专题8.11 空间直线、平面的垂直（一）（重难点题型精讲）
1．异面直线所成的角
(1)两条异面直线所成的角的定义
如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的
角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<.
(3)两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记
作a⊥b.
2．直线与平面垂直
(1)定义
如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫
做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.
(2)点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的
长度叫做这个点到该平面的距离.
3．直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：a α，b α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b l⊥α.
该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.
4．直线与平面所成的角
(1)定义
①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的
斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.
②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的
直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.
③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所
成的角.
(2)直线与平面所成的角的范围
①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是.
②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是.
③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<.
④直线与平面所成的角的取值范围是.
5．直线与平面垂直的性质定理
(1)直线与平面垂直的性质定理
①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．
②图形语言：如图所示．
③符号语言：a⊥α，b⊥α a∥b.
(2)性质定理的作用
①由线面垂直证明线线平行.
②构造平行线.
6．点在平面内射影位置的确定
立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题的关键.一般来说，可以直接过这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论进行确定.
(1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上.
(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么该斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线.
【题型1 异面直线所成的角】
【方法点拨】
(1)构造：根据异面直线的定义，用平移法(常利用三角形中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的
角.
(2)证明：证明作出的角就是要求的角.
(3)计算：求角度(常利用三角形的有关知识).
(4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就
是所求异面直线所成的角.
【例1】在三棱锥中，平面ABC，且，，E，F分别为BC，PA的中点，则异面直线EF与PC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023春·安徽·高二开学考试）如图，已知等腰直角三角形的斜边的中点为，且，点为平面外一点，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·贵州毕节·统考一模）图（1）是由正方形和正三角形组合而成的平面图形，将三角形沿折起，使得平面平面，如图（2），则异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·河南郑州·统考一模）在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 线线垂直的判定】
【方法点拨】
通过异面直线所成的角为，来证明线线垂直；
通过基本的平面图形的几何性质来实现线线垂直的探索；
通过线面垂直的关系来证明线线垂直.
【例2】（2022·高一课时练习）在正方体中，与垂直的直线是（ ）
A．AB B．CD C． D．
【变式2-1】（2022·高一课时练习）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（ ）
A．2条 B．4条
C．6条 D．8条
【变式2-2】（2022·高一课时练习）如图，为所在平面外一点，，，则形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【变式2-3】（2022·广东·高三学业考试）如图所示，在正方体中，下列直线与垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【题型3 线面垂直判定定理的应用】
【方法点拨】
利用直线与平面垂直的判定定理判定线面垂直的步骤：
(1)在这个平面内找两条直线，使要证直线和这两条直线垂直；
(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
(3)根据判定定理得出结论.
【例3】（2022·上海·高二专题练习）在正方形中，、分别是及的中点，是的中点．现在沿、及把这个正方形折成一个空间四边形，使、、三点重合，重合后的点记为，那么，在空间四边形中必有（ ）
A．所在平面 B．所在平面
C．所在平面 D．所在平面
【变式3-1】（2022春·辽宁·高一期末）已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，且.在下列条件中，能推出的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2022秋·宁夏石嘴山·高二阶段练习）如图，是圆柱的母线，是圆柱的底面直径，是圆柱底面圆周上的任意一点（不与，重合），则下列说法错误的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．三棱锥的四个面都是直角三角形
【变式3-3】（2022春·天津河西·高一期末）如图，圆柱中，是侧面的母线，AB是底面的直径，C是底面圆上一点，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【题型4 直线与平面所成的角】
【方法点拨】
求直线与平面所成的角的一般步骤：
(1)作：在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键.
(2)证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义.
(3)求：一般借助三角形的相关知识求角.
【例4】（2023春·四川达州·高二开学考试）在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2022春·山东聊城·高一阶段练习）在四棱锥中，平面，四边形ABCD为矩形，，PC与平面所成的角为，则该四棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2022秋·广西玉林·高二阶段练习）在长方体中，，，点在棱上，若直线与平面所成的角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【变式4-3】（2022春·广西桂林·高二期中）如图，在四棱锥中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【题型5 直线与平面垂直的性质定理的应用】
【方法点拨】
(1)线面垂直的性质定理、基本事实4及线面平行的性质定理都是证明线线平行的依据，至于线面平行、面
面平行，归结到最后还是要先证明线线平行.
