2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.4 相似三角形的应用 同步练习
一、选择题
1．（2018·临沂）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（ ）
A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m
2．如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角 ，窗户的高在教室地面上的影长 米，窗户的下檐到教室地面的距离 米（点 、 、 在同一直线上），则窗户的高 为（ ）
A． 米 B．3米 C．2米 D．1.5米
3．如图，物理课上张明做小孔成像实验，已知蜡烛与成像板之间的距离BB'为36cm，要使烛焰的像A′B′是烛焰AB的2倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛（ ）cm的地方．
A．12 B．24 C．18 D．9
4．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（ ）
A．120m B．67.5m C．40m D．30m
5．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（ ）
A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
6．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8 cm，底边BC长10 cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D，G分别在AB，AC上，则四边形DEFG的最大面积为（ ）
A．40 cm2 B．20 cm2 C．25 cm2 D．10 cm2
7．如图，为了测量油桶内油面的高度，将一根细木棒自油桶边缘的小孔插入桶内，测得木棒插入部分的长为 ，木棒上沾油部分的长为 ，桶高为 ，那么桶内油面的高度是（ ）
A．32 cm B．30 cm C．50 cm D．48 cm
8．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.42米，则树高为（ ）
A．6.93米 B．8米 C．11.8米 D．12米
二、填空题
9．如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则击球的高度h为 .
10．如图， 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚 距离墙脚 ，梯上点 距墙 ， 长 ，则梯子的长为 ．
11．如图，直角三角形纸片ABC，AC边长为10cm，现从下往上依次裁剪宽为4cm的矩形纸条，若剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC的长度是 cm．
12．如图，要在宽AB为20米的瓯海大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD与灯柱BC成120°角，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线（即O为AB的中点）时照明效果最佳，若CD= 米，则路灯的灯柱BC高度应该设计为 米（计算结果保留根号）．
13．如图，为测量出湖边不可直接到达的A、B间的距离，测量人员选取一定点O，使A、O、C和B、O、D分别在同一直线上，测出CD=150米，且OB=3OD，OA=3OC，则AB= 米．
14．如图，已知零件的外径为30 mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）测量零件的内孔直径AB．若OC∶OA=1∶2，且量得CD＝12 mm，则零件的厚度x= mm．
15．（2018·泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”
用今天的话说，大意是：如图， 是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门 位于 的中点，南门 位于 的中点，出东门15步的 处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于 处的树木（即点 在直线 上）？请你计算 的长为 步．
三、解答题
16．为测小河的宽度，小明同学在小河两侧各立一根标杆A和B，过一侧标杆B作BD⊥AB，在BD上截取BC∶CD=a∶b，过点D作DE⊥BD，当点E，点C和点A在一条直线上时，只需测出DE的长c，就能算出河宽AB．你能帮助小明同学写出完整的解答过程吗 (结果用含a，b，c的代数式表示)
17．如图，小华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离EB=20m，镜子与小华的距离ED=2m时，小华刚好从镜子中看到铁塔顶端点A．已知小华的眼睛距地面的高度CD=1.5m，求铁塔AB的高度．
18．如图，足球场边有一路灯P，在灯下足球门横梁AB在地面上的影子为CD，经测量得知CD=10.8米，已知足球门横梁AB=7.2米，高AE=BF=2.44米，
试求路灯P距地面的高度．
19．如图是一个常见铁夹的侧面示意图， ， 表示铁夹的两个面， 是轴， 于点 ，已知 ， ， ，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出 、 两点间的距离．
20．钟楼是西安标志性的建筑之一，建于1384年，是中国古代遗留下来众多钟楼中保存最完整的一座．为了对钟楼有基本的认识，小明和小亮运用所学的数学知识对钟楼进行了测量，由于无法直接测量出它的高度，他们先在地面选择了一点C放置平面镜，小明到F点时正好在平面镜中看到顶尖A，小明的眼睛距地面的高度EF=1.5米；然后在点D处放置平面镜小亮到H点时正好在平面镜中看到顶尖A（点B、C、F、D、H共线）．小亮的眼睛距地面的高度GH=1.6米，此时测得俯角∠KGD=39°，如图，已知CF=1米，DF=20米，AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据以上测量数据及信息，计算钟楼的高度，（参考数据：sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8）
