北京市重点中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题（PDF版含答案）

大峪中学 2023—2024 学年度第一学期开学考试
高二数学试卷
（满分：150 分； 时间：120 分钟 命题：高二集备组） 2023.9
一、选择题（本大题共 10 小题，每题 4 分）
1、复数 = 2 的共轭复数 = ( )
1+i
(A) 1 i (B) 1 + i (C) 1 1 i (D) 1 + 1 i
2 2 2 2
2、扇子具有悠久的历史,蕴含着丰富的数学元素.小明制作了一把如图所示的扇子,其半径为
16 cm, 3 圆心角为 ,则这把扇子的弧长为 ( )
4
(A) 6 cm (B) 12 cm (C) 18 cm (D) 24 cm
3、已知 , 均是单位向量, | + | = 2,则 = ( )
(A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 1
2
4、已知角 的顶点与坐标原点 重合,始边落在 轴的非负半轴上,它的终边过点
( 3,4),则 tan( + ) = ( )
(A) 4 (B) 3 (C) 3 (D) 4
3 4 4 3
5、在△ 中, = 30 , = 3, = 3,则 = ( )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 2
6 、下列函数中,是偶函数且其图象关于点( , 0)对称的是 ( )
4
(A) ( ) = sin (B) ( ) = cos (C) ( ) = sin4 (D) ( ) = cos2
7、如图,测量河对岸的塔高 时,选取与塔底 在同一水平面内的两个
观测点 与 , 垂直于平面 .现测得∠ = 15 , ∠ = 120 ,
= 20 m,并在点 测得塔顶 的仰角为45 ,则塔高 = ( )
(A) 20 6 m (B) 10 3 m (C) 10 6 m (D) 20 3 m
3
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8、设函数 ( ) = sin( + ) ( > 0,0 < < )的部分图象如图所示,那么 ( )
(A) = 1, = 5 (B) = 1, =
2 12 3
(C) = 2, = (D) = 2, =
6 3
9、已知棱长为 2的正方体 1 1 1 1, 是 1的中点, 是正方形 内(包括边界)的
一个动点,且 ⊥ ,则线段 长度的取值范围是 ( )
(A) [1,2 2] (B) [1,3] (C) [ 3, 2 2] (D) [ 3, 3]
10、在平面直角坐标系中,点 (cos ,sin ), (cos( + ),sin( + )), (cos ,sin ),则 的
3 3
最大值为 ( )
(A) 1 (B) 3 (C) 3 (D) 2
2
二、填空题（本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分）
11. cos65 cos20 + sin65 sin20 的值为 ＿＿＿＿＿ .
12. 已知复数 1 = 2+ i, 2 = 3 + 2i,则复数 1 2在复平面内对应的点位于第 ＿＿＿ 象限.
13. 已知 , 是平面 外的两条不同直线.给出下列三个论断:① ∥ ;② ⊥ ;③ ⊥ .以其中
的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:＿＿＿＿＿ .
14. 已知正三角形 1的边长为 2,点 满足 = ( + ),则| | = ＿＿＿＿＿ ,
2
=＿＿＿＿＿ .
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15. 如图,在四棱锥 中,底面 是正方形, ⊥底面 , = = 1. 为
的中点, 为 内一动点(不与 , , 三点重合).给出下列四个结论:

①直线 与 所成角的大小为 ;
4
② ⊥ ;
③ 3的最小值为 ;
3
④若 = 2, 则点 的轨迹所围成图形的面积是 .
2 6
其中所有正确结论的序号是 ＿＿＿＿＿ .
三、解答题（共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（本小题 13分）
已知向量 = (3,1), = (1,2), | | = 2 5, ⊥ ( ).
(1)求 , 的夹角;
(2)求 的坐标.
17.（本小题 15分）
已知函数 ( ) = sin cos 3cos2 + 3.
2
(1)求 ( )的最小正周期;
(2)求 ( ) 在区间[0, ]上的最大值及相应的 的取值;
2
(3)若函数 ( )在[ , ]上是增函数,求 的最小值.
3
18.（本小题 13分）
如图,在四棱锥 中,底面 是正方形, ⊥平面 ,
= = 2, 是棱 上的动点(不与 , 重合), 交平面 于
点 .
(1)求证: ∥平面 ;
(2)求证:平面 ⊥平面 ;
(3)若 是 的中点,平面 将四棱锥 分成五面体 和五面体 ,记它们
的体积分别为 1, 2,直接写出 1: 2的值.
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19.（本小题 14分）
在△ 中, sin = cos , = 2.
(1)求 ;
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求△ 的面积.
条件①: cos = 1;
2
条件②: = 5.
20.（本小题 15分）
如图,在直三棱柱 1 1 1中,点 在棱 上,且 1 ∥平面 1 , = , = 2, 1 =
2.
(1)求证: 是棱 的中点;
(2)求证: 1 ⊥平面 1 ;
(3)在棱 1上是否存在点 , 使得平面 1 ⊥平面 1 1 如果存在