(2)要证线线垂直，只需证线面垂直，再利用线面垂直的性质即可得到线线垂直.
【例5】（2023春·甘肃天水·高三开学考试）如图，四棱锥P—ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，PA=PC，PD=2，，
(1)证明：AC⊥PD；
(2)若，求四棱锥P—ABCD的体积．
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：
【变式5-2】（2022秋·山东潍坊·高二阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
【变式5-3】（2023·湖北·模拟预测）如图，在正三棱柱中，点D为线段的中点，侧面的面积为．
(1)若证明：；
(2)求三棱柱的体积与表面积之比的最大值．
【题型6 平面内的射影问题】
【方法点拨】
立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确定，
因此确定这个点的射影位置是解题的关键.
【例6】（2022秋·上海静安·高二期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中AE、AF、EF把正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，点P在△AEF内的射影为O，则O为△AEF的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【变式6-1】（2022秋·山东潍坊·高二开学考试）若P是所在平面外一点，且，，则点P在所在平面内的射影O是的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【变式6-2】（2022春 瑶海区月考）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F、G分别是棱A'B'、AA'、A'D'上的点，则点A′在平面EFG上的射影是三角形EFG的（ ）
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
【变式6-3】（2022·高一课时练习）下列四个命题：
①所在平面外一点P到角的两边距离相等，若点P在平面上的射影H在的内部，则H在的平分线上；
②P是所在平面外一点，点P到三个顶点的距离相等，则点P在平面上的射影O是的外心；
③P是所在平面外一点，点P到三边的距离相等，则点P在平面上的射影O是的内心；
④P是所在平面外一点，点，，两两垂直，且，则点P在平面上的射影O是的中心.
其中，正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4专题8.11 空间直线、平面的垂直（一）（重难点题型精讲）
1．异面直线所成的角
(1)两条异面直线所成的角的定义
如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的
角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<.
(3)两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记
作a⊥b.
2．直线与平面垂直
(1)定义
如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫
做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.
(2)点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的
长度叫做这个点到该平面的距离.
3．直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：a α，b α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b l⊥α.
该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.
4．直线与平面所成的角
(1)定义
①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的
斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.
②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的
直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.
③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所
成的角.
(2)直线与平面所成的角的范围
①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是.
②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是.
③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<.
④直线与平面所成的角的取值范围是.
5．直线与平面垂直的性质定理
(1)直线与平面垂直的性质定理
①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．
②图形语言：如图所示．
③符号语言：a⊥α，b⊥α a∥b.
(2)性质定理的作用
①由线面垂直证明线线平行.
②构造平行线.
6．点在平面内射影位置的确定
立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题的关键.一般来说，可以直接过这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论进行确定.
(1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上.
(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么该斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线.
【题型1 异面直线所成的角】
【方法点拨】
(1)构造：根据异面直线的定义，用平移法(常利用三角形中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的
角.
(2)证明：证明作出的角就是要求的角.
(3)计算：求角度(常利用三角形的有关知识).
(4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就
是所求异面直线所成的角.
【例1】在三棱锥中，平面ABC，且，，E，F分别为BC，PA的中点，则异面直线EF与PC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】要求异面直线的夹角，利用线线平行进行转化，如图分别取AB，PB的中点M，G，连接FM，ME，GE，FG，则，所以或其补角为异面直线EF与PC所成的角，解三角形即可得解.
【解答过程】如图所示，分别取AB，PB的中点M，G，连接FM，ME，GE，FG，则，所以（或其补角）为异面直线EF与PC所成的角．
因为，，所以，．
因为平面ABC，平面ABC ，，
平面ABC，，平面ABC，
所以，且．
在中，．
在中，，，
由余弦定理得，
所以异面直线EF与PC所成角的余弦值为．
故选：B.
【变式1-1】（2023春·安徽·高二开学考试）如图，已知等腰直角三角形的斜边的中点为，且，点为平面外一点，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】取中点，连接，，则即为所求角，再利用余弦定理求解即可.
【解答过程】如图取中点，连接，，
因为是中点，所有，则即为所求角，
因为，，所以，
又因为是等腰直角三角形，所以，，
在中由余弦定理可得，
所以在中由余弦定理可得，
所以，
故选：D.