21．如图，是一个照相机成像的示意图，像高MN，景物高度AB、CD为水平视线，根据物体成像原理知：AB∥MN，CD⊥MN．
（1）如果像高MN是35mm，焦距CL是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物的距离LD是多少？
（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少毫米？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴ = ，即 = ，
∴CD=10.5（米）．
故答案为：B．
【分析】由平行可证得△ABE∽△ACD，再利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，建立方程求解即可。
2．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵BN∥AM
∴
又∵ 米
∴BN=2米，CN= 米
∴CN：CM=BC：AC
∴
解得：AC=3米
∴AB=AC BC=2米，
故答案为：C
【分析】由题意知BN∥AM，根据平行线分线段成比例定理可得比例式CN：CM=BC：AC，由比例式可求得AC的长，则AB=AC-BC求解。
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图，
∵AB∥A′B′，
∴△AOB∽△A′OB′，
∴AB：A′B′=OD：OD′，
即1：2=OD：（36﹣OD），
解得：OD=12cm．
∴蜡烛与成像板之间的小孔纸应放在离蜡烛12cm的地方．
故答案为：A．
【分析】由题意根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△AOB∽△A′OB′，于是可得比例式求得OD的值。
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵∠ABE=∠DCE， ∠AEB=∠CED，
∴△ABE∽△DCE，
∴ .
∵BE=90m，EC=45m，CD=60m，
∴
故答案为：A.
【分析】根据对对顶角相等和直角都相等可得∠ABE=∠DCE， ∠AEB=∠CED，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABE∽△DCE，可得比例式求解。
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO=∠CDO=90°，
又∵∠AOB=∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
则 ，
∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，
∴ ，
解得：CD=0.4，
故答案为：C．
【分析】先根据“两角对应相等，两个三角形相似”判定△ABO∽△CDO，再根据相似三角形性质可得=， 求得CD。
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；配方法的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
设矩形DEFG的宽DE=x，则AM=AH-HM=8-x，
∵矩形的对边DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴ ，
即 ，
解得DG= （8-x），
四边形DEFG的面积= （8-x）x=- （x2-8x+16）+20=- （x-4）2+20，
所以，当x=4，即DE=4时，四边形DEFG最大面积为20cm2．
故答案为：B．
【分析】设矩形DEFG的宽DE=x，则AM=AH-HM=8-x，先判定△ADG∽△ABC，再根据相似三角形性质可得=，用x表示DG，再表示四边形DEFG的面积，再用配方法求得四边形DEFG最大面积。
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图：
AB为油桶高，DE为桶内油面的高度，AC为木棒插入部分的长，CD为木棒上沾油部分的长，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴CD：CA=DE：AB，
∴60：100=DE：80，
∴DE=48cm，
故答案为：D．
【分析】由题意画出图形，其中AB为油桶高，DE为桶内油面的高度，AC为木棒插入部分的长，CD为木棒上沾油部分的长，由题意知DE∥AB，根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△CDE∽△CAB，从而可得比例式CD：CA=DE：AB求解。
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】根据题意画出图形如图所示，
其中AB为树高，EH为树影在第一级台阶上的影长，AE为树影在地上部分的长，ED的长为台阶高，并且由光沿直线传播的性质可知AF即为树影在地上的全长，
∵ ，
∴EH=0.3×0.6=0.18，
∴AF=AE+EH+HF=4.42+0.18+0.2=4.8，
∵ ，
∴AB= =8（米），
故答案为：B．
【分析】根据题意画出图形。其中AB为树高，EH为树影在第一级台阶上的影长，AE为树影在地上部分的长，ED的长为台阶高，并且由光沿直线传播的性质可知AF即为树影在地上的全长，根据物长：影长=物长：影长可求解。
9．【答案】1.4m
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图，
由题意得：△ABC∽△ADE，
∴ = ，
∴ = ，
h=1.4m
【分析】由题意可得BC∥DE，根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABC∽△ADE，可得比例式求解。
10．【答案】3.5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图，
