专题8.16 空间角大题专项训练（30道）
【人教A版2019必修第二册】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2023·高一课时练习）空间四边形中，且与所成的角为，、分别是、的中点，求与所成的角的大小．
2．（2022秋·山西吕梁·高三期末）如图，在棱长为的正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC边上的中点，现以EF为折痕将点C旋转至点P的位置，使得为直二面角.
(1)证明：；
(2)求与面所成角的正弦值.
3．（2022秋·贵州遵义·高二期末）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，点H为线段PB上一点（不含端点），平面AHC⊥平面PAB．
(1)证明：；
(2)若，四棱椎P－ABCD的体积为，求二面角P－BC－A的余弦值．
4．（2023·广西柳州·高三阶段练习）在四棱锥中，底面ABCD是等腰梯形，，，平面平面PCD，．
(1)求证：为直角三角形；
(2)若，求PA与平面ABCD所成角的余弦值．
5．（2023春·四川成都·高三开学考试）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点．
(1)若，求证：直线平面PAB；
(2)已知点M满足，求异面直线MN与AD所成角．
6．（2023·高一课时练习）已知平面ABCD，ABCD是正方形，异面直线PB与CD所成的角为．
(1)二面角的大小；
(2)直线与平面所成的角的大小．
7．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）如图，在边长为4的等边三角形中，平行于的直线分别交线段于点.将沿着折起至，使得二面角是直二面角.
(1)若平面平面，求证：；
(2)若三棱锥的体积为1，求二面角的正弦值.
8．（2023·广东佛山·统考一模）如图，和都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面．
(1)证明：平面；
(2)若点E到平面的距离为，求平面与平面夹角的正切值．
9．（2022秋·甘肃兰州·高二期末）如图，已知在四棱锥中，，，，，E，F分别为棱PB，PA的中点．
(1)求证：平面平面EFDC；
(2)若直线PC与平面PAD所成的角为45°，求四棱锥的体积．
10．（2023·高三课时练习）如图1，AD是直角斜边上的高，沿AD把的两部分折成如图2所示的直二面角，且DF⊥AC于点F．
(1)证明：BF⊥AC；
(2)设，AB与平面BDF所成的角为，二面角B-FA-D的大小为，试用，表示．
11．（2023·高三课时练习）已知正方体的棱长为1．
(1)求异面直线与AC所成角的大小；
(2)求二面角的余弦值．
12．（2023秋·江苏南通·高三期末）如图，菱形ABCD的边长为2，，E为AC的中点，将沿AC翻折使点D至点.
(1)求证：平面平面ABC；
(2)若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.
13．（2022秋·四川达州·高二期末）如图，在四棱锥中，面，，，点分别为的中点，，.
(1)证明：直线平面；
(2)求二面角的余弦值.
14．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三期末）如图，边长是6的等边三角形和矩形.现以为轴将面进行旋转，使之形成四棱锥，是等边三角形的中心，，分别是，的中点，且，面，交于.
(1)求证面
(2)求和面所成角的正弦值.
15．（2022秋·上海黄浦·高二阶段练习）已知是空间四边形，如图所示（，，，分别是、、、上的点）．
(1)若直线与直线相交于点，证明，，三点共线；
(2)若，为，的中点，，，，求异面直线与所成的角．
16．（2023·全国·高二专题练习）在四棱锥中，底面，四边形为边长为的菱形，，，为中点，为的中点．
(1)求证：直线平面；
(2)求直线与所成角大小．
17．（2022秋·江西萍乡·高三期末）如图，在五面体ABCDE中，为等边三角形，平面平面ACDE，且，，F为边BC的中点.
(1)证明：平面ABE；
(2)求DF与平面ABC所成角的大小.
18．（2023秋·浙江温州·高二期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，二面角为直二面角．，，M，N分别为AP，AC的中点．
(1)求平面BMN与平面PCD夹角的余弦值；
(2)若平面平面，求点A到直线l的距离．
19．（2023·全国·高三专题练习）四棱锥，底面ABCD是平行四边形，，且平面SCD平面ABCD，点E在棱SC上，直线平面BDE.
(1)求证：E为棱SC的中点；
(2)设二面角的大小为，且.求直线BE与平面ABCD所成的角的正切值.
20．（2023·浙江·统考一模）如图，在长方体中，P，Q是长方形EFGH内互异的两点，是二面角的平面角．
(1)证明：点P在EG上；
(2)若，，求直线AP与平面PBC所成角的正弦值的最大值．
21．（2022春·江苏苏州·高一期末）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别是线段，上的动点，且.
(1)若二面角为，求的长；
(2)当三棱锥的体积为时，求与平面所成角的正弦值的取值范围.
