2024年中考数学总复习专题2 方程(组)与不等式(组)（含答案）

2.1　一次方程（组）
考点1　一元一次方程及其应用
1.(2021浙江温州,5,4分)解方程-2(2x+1)=x,以下去括号正确的是(　　)
A.-4x+1=-x　　　　B.-4x+2=-x　　　　
C.-4x-1=x　　　　D.-4x-2=x
2.(2023四川成都,7,4分)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,是“算经十书”之一.书中记载了这样一个题目:今有木,不知长短.引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺.木长几何 其大意是:用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺.问木长多少尺 设木长x尺,则可列方程为(　　)
A.(x+4.5)=x+1
C.(x-1)=x+4.5
3.(2022湖南岳阳,7,3分)我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题,原文如下:今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽,问:城中家几何 大意为:今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取一头,恰好取完,问:城中有多少户人家 在这个问题中,城中人家的户数为(　　)
A.25　　　　B.75　　　　C.81　　　　D.90
4.(2021重庆A卷,15,4分)若关于x的方程+a=4的解是x=2,则a的值为　　　　.
5.(2023陕西,20,5分)小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个,共用了62元.已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元,求该文具店中这种大笔记本的单价.
考点2　二元一次方程(组)及其解法
6.(2022湖南株洲,7,4分)对于二元一次方程组将①式代入②式,消去y可以得到(　　)
A.x+2x-1=7　　　　B.x+2x-2=7
C.x+x-1=7　　　　D.x+2x+2=7
7.(2023四川南充,9,4分)关于x,y的方程组的解满足x+y=1,则4m÷2n的值是(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.8
8.(2023河南,12,3分)方程组的解为　　　　.
9.(2022贵州贵阳,15,4分)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中,该书的第八章名为“方程”.如:从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x,y的系数与相应的常数项,即可表示方程x+4y=23,则表示的方程是　 .
10.(2023江苏连云港,18,6分)解方程组
考点3　二元一次方程(组)的实际应用
11.(2023浙江温州,7,4分)一瓶牛奶的营养成分中,碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍,碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30 g.设蛋白质、脂肪的含量分别为x(g),y(g),可列出方程为(　　)
A.y=30
C.y=30
12.(2023浙江宁波,8,4分)茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一,是助力乡村振兴的民生产业.某村有土地60公顷,计划将其中10%的土地种植蔬菜,其余的土地开辟为茶园和种植粮食.已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷,问茶园和种粮食的面积各多少公顷 设茶园的面积为x公顷,种粮食的面积为y公顷,可列方程组为(　　)
A.
C.
13.(2022海南,18,10分)我省某村委会根据“十四五”规划的要求,打造乡村品牌,推销有机黑胡椒和有机白胡椒.已知每千克有机黑胡椒比每千克有机白胡椒的售价便宜10元,购买2千克有机黑胡椒和3千克有机白胡椒需付280元,求每千克有机黑胡椒和每千克有机白胡椒的售价.
2.2　分式方程
考点1　分式方程及其解法
1.(2021四川成都,8,3分)分式方程=1的解为(　　)
A.x=2　　　　B.x=-2　　　　C.x=1　　　　D.x=-1
2.(2023山东日照,10,3分)若关于x的方程的解为正数,则m的取值范围是(　　)
A.m>-
C.m>-且m≠0　　　　D.m<且m≠
3.(2022江苏苏州,18,5分)解方程:=1.
4.(2023山西,17,7分)解方程:.
考点2　分式方程的实际应用
5.(2022云南,12,4分)某地开展建设绿色家园活动,活动期间,计划每天种植相同数量的树木,该活动开始后,实际每天比原计划每天多植树50棵,实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同.设实际每天植树x棵,则下列方程正确的是(　　)
A.
C.
6.(2021山西,18,7分)太原武宿国际机场简称“太原机场”,是山西省开通的首条定期国际客运航线.游客从太原某景区乘车到太原机场,有两条路线可供选择,路线一:走迎宾路经太榆路全程是25千米,但交通比较拥堵;路线二:走太原环城高速全程是30千米,平均速度是路线一的倍,因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟,求走路线一到达太原机场需要多长时间.
7.(2022重庆A卷,21,10分)在全民健身运动中,骑行运动颇受市民青睐,甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地,已知甲骑行的速度是乙的1.2倍.
(1)若乙先骑行2千米,甲才开始从A地出发,则甲出发半小时恰好追上乙,求甲骑行的速度;
(2)若乙先骑行20分钟,甲才开始从A地出发,则甲、乙恰好同时到达B地,求甲骑行的速度.
8.(2023重庆A卷,22,10分)某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品.
(1)该公司花费3 000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份,此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元,求购买两种食品各多少份;
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整,现该公司分别花费1 260元、1 200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品,已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%,每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元,求购买牛肉面多少份.
