专题8.1 基本立体图形（重难点题型精讲）
1．空间几何体的有关概念
(1)空间几何体的定义
对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间
图形就叫做空间几何体.
例如，一个牛奶包装箱可以抽象出长方体.
(2)定理的实质
多面体及其相关概念
①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.
②多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面BCC'B'等.
③多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱AA'，棱BB'等.
④多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如图中顶点A，B，A'等.
(3)旋转体及其相关概念
①旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭
的旋转面围成的几何体叫做旋转体.
图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线OAA'O'绕OO'所在的直线旋转而形成的.
②旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线OO'是该旋转体的轴.
2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征
3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体.
4．简单组合体的结构特征
(1)简单组合体的定义
由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.
(2)简单组合体的构成形式
①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示.
②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示.
(3)常见的几种组合体
①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到.
②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到.
③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成.
5．正方体的截面形状的探究
通过尝试、归纳，有如下结论.
(1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形.
(2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四
边形中至少有一组对边平行.
(3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是
正五边形.
(4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形.
对应截面图形如图中各图形所示
【题型1 简单几何体的识别】
【方法点拨】
(1)掌握简单几何体的结构特征；
(2)判断是多面体还是旋转体；
(3)得到几何体的名称.
【例1】（2022春·湖南株洲·高一期中）以下各几何体中， 是棱柱的是 （ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2022春·湖南株洲·高二开学考试）下列几何体中为台体的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022秋·青海海南·高二阶段练习）观察下图中的四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A．（1）是棱台 B．（2）是圆台
C．（3）是棱锥 D．（4）不是棱柱
【变式1-3】（2022春·内蒙古阿拉善盟·高一期末）下列几何体中是棱锥的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【题型2 棱柱、棱锥、棱台的结构特征】
【方法点拨】
结合具体条件，根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征，进行分析求解.
【例2】（2022秋·上海黄浦·高三阶段练习）下列命题是真命题的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
D．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共项点的三角形的几何体叫棱锥
【变式2-1】（2022·吉林·高一期中）下列命题中，正确的是（ ）
A．底面是正方形的四棱柱是正方体
B．棱锥的高线可能在几何体之外
C．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱
D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
【变式2-2】（2022秋·陕西汉中·高一期末）下列说法正确的是（ ）
A．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台
B．棱柱的侧面可以是三角形
C．直棱柱的底面是正多边形
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
【变式2-3】（2022秋·湖南怀化·高二期中）以下四个命题中，真命题为（ ）
A．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
B．底面是矩形的四棱柱是长方体
C．正三棱锥是正四面体
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
【题型3 旋转体的结构特征】
【方法点拨】
通过旋转体的结构特征，进行分析，即可得解.
【例3】（2022秋·安徽合肥·高二阶段练习）下列说法正确的是
A．通过圆台侧面上一点可以做出无数条母线
B．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥
C．圆柱的上底面下底面互相平行
D．五棱锥只有五条棱
【变式3-1】（2023·高一课时练习）有下列命题，其中错误命题个数是（ ）
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②过圆锥顶点的截面是等腰三角形；③以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥；④平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3-2】（2022秋·上海奉贤·高二期中）下列说法正确的是（ ）
A．圆柱上下底面各取一点，它们的连线即为圆柱的母线
B．过球上任意两点，有且仅有一个大圆
C．圆锥的轴截面是等腰三角形
D．用一个平面去截球，所得的圆即为大圆
【变式3-3】（2023·高一课时练习）有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；②圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长；③圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.其中正确的命题是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【题型4 简单组合体的结构特征】
【方法点拨】
掌握常见的几种简单组合体，结合具体问题，进行求解即可.
【例4】（2022·高一课时练习）如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（ ）
A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥
C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台
【变式4-1】（2022秋·河北沧州·高三阶段练习）太阳能发电是我国大力提倡的一种新能源发电形式.如图所示，某型号的矩形太阳能电池板用四根垂直于地面的立柱支撑，点，，，均在同一水平面内，且其中三根立柱，，的长度分别为100cm，200cm，300cm，则立柱的长度是（ ）
A．100cm B．150cm C．200cm D．250cm
【变式4-2】（2022春·上海·高二专题练习）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美．如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体：①有12个顶点；②有14个面；③表面积为3；④体积为，正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）如图所示是一位学生设计的奖杯模型，奖杯底托为空心的正四面体，且挖去的空心部分是恰好与四面体四个面都相切的球；顶部为球，其直径与正四面体的棱长相等，若这样设计奖杯，则球与球的半径之比（ ）
A． B． C． D．
【题型5 几何体的截面问题】
【方法点拨】
根据对几何体的截面形状的研究，结合具体问题，进行求解即可.