22．（2022秋·浙江宁波·高三期末）如图，在中，，，且，分别为，的中点．现将沿折起，使点到达点的位置，连接，，为的中点，连接．
(1)证明：平面；
(2)若二面角的余弦值为，求四棱锥的体积．
23．（2022秋·辽宁·高二开学考试）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角为，，，，，，．
(1)求证：平面ADE；
(2)求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值；
(3)求点F到平面ABCD的距离．
24．（2022春·河北唐山·高一阶段练习）如图，在正三棱柱（侧棱垂直底面，底面为正三角形）中，各棱长均相等，D是BC的中点，
(1)求证：
(2)求证：平面AC1D
(3)求异面直线与所成角余弦值．
25．（2022·辽宁沈阳·高二阶段练习）如图1，⊙O的直径，点为⊙O上任意两点，，，F为的中点，沿直径折起，使两个半圆所在平面互相垂直.
(1)求证：OF面ACD；
(2)求二面角的余弦值.
26．（2022秋·天津宁河·高三阶段练习）如图，在四棱锥中， ，为棱的中点，平面.
(1)证明：平面
(2)求证：平面平面
(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值.
27．（2022秋·上海·高二期中）如图，在棱长为的正方体中，分别是和的中点.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为 若存在，求出的长，若不存在，请说明理由；
(3)求异面直线与之间的距离.
28．（2022秋·上海普陀·高二期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，，、分别为棱、的中点.
(1)求证：直线平面；
(2)若直线与平面所成的角为45°，直线与平面所成角为30°，求二面角的大小.
29．（2022春·河南洛阳·高一阶段练习）如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点．
(1)求证：；
(2)若，求三棱锥的体积．
(3)若，当二面角的正切值为时，求直线与平面所成的角．
30．（2022春·上海徐汇·高三阶段练习）如图，在中，，斜边， 可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角，动点在斜边上．
(1)求证：平面平面；
(2)当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；
(3)求与平面所成的角中最大角的正切值．专题8.16 空间角大题专项训练（30道）
【人教A版2019必修第二册】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2023·高一课时练习）空间四边形中，且与所成的角为，、分别是、的中点，求与所成的角的大小．
【解题思路】取的中点，连接，，利用平行线得到即为与所成的角（或补角），为与所成的角（或补角），然后通过角之间的关系求解即可．
【解答过程】解：取的中点，连接，，如图所示，
因为是的中点，是的中点，是的中点，
所以且，且，
因为，所以，
则即为与所成的角（或补角），
为与所成的角（或补角），
因为与所成的角为，所以或，
因为，所以为等腰三角形，
当时，，
当时，，
故与所成角的大小为或．
2．（2022秋·山西吕梁·高三期末）如图，在棱长为的正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC边上的中点，现以EF为折痕将点C旋转至点P的位置，使得为直二面角.
(1)证明：；
(2)求与面所成角的正弦值.
【解题思路】（1）在折叠前的正方形ABCD中，作出对角线AC，BD，由正方形性质知，又//，则于点H，则由直二面角可知面，故.又，则面，故命题得证；
（2）作出线面角，在直角三角形中求解该角的正弦值.
【解答过程】（1）证明：在正方形ABCD中，连结AC交EF于H.
因为，故可得，
即
又旋转不改变上述垂直关系，
且平面，
∴面，
又∵面，所以
（2）因为为直二面角，故平面平面，
又其交线为EF，且，平面，
故可得底面ABF，
连结DH，则即为与面所成角，连结BD交AH于O，
在Rt△ODH中，，
，
在Rt△PHD中，
，
，
所以与面所成角的正弦值为.
3．（2022秋·贵州遵义·高二期末）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，点H为线段PB上一点（不含端点），平面AHC⊥平面PAB．
(1)证明：；
(2)若，四棱椎P－ABCD的体积为，求二面角P－BC－A的余弦值．
【解题思路】（1）利用面面垂直性质定理与线面垂直性质定理，结合公理2，可得线面垂直，可得答案；
（2）根据二面角的平面角定义作图，利用等面积法以及棱锥体积公式，求得边长，结合直角三角形的性质，可得答案.
【解答过程】（1）平面，且平面，过点所有垂直于的直线都在平面内，
平面平面，且平面，存在一条过的直线平面，且平面，
平面，，则平面，平面平面，与为同一条直线，
即平面，平面，.
（2）在平面内，过作，且，连接，作图如下：
平面，且平面，，同理可得，
，，平面，平面，
平面，为二面角的平面角，
在中，，且，则，
在四棱锥中，底面的面积，则其体积，解得，
在中，，
故二面角的余弦值为.
