第五章 三角函数
学习目标整合
任意角和弧度制、三角函数的概念和诱导公式 （1）了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互比. （2）理解并掌握同角三角函数的基本关系式. （3）掌握诱导公式及其应用.
三角恒等变换 （1）掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式. （2）能进行简单的三角恒等变换.
三角函数的图象与性质 （1）理解三角函数的定义，掌握三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值等性质及其应用. （2）了解的实际意义，理解参数A，，的意义以及参数的变化对函数图象的影响.
思维导图回顾知识
重难知识易混易错
重难知识点
1.扇形的弧长及面积公式：设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，为圆心角，则扇形的弧长公式为，；扇形的面积公式为，.
2.诱导公式一：，，，其中，即终边相同的角的同一三角函数值相等.
诱导公式二：；；.
诱导公式三：；；.
诱导公式四：；；.
诱导公式五：；.
诱导公式六：；.
3.三角函数的单调性：
（1）求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”.
（2）求形如或（其中）的单调区间时，要视“”为一个整体，通过解不等式求解.但如果，那么一定先借助诱导公式将化为正数.
（3）已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
4.三角函数的奇偶性：对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则.对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则.对于，若为奇函数，则.
5.三角函数的周期性：求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变换化为或或（为常数，）的形式，再应用公式（正弦、余弦型）或（正切型）求解.
6.三角函数的对称性：函数（为常数，）图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线或点是不是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验的值进行.
7.两角差的余弦公式：
两角和的余弦公式：
两角和与差的正弦公式：，
两角和与差的正切公式：:，
8.二倍角的正弦公式：.
二倍角的余弦公式：.
二倍角的正切公式：.
9.函数的图象与的图象的关系：函数的图象向左（或右）平移个单位长度，得到函数的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数的图象.
易混易错例题
1.已知，则( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：由，则，
所以，故.故选D.
2.若扇形的圆心角，弦长，则弧长( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：扇形的圆心角，弦长，半径，又，弧长.故选B.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：因为，即，所以.故选D.
4.以下关于的命题，正确的是( )
A.函数在区间上单调递增
B.直线是函数图象的一条对称轴
C.点是函数图象的一个对称中心
D.将函数图象向左平移个单位，可得到的图象
答案：D
解析：由题意得，
当时，，由于函数在不单调，
故函数在区间上不是单调递增函数，A错误；当时，，故直线不是函数图象的对称轴，B错误；当时，，故点不是函数图象的对称中心，C错误；将函数图象向左平移个单位，可得到的图象，D正确，故选D.
5.已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得到的函数的图象关于原点对称，则m的值可能为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：由题意得，，，，，又，，，，将的图象向右平移个单位长度后得到的函数解析式为，由题意可知，函数为奇函数，，，当时，，故选B.
6.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数解析式为__________.
答案：
解析：由图象得，又，，所以，
点，代入解析式得，，，
因为，所以，所以.
核心素养对接高考
考情分析
1.本专题内容在高考试题中常以三角函数为背景，考查图象的变换、性质的应用以及三角恒等变换；考查与三角函数有关的综合性问题.
2.本专题重点考查的学科核心素养为数学运算、直观想象和逻辑推理.
情境真题应用
1.【2023年新课标Ⅰ卷】已知，，则( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：依题意，得，所以，所以，所以，故选B.
2.【2023年新课标Ⅱ卷】已知为锐角，，则( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：法一：由题意，，得，又为锐角，所以，所以，故选D.
法二：由题意，，得，将选项逐个代入验证可知D选项满足，故选D.
3.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，如图以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式为( )
A.，
B.，
C.，
D.，
答案：D
解析：因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要，
所以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要，
又因为摩天轮最高点距离地面高度为，所以时，，
对于A，时，，不符合题意；
对于B，时，，不符合题意；
对于C，时，，不符合题意；
对于D，时，，符合题意；
故选D.
4.【2023年新课标Ⅰ卷】已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是__________.
答案：
解析：法一：函数在区间有且仅有3个零点，即在区间有且仅有3个根，因为，，所以，则由余弦函数的图象可知，，解得，即的取值范围是.
法二：函数在区间有且仅有3个零点，即在区间有且仅有3个根，根据函数在上的图象可知，在区间有2个根，所以若在区间有且仅有3个根，则函数在内至少包含2个周期，但小于3个周期，即，又，所以，即的取值范围是.
5.【2023年新课标Ⅱ卷】已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，则_________.