求出 的值;如果不存在,请说明理由.
1
21．（本小题 15分）
cos2 cos2 cos2
对于集合 A 1, 2 , , n 和常数 0，定义： 1 0 2 0 n 0n
为集合 A 相对的 0的“余弦方差”．

（1）若集合 A , ， 0 0，求集合 A 相对 0的“余弦方差”；
3 4
A , 2 （2）判断集合 ,

相对任何常数 的“余弦方差”是否为一个与 无关的定值，并
3 3
0 0

说明理由；

（3）若集合 A , , ， [0, )， [ , 2 )，相对任何常数 4 0的“余弦方差”是一个与
0无关的定值，求出 、 ．
第 4页共 4页
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大峪中学 2023—2024 学年度第一学期开学考试高二数学试卷 参考答案 2023.9
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.
（ 1 ）B （ 2 ）B （ 3 ）D （ 4 ）A （ 5 ）C
（ 6 ）D （ 7 ）C （ 8 ）C （ 9 ）B （10）B
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
（11 2） （12）三 （13）①② ③.
2
（14）1；3 （15）①②④
注：第14题第一问2分，第二问3分；第15题全部选对得5分，不选或有
错选得0分，其他得3分.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给
分.
（16）（本小题 13分）
解：（Ⅰ）向量 = (3,1), = (1,2),
则 = 3 × 1 + 1 × 2 = 5,
| | = 32 + 12 = 10,
| | = 12 + 22 = 5,
5 2
因此 cos , = = = ,
| | | | 10× 5 2
0 ≤ , ≤ , , = 而 则 ,
4
所以 , 的夹角为 . ……………………7分
4
(2)设 = ( , ),而 = (2, 1),
由 ⊥ ( ),得 ( ） = 2 = 0,
1
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即 = 2 ,
由| | = 2 5,得 2 + 2 = 2 5,
联立解得 = 2, = 4或 = 2, = 4,
所以 = (2,4)或 = ( 2, 4). ……………………13分
17.（本小题 15分）
(1) 1 3 1 3 依题意,函数 ( ) = sin2 (2cos2 1) = sin2 cos2 = sin(2 ),
2 2 2 2 3
2
所以函数 ( )的最小正周期为 = = . ……………………5分
2
(2)由(1)知, ( ) = sin(2 ), 2 当 ∈ [0, ]时, ≤ 2 ≤ ,
3 2 3 3 3
2 = 5 当 ,即 = 时,函数 ( )取得最大值 1,
3 2 12
所以 ( )max = 1, =
5 . ……………………10分
12
(3) (1) , ( ) = sin(2 ), 2 由 知 由 ≤ 2 ≤ 2 + , ∈ ,
3 2 3 2
得 ≤ ≤ + 5 , ∈ ,即函数 ( )在[ , + 5 ] ( ∈ )上单调递增,
12 12 12 12
因为函数 ( ) [ , ] 5 在 上是增函数,则 = 0, [ , ] [ , ],因此 ≤ < ,
3 3 12 12 12 3
所以 的最小值是 . ……………………15分
12
18.（本小题 13分）
(1)由底面 是正方形,知 ∥ ,
又 平面 , 平面 ,
所以 ∥平面 . ……………………4分
(2)由底面 是正方形,可知 ⊥ ,
又 ⊥平面 , 平面 ,所以 ⊥ ,
因为 平面 , 平面 ,且 ∩ = ,
所以 ⊥平面 ,又 平面 ,
所以平面 ⊥平面 . ……………………10分
(3)连结 , ,
2
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由(1) ∥平面 , 平面 ,平面 ∩平面 = ,
得 ∥ ,即 ∥ ,
又由(2) ⊥平面 ,可得 ⊥平面 ,
1
由题意, 是 的中点, 2 = = + = △ +3
1 =
1 × 1 × 2 × 1 × 1 + 1 × 2 × 2 × 1 = 5,
3 3 2 3 3
= 1 1又 = × 2 × 2 × 2 =
8,
3 3 3
所以 1 = 2 = 1,
1: 2 = 1:
5 = 3: 5. ……………………13分
3
19.（本小题 14分）
(1)因为 sin = cos ,
由正弦定理得 sin sin = sin cos ,
又 sin ≠ 0,所以 tan = 1,
又 ∈ (0, ),所以 = . ……………………6分
4
(2) ①, cos = 1选 因为 , ∈ (0, ), 2 所以 = ,
2 3
由 sin = cos , = 2,
2
= cos
2×
得 = 2 = 2 3,
sin 3 3
2
则 sin = sin( + ) = 3 × 2 + ( 1 ) × 2 = 6 2,
2 2 2 2 4
1
所以 △ = sin =
1 × 2 × 2 3 × 6 2 = 3 3.
2 2 3 4 6
选②, sin = cos , = 2, = 5,
3
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2
sin = cos
2×
得 = 2 = 5 < 2,故 < ,
5 5 2 4
则 cos = 2 5,
5
所以 sin = sin( + ) = 5 × 2 + 2 5 × 2 = 3 10,
5 2 5 2 10
所以 1△ = sin =
1 × 2 × 5 × 3 10 = 3. ……………………14分
2 2 10 2
20. (1)连接 AB1与 A1B ,两线交于点O , O为 AB1的中点,连接OM ,
因为 B1C 平面 A1BM , B1C 平面 AB1C ,平面 AB1C 平面 A1BM OM ,
所以OM B1C ,又在 AB1C 中O为 AB1的中点,
所以M 是 AC 的中点. ……………………5分
(2)因为 AA1 底面 ABC , BM 平面 ABC ,所以 AA1 BM ,
又M 为棱 AC 的中点, AB BC ,所以BM AC ,
因为 AA1 AC A , AA1 AC 平面 ACC1A1 ,
所以BM 平面 ACC1A1 , AC1 平面 ACC1A1 ,所以 BM AC1 ,
因为 AC 2 ,所以 AM 1 ,又 AA1 2 ,
在Rt ACC1和Rt A1AM 中, tan AC1C tan A1MA 2 ,
所以 AC1C A1MA ,即 AC1C C1AC A1MA C AC 90