4．（2023·广西柳州·高三阶段练习）在四棱锥中，底面ABCD是等腰梯形，，，平面平面PCD，．
(1)求证：为直角三角形；
(2)若，求PA与平面ABCD所成角的余弦值．
【解题思路】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，得到PC⊥AD，求出各边长，由勾股定理逆定理得到AC⊥AD，从而得到AD⊥平面PAC，得到为直角三角形；
（2）作出辅助线，找到PA与平面ABCD所成角，利用余弦定理和面积公式求出，得到线面角的正弦值，进而求出线面角的余弦值.
【解答过程】（1）因为平面平面PCD，交线为DP，，平面PCD，
所以⊥平面ADP，
因为平面ADP，
所以PC⊥AD，
连接AC，过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD于点F，
因为底面ABCD是等腰梯形，，，
所以，，，，
由勾股定理得：，
故，
因为，故AC⊥AD，
因为PCAC=C，平面PAC，
所以AD⊥平面PAC，
因为PA平面PAC，
所以AD⊥PA，
所以为直角三角形；
（2）由（1）知：所以⊥平面ADP，
因为平面ADP，
所以PC⊥AP，
因为，，所以，
由（1）知：AD⊥AP，所以，
连接BD，则三角形BCD与三角形PCD全等，连接PF，则PF⊥CD，
因为BFPF=F，平面BPF，
所以CD⊥平面BPF，
因为ABCD，所以AB⊥平面BPF，
因为BP平面PBF，
所以AB⊥BP，
故，而，
故，
则，
过点P作PM⊥BF与点M，连接AM，
因为CD⊥平面BPF，平面BPF，
所以CD⊥PM，
因为BFCD=F，平面ABCD，
所以PM⊥平面ABCD，
故AM即为AP在平面ABCD上的投影，即为PA与平面ABCD所成角，
由三角形面积公式得：，
故，
故，
故PA与平面ABCD所成角的余弦值为.
5．（2023春·四川成都·高三开学考试）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点．
(1)若，求证：直线平面PAB；
(2)已知点M满足，求异面直线MN与AD所成角．
【解题思路】（1）取PA的一个靠近点P的三等分点Q，连接MQ，QB，由题意可证得，再由线面平行的判定定理即可证明；
（2）过点M作，交AD于K，连接KN，由线面垂直的判定定理证明面MNK，即可得出，即可得出答案.
【解答过程】（1）取PA的一个靠近点P的三等分点Q，连接MQ，QB，
因为，所以且，
又因为，且，点N为BC中点，
所以且，则四边形MQBN为平行四边形，
所以，平面PAB，平面PAB，
所以直线平面PAB．
（2）过点M作，交AD于K，连接KN，
可知面ABCD，因为面ABCD，所以，
又因为，所以．
∵∴，∴，，
所以四边形AKNB为平行四边形，，
又因为，所以，
又，∴面MNK，因为面MNK，
∴，
所以异面直线MN与AD成角为90°．
6．（2023·高一课时练习）已知平面ABCD，ABCD是正方形，异面直线PB与CD所成的角为．
(1)二面角的大小；
(2)直线与平面所成的角的大小．
【解题思路】（1）作于E，连接ED，由已知推导出就是二面角的平面角，由此根据余弦定理得出，即可得出答案；
（2）还原棱锥为正方体，作于F，连接，即可推导出就是直线与平面所成的角，即可求出答案.
【解答过程】（1）ABCD是正方形，
，
就是异面直线PB与CD所成的角，即，
平面ABCD，平面ABCD，
，
，
作于E，连接ED，
在与中，，，，
，
，
就是二面角的平面角，
设，则，，
则，
则，即，
二面角的大小为；
（2）还原棱锥为正方体，作于F，
平面平面，
，
平面，
连接，则就是直线与平面所成的角，
，，
，即，
直线与平面所成的角为.
7．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）如图，在边长为4的等边三角形中，平行于的直线分别交线段于点.将沿着折起至，使得二面角是直二面角.
(1)若平面平面，求证：；
(2)若三棱锥的体积为1，求二面角的正弦值.
【解题思路】（1）利用线线平行证明线面平行，再利用线面平行的性质证明线线平行.
（2）由已知求证得分别为中点，利用二面角的定义，作辅助线，利用几何法求二面角的正弦值.
【解答过程】（1）证明：，平面，平面，
平面，又平面，平面平面，
；
（2）设，过作于点，如图所示，
二面角为直二面角，平面，
，解得，分别为中点，
过作于点，因为，，平面
平面，
过作于点，连接，因为，
所以平面，所以
即为二面角的平面角的补角，
且，，，，
.
二面角的正弦值为.