答案：
解析：对比正弦函数的图象易知，点为“五点(画图)法”中的第五点，所以①.由题知，，两式相减，得，即，解得.代入①，得，所以.
1第四章 指数函数与对数函数
学习目标整合
指数函数、对数函数 （1）掌握指数幂的运算性质. （2）了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. （3）会分辨指数函数的图象，理解指数函数的单调性与特殊点. （4）理解对数的概念和运算性质，掌握换底公式. （5）了解对数函数的概念，会分辨对数函数的图象，了解对数函数的单调性与特殊点.
函数的应用 （1）了解函数零点与方程解的关系. （2）会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
思维导图回顾知识
重难知识易混易错
重难知识点
1.指数幂的运算性质：
（1）；
（2）；
（3）.
2.指数函数的图象和性质
图象
性质 定义域 R
值域
过定点 ，即时，
单调性 减函数 增函数
奇偶性 非奇非偶
3.对数的运算性质：如果，且，，，那么
（1）；
（2）；
（3）.
4.对数换底公式：，且；；，且
5.对数函数的图象和性质
图象
定义域
值域 R
单调性 减函数 增函数
过定点 过定点，即时，
6.反函数：一般地，指数函数，且和对数函数，且互为反函数，它们的定义域和值域正好互换，图象关于直线对称.
7.函数零点存在定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
8.二分法的概念：对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
易混易错例题
1.已知，，，则( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：根据指数函数、对数函数的性质，由单调递减可知：，由单调递减可知：，由单调递减可知：，故，即.故选C.
2.《巴黎协定》是2016年4月22日签署的气候变化协定，该协定为2020年后全球应对气候变化的行动作出了统一安排，中国政府一直致力于积极推动《巴黎协定》的全面有效落实.某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的数量不得超过1%.已知该工厂产生的废气在过滤过程中污染物的数量P(单位：毫克)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系式为(k，均为正常数，e为自然对数的底数).如果在前3小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是( )
A.小时 B.3小时 C.5小时 D.6小时
答案：B
解析：由题意，前3个小时废气中的污染被过滤掉了90%，因为，所以，所以，即，因为按规定排放废气，所以，即，解得，所以还需要过滤小时.故选B.
3.函数的零点所在的大致区间是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：的定义域为，又与在上单调递增，所以在上单调递增，又，，，所以，所以在上存在唯一的零点.故选C.
4.已知函数，则的值是________.
答案：
解析：由题意可知：因为，所以，又，则有.
5.设常数，若函数的反函数的图象经过点，则_______.
答案：2
解析：由题意得的图象过，所以，解得.
核心素养对接高考
考情分析
1.利用零点存在性定理或者数形结合法确定函数的零点个数、零点存在范围，以及应用零点求参数的值（范围）
2.常与函数的图像与性质的应用交汇命题
情境真题应用
1.【2023年 新课标Ⅰ卷】若为偶函数，则( )
A.-1 B.0 C. D.1
答案：B
解析：法一：设，易知的定义域为，且，所以为奇函数.若为偶函数，则也应为奇函数，所以，故选B.
法二：因为为偶函数，，，所以，解得，故选B.
2.已知，.设，，，则( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：由，而，，即；，，，，，，，，综上，.故选A.
3.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量.则鲑鱼以的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为( )
A.2600 B.2700 C.26 D.27
答案：D
解析：因为鲑鱼的游速(单位：)可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数，当一条鲑鱼静止时，，此时，则，耗氧量为；当一条鲑鱼以的速度游动时，，此时，所以，则，即耗氧量为，因此鲑鱼以的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为.故选D.
4.【2023年 新课标ⅠⅠ卷】噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则( )
A. B. C. D.
答案：ACD
解析：因为随着p的增大而增大，且，，所以，所以，故A正确；由，得，因为，所以，故C正确；假设，则，所以，所以，不可能成立，故B不正确；因为，所以，故D正确.综上，选ACD.
5.设函数，且，求证：函数在内至少有一个零点.
证明：，
，
，又，
.
，
与中至少有一个为正，
又，
或.
函数在内至少有一个零点.
1第一章 集合与常用逻辑用语
学习目标整合
集合 （1）了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能用符号语言刻画集合 （2）了解全集与空集的含义，理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. （3）理解并集与交集的含义，能求集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集，掌握集合间的混合运算. （4）能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算.