【例5】（2023·高一课时练习）圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（2022·高一课时练习）图中的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知在正方体中，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面图的形状是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【变式5-3】（2022秋·安徽合肥·高三期末）已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过 、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 平面图形旋转形成的几何体】
【方法点拨】
对于平面图形绕轴旋转问题，首先要对原平面图形进行适当的分割，一般分割成矩形、三角形、梯形或圆(半
圆或四分之一圆周)等基本图形，然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析.
【例6】（2022春·广东珠海·高一阶段练习）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（ ）
A．一个球
B．一个球挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球挖去一个正方体
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知长方形ABCD中，，点E为CD的中点，现以AE所在直线为旋转轴将该长方形旋转一周，则所得几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2022·高一课时练习）能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2022·高一课时练习）如图所示，是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的平面轴对称图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是 ( )
A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
B．该组合体仍然关于轴l对称
C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
D．该组合体中的球和半球只有一个公共点专题8.1 基本立体图形（重难点题型精讲）
1．空间几何体的有关概念
(1)空间几何体的定义
对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间
图形就叫做空间几何体.
例如，一个牛奶包装箱可以抽象出长方体.
(2)定理的实质
多面体及其相关概念
①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.
②多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面BCC'B'等.
③多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱AA'，棱BB'等.
④多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如图中顶点A，B，A'等.
(3)旋转体及其相关概念
①旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭
的旋转面围成的几何体叫做旋转体.
图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线OAA'O'绕OO'所在的直线旋转而形成的.
②旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线OO'是该旋转体的轴.
2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征
3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体.
4．简单组合体的结构特征
(1)简单组合体的定义
由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.
(2)简单组合体的构成形式
①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示.
②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示.
(3)常见的几种组合体
①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到.
②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到.
③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成.
5．正方体的截面形状的探究
通过尝试、归纳，有如下结论.
(1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形.
(2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四
边形中至少有一组对边平行.
(3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是
正五边形.
(4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形.
对应截面图形如图中各图形所示
【题型1 简单几何体的识别】
【方法点拨】
(1)掌握简单几何体的结构特征；
(2)判断是多面体还是旋转体；
(3)得到几何体的名称.
【例1】（2022春·湖南株洲·高一期中）以下各几何体中， 是棱柱的是 （ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定的条件，利用棱柱的定义直接判断作答.
【解答过程】对于A，几何体是三棱锥，不是棱柱，A不是；
对于B，几何体有两个平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，B不是；
对于C，几何体有两个平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，C不是；
对于D，几何体有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，是棱柱，D是.
故选：D.
【变式1-1】（2022春·湖南株洲·高二开学考试）下列几何体中为台体的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】直接判断出各选项中几何体的形状，由此确定出台体.
【解答过程】A：圆锥，B：圆柱，C：棱台，D：球，
所以属于台体的只有棱台，
故选：C.
【变式1-2】（2022秋·青海海南·高二阶段练习）观察下图中的四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A．（1）是棱台 B．（2）是圆台
C．（3）是棱锥 D．（4）不是棱柱
【解题思路】利用几何体的结构特征进行分析判断，能够求出结果.
【解答过程】图（1）不是由棱锥截来的，所以（1）不是棱台；
图（2）上、下两个面不平行，所以（2）不是圆台；
图（3）是棱锥．
图（4）前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以（4）是棱柱．
故选：C．
【变式1-3】（2022春·内蒙古阿拉善盟·高一期末）下列几何体中是棱锥的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解题思路】由棱锥的定义逐个判断即可得解.
【解答过程】由棱锥的定义可得，只有几何体⑤、⑥为棱锥.
故选：C.
【题型2 棱柱、棱锥、棱台的结构特征】
【方法点拨】
结合具体条件，根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征，进行分析求解.
【例2】（2022秋·上海黄浦·高三阶段练习）下列命题是真命题的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
D．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共项点的三角形的几何体叫棱锥
【解题思路】根据棱柱的几何特征，可判断A、B的真假；根据棱锥的几何特征可判断CD的真假.
【解答过程】解：因为有两个面平行，其余各面是相邻的公共边都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，所以A、B错误；
因为有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体叫棱锥，所以C选项错误，D选项正确.
故选：D.
【变式2-1】（2022·吉林·高一期中）下列命题中，正确的是（ ）
A．底面是正方形的四棱柱是正方体
B．棱锥的高线可能在几何体之外
C．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱
D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
【解题思路】举反例否定选项A；举例验证判断选项B；依据棱柱定义判断选项C；依据棱锥定义判断选项D
【解答过程】底面是正方形的四棱柱可能是斜棱柱，不一定是正方体，故A错误；
斜棱锥的高线有可能在几何体之外，故B正确；
根据棱柱的定义可得，有两个面互相平行，
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱.而满足选项C条件的几何体可能是组合体.故C错误；
有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，故D错误．
故选：B．
【变式2-2】（2022秋·陕西汉中·高一期末）下列说法正确的是（ ）
A．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台
B．棱柱的侧面可以是三角形
C．直棱柱的底面是正多边形
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
【解题思路】根据各类简单几何体结构特征作出判断即可.