9.(2023山东济宁,20,8分)为加快公共领域充电基础设施建设,某停车场计划购买A,B两种型号的充电桩.已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元,且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等.
(1)A,B两种型号充电桩的单价各是多少
(2)该停车场计划共购买25个A,B型充电桩,购买总费用不超过26万元,且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的.问:共有哪几种购买方案 哪种方案所需购买总费用最少
2.3　一元二次方程
考点1　一元二次方程及其解法
1.(2022天津,9,3分)方程x2+4x+3=0的两个根为(　　)
A.x1=1,x2=3　　　　 B.x1=-1,x2=3
C.x1=1,x2=-3　　　　D.x1=-1,x2=-3
2.(2021海南,8,3分)用配方法解方程x2-6x+5=0,配方后所得的方程是(　　)
A.(x+3)2=-4　　　　B.(x-3)2=-4
C.(x+3)2=4　　　　D.(x-3)2=4
3.(2022广东,14,3分)若x=1是方程x2-2x+a=0的根,则a=　　　　.
考点2　根的判别式、根与系数之间的关系
4.(2022河南,6,3分)一元二次方程x2+x-1=0的根的情况是(　　)
A.有两个不相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个相等的实数根
D.只有一个实数根
5.(2022四川成都,20,4分)若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2-6x+4=0的两个实数根,则这个直角三角形斜边的长是　　　　.
6.(2023江苏连云港,12,3分)关于x的一元二次方程x2-2x+a=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是　　　　.
7.(2023四川南充,20,10分)已知关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x-3m2+m=0.
(1)求证:无论m为何值,方程总有实数根;
(2)若x1,x2是方程的两个实数根,且,求m的值.
考点3　一元二次方程的实际应用
8.(2023天津,12,3分)如图,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26 m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边的和为40 m.有下列结论:
①AB的长可以为6 m;
②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m2;
③菜园ABCD面积的最大值为200 m2.
其中,正确结论的个数是(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
9.(2022浙江杭州,15,4分)某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万,2021年的新注册用户数为169万, 设新注册用户数的年平均增长率为x(x>0),则x=_______(用百分数表示).
10.(2022陕西,11,3分)在20世纪70年代,我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”,在全国大规模推广,取得了很大成果.如图,利用黄金分割法,作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分,其中E为边AB的黄金分割点,即BE2=AE·AB.已知AB为2米,则线段BE的长为　　　　米.
11.(2021湖北宜昌,22,10分)随着农业技术的现代化,节水型灌溉得到逐步推广.喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式,喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的30%和20%.去年,新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式,共用水15 000吨.
(1)请问用漫灌方式每亩用水多少吨 去年每块试验田各用水多少吨
(2)今年该公司加大对农业灌溉的投入,喷灌和滴灌试验田的面积都增加了m%,漫灌试验田的面积减少了2m%,同时,该公司通过维修灌溉输水管道,使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了m%,经测算,今年的灌溉用水量比去年减少m%,求m的值;
(3)节水不仅为了环保,也与经济收益有关系.今年,该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元,在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元.在(2)的情况下,若每吨水费为2.5元,请判断相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和.
2.4　一元一次不等式(组)
考点1　不等式的性质及一元一次不等式
1.(2021湖南常德,2,3分)若a>b,下列不等式不一定成立的是(　　)
A.a-5>b-5　　　　B.-5a<-5b
C.　　　　 D.a+c>b+c
2.(2023安徽,4,4分)在数轴上表示不等式<0的解集,正确的是(　　)
　　
　　
3.(2020甘肃天水,9,4分)若关于x的不等式3x+a≤2只有2个正整数解,则a的取值范围为　(　　)
A.-7C.-7≤a<-4　　　　D.-74.(2022浙江绍兴,12,5分)关于x的不等式3x-2>x的解集是　　　　.
5.(2023陕西,14,5分)解不等式:>2x.
考点2　一元一次不等式组
6.(2023浙江宁波,5,4分)不等式组的解集在数轴上表示正确的是(　　)
　　　　
　　　　
7.(2023浙江温州,13,4分)不等式组的解集是　　　　.
8.(2021浙江杭州,17,6分)以下是圆圆解不等式组的解答过程.
解:由①,得2+x>-1,
所以x>-3.
由②,得1-x>2,
所以-x>1,
所以x>-1.
所以原不等式组的解集是x>-1.
圆圆的解答过程是否有错误 如果有错误,写出正确的解答过程.
9.(2022天津,19,8分)解不等式组
请结合题意填空,完成本题的解答.
(1)解不等式①,得　　　　;
(2)解不等式②,得　　　　;
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
(4)原不等式组的解集为　　　　.
