数学人教A版（2019）必修第二册10.2事件的相互独立性 课件（共18张ppt）

(共18张PPT)
10．2　事件的相互独立性
三个臭皮匠，赛过诸葛亮？
如何从数学角度解释这句话呢？
假设诸葛亮想出计谋的概率是0.9，臭皮匠甲、乙、丙各自想出计谋的概率分别是0.6、0.6、0.5。记A=“甲想出计谋”, B=“甲想出计谋” ,C=“甲想出计谋” ,D=“臭皮匠想出计谋”。
小明解释如下P（D）=P(AUB∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.6+0.6+0.5=1.7＞0.9,
你认为小明的解释合理吗？
概率的取值范围 A、B、C可以同时发生
P(A)+P(B)
P(A)+P(B)-P(AB)
1
≤
复习回顾
事件的关系 含义 符号表示 概率关系
互斥事件 事件A、B不可能同时发生 A∩B= P(A∪B)=
对立事件 事件A、B有且仅有一个发生 A∩B= ,A∪B=Ω P(A)+P(B)=1
子事件 若事件A发生，则B发生 A B P(A) P(B)
和事件 事件A和B至少有一个发生 A∪B P(A∪B)=
积事件 事件A和B都发生 A∩B(或AB) P(AB)=
P(A)+P(B)
P(A)+P(B)-P(AB)
≤
新知探究一
下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.
试验2：一个袋子中装有标号为1,2,3,4的4个小球，除标号外没有别的区别.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.
分别计算P(A),P(B),P(AB),你发现三者有何关系？
对试验1，两硬币分别抛，第一、二枚硬币的结果互不影响，故事件A发生与否不影响事件B的发生
用1表示硬币正面朝上，0表示反面朝上，样本空间Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}
有四个等可能的样本点，为古典概型。
P(A) =P(B)= ，P(AB)= , P(AB)= P(A) P(B)
对试验2，有放回地摸球，第一、二次摸球的结果互不影响。故事件A发生与否不影响事件B的发生。
样本空间Ω={(m,n)|m,n ∈{1，2，3，4}}，而A ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2，1),(2,2)，(2,3),(2，4)}, B={(1，1),(1，2),(2，1),(2，2),(3，1),(3，2),(4，1),(4，2)},AB ={(1，1),(1，2)，(2，1),(2，2)},所以P(A)=P(B)= ,P(AB)= 于是有P(AB)=P(A)P(B).
从探究一，我们可以得到相互独立的概念
事件A、B,若P(AB)=P(A) ·P(B),则称事件A、B相互独立。 数学表达
事件A发生与否不影响事件B发生的概率。 直观理解
对(1),因为打王者的结果不会导致明天打雷，所以认为A、B独立
对(2),P(AB)=0， A∩B= ,P(A) ·P(B)= , P(AB)≠(A) ·P(B),所以认为A、B不独立
例1、使用相互独立的概念判断事件A、B是否相互独立
(1)A=“小明今晚打王者”，B=“明天打雷”
(2)投一枚质地均匀的骰子，仅投一次，A=“投出点数为奇数” ，B=“投出点数为偶数”
判断两个事件相互独立
（1）直观理解：由事件本身的性质直接判断
（2）数学表达：计算P(AB)，P(A) ·P(B),看是否满足P(AB)=P(A) ·P(B)
例2、验证必然事件、不可能事件与任意事件相互独立
直观理解：任意的事件发生与否不影响必然事件Ω和不可能事件 发生的概率
数学证明：Ω∩A=A，P(Ω∩A)=P(A)= P(A) · 1=P(A) ·P(Ω)，
∩A= ，P( ∩A)=P( )=0=0 ·P(A)= P( ) ·P(A).
探究二、如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？以探究一试验2为例，分别验证A与与B， 是否独立？
A ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2，1),(2,2)，(2,3),(2，4)}
={(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4，1),(4,2)，(4,3),(4，4)}
B={(1，1),(1，2),(2，1),(2，2),(3，1),(3，2),(4，1),(4，2)}
={(1，3),(1，4),(2，3),(2，4),(3，3),(3，4),(4，3),(4，4)}
A B= {(3，1),(3，2),(4，1),(4，2)}
= {(3，3),(3，4),(4，3),(4，4)} 此时P(B)= P() P(B), P(A)= P(A) P()
P(A)=P(B)=P()=P()= P(B)=P(A)= P()=
此时P(B)= P() P(B), P(A)= P(A) P(), P()= P()P()
除了验证，我们还可以给出证明
已知A、B独立，证P()=P(A)P()
证明：
∵A=AB∪A并且AB与A互斥，
所以P(A)=P(AB)+P(A)=P(A)P(B)+ P(A)，
移项得P(A)=P(A)(1-P(B))
P(A)=P(A)(1-P(B))， 即P()=P(A)P() ，命题得证。
与B，证明同上。
性质：若事件A、B相互独立，则A与与B， 相互独立。
例2 （两个事件同时发生的概率计算）甲、乙两名运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
（1）两人都中靶：
（2）两人都脱靶；
（3）恰好有一人中靶；
（4）至少有一人中靶；
分析：易知两人射击结果互不影响，所以A与B相互独立，A与亦相互独立， 与B也相互独立， 与也相互独立。
解：（1）AB=“两人都中靶”，P(AB)=P(A)P(B)=0.72;
（2）=“两人都脱靶”，P()=(1-P(A))(1-P(B))=0.02;
（3）设C=“恰好有一人中靶”，
法一：C=A ∪ B，这两事件互斥，有P(C)=P(A)+P(B)=0.26；
法二：C=(A∪B)\AB,又有ABA∪B，所以有P(C)=P(AUB)-P(AB)= P(A)+P(B)-P(AB)-P(AB)= 0.26.