8．（2023·广东佛山·统考一模）如图，和都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面．
(1)证明：平面；
(2)若点E到平面的距离为，求平面与平面夹角的正切值．
【解题思路】（1）取的中点，连接，先证明平面，则可证明，即可证明平面；
（2）连接，，取的中点，连接，先求出，，则可求到，再证明平面与平面夹角的平面角为，从而根据即可求解．
【解答过程】（1）如图，取的中点，连接，则，
又因为平面平面，且平面平面，平面，
则平面，
又平面，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）如图，连接，，取的中点，连接，则，
因为，
则等腰的面积为，
所以三棱锥的体积为，
因为平面，平面，则，
又因为，，平面，平面，则平面，
因为，则点到平面的距离等于点到平面的距离等于，
因为，则，
又，所以，
因为平面，平面，平面，则，，
所以，所以，
所以平面与平面夹角的平面角为，
则，
所以平面与平面夹角的正切值为．
9．（2022秋·甘肃兰州·高二期末）如图，已知在四棱锥中，，，，，E，F分别为棱PB，PA的中点．
(1)求证：平面平面EFDC；
(2)若直线PC与平面PAD所成的角为45°，求四棱锥的体积．
【解题思路】（1）可证平面，从而得到，从而可证平面，再证明四点共面，从而得到要求证的面面垂直；
（2）取的中点为，连接，可证为直线与平面所成的角且平面，根据体积公式可求四棱锥的体积．
【解答过程】（1）因为在平面中，，故，
因为，故，而，
，平面，故平面.
因为平面，故，
因为，，故，
因为，平面，故平面.
因为分别为棱的中点，故，
而，故，
故四点共面，而平面，
故平面平面.
（2）
取的中点为，连接，
由（1）可得，，
故，而平面，
故平面，故为直线与平面所成的角，
故，
因为平面，平面，故，
故为等腰直角三角形，而，故，故，
故直角梯形的面积.
又平面，故平面平面，
而为等边三角形，故，且.
因为平面，平面平面，
故平面，
故四棱锥的体积为.
10．（2023·高三课时练习）如图1，AD是直角斜边上的高，沿AD把的两部分折成如图2所示的直二面角，且DF⊥AC于点F．
(1)证明：BF⊥AC；
(2)设，AB与平面BDF所成的角为，二面角B-FA-D的大小为，试用，表示．
【解题思路】（1）先证是二面角B-DA-C的平面角，再证平面ADC，再证平面BDF，进而可证BF⊥AC；
（2）先求得，，，进而可用，表示．
【解答过程】（1）因为，，所以是二面角B-DA-C的平面角．
又二面角B-DA-C是直二面角，可知，
又，则平面ADC，
又平面ADC，所以，
又，且，则平面BDF，
又平面BDF，所以．
（2）由平面BDF，知，则．
由，，知，则．
又，则，所以．
11．（2023·高三课时练习）已知正方体的棱长为1．
(1)求异面直线与AC所成角的大小；
(2)求二面角的余弦值．
【解题思路】（1）连，可证明，根据 ，得；
（2）设与交于，连，可以证明就是二面角的平面角.然后在中，利用余弦定理可求出结果.
【解答过程】（1）连，
因为，，所以四边形是平行四边形，所以，
因为四边形是正方形，所以 ，
所以，即异面直线与AC所成角的大小为.
（2）
设与交于，连，
因为四边形是正方形，所以 ，
因为平面，平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
所以就是二面角的平面角.
因为正方体的棱长为1，所以，，
，
所以 ，
所以二面角的余弦值为.
12．（2023秋·江苏南通·高三期末）如图，菱形ABCD的边长为2，，E为AC的中点，将沿AC翻折使点D至点.
(1)求证：平面平面ABC；
(2)若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.
【解题思路】（1）由线线垂直证线面垂直，再证面面垂直；
（2）过作于点，过M作于点，连接，分析得即为二面角的平面角，由三棱锥体积求得，即可进一步由几何关系求得.
【解答过程】（1）证明：在菱形中，，∴和均为等边三角形，
又∵E为AC的中点，∴，，，平面，∴平面，
又∵平面ABC，∴平面平面ABC.
（2）过作于点，∵平面平面ABC，平面，∴平面ABC.
∴.
过M作于点，连接，
∵平面ABC，∴ ，∵平面，∴平面，
∵平面，∴.
∴即为二面角的平面角，
，∴，，
∴，∴.
故二面角的余弦值为.
13．（2022秋·四川达州·高二期末）如图，在四棱锥中，面，，，点分别为的中点，，.
(1)证明：直线平面；
(2)求二面角的余弦值.
【解题思路】（1）依题意可得，即可得到，从而得证；
（2）连接，即可求出、，从而得到，再由线面垂直的性质得到，即可得到平面，则二面角得平面角为，再由锐角三角函数计算可得.
【解答过程】（1）证明：点分别为的中点，
，
，，
平面，平面，
平面.