1 ,
所以 A1M AC1 .
又 BM A1M M , BM A1M 平面 A1BM ,
4
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所以 AC1 平面 A1BM . ……………………11分
(3)当点 N 为 BB BN 11的中点,即 时,平面 AC1N 平面 AA1C1C .BB1 2
证明如下:设 AC1的中点为D ,连接 DM , DN ,
因为 DM 分别为 AC1 , AC 的中点,
所以DM CC DM 11且 CC1 ,又 N 为 BB1的中点,2
所以DM BN 且DM BN ,
所以四边形BNDM 为平行四边形,故 BM DN ,
由(2)知BM 平面 ACC1A1 ,所以DN 平面 ACC1A1 ,
又DN 平面 AC1N ,所以平面 AC1N 平面 ACC1A1 . ……………………4分
21．（1 3） 8； ……………………3分
1
（2）证明见解析；定值 2 ； ……………………7分
7
（3） , 23 11 19 或 , . ……………………15分
12 12 12 12

【详解】（1 A ）因为集合 , ， 0 0，
3 4
cos2 cos2 1 1
所以 3 4 4 2 3 ；
2 2 8
5
{#{QQABLQiAoggIAAJAAQhCEwGICAAQkAGACIoGAAAMIAIAiQFABAA=}#}
2 “ ” cos
2


0 cos
2 2 cos2
（ ）由 余弦方差 的定义得： 3 3
0 0 ，
3
2 2

cos
cos sin 0 sin

0 cos
2 cos sin2 0 sin

0 cos cos 0 sin sin
2
0 ，
3 3 3 3
3
2 2
1 cos 3 sin 1 cos 3

22 0 2 0 0
sin 0 cos 0

2 2 ，
3
1 cos2 30 sin
2 0 cos
2
2 2 0 1 .
3 2
1
所以 是与 0无关的定值2 .
2
3 “ ” cos 0 cos
2 cos2
（ ）由 余弦方差 的定义得： 0 0 4 ，
3
2

cos cos
2
0 sin sin 0 cos cos 0 sin sin 0 cos cos 0 sin sin
2
4 4 0 ，
3
1 (1 cos2 0 cos 0 sin
1
0 sin
2 ，
3 2 2 0
cos2 cos2 0 2cos cos 0sin sin 0 sin
2 s ni 2 0 ，
cos2 cos2 0 2cos cos 0 sin sin 0 sin
2 sin2 0 )，
1[(1 cos2 cos2 ) cos2 0 (
1
sin2 sin2 ) sin2
3 2 2 0
，
(1 sin 2 sin 2 ) cos 0 sin 0 ]，
1[(1 cos2 cos2 )1 cos 2 0 (1 sin2 sin2 )1 cos 2 0 ，
3 2 2 2 2
6
{#{QQABLQiAoggIAAJAAQhCEwGICAAQkAGACIoGAAAMIAIAiQFABAA=}#}
(1 sin 2 sin 2 ) sin 2 0 ]，
2
1
[(cos2 cos2 sin2 sin2 ) cos 2 0 1 (1 cos2 cos2 ) 1 (1 sin2 sin2 )，
3 2 2 2 2 2
(1 sin 2 sin 2 ) sin 2 0 ] ,
2
1
[(cos 2 cos 2 ) cos 2 0 3 (1 sin 2 sin 2 ) sin 2 0 ]
3 2 2 ，2
cos 2 cos 2 0要使 是一个与 0无关的定值，则
1 sin 2 sin 2 0
，
因为 cos 2 cos 2 ，所以2 与2 的终边关于 y 轴对称或关于原点对称，
又 sin 2 sin 2 1，
所以2 与2 的终边只能关于 y 轴对称，
cos 2 cos 2 0

所以 ，
sin 2 sin 2
1

2
因为 [0, )， [ , 2 )，
7 23
当 2 时， 2 ，
6 6
当 2
11 19
时， 2 ，
6 6
所以
7 , 23 11 19 或 , 时，
12 12 12 12
相对任何常数 0的“余弦方差”是一个与 0无关的定值。
7
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