常用逻辑用语 （1）理解必要条件、充分条件、充要条件的意义，掌握性质定理与必要条件的关系，判定定理与充分条件的关系，理解数学定义与充要条件的关系. （2）理解全称量词与存在量词的意义，能正确对全称量词与存在量词进行否定.
思维导图回顾知识
重难知识易混易错
重难知识点
1.集合中元素的三个特征：
（1）确定性：对于给定的集合，元素必须是确定的.
（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，相同的对象归入同一个集合时，只能算作集合的一个元素.
（3）无序性：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的.
2.元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作.
3.子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作：或.读作：“A包含于B”（或“B包含A”）.
4.集合的相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作.
也就是说，若，且，则.
5.空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集.
6.并集的运算性质：
（1），即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身；
（2），即任何集合与空集的并集等于这个集合本身.
7.交集的运算性质：
（1），即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身；
（2），即任何集合与空集的交集等于空集.
8.充分条件与必要条件的定义：
一般地，“若p，则q”为真命题，就是指由p通过推理可以得到q．由p可以推出q，记作．并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p q．此时，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
9.充要条件的定义：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作.如果，那么p与q互为充要条件.
10.全称量词命题的真假判断：全真为真，一假为假.
存在量词命题的真假判断：一真为真，全假为假.
11.全称量词的否定：，的否定：，.也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题.
12.存在量词的否定：，的否定：，.也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题.
易混易错例题
1.命题“，”的否定是( )
A.， B.，
C.， D.，
答案：B
解析：命题“，”的否定为“，”.
2.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：集合，所以，所以.故选D.
3.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”.其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：A
解析：因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在，因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山，所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分条件.
4.设集合，若，则( )
A.-3或-1或2 B.-3或-1 C.-3或2 D.-1或2
答案：C
解析：当时，，符合题意；当时，或.
当时，符合题意；当时，，与集合元素的互异性矛盾.所以舍去.故或.故选C.
5.若命题“，”为假命题，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：因为命题“，”为假命题，所以一元二次方程没有实数根，所以，解得.
6.（多选）已知，条件，条件.若p是q的充分不必要条件，则实数a的值可以是( )
A.0 B. C.1 D.2
答案：BC
解析：由，得.若p是q的充分不必要条件，则，所以，解得.结合选项选BC.
核心素养对接高考
考情分析
1.集合主要考查集合的基本运算，常结合不等式进行考查.
2.常用逻辑用语的考查涉及的知识点较广，主要以其他知识为背景考查充分条件、必要条件的判断，全（特）称命题的否定，难度中等偏易，以选择题和填空题为主.
情境真题应用
1.【2023年新课标Ⅰ卷】已知集合，，则( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：因为或，所以，故选C.
2.【2023年新课标Ⅱ卷】设集合，，若，则( )
A.2 B.1 C. D.-1
答案：B
解析：依题意，有或.当时，解得，此时，，不满足；当时，解得，此时，，满足.所以，故选B.
3.2022年11月1日凌晨4点27分，梦天实验舱与天和核心舱成功实现“太空握手”.对接时，只有空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度，且空间站组合体前向端口朝向了梦天舱赶上来的方向，才能实现“太空握手”.根据以上信息，可知“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：A
解析：由题意知，成功实现太空握手空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度，空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度太空握手，所以“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的充分不必要条件.
4.（多选）对于集合A，B，我们把集合叫作集合A与B的差集，记作.例如，，，则有，.下列说法正确的是( )
A.若，，则
B.若，则
C.若S是高一（1）班全体同学组成的集合，A是高一（1）班全体女同学组成的集合，则
D.若，则2一定是集合中的元素
答案：AC
解析：A中，或，，则，故A正确；B中，若，，则，但此时，故B错误；C中，表示高一（1）班全体男同学组成的集合，则必有，故C正确；D中，，，则，，此时，故D错误.
5.（多选）某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，一共有28人参加比赛，其中有16人参加跳远比赛，有8人参加球类比赛，有14人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有3人，同时参加球类和跑步比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则( )
A.同时参加跳远和跑步比赛的有4人 B.仅参加跳远比赛的有8人
C.仅参加跑步比赛的有7人 D.同时参加两项比赛的有10人
答案：ACD
解析：设同时参加跳远和跑步比赛的有x人，由题意画出Venn图，如图，则，解得，故A正确；仅参加跳远比赛的人数为，故B错误；仅参加跑步比赛的人数为，故C正确；同时参加两项比赛的人数为，故D正确.