（2）解：，，
连接，由得，
，，
所以，
，
底面，底面，，
是平面内两相交直线，
平面，
平面，
二面角得平面角为，
，，，
所以二面角的余弦值为，
即二面角的余弦值为.
14．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三期末）如图，边长是6的等边三角形和矩形.现以为轴将面进行旋转，使之形成四棱锥，是等边三角形的中心，，分别是，的中点，且，面，交于.
(1)求证面
(2)求和面所成角的正弦值.
【解题思路】（1）先利用线面平行的性质定理证得，再利用线面垂直的判定定理证得面，从而得到面；
（2）构造平行四边形，将所求角转化为和面的所成角，再在中求得，从而利用三角函数的基本关系式求得，由此得解.
【解答过程】（1）因为面，面面，面，
所以，
因为是的中点，是等边三角形，所以，
因为在矩形中，，分别是，的中点，所以，
又，所以，
又，面，所以面，
因为，所以面.
（2）在线段上取点使得，连接，
因为是等边三角形的中心，，所以，
因为，所以，所以，
因为，，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以和面所成角等于和面所成角，
由（1）得面，又，所以面，即面，
所以和面的所成角为，即为所求，
在中，，则，
因为，所以，
联立，解得，
所以和面所成角的正弦值为.
.
15．（2022秋·上海黄浦·高二阶段练习）已知是空间四边形，如图所示（，，，分别是、、、上的点）．
(1)若直线与直线相交于点，证明，，三点共线；
(2)若，为，的中点，，，，求异面直线与所成的角．
【解题思路】（1）根据点与线和点与面的位置关系推出是平面和的公共点，结合平面平面，即可证明；
（2）连接，作的中点，并连接，，利用中位线的性质可以得到异面直线与所成的角等于直线与所成角，再根据余弦定理即可求解.
【解答过程】（1）因为，，平面，平面，
所以平面，
因为，，平面，平面，
所以平面，
由于直线与直线相交于点，
即，平面，，平面，
又有平面平面，则，
所以，，三点共线.
（2）连接，作的中点，并连接，，如图所示：
在中，点，分别是和的中点，且，
所以，且，
在中，点，分别是和的中点，且，
所以，且，
则异面直线与所成的角等于直线与所成角，即或的补角，
又，由余弦定理得：，
故异面直线与所成的角为.
16．（2023·全国·高二专题练习）在四棱锥中，底面，四边形为边长为的菱形，，，为中点，为的中点．
(1)求证：直线平面；
(2)求直线与所成角大小．
【解题思路】（1）作出辅助线，证明出平面 平面PCD，从而得到线面平行；
（2）作出辅助线，由余弦定理得到，找到直线与所成的角或其补角为直线与所成角，由勾股定理求出，由余弦定理求出答案.
【解答过程】（1）取AD的中点E，连接NE，ME，
因为为中点，为的中点，
所以，，
因为平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD，同理可得平面PCD，
因为，平面，
所以平面 平面PCD，
因为平面MNE，
所以直线平面；
（2）连接AC，
四边形为边长为的菱形，，所以，
由余弦定理得：，
因为，为中点，所以,
因为底面，平面ABCD，
所以PA⊥AC，PA⊥AD，
所以，
，
因为，所以直线与所成的角或其补角为直线与所成的角，
由余弦定理得：，
故直线与所成角的大小为.
17．（2022秋·江西萍乡·高三期末）如图，在五面体ABCDE中，为等边三角形，平面平面ACDE，且，，F为边BC的中点.
(1)证明：平面ABE；
(2)求DF与平面ABC所成角的大小.
【解题思路】（1）通过构造平行四边形的方法来证得平面ABE；
（2）判断出直线DF与平面ABC所成角，解直角三角形求得角的大小.
【解答过程】（1）取AB的中点为M，连接ME，MF，
因为F为边BC的中点，所以，，
又，，所以，且，
即四边形EDFM为平行四边形，所以，
又平面ABE，平面ABE，所以平面ABE；
（2）平面平面ACDE，平面平面，
，平面ACDE，则平面ABC，
∵，∴DF与平面ABC所成角即为EM与平面ABC所成角，即，
在直角中，，
由于，所以，
故DF与平面ABC所成角的大小为.
