2024年九年级中考数学解题技巧（3）方格纸上直尺画图（含答案）

中考数学解题技巧（三）方格纸上直尺画图
一、考点：
（1）轴对称的性质
（2）平行线分线段的性质
（3）垂直平分线的性质
（4）特殊三角形、四边形的性质
（5）三角形全等、相似的性质
（6）三角函数、勾股定理
二、考查：
( 1 ) 画线段的中点（或等分点）、画对称点
（2） 画45角，找点
（3） 画平行线、垂线（或线段的垂直平分线），找点
（4） 画三角形全等、画三角形相似，找点
(5) 画轴对称图形，找点
三、举例:
例1、在平面直角坐标系中，点A（0，1），B（5，1），C（8，5），D（3，5），E（2，1），仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，并回答下列问题．
（1）四边形ABCD的形状为 　 　；
（2）在AD上找点F，使AF＝AE；
（3）分别在CD上找点M，BC上找点N，使四边形EFMN为矩形；
（4）将△ACF沿某条直线翻折后，点A，C，F的对应点均落在四边形ABCD的边上，请直接写出该直线的解析式为 　 　．
【解答】（1）∵AB＝CD＝5，AD＝＝5，BC＝＝5，
∴AD＝DC＝CB＝AB＝5，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：菱形．
（2）如图，点F即为所求．（菱形ABCD是轴对称图形，这里充分运用轴对称的性质画图。点B-D对应, 点E-F对应，线段BE,DF的交点在对称轴上，线段DE,BF的交点也在对称轴上。先连DE与对称轴的交点J，也是BF与对称轴的交点，这样连BJ就能找到点F。）
（3）如图，四边形EFMN即为所求．(图中MP平行于DB即可找到点N.)
（4）△ACF沿菱形ABCD的对角线翻折后，点A，C，F的对应点均落在四边形ABCD的边上，
对角线的解析式为y＝﹣2x+11或y＝x+1．
故答案为：y＝﹣2x+11或y＝x+1．
例2、如图所示，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立平面直角坐标系，格点△ABC的顶点坐标分别为A（1，6）、B（6，6）、C（2，2）请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列作图（要求保留必要的作图痕迹），并回答下列问题：
（1）画出格点A关于直线BC的对称点D，并写出点D的坐标 　 　；
（2）在AB上找到点E，使∠ACE＝∠ABC；
（3）在BD上找到点F，使BF＝BE；
（4）在AC上找到点P，使BP⊥AC．直接写出直线BP的解析式 　 　．
【解答】（1）如图，点D即为所求（如图ABDH为正方形，其对角线互相垂直平方，则点A与D关于BC对称。这里借用正方形的性质作对称点。）
故答案为：D（6，1）．
（2）如图，点E即为所求．（因为∠ABC=45，那么以AC为直角边作等腰直角三角形，∠ACE=45即可。这里借用了等腰直角三角形的性质作45角。）
（3）如图，点F即为所求．(左图，连DE与BC有交点，连此交点与点A所在直线交BD于点F.)（右图，BA与BD关于BC对称，作ACT关于BC的对称图形即可找到F使BF＝BE。）
（4）如下图，点P即为所求．（如图AT⊥AC，过点B画AT的平行线即可。）
设PB的解析式为y＝kx+b，把Q（2，5），B（6，6）代入，得到，
解得，
∴直线BP的解析式为y＝x+．
故答案为：y＝x+．
例3、由边长为1的正方形构成网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）如图1，四边形ABCD的顶点都是格点．
①画 ADCE；
②在AD上画点F，使BF平分 ADCE的面积．
（2）如图2，等边△ABC的顶点A、B都是格点．
①画△ABC的高CH；
②画△ABC的高AM．
解：(1) ①画 ADCE。如图1
②平分 ADCE的面积的直线都经过两条对角线的交点。先画 ADCE两条对角线的交点，再过此交点和点B作直线与AD的交点就是要求的点F。如图1
(2) ①先找AB的中点H，再画△ABC的高CH。如图2
②先作HB的垂直平分线，与BC的交点即为BC的中点M。再画△ABC的高AM．如图2
例4、如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，先在边上画点，使，再过点画直线，使平分矩形的面积；
（2）在图（2）中，先画的高，再在边上画点，使．
【解】
（1）画图如图（1）
过点沿方向取一点，使得，得找到点,再连接矩形的对角线交点即可．
（2）画图如图（2）
画的高，步骤如下：
如图，连接M，N(M，N都是格点上的点)交网格线于I，
则，
中，
在中，
，
即
在边上画点，使，
步骤如下：如图，方法同上，找
可得：，
，为的中点，所以，即FY为BD的垂直平分线，FY交边于，即为所求点．
例5、在如图所示的网格中建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，并回答下列问题：
（1）的形状为______；
（2）画出边上的高；
（3）画出点关于的对称点；
（4）已知点，点在线段上，若，则点的坐标为______．
解：
（1）为直角三角形
（2）找全等三角形得交点D即为垂足。
(3)延长AB到K，使AB=BK.作BC的平行线KL交垂线AD于点E.即为所求。
(4)左图，以AC为直角边作等腰直角三角形ACQ，过M作AQ的平行线交AC于点N即为所求。或，右图，作正方形ABRS,过点M作AR的平行线交AC于点N即为所求。
例6、如图是由小正方形组成的8×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.
在图（1）中，先在边BC上画点E，使BE=，再过点E画直线EF，
使EF∥AC；
（2）在图（2）中，先在边AC上画点D，使DB⊥AC，在直线BD上画点M，使点B与点M关于AC对称.
解：（1）BC=，那么点E为BC的中点。
（2）左图，,AC与BQ垂直，交点为D.
右图，延长BC至S使BC=CS，过点S作AC的平行线交BD于点M.即为所求。
例7、如图，点、、均为格点，请用无刻度直尺完成作图，画图过程用虚线，画图结果用实线表示，请按步骤完成下列问题.
在的下方找一个格点，使得为等腰直角三角形，且；
（2）在边上找一点，使；
（3）将线段向右平移2个单位得线段.
解：（1）如图，为等腰直角三角形。
（2）以AB为直角边作等腰直角三角形ABF，过点C作FB的平行线CG交A B于点E.
（3）如图，CG、AB均右移2个单位相交于点N。
例8、如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.
（1）在图（1）中，，分别是边，与网格线的交点.先将点绕点旋转得到点，画出点，再在上画点，使；
（2）在图（2）中，是边上一点，.先将绕点逆时针旋转，得到线段，画出线段，再画点，使，两点关于直线对称.
解：（1）E为AC的中点，加倍延长BE至F，点F即为所求。
D为BA的三等分点，在CA上找到三等分点G，连接DG即可。
（2）左图，，BW⊥AC；加倍延长BC至V，过点V作AC的平行线，交直线BW于点H，连接AH，即为所求。
右图，连接BQ交AC于点K，连接BK并延长交AH于点Q，即为所求。