数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式 课件（共28张ppt）

(共28张PPT)
第 4 章 数 列
学习目标
1.理解等比数列前n项和公式的推导过程．
2.掌握等比数列前n项和的公式，会用前n项和公式解决等比数列问题.
3.掌握错位相减求和法，并能运用此方法解决一些数列求和问题.
4.3.2等比数列的前n项和公式
1.等比数列的概念:
2.等比中项:
a, G, b成等比数列 G2=ab
3.等比数列的通项公式:
an=a1qn-1
变式：an＝am·qn－m
4.数列的通项an与前n项和Sn的关系:
思考：等差数列有求和公式，对于等比数列，可用a1和q求Sn＝a1＋a2＋…＋an吗？
问题情境：国际象棋起源于古代印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么。发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,在第2个格子里放上2颗麦粒,在第3个格子里放上4颗麦粒,在第4个格子里放上8颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒的2倍,直到第64个格子,请给我足够的粮食来实现上述要求”.国王觉得这并不是很难办到的,就欣然同意了他的要求.
探究：已知1000颗麦粒的质量约为40 g，据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言？
问题归结 :奖赏的麦粒总数（质量）能否得到满足？
（1）格子里的麦粒构成等比数列：1，21，22，…，263 。
（2）麦粒总粒数为
1+2+22+23+……+263=？
探究：设等比数列{an}的公比为q，求{an}的前n项和Sn .
即 Sn = a1 + a1q + a1q2 + …… + a1qn-3 + a1qn-2 + a1qn-1 ①
qSn = a1q + a1q2 + a1q3 + …… + a1qn-2 + a1qn-1 + a1qn ②
当q =1时，等比数列{an}是常数列，此时 Sn = na1
错位相减法
Sn = a1 + a2 + a3 + …… + an-2 + an-1 + an
由①-②得：(1 – q)Sn = a1 – a1qn
利用等比数列{an}的通项公式，q≠1时，公式可变形为：
由以上推导可得等比数列的前n项和公式：
探究：根据以上公式计算，判断国王能否实现他的诺言？
一千颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨，
因此，国王根本不可能实现他的诺言．
此时：a1=1,q=2,n=64,求S64．
S64=1+2+22+···+ 262 +263 = 264-1=18446744073709551615≈1.84×1019
约是2016 ~ 2017年度世界小麦产量的981倍．
等比数列的前n项和公式的推导2
Sn =a1+a2+···+an
=a1+a1q+a1q2+···+a1qn-1
=a1+q(a1+a1q+···+a1qn-2)
=a1+qSn-1
=a1+q(Sn–an)
∴(1–q)Sn=a1–qan
当q=1时，Sn=na1
等比数列的前n项和公式的推导3
由等比数列{an}的定义,设其公比为q,则：
当q≠1时，
(1-q)Sn=a1-anq
当q=1时，Sn=na1
q≠1时，公式的变式：
q≠1时，公式的变式：
题型一　等比数列的前n项和公式的基本运算
例1：(1)若an＝3×2n，求S6.
(2)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.①求{an}的通项公式； ②求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.
解：因为an＝3×2n＝6×2n－1，所以该等比数列的首项a1＝6，公比q＝2，
解：①设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.则a2＋a4＝2a3＝10，即a3＝5.
故a3－a1＝2d＝5－1＝4，即d＝2.∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1(n∈N*)．
②由①知a5＝9，即b2b4＝9，则b12q4＝9，q2＝3.
∵{bn}是公比为q的等比数列，
∴b1，b3，b5，…，b2n－1构成首项为1，公比为q2＝3的等比数列，
方法规律　(1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断， 若两种情况都有可能，则要分类讨论．
（2）当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式：
当已知a1，q与n时，用①比较方便；当已知a1，q与an时，用②比较方便．
跟踪训练：1.求和：Sn＝1＋a＋a2＋…＋an－1.
解：(1)当a＝0时，数列1，a，a2，…，an－1不是等比数列，Sn＝1.
(2)当a＝1时，Sn＝na1，即Sn＝n.
跟踪训练：1.求和：Sn＝1＋a＋a2＋…＋an－1.
解：(1)当a＝0时，数列1，a，a2，…，an－1不是等比数列，Sn＝1.
(2)当a＝1时，Sn＝na1，即Sn＝n.
例2：在等比数列{an}中，(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；
(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝ ，求a4和S5；
(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得：
(3)若q＝2，S4＝1，求S8.
＝17.
＝S4(1＋q4)＝1×(1＋24)＝17.
方法规律：　(1)基本量法：设等比数列的基本量a1,q，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时用整体代换的思想．(2)“知三求二”：在等比数列中，对于a1，q，n，an，Sn五个量，若已知其中三个量就可求出其余两量，常常列方程组来解答问题．
3．若首项为1的等比数列{an}(n∈N*)的前3项和为3，则公比q为(　　)A．－2 B．1 C．－2或1 D．2或－1
C
C
例3：某市决定将燃油型公交车，尽快换为电力型公交车．该市共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2024年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.(1)该市在2030年应该投入电力型公交车多少辆？(2)到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的 ？
题型二　等比数列前n项和的实际应用
解：(1)每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝1.5，
∴2030年应投入电力型公交车为a7＝a1q6＝128×1.56＝1 458(辆)．
方法规律：应用数列知识解决实际问题的步骤(1)根据实际问题提取数据；(2)建立数据关系，对提取的数据进行分析、归纳，建立数列的通项公式或递推关系；(3)检验关系是否符合实际，符合实际可以使用，不符合则要修改关系；(4)利用合理的结论对实际问题展开讨论．
跟踪训练：4.一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？
热气球在前n分钟内上升的总高度Sn＝a1＋a2＋…＋an
即这个热气球上升的高度不可能超过125 m.