18．（2023秋·浙江温州·高二期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，二面角为直二面角．，，M，N分别为AP，AC的中点．
(1)求平面BMN与平面PCD夹角的余弦值；
(2)若平面平面，求点A到直线l的距离．
【解题思路】（1）根据图形位置关系，作，，连接MF，ND补成棱柱确定线面、面面关系，即可求得BMN与平面PCD夹角的余弦值；
（2）由（1）可得面面，结合线面关系，即可求点A到交线的距离．
【解答过程】（1）解：∵，，∴
∵面面，面面，
又∵底面为正方形，
∴，，，
又面，则面PBC，故面PBC，面，
∴，且面ABCD为正方形，如下图，作，，连接MF，ND，
∴四边形、四边形为矩形，则
∵M、N分别为AP和AC的中点，
∴B、M、F三点共线，B、N、D三点共线，
易知：面与面为同一个平面，且面面，
所以平面平面，
∵，，又面
∴面，结合，故面，
又面，则 ，在矩形中，
由面，面，故平面BMN与平面PCD夹角为，
∵，，，∴，
∴，
∴平面BMN与平面PCD夹角的余弦值为；
（2）解：由（1）知四边形为矩形，所以，
由（1）知：面，又面，故，
∵面面，
∴A到直线l的距离即A到直线的距离，即为线段的长，
∴A到直线l的距离为.
19．（2023·全国·高三专题练习）四棱锥，底面ABCD是平行四边形，，且平面SCD平面ABCD，点E在棱SC上，直线平面BDE.
(1)求证：E为棱SC的中点；
(2)设二面角的大小为，且.求直线BE与平面ABCD所成的角的正切值.
【解题思路】（1）连AC交BD于F，连EF，根据线面平行的性质可得线线平行，即可求证.
（2）取DC中点O，OC中点G，连SO，OF，GE，BG，设，先根据面面垂直的性质证明平面ABCD，进而得到是二面角的平面角，可得，进而可得线面角，即可求解.
【解答过程】（1）连AC交BD于F，连EF．
∵ABCD是平行四边形，∴
∵直线平面BDE，面PAC，面面，
∴，由是中点，
∴E为棱SC的中点；
（2）取DC中点O，OC中点G，连SO，OF，GE，BG
∵侧面SCD满足，不妨设
∴，
∵平面平面ABCD，平面平面
∴平面ABCD，又平面ABCD，故，
∵
∴
∵ ∴ ，∴，又，平面，
∴平面
∴是二面角的平面角
∴，又，
∴∴∴
∴∴
∴，∵
∴，∴平面ABCD
∴为直线EB与平面ABCD所成的角
，即直线EB与平面ABCD所成的角的正切值为
20．（2023·浙江·统考一模）如图，在长方体中，P，Q是长方形EFGH内互异的两点，是二面角的平面角．
(1)证明：点P在EG上；
(2)若，，求直线AP与平面PBC所成角的正弦值的最大值．
【解题思路】（1）根据二面角的平面角的定义得，，根据线面垂直的判定得平面APC．根据长方体的性质以及线面垂直的判定得平面AEGC．从而可得平面APC与平面AEGC重合，再根据平面的性质可得点P在EG上；
（2）根据线面角的定义作出线面角，在直角三角形中求出线面角的正弦值，利用基本不等式可求出结果.
【解答过程】（1）由于是二面角的平面角，则，，
又，平面，平面，所以平面APC．
又平面，所以，
因为，，所以四边形是平行四边形，所以，
所以．
因为在长方体中，平面EFGH，平面EFGH，则，
又，平面AEGC．平面AEGC．
故平面AEGC．
由平面APC且平面AEGC，平面APC与平面AEGC有公共直线，得平面APC与平面AEGC重合，
所以点P在平面AEGC内，又点在平面EFGH内，平面AEGC平面EFGH，
所以点P在EG上．
（2）因为，所以底面为正方形，
因为，，所以与全等，所以，
又点P在EG上，故点P为的中点，所以点为正方形EFGH中心，
过P作，交于，交于，则为的中点，为的中点，作于点．
因为平面ABFE，平面ABFE，则，又，平面 ，平面，所以平面，
则直线AP与平面PBC所成角．
设，，则，，
因为，所以，
所以 ，当且仅当时，等号成立，
故直线AP与平面PBC所成角的正弦值的最大值是．
21．（2022春·江苏苏州·高一期末）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别是线段，上的动点，且.
(1)若二面角为，求的长；
(2)当三棱锥的体积为时，求与平面所成角的正弦值的取值范围.
【解题思路】取中点，过点作，交于点，连结，根据一直题干信息可知和全等，为二面角的平面角，进而在中求得的长；
根据三棱锥的体积为，求得，可知为中点，利用等体积法和余弦定理的结合，用含的式子表示出，进而求得与平面所成角的正弦值的取值范围.
【解答过程】（1）
解：取中点，过点作，交于点，连结.
因为底面是边长为的菱形，，
所以为等边三角形.
由直四棱柱，可得平面，
平面，，
，，,
所以和全等，可得.
因为为中点，所以.
又因为，
所以为二面角的平面角，即.
在平面中，，，
所以，则有，
所以.
在中，，，
则，
解得.
（2）
因为平面，所以，
因为三棱锥的体积为，
所以，解得，所以为中点.
因为平面，所以.