1第三章 函数的概念与性质
学习目标整合
函数的概念及其表示 （1）建立完整的函数概念，了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. （2）掌握分段函数的简单应用.
函数的基本性质 （1）理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义. （2）掌握奇偶性和周期性的概念及其应用.
二次函数与幂函数 （1）理解并掌握二次函数的定义、图象和性质；会求二次函数在闭区间上的最值 （2）了解幂函数及其应用.
函数的应用 （1）会运用函数图象理解和研究函数的性质. （2）会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
思维导图回顾知识
重难知识易混易错
重难知识点
1.函数的单调性：一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间：如果，当时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.如果，当时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.
2.函数的最大（小）值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：，都有；，使得.那么，我们称M是函数的最大值.
一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：，都有；，使得.那么，我们称M是函数的最小值.
3.幂函数的性质
幂函数
定义域 R R R
值域 R R
单调性 增 在上 单调递增， 在上 单调递减 增 增 在上 单调递增， 在上 单调递减
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
公共点 都经过点
4.几类常见的函数模型：
（1）一次函数模型：.
（2）反比例函数模型：.
（3）二次函数模型：.
（4）幂函数模型：(是常数).
（5）分段函数模型：以上两种或多种模型的组合.
易混易错例题
1.已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：由题意，得解得.
2.规定表示取a，b中的较大者，如，，则函数的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：B
解析：当，即时，；当，即时，.所以显然在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为.故选B.
3.（多选）函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，则( )
A. B.
C.为偶函数 D.为奇函数
答案：BCD
解析：因为为奇函数，为偶函数，所以的图像关于点对称，同时关于直线对称，所以，A错误；，，B正确；，即函数为周期函数，周期为4，所以，即函数为偶函数，C正确；，所以函数为奇函数，D正确.故选BCD.
4.某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：（1）按照使用面积缴纳，每平方米4元；（2）按照建筑面积缴纳，每平方米3元.李明家的使用面积为60平方米.如果他家选择第（2）种方案缴纳供暖费较少，那么他家的建筑面积最多不超过__________平方米.
答案：80
解析：设李明家的建筑面积为x平方米，按照方案（1），李明家需缴纳供暖费（元）；按照方案（2），李明家需缴纳供暖费3x元.因为选择第（2）种方案缴纳供暖费较少，所以，解得.所以他家的建筑面积最多不超过80平方米.
5.已知是奇函数，当时，，则_________.
答案：-4
解析：因为是奇函数，当时，，所以，解得.所以，.因为是奇函数，所以.
核心素养对接高考
考情分析
本部分内容在高考试题中考查内容丰富，主要考查函数的基本性质，分段函数，函数的图象及其应用等，函数单调性常作为工具使用，函数与方程思想，数形结合思想也是高考的热点，试题命题角度变化很多，但注重基础.
情境真题应用
1.【2023年新课标Ⅰ卷】设函数在区间单调递减，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：法一：由题意得在区间单调递减，所以，解得.故选D.
法二：取，则在单调递减，所以在单调递减，所以符合题意，排除A，B，C，故选D.
2.为保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
每户每月用水量 单价
不超过的部分 3元
超过但不超过的部分 6元
超过的部分 9元
若某户居民在实行“阶梯水价”的第一个月需缴纳的水费为90元，则此户居民该月的用水量为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：设用水量为，需缴纳的水费为y元，则整理得当时，；当时，；当时，.因为此户居民该月需缴纳的水费为90元，所以用水量大于，令，得.
3.高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，则用表示不超过x的最大整数，例如，.已知函数，则函数的值域中含有的元素可能为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案：BC
解析：法一：，因为，所以，所以，所以的值域为，故选BC.
法二：当时，；当时，，由，得，此时.综上，，所以的值域为，故选BC.
4.黎曼函数是一个特殊函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义：时，.若函数对任意x都有，且时，，则的值为___________.
答案：
解析：由，得，又，，所以.
5.“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：
优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；
优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元.
例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额为（元），其中[x]表示不大于x的最大整数.又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额为（元）.
（1）小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由.
（2）已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？
答案：（1）一次支付好
（2）购买15件或16件时，该商品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件
解析：（1）分两次支付的支付额为
（元）.
一次支付的支付额为（元）.
因为，所以一次支付好.
（2）设购买件，平均价格为y元/件.
由于预算不超过500元，所以算上优惠，最多购买19件.
当时，不能享受每满400元再减40元的优惠，
此时，.
当，时，；
当，时，.