因为梯子每一条踏板均和地面平行，所以构成一组相似三角形，
即△ABC∽△ADE，则 ，
设梯子长为x米，则
，
解得，x=3.5，
故答案为：3.5．
【分析】由题意平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABC∽△ADE，于是可得比例式，结合题中的已知条件计算即可求解。
11．【答案】20
【知识点】矩形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】如图所示：
由题意可知：AC=10，AE=10-8=2，DE=4
即
解得：BC=20
故答案为：20
【分析】由矩形的性质可得ED∥BC，平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△AED∽△ACB，根据相似三角形的性质可得比例式求解。
12．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的应用
【解析】【解答】如图，延长OD，BC交于点P. ∵∠ODC=∠B= 90°，∠P= 30°，OB= 10米， CD= 米， 在直角△CPD中，DP = DC*cos30°= 3米，PC=2 米。.∠P=∠P， ∠PDC=∠B= 90°， △PDCC∽△PBO，∴∴PB=10 米， BC=PB- PC= (10 -2 )=8 米
【分析】延长OD，BC交于点P.由题意根据三角形内角和定理可得∠P= 30°，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可求得PC的长，再根据勾股定理可求得PD的长，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得 △PDC∽△PBO，可得比例式求得PB的长，由线段的构成可得BC=BP-PC求解。
13．【答案】450
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵OB=3OD，OA=3OC，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴ = = ，即 = ，解得AB=450（米）．
故答案为：450
【分析】由已知条件根据有两边的比相等，且它们的夹角也相等的两个三角形相似可得△AOB∽△COD，从而可得比例式求解。
14．【答案】3
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵OC=OD，AC=BD，
∴OA=OB；∴ = ；
又∵∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△AOB；故 = ，即 = ；
得AB=24mm.∴x= ×（30-24）=3（mm）.
故答案为：3.
【分析】根据“两边对应成比例，且夹角相等”可判定△COD∽△AOB，再根据相似三角形的性质可得=，将已知代入可求AB，然后再求得零件的厚度。
15．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵DEFG是正方形，∴∠EDG=90°，∴∠KDC+∠HDA=90°．
∵∠C+∠KDC=90°，∴∠C=∠HDA．
∵∠CKD=∠DHA=90°，∴△CKD∽△DHA，
∴CK：KD=HD：HA，∴CK：100=100：15，
解得：CK= ．
故答案为： ．
【分析】根据正方形的性质及已知证明∠C=∠HDA，∠CKD=∠DHA，再证明△CKD∽△DHA，得出对应边成比例，就可求出CK的长。
16．【答案】解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴DE∥AB，∴△EDC∽△ABC，∴ ，即 ，∴AB=
【知识点】平行线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由同垂直于一条直线的两条直线互相平行可得DE∥AB，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△EDC∽△ABC，由相似三角形的性质可得比例式求解。
17．【答案】解：结合光的反射原理得：
在 和 中，
即
解得AB=15(m)
答：铁塔AM的高度是15m
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由入射角等于反射角可得∠CED=∠AEB，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得Rt△CDE Rt△ABE，然后可得比例式求解。
18．【答案】解：∵AB∥CD，
∴△PAB∽△PCD，
∴ ，
∴ ，
∵AE∥PG，
∴ ，
即 ，
∴PG=7.32（m），
答：路灯P距地面的高度为7.32m．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△PAB∽△PCD，可得比例式，同理可得，将已知条件代入计算即可求解。
19．【答案】解：作出示意图，连接 ，同时连接 并延长交 于 ，因为夹子是轴对称图形，故 是对称轴，∴ ， ，∵ ， ，∴ ，∴ ，而 ，即 ，∴ ，∴
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据题意画出图形，连接 AB ，同时连接 OC 并延长交AB于E，由轴对称的性质可得OE ⊥ AB ， AE = BE ，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得Rt△OCD∽Rt△OAE，可得比例式，其中OC可用勾股定理求出，再将已知条件代入计算即可求解。
20．【答案】解：如图设AB=x，BC=y．∵AB⊥BD，GH⊥BH，∴∠ABC=∠EFC=90°，∵∠ACB=∠ECF，∴△ACB∽△ECF，∴ ，∴ ，∴x= y ①同理：△ADB∽△GDH，∴ ，∴ =tan39°=0.8 ②由①②解得y=36（米），答：钟楼的高度为36米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由题意根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ACB∽△ECF，可得比例式，可将AB用含BC的代数式表示，同理可得：△ADB∽△GDH，可得比例式，将已知条件代入比例式计算即可求解。