在中，，，
所以.
设到平面的距离为，
在中，，，
所以，
所以.
因为，所以，解得.
在中，由余弦定理得，
所以.
设与平面所成角为.
所以.
令，则.
因为，所以，所以，
所以与平面所成角正弦的取值范围是.
22．（2022秋·浙江宁波·高三期末）如图，在中，，，且，分别为，的中点．现将沿折起，使点到达点的位置，连接，，为的中点，连接．
(1)证明：平面；
(2)若二面角的余弦值为，求四棱锥的体积．
【解题思路】（1）设为的中点，则；是的中点，则，又可证得为平行四边形，则，故，即可证明平面；
（2）由题意可知是二面角的平面角，于是，由题意平面，于是有平面，则，求得，由得，又，所以平面，然后由锥体体积公式求出结果．
【解答过程】（1）设为的中点，连接，，
又，则．
因为，是的中点，所以，
因为，，，，
所以，，所以为平行四边形，
则，故，
又因为，平面，
所以平面．
（2）因为平面，平面，所以，
又，所以是二面角的平面角，
于是．
因为，，，平面，
所以平面，于是有平面．
因为平面，所以．
在中，，，故，，
因为，所以，所以，
又因为，，平面，所以平面．
故．
23．（2022秋·辽宁·高二开学考试）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角为，，，，，，．
(1)求证：平面ADE；
(2)求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值；
(3)求点F到平面ABCD的距离．
【解题思路】（1）由线面平行的判定定理可得平面BCF，平面BCF，再由面面平行的判定定理和性质定理可得答案；
（2）即为二面角的平面角，作于O，由线面垂直的判定定理可得平面ADE，平面CDEF，连结CO，直线AC与平面CDEF所成角为，求出正弦值即可；
（3）由（2）得平面CDEF，又，可得答案．
【解答过程】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴，
平面BCF，平面BCF，所以平面BCF，
∵，平面BCF，平面BCF，所以平面BCF，
，∴平面平面ADE，∵平面BCF，∴平面ADE；
（2）∵，，∴即为二面角的平面角，
∴，
又，平面ADE，
所以平面ADE，作于O，因为平面ADE，
所以，又，平面CDEF，
所以平面CDEF，连结CO，
所以直线AC与平面CDEF所成角为，
，，所以．
直线AC与平面CDEF所成角的正弦值为；
（3）由（2）得平面CDEF，又，所以距离，又由已知可得
，，，所以．
24．（2022春·河北唐山·高一阶段练习）如图，在正三棱柱（侧棱垂直底面，底面为正三角形）中，各棱长均相等，D是BC的中点，
(1)求证：
(2)求证：平面AC1D
(3)求异面直线与所成角余弦值．
【解题思路】(1)利用线面垂直的判定定理和性质定理证明；
(2)利用线面平行的判定定理证明；
(3)利用异面直线夹角的定义求解.
【解答过程】（1），D是BC的中点，，
又因为正三棱柱中
平面ABC，平面ABC
，平面，
平面，
又平面，
（2）
连接交于，连接则O为中点，
，又平面，
平面，所以平面.
（3）由（2）知，
（或其补角）为异面直线与所成角，
设，
中，，，
则由余弦定理得，
所以异面直线与所成角余弦值为．
25．（2022·辽宁沈阳·高二阶段练习）如图1，⊙O的直径，点为⊙O上任意两点，，，F为的中点，沿直径折起，使两个半圆所在平面互相垂直.
(1)求证：OF面ACD；
(2)求二面角的余弦值.
【解题思路】（1）先证明，再根据线面平行的判定定理可证结论成立；
（2）过作于点，连接，可得就是二面角的平面角，然后在直角三角形可求出结果．
【解答过程】（1）连接，∵，，∴，
又∵F为的中点，∴，
∴，
∵平面，平面，
∴平面．
（2）过作于点，连接，
∵，平面 平面，平面，平面 平面 ，
∴平面，
又∵平面，∴，
又因为平面，平面，且，
∴平面，因为平面，∴，
则就是二面角的平面角，
∵，，∴，
由平面，平面，∴，
因为， ，∴，
∴.
所以二面角的余弦值为．
26．（2022秋·天津宁河·高三阶段练习）如图，在四棱锥中， ，为棱的中点，平面.
(1)证明：平面
(2)求证：平面平面
(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值.
【解题思路】（1）因为且，所以为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）由已知可得，，由线面垂直的判定定理可得面，进而即可证得结论；
（3）由平面可得，作于，可知面，所以为直线与平面所成角，在直角中求解即可．
【解答过程】（1）∵且，∴四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，
所以 平面.
（2）∵平面，平面，∴，
连接，∵且，∴四边形为平行四边形，
∵，，∴平行四边形为正方形，∴，
又，∴，
又，面，∴面，
∵面，∴平面平面.