【解答过程】A.两个平面平行，其余各面是梯形的多面体，当侧棱延长后不交于同一点时，就不是棱台，A错误；
B.棱柱的侧面是平行四边形，B错误；
C. 侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱，所以底面不一定是正多边形，比如直四棱柱底面可以是长方形，C错误；
D.正棱锥定义：正棱锥是指底面是正多边形，且从顶点到底面的垂线足是这个正多边形的中心的棱锥，因此正棱锥侧棱都相等，D正确.
故选：D.
【变式2-3】（2022秋·湖南怀化·高二期中）以下四个命题中，真命题为（ ）
A．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
B．底面是矩形的四棱柱是长方体
C．正三棱锥是正四面体
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
【解题思路】根据柱体、锥体、台体的定义和结构特征即可判断正误.
【解答过程】对于A，等腰三角形的腰不一定是侧棱，A是假命题；
对于B，侧棱与底面矩形不一定垂直，B是假命题；
对于C，正三棱锥的棱长与底面边长不一定相等，故不一定是正四面体；
对于D，由棱台的定义知D是真命题.
故选：D.
【题型3 旋转体的结构特征】
【方法点拨】
通过旋转体的结构特征，进行分析，即可得解.
【例3】（2022秋·安徽合肥·高二阶段练习）下列说法正确的是
A．通过圆台侧面上一点可以做出无数条母线
B．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥
C．圆柱的上底面下底面互相平行
D．五棱锥只有五条棱
【解题思路】根据圆柱、圆锥和圆台的几何结构特征，逐项判定，即可求解.
【解答过程】A中，根据圆台的结构特征，通过圆台侧面上一点有且只有一条母线，所以不正确；
B中，根据圆锥的定义，直角三角形绕其一直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，所以不正确；
C中，根据圆柱的结构特征，可知圆柱的上底面下底面互相平行，所以是正确的；
D中，根据棱锥的结构特征，可得五棱锥只有五条侧棱，所以不正确.
故选：C.
【变式3-1】（2023·高一课时练习）有下列命题，其中错误命题个数是（ ）
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②过圆锥顶点的截面是等腰三角形；③以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥；④平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】由圆柱、圆锥的结构特征逐一分析四个命题得结论．
【解答过程】解：①圆柱是将矩形以一边为轴旋转一周所得的几何体，故①错误；
②过圆锥顶点的截面是等腰三角形，故②正确；
③以直角三角形一直角边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥，故③错误；
④平行于母线的平面截圆锥，截面不是等腰三角形，是抛物线，故④错误．
其中错误命题个数为3．
故选：C．
【变式3-2】（2022秋·上海奉贤·高二期中）下列说法正确的是（ ）
A．圆柱上下底面各取一点，它们的连线即为圆柱的母线
B．过球上任意两点，有且仅有一个大圆
C．圆锥的轴截面是等腰三角形
D．用一个平面去截球，所得的圆即为大圆
【解题思路】根据圆柱的定义、球的性质以及圆锥的性质，逐一判定，即可求解，得到答案
【解答过程】解：对于A，若上下顶面两点连线不垂直于底面，则两点连线长度不是母线的长度，故A错误；
对于B，当这两点是直径的两个端点时，可作无数个大圆，故B错误；
对于C，根据圆锥的定义可知圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形，故C正确；
对于D，用一个平面去截球，该平面需过球心的时候，所得的圆才是大圆，故D错误；
故选：C.
【变式3-3】（2023·高一课时练习）有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；②圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长；③圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.其中正确的命题是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【解题思路】根据圆柱，圆锥几何体的特征依次判断即可得答案.
【解答过程】解：对于①，在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点所得直线与旋转轴不一定平行，故错误；
对于②，圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长，故正确；
对于③，圆柱的母线均与旋转轴平行，故圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行，正确.
所以，正确的命题是②③
故选：B.
【题型4 简单组合体的结构特征】
【方法点拨】
掌握常见的几种简单组合体，结合具体问题，进行求解即可.
【例4】（2022·高一课时练习）如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（ ）
A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥
C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台
【解题思路】根据组合体外部轮廓图的结构特征和挖掉的几何体的结构特征即可得解.
【解答过程】螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，则挖去的部分是圆柱，选项C表述准确.
故选：C.