【变式1-2】（2023·贵州毕节·统考一模）图（1）是由正方形和正三角形组合而成的平面图形，将三角形沿折起，使得平面平面，如图（2），则异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由平面平面，可得平面，从而．由可知为异面直线与所成角，从而得解．
【解答过程】∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面，又平面，∴．
∵，∴为异面直线与所成角，
∵，∴．
故选：C．
【变式1-3】（2023·河南郑州·统考一模）在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可
【解答过程】如图，连接，，，因为，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，平面，所以，又，
，平面，所以平面，
又平面，所以，
设正方体的棱长为2，则，，
在中，，所以，
故选：.
【题型2 线线垂直的判定】
【方法点拨】
通过异面直线所成的角为，来证明线线垂直；
通过基本的平面图形的几何性质来实现线线垂直的探索；
通过线面垂直的关系来证明线线垂直.
【例2】（2022·高一课时练习）在正方体中，与垂直的直线是（ ）
A．AB B．CD C． D．
【解题思路】证明平面,从而得到 ，可得答案.
【解答过程】连结, 则为直线与所成角,
在直角三角形中，为锐角，所以与不垂直，选项D不正确.
为直线与所成角,
在直角三角形中，为锐角，所以与不垂直
由，所以与不垂直，故选项A,B不正确.
在正方体中,
平面，且平面,所以
由,所以平面’
平面,所以
故选: C.
【变式2-1】（2022·高一课时练习）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（ ）
A．2条 B．4条
C．6条 D．8条
【解题思路】根据线线之间的垂直关系判断即可.
【解答过程】在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．
故选：D.
【变式2-2】（2022·高一课时练习）如图，为所在平面外一点，，，则形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【解题思路】根据垂直关系，先证明平面，即可证明，可以判断三角形形状.
【解答过程】由题，，所以，又，
是平面内两条相交直线，所以平面，平面，
所以，
所以形状为直角三角形.
故选：B.
【变式2-3】（2022·广东·高三学业考试）如图所示，在正方体中，下列直线与垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由平行关系可确定的垂线即为的垂线，由此可确定结果.
【解答过程】四边形为正方形，，
， ，
故选：.
【题型3 线面垂直判定定理的应用】
【方法点拨】
利用直线与平面垂直的判定定理判定线面垂直的步骤：
(1)在这个平面内找两条直线，使要证直线和这两条直线垂直；
(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
(3)根据判定定理得出结论.
【例3】（2022·上海·高二专题练习）在正方形中，、分别是及的中点，是的中点．现在沿、及把这个正方形折成一个空间四边形，使、、三点重合，重合后的点记为，那么，在空间四边形中必有（ ）
A．所在平面 B．所在平面
C．所在平面 D．所在平面
【解题思路】注意翻折前后的角度的变与不变，根据线面垂直的判定定理得到平面，A正确；
假设平面，推出，矛盾，B错误；
由平面得到，结合证明出平面，假设平面，则平面平面，推出矛盾，C错误；
由面得到，假设平面，则，结合三线在同一平面可推出，矛盾，D错误.
【解答过程】对于A，在正方形中，，，
所以在四面体中，，，
又平面，，所以平面，故选项A正确；
对于B，若平面，结合选项A，则，显然矛盾，故选项B错误；
对于C，因为面，面，所以，
又，平面，，所以平面，
假设平面，则平面平面，显然矛盾，故选项C错误；
对于D，因为面，面，所以，
若平面，平面，则，
平面，故，显然矛盾，故D错误；
故选：A.
【变式3-1】（2022春·辽宁·高一期末）已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，且.在下列条件中，能推出的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由线面垂直的判定定理结合图象判断即可求解
【解答过程】当时（如图所示），由推不出，即错误；
同理可知，错误；
若，可知与交于一点，且，所以，即D正确.
故选：D.
【变式3-2】（2022秋·宁夏石嘴山·高二阶段练习）如图，是圆柱的母线，是圆柱的底面直径，是圆柱底面圆周上的任意一点（不与，重合），则下列说法错误的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．三棱锥的四个面都是直角三角形
【解题思路】根据圆柱的结构特征，利用线面垂直的判定、性质推理即可判断作答.
