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岳阳市2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学考试
第I卷（选择题）
一、单选题（5分每题，共40分）
1．若集合中只有一个元素，则实数（ ）
A．1 B．0 C．2 D．0或1
2．已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
4．把函数的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是，则的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A． B．1 C．5 D．
6．定义在上的偶函数满足：对任意的，，有且，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
7．若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）．
A． B． C． D．
8．奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（5分每题，共20分）
9．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：
①，；②，，当时，.
则下列选项成立的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
10．已知，集合，集合，则下列正确的是（ ）
A．若，则实数的取值范围是
B．若，则实数的取值范围是
C．若，则实数的取值范围是
D．若，则实数的取值范围是
11．的解集为，则（ ）
A．
B．若，则
C．若，则的解集为
D．有最小值为
12．已知函数满足当时，，且对任意实数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．或1
C．函数为非奇非偶函数
D．对任意实数满足
第II卷（非选择题）
三、填空题（（5分每题，共20分）
13．已知，若函数的值域为，则的取值范围是 .
14．已知，则 ， ；
15．已知，设函数在的最大值为，最小值为，那么的值为 ．
16．已知函数，若，则实数m的取值范围是 .
四、解答题（共6题，共70分）
17．已知不等式的解集为，设不等式的解集为集合.（10分）
(1)求集合；
(2)设全集为R，集合，若是成立的必要条件，求实数的取值范围.
18．已知函数对任意实数x，y恒有，当时，，且．（12分）
(1)求的值并判断的奇偶性;
(2)判断函数单调性，求在区间上的最大值;
(3)若对所有的恒成立，求实数m的取值范围．
19．已知．（12分）
(1)化简，并求的值；
(2)若，求的值．
20．如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为400m2的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为8400元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为420元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160元/m2.设总造价为y（单位：元），AD长为x（单位：m）.（12分）
(1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围；
(2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值.
21．中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设各，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产台，需另投入成本（万元），当年产量不足80台时，（万元）；当年产量不小于80台时，（万元），若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．（12分）
(1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；
(2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？
22．已知函数，且.（12分）
(1)求实数的值；
(2)若的图象与直线有且只有一个交点，求实数的取值范围.参考答案：
1-5 DBAAB;6-8 DBB; 9 AB 10 AD 11 AC 12 ACD
填空：
13．
【分析】求出函数在时的值域，根据给定条件确定当时的取值集合，再分类讨论求解即得.
【详解】函数在上单调递增，函数值集合为，
由函数的值域为，得函数在时的取值集合包含
当时，在上单调递减，函数值集合为，不符合题意，
当时，，函数值集合为，不符合题意，
当时，在上单调递增，函数值集合为，
由，得，解得，由，得，因此，
所以的取值范围是.
故答案为：
14． /
【分析】将已知式化简后，用表示，即可得函数解析式，从而计算出函数值．
【详解】由题，显然且，因为，当且仅当时取等号，又，
所以，
由已知，
所以，．
故答案为：．
15．
【分析】由题目化简，得到，然后根据函数单调性即可得出结果.
【详解】
，
则
，
所以，
又因为和是上的增函数，
所以和是上的减函数，
所以是上的增函数，
即是上的增函数，
所以.
故答案为：
16．
【分析】先利用定义判断函数的单调性，设，其中因式 要与比较大小，等价于，判断与的大小即可.
【详解】因为，
所以函数的定义域为，
设，
则，
即，
其中，
因为，，
，
，，
所以，即，得，
同时，指数函数在上单调递增，且，则，即，
所以，即成立，
所以函数在上单调递增，且，
若，只需，解得，
故答案是：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由题意得和是方程的两根，代入求得，化简所求不等式，求解即可；
（2）将是成立的必要条件转化为子集关系，结合子集的定义及二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）因为不等式的解集为，
则和是方程的两根，
所以，解得，
所以不等式为不等式，
解得，即集合.
（2）因为是成立的必要条件，所以.
当时，，解得；
当时，，解得.
综上，实数的取值范围是.
18．(1)；为奇函数
(2)为上的减函数；6
(3)
【分析】（1）令，求得，再令，从而得.
（2）设且，结合条件用单调性的定义证明函数的单调性，然后利用单调性求解区间上的最大值.
（3）根据函数对所有的恒成立，说明的最大值2小于右边，因此先将右边看作a的函数，解不等式组，即可得出m的取值范围．
【详解】（1）令，则，所以，
为奇函数，证明如下：
令，则，
所以：对任意恒成立，
所以函数为奇函数.
（2）在上是减函数，证明如下：
任取且，则
，所以，
所以在上为减函数.
当时，单调递减，
所以当时，有最大值为，
因为，所以，
故在区间上的最大值为6.
（3）由（2）知在区间上单调递减，
所以，
因为对所有的，恒成立，
即对任意恒成立，
令，则，即，
解得：或.
故m的取值范围为.
19．(1)，
(2)
【分析】（1）将已知用诱导公式，和同角三角函数基本关系式化简.
（2）在原式前两项除以，再在分子分母都除以，转化为正切代入求解.
【详解】（1）
则
（2）因为，所以.
所以
20．(1)，
(2)，最小值为472000元
【分析】（1）由题意可得矩形的面积，即可得出；
（2）先表示出总造价y，再由基本不等式求解即可.
【详解】（1）由题意可得，矩形的面积为,
因此，
∵，∴.
（2）
，，
由基本不等式y472000，
当且仅当，即x时，等号成立，
故当x时，总造价y最小，最小值为472000元.
21．(1)
(2)
【分析】（1）考虑和两种情况，根据计算得到答案.
（2）利用二次函数性质和均值不等式依次计算分段函数的最值，比较得到答案.
【详解】（1）当，时，
；
当，时，
，
故，
（2）当，时，，
当时，最大值为；
当，时，，
当且仅当，即时，等号成立.
综上所述：当时，有最大值为.
22．(1)
(2)或
【分析】（1）直接把代入函数，可得到关于的一元二次方程，求解即可；
（2）把两函数图象有且只有一个交点问题，转化为方程只有一个实数根问题，令换元，然后构造一个二次函数，分类讨论即可得解.
【详解】（1）依题意，，即，
解得或，
因为，
所以.
（2）由（1）知，所以，
因为的图象与直线有且只有一个交点，
等价于方程有且只有一个实数根，
即时，，所以，
所以当时，有且只有一个根，令，
当时，得，则
令，
则函数的对称轴为，又在只有一个根，
可得或，解得，
当时，得，则，
令，
则函数的对称轴为，又在只有一个根，
可得，解得，
综上所述，或.
答案第1页，共2页