所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件.
当时，能享受每满400元再减40元的优惠，
此时，.
当，时，，
y随着n的增大而增大，所以当，时，；
当，时，，
y随着n的增大而增大，所以当，时，.
综上可知，购买15件或16件时，该商品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件.
1第二章 一元二次函数、方程和不等式
学习目标整合
不等式 （1）理解不等式的概念，掌握不等式的性质. （2）了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. （3）掌握基本不等式，能用基本不等式解决最值问题.
二次函数与一元二次方程 （1）会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数，了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系. （2）能借助一元二次函数的图像，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
思维导图回顾知识
重难知识易混易错
重难知识点
1.不等式的性质：
性质1 如果，那么；如果，那么.即.
性质2 如果，，那么.即.
性质3 如果，那么.
性质4 如果，，那么；如果，，那么.
性质5 如果，，那么.
性质6 如果，，那么.
性质7 如果，那么.
2.基本不等式：如果，，可得，当且仅当时，等号成立.
3.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系表：
易混易错例题
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：由解得，所以.
因为，所以.故选D.
2.设m，n为正数，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：因为，所以，即，
所以
，当且仅当，即，时等号成立.
3.设，则下列不等关系正确的是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：因为，所以，即，则不等式两端同时乘以得，故A错误；不等式同时乘以得，故B正确；，故C错误；因为，所以，则不等式两端同时乘以得，故D错误.
4.（多选）已知关于x的不等式的解集为或，则( )
A.
B.不等式的解集为
C.
D.不等式的解集为
答案：BD
解析：因为关于x的不等式的解集为或，所以-2和3是方程的两个实根，且，故A错误；，，所以，，所以不等式可化为，因为，所以，故B正确；因为，又，所以，故C错误；不等式可化为，又，所以，即，所以，解得，故D正确.
5.设，，，若存在实数m，使得成立，则实数m的取值范围为___________.
答案：
解析：因为，，，所以，当且仅当，即，时取等号.若存在实数m，使得成立，则.
核心素养对接高考
考情分析
1.不等式的解法常在集合及函数的综合解答题中出现，是解决导数综合问题的必选方法；不等式的应用是经常出现的考题；线性规划问题不再是必考内容，考题难度也变得越来越简单；基本不等式常与其他知识综合考查，有一定难度.
2.在小题中，不等式可与集合、函数、三角函数、数列、解析几何结合考查；在大题中，常与解析几何、导数、绝对值不等式相结合考查.
情境真题应用
1.手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在间.设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机的外观，则该手机“屏占比”和升级前相比( )
A.“屏占比”不变 B.“屏占比”变小
C.“屏占比”变大 D.变化不确定
答案：C
解析：设升级前“屏占比”为，升级后“屏占比”为(，).因为，所以该手机“屏占比”和升级前相比变大了.故选C.
2.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元/件)之间的关系为，生产x件所需成本为C(元)，其中元.若要求每天获利不少于1300元，则日销售量x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：设该厂每天获得的利润为y元，
则(，).
根据题意可得，解得.
故当，且时，每天获得的利润不低于1300元.故选B.
3.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为了使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A.30件 B.60件 C.80件 D.100件
答案：B
解析：根据题意，生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和为，则平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为.由基本不等式，得，当且仅当，即时，取得最小值，所以当时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.故选B.
4.某服装厂为扩大生产增加收益，新引进了一套某种服装的生产设备，用该设备生产制作服装每月的成本t(单位：元)由两部分构成：①固定成本(与生产服装的数量无关)元；②生产所需材料成本为(单位：元)，x为每月生产服装的件数.
(1)用该设备生产服装，每月产量x为何值时，平均每件服装的成本最低，每件的最低成本为多少
(2)若每月生产x件服装，每件售价为(单位：元)，假设每件服装都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该设备每月的利润不低于4万元
答案：(1)用该设备每月生产2000件服装时，可使得平均每件所需的成本最少，每件最少成本为300元
(2)该设备每月至少生产800件产品，才能确保该设备每月利润不低于4万元
解析：(1)设平均每件所需的成本费用为y元，
则有
，
当且仅当，即时，等号成立，此时y的最小值是300.
因此用该设备每月生产2000件服装时，可使得平均每件所需的成本最少，每件最少成本为300元.
(2)设月利润为P(元)，
则有，
整理得，
解得(舍去)或.
因此该设备每月至少生产800件产品，才能确保该设备每月利润不低于4万元.
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