题型三　错位相减法求和的应用
例4．求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1，…的前n项和Sn，其中a≠0.
解：当a＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n－1)，…，则：
当a≠1时，Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)·an－1， ①
∴aSn＝ a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an. ②
①－②，得Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an，
即(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋…＋an－1)
∵1－a≠0，
方法规律：错位相减法是一种重要的数列求和方法，当一个数列由等差数列与等比数列对应项的乘积构成时，可使用此法求数列的前n项和．
设数列{an}为等差数列，公差为d；数列{bn}为等比数列，公比为q(q≠1)；数列{anbn}的前n项和为Tn.则Tn的求解步骤如下：
(1)列出和式：Tn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn.
(2)两边同乘以公比q：qTn＝a1b1q＋a2b2q＋a3b3q＋…＋anbnq＝a1b2＋a2b3＋a3b4＋…＋anbn＋1.
(3)两式相减(错位相减)并求和：
Tn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn.
qTn＝ a1b2＋a2b3＋a3b4＋…＋anbn＋1.
(1－q)Tn＝a1b1＋(a2－a1)b2＋(a3－a2)b3＋…＋(an－an－1)bn－anbn＋1
＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1
(4)将结果按从高级运算到低级运算顺序排列。
错位对齐
对应相减
凑齐n项
顺序排列
跟踪训练：5．已知数列{an}是等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12，(1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设数列{an}的公差为d，则a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝12.
又a1＝2，得d＝2，∴an＝2n.
(2)由bn＝an·3n＝2n·3n，得
Sn＝2·3＋4·32＋6·33＋…＋ (2n－2)·3n－1＋2n·3n， ①3Sn＝ 2·32＋4·33＋…＋（2n-4）·3n-1＋(2n－2)·3n＋2n·3n＋1. ②
①－②得：－2Sn＝2(3＋32＋33＋…＋3n)－2n·3n＋1
＝3(3n－1)－2n·3n＋1＝(1－2n)×3n＋1－3，
课堂小结
1、等比数列的前n项和公式：
2、错位相减求和方法及应用：
错位对齐
对应相减
凑齐n项
顺序排列
3、求解方法总结：
（1）基本量法；（方程思想）
（2）“知三求二”；（方程思想）
（3）等比求和；（分类讨论）
达标训练
1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，且a2 018＋a2 019＝0，则S101等于(　　)A．3　 B．303 C．－3 D．－303
解：由a2 018＋a2 019＝0可得q＝－1，故S101＝a101＝a1＝3.
A
A
D
从而a1＝64，所以S4＝120.故选C.
C
5．已知正项数列{an}满足an＋12－6an2＝an＋1an.若a1＝2，则数列{an}的前n项和为___ ．
解：因为an+12－6an2＝an＋1an，所以(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0，因为an＞0，所以an＋1＝3an，所以{an}为等比数列，且公比为3，所以Sn＝3n－1.
3n－1
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7．等比数列{an}的公比不为1，若a1＝1，且对任意的n∈N*，都有an＋1，an，an＋2成等差数列，则{an}的前5项和S5＝________.
提示：由2an＝an＋1＋an＋2，得q＝－2或q＝1(舍去)，
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8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式； (2)若T3＝21，求S3.
解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝2得，d＋q＝3，①
(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.解得q＝－5或q＝4，当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21；当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2，记bn＝anSn(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)∵Sn＝2n＋1－2，∴当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－2＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n，又a1＝2＝21，∴an＝2n.
(2)由(1)知，bn＝anSn＝2·4n－2n＋1，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝2(41＋42＋…＋4n)－(22＋23＋…＋2n＋1)
10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋λ(λ为常数)．(1)试探究数列{an＋λ}是不是等比数列，并求an；(2)当λ＝1时，求数列{n(an＋λ)}的前n项和Tn.
解：(1)因为an＋1＝2an＋λ，所以an＋1＋λ＝2(an＋λ)．
又a1＝1，所以当λ＝－1时，a1＋λ＝0，数列{an＋λ}不是等比数列，
此时an＋λ＝an－1＝0，即an＝1；当λ≠－1时，a1＋λ≠0，所以an＋λ≠0，
所以数列{an＋λ}是以1＋λ为首项，2为公比的等比数列，
此时an＋λ＝(1＋λ)2n－1，即an＝(1＋λ)2n－1－λ.
(2)由(1)知an＝2n－1，所以n(an＋1)＝n×2n，
Tn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①2Tn＝22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，②
①－②得：－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝(1－n)2n＋1－2.
所以Tn＝(n－1)2n＋1＋2.