考点3　一元一次不等式(组)的实际应用
10.(2022山西,14,3分)某品牌护眼灯的进价为240元,商店以320元的价格出售.“五一节”期间,商店为让利于顾客,计划以利润率不低于20%的价格降价出售,则该护眼灯最多可降价　　　　元.
11.(2023江西,18,8分)今年植树节,某班同学共同种植一批树苗,如果每人种3棵,则剩余20棵;如果每人种4棵,则还缺25棵.
(1)求该班的学生人数;
(2)这批树苗只有甲、乙两种,其中甲树苗每棵30元,乙树苗每棵40元,购买这批树苗的总费用没有超过5 400元,请问至少购买了甲树苗多少棵
12.(2023河南,21,9分)某健身器材专卖店推出两种优惠活动,并规定购物时只能选择其中一种.
活动一:所购商品按原价打八折;
活动二:所购商品按原价每满300元减80元.(如:所购商品原价为300元,可减80元,需付款220元;所购商品原价为770元,可减160元,需付款610元)
(1)购买一件原价为450元的健身器材时,选择哪种活动更合算 请说明理由;
(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时,若选择活动一和选择活动二的付款金额相等,求一件这种健身器材的原价;
(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时,原价在什么范围内,选择活动二比选择活动一更合算 设一件这种健身器材的原价为a元,请直接写出a的取值范围.
答案
2.1　一次方程（组）
1答案　D　
2答案　A　
3答案　B　设城中有x户人家,依题意,得x+x=100,解得x=75.故城中有75户人家.故选B.
4答案　3
5解析 设该文具店中这种大笔记本的单价是x元,根据题意,得4x+6(x-3)=62.(3分)
解得x=8.
答:该文具店中这种大笔记本的单价为8元.(5分)
6答案　B　
7答案　D　方程组中两个方程相减得2x+2y=2m-n-1,∵x+y=1,∴2m-n-1=2(x+y)=2,∴2m-n=3,∴4m÷2n=22m÷2n=22m-n=23=8,故选D.
8答案　
解析　
①×3-②得8x=8,解得x=1,把x=1代入①得3+y=5,解得y=2.
所以方程组的解为
9答案　x+2y=32
解析　从左到右列出的算筹数分别为1,2,32,所以x的系数是1,y的系数是2,常数项是32,所以所求方程是x+2y=32.
10解析　①+②得5x=15,
解得x=3.
将x=3代入①得3×3+y=8,
解得y=-1.
∴原方程组的解为
11答案　A　
12答案　B　
13解析　设每千克有机黑胡椒的售价为x元,每千克有机白胡椒的售价为y元.
根据题意,得
解得
答:每千克有机黑胡椒的售价为50元,每千克有机白胡椒的售价为60元.
2.2　分式方程
1答案　A　
2答案　D　去分母得2x-2(2x-2)=3m,
解得x=,
∵关于x的分式方程的解为正数,
∴>0,解得m<,
又∵2x-2≠0,即2·-2≠0,
∴m≠,
∴m<且m≠,故选D.
3解析　方程两边同乘x(x+1),得x2+3(x+1)=x(x+1),
解得x=-.
经检验,x=-是原方程的解.
4解析　原方程可化为,
方程两边同乘2(x-1),得2+2(x-1)=3,
解得x=.
检验:当x=时,2(x-1)≠0.
∴原方程的解是x=.
5答案　B　
6解析　设走路线一到达太原机场需要x分钟.(1分)
根据题意,得.(4分)
解得x=25.(5分)
经检验,x=25是原方程的解,且符合题意.(6分)
答:走路线一到达太原机场需要25分钟.(7分)
7解析　(1)设乙骑行的速度是x千米/时,则甲骑行的速度是1.2x千米/时.
由题意,得x+2.解得x=20.
∴1.2x=1.2×20=24.
答:甲骑行的速度是24千米/时.
(2)设乙骑行的速度是y千米/时,则甲骑行的速度是1.2y千米/时.
由题意,得.解得y=15.
经检验,y=15是原方程的解,且符合题意.
∴1.2y=18.
答:甲骑行的速度为18千米/时.
8解析　(1)设购买杂酱面x份,则购买牛肉面(170-x)份,
根据题意,得15x+20(170-x)=3 000,
解得x=80.
则170-x=90.
答:该公司购买杂酱面80份,牛肉面90份.
(2)设购买牛肉面y份,则购买杂酱面(1+50%)y份.
根据题意,得-6.
解得y=60.
经检验,y=60是原方程的解且符合题意.
答:该公司购买牛肉面60份.
9解析　(1)设A型充电桩的单价为x万元,则B型充电桩的单价为(0.3+x)万元,
根据题意得,解得x=0.9.
经检验,x=0.9是分式方程的解且符合题意.
