
如图，AE＝DF，∠A＝∠D，需要添加条件：________，就能直接利用“ASA”判定△ACE≌△DBF．
解：添加条件：∠E＝∠F，
在△ACE和△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（ASA），
故答案为：∠E＝∠F．
16 .如图，，且，且，
请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积 ．
【答案】50
【分析】本题考查的是全等三角形的判定的相关知识，关键是根据全等三角形的对应边相等解答．
由，可以得到，而，由此可以证明，所以；同理证得，故，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．
【详解】解：∵且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
同理证得得．
故，
故．
故答案为：50．
17 .如图，在△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于点D.给出下列结论：
①∠EAB=∠FAC；②AF=AC；③∠C=∠EFA；④AD=AC.
其中正确的结论是 (填序号)．
【答案】①②③
【详解】解：在△AEF和△ABC中，∵AB=AE，∠B=∠E，BC=EF，∴△AEF≌△ABC（SAS），∴∠EAF=∠BAC，AF=AC，∠C=∠EFA，∴∠EAB=∠FAC，故①②③正确，④错误；
所以答案为：①②③．
18 . 如图，等腰中，，，点D为的中点．
点P在线段上以的速度由点B向点C运动，
点Q在线段上以的速度由点C向点A运动，两点同时出发，
如果在某一时刻与全等，那么 ．
【答案】2或3
【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点．根据等边对等角可得，然后表示出、、、，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵，，点D为的中点，
∴，
设点P、Q的运动时间为，则，
，
∵，
∴，
当时，，
∴，
解得：，
则，
故点Q的运动速度为：；
当时，，
∵，
∴，
∴．
故点Q的运动速度为．
即或3，
故答案为：2或3．
三、解答题（本大题共有7个小题，共38分）
19．已知：AB＝AD，∠1＝∠2，∠B＝∠D，
求证：BC＝DE
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠DAC+∠1＝∠2+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴BC＝DE．
20．如图，已知B、E、F、D在同一直线上，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，先根据线段的和差得到，然后利用得到，进而得到，证明结论是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
21．如图，AD⊥BD，AE平分∠BAC，∠B=30°，∠ACD=70°. 求∠DAE的度数．
【答案】40°.
【详解】试题分析：根据三角形的内角和求出根据∠ACD=70°，求出的度数，求出根据角平分线的性质求出
即可求解.
试题解析：
∵AE平分∠BAC，
22．已知和位置如图所示，．
求证：；
(2) 求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：
（1）由证明，得出对应角相等即可；
（2）证出，由全等三角形的性质得出，由证明，得出对应边相等即可．
【详解】（1）在和中，
，
∴，
（2）∵，
∴，
即，
由（1）得：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
23．如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，
（1）由，，，根据即可证明；
（2）由，推出，推出，由，，推出，可得，由此即可解决问题；
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
24 .如图，与是以点为公共顶点的两个三角形，
且，且线段交于．
（1）求证：．
（2）猜想与之间的关系，并说明理由．
解：（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）由（1）知，△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
∵∠BAC=90°，
∴∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠BFC=90°，
∴CE⊥DB．
25．在中，，直线经过点C，且于D，于E．
当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①；
②．
当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？
请写出这个等量关系，并加以证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）①由垂直关系可得，则由即可证明；②由的性质及线段和的关系即可证得结论；
（2）由垂直可得，则由可证明，由全等三角形的性质及线段差的关系即可证得结论；
（3）由垂直可得，则由可证得，由全等三角形的性质及线段的和差关系即可得到三线段间的关系．
【详解】（1）如图
①∵，
∴，
∴．
又∵，，
∴．
②∵，
∴，，
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）当旋转到图3的位置时，所满足的等量关系是（或等）．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
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北师大版 七年级 数学 下册 第四章《三角形》 单元测试题
选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分）
1 . 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5cm 2cm 3cm B．5cm 2cm 2cm
C．5cm 2cm 4cm D．5cm 12cm 6cm
小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，
他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（ ）
A．① B．② C．③ D．①和②
3 . 在两个三角形中给出条件：
①两角一边对应相等； ②两边一角对应相等； ③两角夹边对应相等；
④两边夹角对应相等； ⑤三边对应相等； ⑥三角形对应相等．
其中能判断出三角形全等的是（ ）
A．①②③⑤ B．①③④⑤
C．①④⑤⑥ D．②③④⑤
4 . 如图，将一副三角板按如图的方式放置，图中等于（ ）
A． B． C． D．
5． 如图，点F，A，D，C在同一直线上，△ABC≌△DEF，AD=3，CF=10，则AC等于（ ）
A．5 B．6 C．6.5 D．7
6 . 如图是一个平分角的仪器，其中．将点A放在角的顶点，
和沿着角的两边固定，沿画一条射线，就是这个角的平分线．
此仪器的原理是（ ）
A． B． C． D．
7． 已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（ ）
A．30° B．75° C．105° D．30°或75°
我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．
如图是油纸伞的张开示意图，，，则的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
9 . 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，
且BD交AC于点D，CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论：
①BCD≌CBE;②BAD≌BCD;③BDA≌CEA;④BOE≌COD;⑤ACE≌BCE;
上述结论一定正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．①③④
10 . 如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，
连接，，下列说法：
①和面积相等；②；③；④；⑤．
其中正确的是（ ）
A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
填空题（本大题共有8个小题，每小题4分，共32分）
11 ．如图，∠1的度数为 ．
12 . 如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，
在河岸BM上截取BC=CD，作DE⊥BD交AC的延长线于点E，垂足为点D，
测得ED=3，CD=4，则A、B两点间的距离等于_______．
13 . 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，
在边和上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合．
过角尺顶点C的射线便是的平分线，
这里构造全等三角形的依据是 ．（填简写）
14．如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高，∠B＝50°，∠C＝70°，则∠DAE＝ °．
如图，AE＝DF，∠A＝∠D，需要添加条件：________，就能直接利用“ASA”判定△ACE≌△DBF．
16 . 如图，，且，且，
请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积 ．
17 . 如图，在△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于点D.给出下列结论：
①∠EAB=∠FAC；②AF=AC；③∠C=∠EFA；④AD=AC.
其中正确的结论是 (填序号)．
18 . 如图，等腰中，，，点D为的中点．
点P在线段上以的速度由点B向点C运动，
点Q在线段上以的速度由点C向点A运动，两点同时出发，
如果在某一时刻与全等，那么 ．
解答题（本大题共有7个小题，共38分）
19．已知：AB＝AD，∠1＝∠2，∠B＝∠D，求证：BC＝DE
20．如图，已知B、E、F、D在同一直线上，，，求证：．
21．如图，AD⊥BD，AE平分∠BAC，∠B=30°，∠ACD=70°. 求∠DAE的度数．
22．已知和位置如图所示，．
求证：；
(2) 求证：．
23．如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
24 . 如图，与是以点为公共顶点的两个三角形，
且，且线段交于．
（1）求证：．
（2）猜想与之间的关系，并说明理由．
25．在中，，直线经过点C，且于D，于E．
当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①；
②．
当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？
请写出这个等量关系，并加以证明．
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