【解答过程】因是圆柱的母线，是圆柱的底面直径，是圆柱底面圆周上的任意一点（不与，重合），
则平面，A正确；
而平面，则，又，，平面，则有平面，B正确；
由选项A知，都是直角三角形，由选项B知，都是直角三角形，D正确；
假定平面，平面，则，即，而中，矛盾，
所以平面不正确，C错误.
故选：C.
【变式3-3】（2022春·天津河西·高一期末）如图，圆柱中，是侧面的母线，AB是底面的直径，C是底面圆上一点，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【解题思路】根据线面垂直的判定定理及定义判断即可；
【解答过程】解：依题意平面，平面，所以，
又是底面圆的直径，所以，
，平面，所以平面，故A正确；
对于B：显然与不垂直，则不可能垂直平面，故B错误；
对于C：显然与不垂直，则不可能垂直平面，故C错误；
对于D：显然与不垂直，则不可能垂直平面，故D错误；
故选：A.
【题型4 直线与平面所成的角】
【方法点拨】
求直线与平面所成的角的一般步骤：
(1)作：在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键.
(2)证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义.
(3)求：一般借助三角形的相关知识求角.
【例4】（2023春·四川达州·高二开学考试）在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】连接交于F，由题意可知与平面所成角与与平面所成角相等，由题意可证平面平面，过作于，由面面垂直的性质定理可得是与平面所成角，即与平面所成角为，在中，计算即可.
【解答过程】解：连接交于F，
设与平面所成角为，因为∥,
所以与平面所成角为，
如图：
因为在长方体中，，，
所以四边形是正方形，是中点，，
，所以，
又，面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，
过作于，
因为面面，面面，，面，
所以平面，
所以，即，
所以.
故选：A.
【变式4-1】（2022春·山东聊城·高一阶段练习）在四棱锥中，平面，四边形ABCD为矩形，，PC与平面所成的角为，则该四棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】判断出是外接球的直径，求得，从而计算出外接球的体积.
【解答过程】由于平面，平面，所以，
由于四边形是矩形，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以；同理可证得，
所以是外接球的直径.
由平面可知：是PC与平面所成的角，
所以，所以.
所以外接球的半径为，
所以外接球的体积为.
故选：C.
【变式4-2】（2022秋·广西玉林·高二阶段练习）在长方体中，，，点在棱上，若直线与平面所成的角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【解题思路】由长方体性质确定线面角且求，进而求出长度.
【解答过程】根据长方体性质知面，故为直线与平面所成的角的平面角，
所以，则，可得，如下图示，
所以在中，符合题设.
故选：B.
【变式4-3】（2022春·广西桂林·高二期中）如图，在四棱锥中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】连接BD，判断G在BD上，判断为PG与底面ABCD所成的角，解直角三角形求得所求正弦值.
【解答过程】连接BD交于，四边形ABCD为正方形，则为中点，
∵G为△ABC的重心，则G在BD上，且，
∴，
∵PD⊥底面ABCD，∴为PG与底面ABCD所成的角，面ABCD，则，
∴，
∴.
故选：C.
【题型5 直线与平面垂直的性质定理的应用】
【方法点拨】
(1)线面垂直的性质定理、基本事实4及线面平行的性质定理都是证明线线平行的依据，至于线面平行、面
面平行，归结到最后还是要先证明线线平行.
(2)要证线线垂直，只需证线面垂直，再利用线面垂直的性质即可得到线线垂直.
【例5】（2023春·甘肃天水·高三开学考试）如图，四棱锥P—ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，PA=PC，PD=2，，
(1)证明：AC⊥PD；
(2)若，求四棱锥P—ABCD的体积．
【解题思路】（1）设，，再由，得平面，从而得证线线垂直；
（2）由（1）平面，因此可由计算出体积．
【解答过程】（1）设，连接，因为，所以，
又是菱形，所以，
，平面，
所以平面，又平面，所以；
（2）是菱形，，则，是等边三角形，，
，
中，，，所以边上高为，
，
由（1）平面，
．
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：
【解题思路】在中，求得，结合勾股定理证得，，从而证得平面，再在和中，分别证得和，从而证得平面，即可证得.