∴0.3+x=0.3+0.9=1.2.
答:A,B两种型号充电桩的单价分别为0.9万元,1.2万元.
(2)设购买A型充电桩a个,则购买B型充电桩(25-a)个,
根据题意得解得13≤a≤16.
由题意可知a为正整数,所以a的取值为14,15,16.
故有三种购买方案:
A型充 电桩数量 B型充 电桩数量
方案一 14 11
方案二 15 10
方案三 16 9
设购买A,B两种型号充电桩的总费用为y万元,
则y=0.9a+1.2(25-a)=-0.3a+30.
∵-0.3<0,∴y随a的增大而减小,
∴当a=16时,y取得最小值.
答:购买16个A型充电桩和9个B型充电桩所需购买总费用最少.
2.3　一元二次方程
1答案　D　
2答案　D　
3答案　1
4答案　A　
5答案　2
6答案　a<1
7解析　(1)证明:∵Δ=[-(2m-1)]2-4×1×(-3m2+m)
=16m2-8m+1
=(4m-1)2≥0.
∴无论m为何值,方程总有实数根.
(2)由根与系数的关系得x1+x2=2m-1,x1x2=-3m2+m.
∵-2,
∴,整理得5m2-7m+2=0,解得m=1或m=.
8答案　C　若AB=6 m,则BC=40-2×6=28(m),28>26,不符合题意,故①错误.
设AB=x m,则BC=(40-2x)m.
∵40-2x≤26,∴x≥7.
若矩形面积为192 m2,则x(40-2x)=192,
解得x1=12,x2=8,故②正确.
S矩形=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200,
∵-2<0,∴当x=10时,S矩形取得最大值,最大值为200,故③正确.∴正确结论的个数是2,故选C.
9答案　30%
10答案　(-1)
11解析　(1)设漫灌方式每亩用水x吨,则x×100+100×30%x+100×20%x=15 000,解得x=100,
漫灌用水:100×100=10 000(吨),
喷灌用水:30%×10 000=3 000(吨),
滴灌用水:20%×10 000=2 000(吨).
答:漫灌方式每亩用水100吨,漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10 000吨、
3 000吨、2 000吨.
(2)由题意,得100×(1-2m%)×100×(1-m%)+100×(1+m%)×30×(1-m%)+100×(1+m%)×20×(1-m%)=15 000×,
解得m1=0(舍去),m2=20,所以m=20.
(3)相比去年因用水量减少所节省的水费:15 000×m%×2.5=13 500(元),
维修投入:300×30=9 000(元),
新增设备:100×2m%×100=4 000(元),
13 500>9 000+4 000,
∴相比去年因用水量减少所节省的水费大于今年的以上两项投入之和.
2.4　一元一次不等式(组)
1答案　C　
2答案　A　
3答案　D　∵3x+a≤2,∴x≤,
∵不等式只有2个正整数解,
∴不等式的正整数解为1、2,
则2≤<3,解得-74答案　x>1
5解析　3x-5>4x,(2分)
3x-4x>5,(3分)
-x>5,(4分)
x<-5.(5分)
6答案　C　
7答案　-1≤x<3
8解析　圆圆的解答过程有错误.
正确的解答过程如下:
由①,得2+2x>-1,
所以x>-.
由②,得1-x<2,
所以x>-1.
所以原不等式组的解集是x>-1.
9解析　(1)x≥-1.
(2)x≤2.
(3)
(4)-1≤x≤2.
10答案　32
解析　设该护眼灯降价x元出售,由题意得240(1+20%)≤320-x,解得x≤32,∴该护眼灯最多可降价32元.
11解析　(1)设该班的学生人数为x.
依题意,得3x+20=4x-25.
解得x=45.
答:该班的学生人数为45.
(2)由(1)可知,树苗总数为3×45+20=155(棵).
设购买甲树苗y棵,则购买乙树苗(155-y)棵.
依题意,得30y+40(155-y)≤5 400.
解得y≥80.
答:至少购买了甲树苗80棵.
12解析　(1)选择活动一更合算.(注:若没写出判断结果,但后续说明正确,不扣分)(1分)
理由如下:
选择活动一需付款:450×0.8=360(元),
选择活动二需付款:450-80=370(元),
∵360<370,
∴选择活动一更合算.(3分)
(2)设一件这种健身器材的原价为x元.
当0当300≤x<500时,根据题意得0.8x=x-80.
解得x=400.
答:一件这种健身器材的原价为400元.(7分)
(3)300≤a<400或600≤a<800.(9分)
详解:当0当300≤a<600时,由题意得a-80<0.8a,
解得a<400,
∴300≤a<400.
当600≤a<900时,由题意得a-160<0.8a,
解得a<800,
∴600≤a<800.
综上,300≤a<400或600≤a<800.