6.4.3余弦定理与正弦定理 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
6.4.3 余弦定理和正弦定理
余弦定理
千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？
A
B
120°
a=4km
c= km
C
b=6km
如图6.4-8，在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别是a、b、c怎样用a、b和C表示c？
分析：因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们可以考虑用向量的数量积来研究.
设
图6.4-8
那么
所以
同理可得
余弦定理——向量法
余弦定理——向量法
余弦定理的文字描述：三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即
你能用其他方法证明余弦定理吗？
在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别是a、b、c怎样用a、b和C表示c？
如图，以A为坐标原点，边AB所在直线为轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(,0),C(
)
所以
即
同理可证，
余弦定理——建系法
余弦定理
思考：利用余弦定理可以解决什么问题？
已知两边及其夹角求第三边（SAS型）
重点：解三角形
三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
　　(1)(教材P43例5改编)在△ABC中，已知b＝3，c＝2 ，A＝30°，求a的值；
例1
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A
(2)在△ABC中，已知b＝ ，c＝ ，B＝30°，求a的值.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
思考：利用余弦定理可以解决SSA型的问题吗？
跟踪训练1
　　　 (1)已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝ ，则c＝ .
2
3
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得5＝22＋b2－2×2bcos A，
余弦定理——推论
思考：利用余弦定理可以解决SSS型的问题吗？
例2
　　　在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小.
跟踪训练2
∵a>c>b，∴A为最大角.
由余弦定理的推论，得
又∵0°∴最大角A为120°.
大角对大边，
大边对大角
余弦定理——判断三角形的形状
若▲中，为最大角，则
▲为锐角三角形
▲为直角三角形
▲为钝角三角形
，
，
.
　　在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状.
例3
由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理，
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，
故△ABC是直角三角形.
先化边为角，或者化角为边
　　　 在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
跟踪训练3
√
在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，
所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
正弦定理
思考：怎么解决AAS型的解三角形问题？
A
B
C
a
c
b
正弦定理
思考：怎么解决AAS型的解三角形问题？
正弦定理
思考：怎么解决AAS型的解三角形问题？
正弦定理：在三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
正弦定理
思考：你能用向量的方法证明正弦定理吗？
证明：
作外接圆O,
过B作直径BC,连AC`,
O
C`
c
b
a
C
B
A
正弦定理
你能用其他方法证明正弦定理吗？
正弦定理
变形：① a＝_______，b＝_______，c＝________.
②a∶b∶c＝_______________.
③sin A＝______，sin B＝______，sin C＝______.
④ =_______________＝__________________
sin A∶sin B∶sin C
2Rsin B
2Rsin C
2Rsin A
正弦定理：在三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
正弦定理
正弦定理：在三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
思考：利用正弦定理可以解决三角形的哪些问题？
①已知两角和一边，解三角形
②已知两边和其中一边的对角，解三角形
　　 (教材P47例7改编)在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形.
例1
因为B＝30°，C＝105°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°.
正弦定理——AAS解三角形
跟踪训练1
　　　在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c的值.
A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
正弦定理——ASA解三角形
例2
∵0°正弦定理——SSA解三角形
延伸探究　若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？
正弦定理——SSA解三角形
　　　在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C等于
跟踪训练2
√
正弦定理——SSA解三角形
正弦定理——SSA解三角形
在三角形ABC中，三个角A、B、C和三条边a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
1.SSS型：利用余弦定理求角
2.SAS型：方法一：利用余弦定理求出第三条边，再用余弦定理的推论
求另外两个角；
方法二：利用正弦定理求出已知两边的对角，再利用内角和
求出第三个角。
3.AAS\ASA型：先利用三角形的内角和求出第三个角；再利用正弦定理计算其余的两边。
SSA型解三角形解的个数
A
在 ABC 中，已知a,b,A,解这个三角形
A
A
C
C
C
b
b
b
SSA型解三角形解的个数
a>b a＝b aA为钝角 一解 无解 无解
A为直角 一解 无解 无解
A为锐角 一解 一解 bsin Aa＝bsin A 一解
a　　不解三角形，判断下列三角形解的个数.
(1)a＝5，b＝4，A＝120°；
例3
(3)b＝72，c＝50，C＝135°.
所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解.
反思感悟
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：
A为钝角 A为直角 A为锐角
a>b 一解 一解 一解
a＝b 无解 无解 一解
absin A 两解
a＝bsin A 一解
a　　　 (多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是
A.a＝8，b＝16，A＝30°，有一解
B.b＝18，c＝20，B＝60°，有两解
C.a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D.a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
跟踪训练3
√
√
√