【解答过程】证明：在中，，
所以，，
在中，，，，
由余弦定理得，
所以，所以，
同理可得，在中，，且，
在中，，所以，
因为，，平面，所以平面，
在中，，
在中，，则，
因为，平面，所以平面，
所以.
【变式5-2】（2022秋·山东潍坊·高二阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
【解题思路】根据线面垂直的判定定理可证AE⊥平面PCD，MN⊥平面PCD，则可得AE∥MN．
【解答过程】因为AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，所以AE⊥AB，
又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，
所以AE∥MN.
【变式5-3】（2023·湖北·模拟预测）如图，在正三棱柱中，点D为线段的中点，侧面的面积为．
(1)若证明：；
(2)求三棱柱的体积与表面积之比的最大值．
【解题思路】（1）取中点H，连接，证明得到平面，得到证明.
（2）计算，，再利用均值不等式计算得到答案.
【解答过程】（1）取中点H，连接，，，
则．
平面，平面，故，
，，平面，故平面，
平面，故．
又，平面，故平面．
而平面，故．
（2）设，表面积，
体积．
，当且仅当等号成立．
【题型6 平面内的射影问题】
【方法点拨】
立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确定，
因此确定这个点的射影位置是解题的关键.
【例6】（2022秋·上海静安·高二期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中AE、AF、EF把正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，点P在△AEF内的射影为O，则O为△AEF的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【解题思路】利用线面垂直的判定、性质证明、、，即可得结果.
【解答过程】由题意知：，，四面体如下图示：
因为，，面，
所以面，同理证：面，面，
由面，则，同理证：，，
由P在△AEF内的射影，故面，而面，
所以，
由，面，则面，面，
所以，同理可证：，，
所以为△的垂心.
故选：D.
【变式6-1】（2022秋·山东潍坊·高二开学考试）若P是所在平面外一点，且，，则点P在所在平面内的射影O是的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【解题思路】根据且，，利用线面垂直的判定定理得到，即可.
【解答过程】解：如图所示：
因为，且，
所以平面，则，
同理得，
所以O是的垂心．
故选：D.
【变式6-2】（2022春 瑶海区月考）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F、G分别是棱A'B'、AA'、A'D'上的点，则点A′在平面EFG上的射影是三角形EFG的（ ）
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
【解题思路】由线面垂直的判定和性质，结合三角形的垂心的定义，可得结论．
【解答过程】解：设点A′在平面EFG上的射影为H，连接HE，HF，HG，
由A'E⊥A'F，A'E⊥A'G，且A'F∩A'G＝A'，可得A'E⊥平面A'FG，
则A'E⊥FG，
而EH为A'E在面EFG内的射影，可得FG⊥EH，
同理可得EF⊥GH，EG⊥FH，
所以点A′在平面EFG上的射影是三角形EFG的垂心．
故选：A．
【变式6-3】（2022·高一课时练习）下列四个命题：
①所在平面外一点P到角的两边距离相等，若点P在平面上的射影H在的内部，则H在的平分线上；
②P是所在平面外一点，点P到三个顶点的距离相等，则点P在平面上的射影O是的外心；
③P是所在平面外一点，点P到三边的距离相等，则点P在平面上的射影O是的内心；
④P是所在平面外一点，点，，两两垂直，且，则点P在平面上的射影O是的中心.
其中，正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】①,如图所示，证明，,,即得结论正确；
②,如图所示，证明,即得结论正确；
③,如图所示，证明在的平分线上，所以点是的内心,即得结论正确；
④,如图所示，证明,点是的垂心,即得结论正确.
【解答过程】①,如图，由题得，因为平面,所以,
因为平面,所以平面,所以,同理,所以H在的平分线上，所以该结论正确；
②，如图所示，平面, O是的外心,所以该结论正确；
③,如图所示，由题得，同①方法可证在的平分线上，同理可证在的平分线上，所以点是的内心,所以该结论正确；
④，如图所示，点，，两两垂直，且，所以,
因为平面,所以平面,所以, 设是中点，所以,又，平面,所以平面,所以,同理,所以点是的垂心.又，所以点是的中心.所以该结论正确.
故选：D.