【变式4-1】（2022秋·河北沧州·高三阶段练习）太阳能发电是我国大力提倡的一种新能源发电形式.如图所示，某型号的矩形太阳能电池板用四根垂直于地面的立柱支撑，点，，，均在同一水平面内，且其中三根立柱，，的长度分别为100cm，200cm，300cm，则立柱的长度是（ ）
A．100cm B．150cm C．200cm D．250cm
【解题思路】根据题意知四边形是平行四边形，故、、、在同一平面内，则和的差额与和的差额相等，代入数据求出值．
【解答过程】由题意知四边形是平行四边形，，
则和的差额 与和的差额相等，
设立柱的长度是．
故选：C．
【变式4-2】（2022春·上海·高二专题练习）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美．如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体：①有12个顶点；②有14个面；③表面积为3；④体积为，正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【解题思路】该半正多面体的所有顶点恰为正方体各棱的中点,即为正方体截去8个三棱锥所剩部分，结合正方体的性质即可求得.
【解答过程】该半正多面体的所有顶点恰为正方体各棱的中点，其棱长为，有12个顶点，14个面（6个正方形，8个正三角形），它可由正方体去掉8个三棱锥所剩部分，它的表面积为
，体积为，
∴①②④正确，
故选C．
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）如图所示是一位学生设计的奖杯模型，奖杯底托为空心的正四面体，且挖去的空心部分是恰好与四面体四个面都相切的球；顶部为球，其直径与正四面体的棱长相等，若这样设计奖杯，则球与球的半径之比（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设内切球的半径，正四面体的高为，利用等体积得，可得，由即可求出，进而求出比值.
【解答过程】设内切球的半径，正四面体的高为，利用等体积得，，
所以，又，
则，球的半径，所以.
故选：B.
【题型5 几何体的截面问题】
【方法点拨】
根据对几何体的截面形状的研究，结合具体问题，进行求解即可.
【例5】（2023·高一课时练习）圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据截面在圆柱底面所形成的截痕直接判断即可.
【解答过程】圆柱底面为正三棱锥底面三角形的外接圆，如下图所示，
则过棱锥的一条侧棱和高作截面，棱锥顶点为圆柱上底面的中心，可得截面图如下图，
故选：D.
【变式5-1】（2022·高一课时练习）图中的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤
【解题思路】分截面经过圆柱上下底面的圆心和截面不经过圆柱上下底面的圆心两种情况，分别讨论，进而可得出答案.
【解答过程】当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确；
当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为一条曲线，所以⑤正确；
故选:D.
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知在正方体中，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面图的形状是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【解题思路】利用平行画出截面，进而判断出正确答案.
【解答过程】分别取、、的中点、、，连接、、，
在正方体中，，，分别是，，的中点，
，，，
六边形是过，，这三点的截面图，
过这三点的截面图的形状是六边形．
故选：D.
【变式5-3】（2022秋·安徽合肥·高三期末）已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过 、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】画出图形，可得最大面积的截面四边形为等腰梯形，根据梯形的面积公式求解即可.
【解答过程】如图所示，最大面积的截面四边形为等腰梯形，
其中，高为，
故面积为.
故选:D．
【题型6 平面图形旋转形成的几何体】
【方法点拨】
对于平面图形绕轴旋转问题，首先要对原平面图形进行适当的分割，一般分割成矩形、三角形、梯形或圆(半
圆或四分之一圆周)等基本图形，然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析.
【例6】（2022春·广东珠海·高一阶段练习）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（ ）
A．一个球
B．一个球挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球挖去一个正方体
【解题思路】根据旋转体的定义可得正确的选项.
【解答过程】圆及其内部旋转一周后所得几何体为球，
而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱，
故题设中的平面图形绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱，
故选：B.
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知长方形ABCD中，，点E为CD的中点，现以AE所在直线为旋转轴将该长方形旋转一周，则所得几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意旋转可得：一个圆锥和一个去掉圆锥的圆台构成的组合体，利用锥体的体积公式进行计算．
【解答过程】因为长方形ABCD中，，点E为CD的中点，所以以AE所在直线为旋转轴将该长方形旋转一周，如图：
则所得几何体的体积为
故选：B．
【变式6-2】（2022·高一课时练习）能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将A、B、C、D选项图形绕对称轴旋转可知A选项符合题意.
【解答过程】此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成，
是由A中的平面图形旋转形成的.
故选：A.
【变式6-3】（2022·高一课时练习）如图所示，是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的平面轴对称图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是 ( )
A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
B．该组合体仍然关于轴l对称
C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
D．该组合体中的球和半球只有一个公共点
【解题思路】将该几何体绕轴l旋转180°后形成一个组合体，即可得解.
【解答过程】将该几何体绕轴l旋转180°后形成一个组合体，该组合体是由圆台、圆柱、圆锥和球，半球
组成的，由此A选项错误
故选A.