解题步骤：
写出样本空间，确定概率模型；
列出题中涉及的事件，理清事件间的关系；
根据事件间的关系准确选取概率公式进行计算；
也可考虑计算其对立事件的概率，再间接求出符合条件的事件概率
(4) 法一：“至少有一人中靶”=AB U A U B，且它们两两互斥，故有P(AB U A U B)= P(AB) + P(A) + P(B)=0.98.
法二(正难则反)：易知“至少有一人中靶”的对立事件为“两人都脱靶”，故所求事件的概率为1-P()=0.98.
对两个事件独立，我们有P(AB)=P(A)P(B)，对三个事件相互独立呢？
事实上，类比上一节将两个互斥事件推广到多个互斥事件所得的概率关系
对三个事件A、B、C相互独立，我们有P(ABC)=P(A)P(B) P(C)
若事件A ，A ，……，Am相互独立,
则有P(A A …Am)=P(A )P(A )…P(Am)
也可记为P（）=
对三个事件A、B、C两两互斥，我们有P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)
对三个事件A、B、C两两独立，是否有P(ABC)=P(A)P(B)P(C)呢？
设样本空间Ω={a,b,c,d}含有等可能的样本点，且A={a,b}，B={a,c}，C={a,d}.请验证A，B，C三个事件两两独立，但P(ABC)≠P(A)P(B) P(C).
P(A)=P(B)=，P(C)=，
P(AB)=，P(BC)=，P(AC)=P(ABC)=
发现：P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P(C)，
P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).
0.3
0.8
2.六个相同的球，标有数字1,2,3,4,5,6，有放回地抽取2次，每次取一个球，
甲=“第一次取出的球的数字是1”，乙=“第二次取出的球数字是2”，
丙=“两次取出的球的数字之和是8”，丁=“两次取出的球的数字之和是7”
则（）
A.甲、丙独立 B.甲、丁独立 C.乙、丙独立 D.丙、丁独立
课堂练习
1.事件A、B相互独立，P(A)=0.5,P(B)=0.6,则P(AB) = P(A∪B)=
分析：相互独立事件的判断
样本空间Ω={(m,n)丨m,n∈{1,2,3,4,5,6}} 共36个样本点
甲={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4) ,(1,5), (1,6)} 由古典概率模型P(甲)===
乙={(1,2), (2,2), (3,2), (4,2) ,(5,2), (6,2)} P(乙)= == P(丙)= =
丙={(2,6), (3,5), (4,4), (5,3) ,(6,2)} P(丁)= ==
丁={(1,6), (2,5), (3,4), (4,3) ,(5,2),(6,1)}
甲丙= ，甲丁={(1,6)}, 乙丙={(6,2)} ,丙丁=
P(甲丙)=P(丙丁)=0 P(甲丁)= P(甲) P(丁)= × =
P(乙丙)= P(乙) P(丙)= × = 观察仅有P(甲丁)=P(甲) P(丁)
3.解释开头提到的谚语。
A=“甲想出计谋”, B=“甲想出计谋” ,C=“甲想出计谋” ,D=“臭皮匠想出计谋”
分析：采用正难则反的方法，注意到甲、乙、丙是否想出计谋互不影响，故他们的对立事件也相互独立。
∴P(D)=1-P( )=1-P( )P()P()=1-0.4×0.4×0.5=0.92＞0.9
所以三个臭皮匠，赛过诸葛亮在数学上是有解释的。
近防火炮问题 某型火炮每秒钟能发射200发，我们认为每一发击中目标的概率均为0.4%，求火炮开火一秒钟之后，能成功拦截的概率。
每天不中奖相互独立，记Ai=第i天不中奖，记A=十年都不中
P(A)=P(A A …A3650)=(1-0.001%) 3650≈0.964
B=开火一秒钟之后，能成功拦截 Ai=第i发未成功拦截
P(B)=1-P(A A …A200)=(1-0.4%) 200≈0.551
一些事件的相互独立性的实际应用？
彩票问题 小明坚持每天买一张彩票，一天开一次奖，设中500万概率0.001%，小明成为十年老彩民时仍然未中500万的概率。