（3）∵平面，平面，∴，
又，，平面，∴平面，
因为平面，∴
∴为二面角的平面角，从而，所以，
作于，连接，
∵平面平面，平面，平面平面，
∴面，所以为直线与平面所成角，
在直角中，，，，∴，
因为面，面，所以，
在直角中，，，
∴，
则直线与平面所成角的正切值为.
27．（2022秋·上海·高二期中）如图，在棱长为的正方体中，分别是和的中点.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为 若存在，求出的长，若不存在，请说明理由；
(3)求异面直线与之间的距离.
【解题思路】(1)做出异面直线所成的角，解三角形求解即可；
(2)假设存在，利用二面角的大小为求解即可；
(3)利用线面垂直，找到公垂线，然后借助相似来计算即可.
【解答过程】（1）取的中点，因为是的中点，
所以，又，所以，
所以异面直线与所成角也就是与所成角，
由正方体得平面，平面，
所以，，
所以，，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
（2）假设存在点符合题意，连接与交于点，
所以，因为是正方体，所以，
又是的中点，所以，
所以就是二面角的平面角，
故假设成立，存在这样的点.
又因为，，
，所以.
（3）连接，因为是的中点，
所以，如图第一个，
又因为平面，平面，所以，
即，又，所以平面，
又平面，所以，
接着取的中点，连接，延长交延长线于点，
连接，交于点，交于点，
过作的平行线交于点，连接，如下图，
由，得为与的公垂线，
易得与相似，又因为是中点，
则是的中点，所以，
所以，又，所以.
28．（2022秋·上海普陀·高二期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，，、分别为棱、的中点.
(1)求证：直线平面；
(2)若直线与平面所成的角为45°，直线与平面所成角为30°，求二面角的大小.
【解题思路】（1）根据即可证明；
（2）证明平面，平面，进而结合已知条件证明为等腰直角三角形，，再根据二面角的概念求解即可.
【解答过程】（1）证明：因为、分别为棱、的中点.
所以，在中，，
因为平面，平面，
所以，直线平面
（2）解：因为平面平面，平面平面，平面 ,
所以平面，
所以，是直线与平面所成的角，
因为直线与平面所成的角为45°，
所以，，
所以
因为平面，平面，
所以，，
因为，，平面，
所以平面，
所以，是直线与平面所成角，
因为直线与平面所成角为30°，
所以，
所以，
不妨设，则，
所以，为等腰直角三角形，
因为，，
所以是二面角的平面角，
所以二面角的大小为.
29．（2022春·河南洛阳·高一阶段练习）如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点．
(1)求证：；
(2)若，求三棱锥的体积．
(3)若，当二面角的正切值为时，求直线与平面所成的角．
【解题思路】(1)先证明平面得到；
(2)将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积求解；
(3)设，，可证得为二面角的平面角，可得，为直线与平面所成的角，可求得知大小．
【解答过程】（1）如图所示，设点是棱的中点，连接，，，
由及点是棱的中点，可得，
因为平面平面，平面平面，平面，故平面，
又因为平面，所以，
又因为四边形为菱形，所以，
而是的中位线，所以，可得，
又由，且平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以．
（2）若，由于菱形，易证正三角形中，由于平面，
所以．
（3）设点是与的交点，由（1）可知平面，
又，均在平面内，从而有，，
故为二面角的平面角，所以，
所以，
因为，所以为等边三角形．
不妨设菱形的边长为，．
则在直角中，，， ，所以，
因为平面，所以为直线与平面所成的角．
则，
所以直线与平面所成的角为45°.
30．（2022春·上海徐汇·高三阶段练习）如图，在中，，斜边， 可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角，动点在斜边上．
(1)求证：平面平面；
(2)当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；
(3)求与平面所成的角中最大角的正切值．
【解题思路】（1）利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可求解；
（2）根据异面直线所成角的定义及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，利用勾股定理及三角形的中位线，结合锐角三角函数的定义即可求解；
（3）根据（1）的结论及线面角的定义，利用锐角三角函数的定义及三角形相似的性质即可求解.
【解答过程】（1）由题意，，，
是直二面角的平面角，
，
又，平面,
平面，
又平面．
平面平面．
（2）作，垂足为，连结，如图所示，
在中，,所以，
因为为的中点，所以为的中点，
（或其补角）是异面直线与所成的角．
因为，，，平面
所以平面所以平面
又平面所以 ，
在中，易得，，
．
又．
,
在中，．
异面直线与所成角的余弦值为．
（3）由（1）知，平面，是在平面的射影，
是与平面所成的角，且．
当最小时，最大，这时，，垂足为，
,
,即，
所以，
与平面所成最大角的正切值为．