21．【答案】（1）解：∵AB∥MN，
∴△LMN∽△LBA，
∴ = ．
∵像高MN是35 mm，焦距是50 mm，拍摄的景物高度AB是4.9 m，
∴ = ，解得LD=7，
∴拍摄点距离景物7米
（2）解：拍摄高度是2 m的景物，拍摄点离景物有4 m，像高不变，
∴ = ，解得LC=70，
∴相机的焦距应调整为70 mm
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△LMN∽△LBA，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比得出MN∶AB=LC∶LD，根据比例式列出方程，求解得出LD的长；
（2）根据相似三角形对应边的比等于对应高的比得出MN∶AB=LC∶LD，由于题中给出了MN=35mm，AB=2m，LD=4m，代入比例式求解得出LC的长。
1 / 12018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.4 相似三角形的应用 同步练习
一、选择题
1．（2018·临沂）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（ ）
A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴ = ，即 = ，
∴CD=10.5（米）．
故答案为：B．
【分析】由平行可证得△ABE∽△ACD，再利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，建立方程求解即可。
2．如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角 ，窗户的高在教室地面上的影长 米，窗户的下檐到教室地面的距离 米（点 、 、 在同一直线上），则窗户的高 为（ ）
A． 米 B．3米 C．2米 D．1.5米
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵BN∥AM
∴
又∵ 米
∴BN=2米，CN= 米
∴CN：CM=BC：AC
∴
解得：AC=3米
∴AB=AC BC=2米，
故答案为：C
【分析】由题意知BN∥AM，根据平行线分线段成比例定理可得比例式CN：CM=BC：AC，由比例式可求得AC的长，则AB=AC-BC求解。
3．如图，物理课上张明做小孔成像实验，已知蜡烛与成像板之间的距离BB'为36cm，要使烛焰的像A′B′是烛焰AB的2倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛（ ）cm的地方．
A．12 B．24 C．18 D．9
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图，
∵AB∥A′B′，
∴△AOB∽△A′OB′，
∴AB：A′B′=OD：OD′，
即1：2=OD：（36﹣OD），
解得：OD=12cm．
∴蜡烛与成像板之间的小孔纸应放在离蜡烛12cm的地方．
故答案为：A．
【分析】由题意根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△AOB∽△A′OB′，于是可得比例式求得OD的值。
4．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（ ）
A．120m B．67.5m C．40m D．30m
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵∠ABE=∠DCE， ∠AEB=∠CED，
∴△ABE∽△DCE，
∴ .
∵BE=90m，EC=45m，CD=60m，
∴
故答案为：A.
【分析】根据对对顶角相等和直角都相等可得∠ABE=∠DCE， ∠AEB=∠CED，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABE∽△DCE，可得比例式求解。
5．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（ ）
A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO=∠CDO=90°，
又∵∠AOB=∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
则 ，
∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，
∴ ，
解得：CD=0.4，
故答案为：C．
【分析】先根据“两角对应相等，两个三角形相似”判定△ABO∽△CDO，再根据相似三角形性质可得=， 求得CD。
6．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8 cm，底边BC长10 cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D，G分别在AB，AC上，则四边形DEFG的最大面积为（ ）
A．40 cm2 B．20 cm2 C．25 cm2 D．10 cm2
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；配方法的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
设矩形DEFG的宽DE=x，则AM=AH-HM=8-x，
∵矩形的对边DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴ ，
即 ，
解得DG= （8-x），
四边形DEFG的面积= （8-x）x=- （x2-8x+16）+20=- （x-4）2+20，
所以，当x=4，即DE=4时，四边形DEFG最大面积为20cm2．
故答案为：B．
【分析】设矩形DEFG的宽DE=x，则AM=AH-HM=8-x，先判定△ADG∽△ABC，再根据相似三角形性质可得=，用x表示DG，再表示四边形DEFG的面积，再用配方法求得四边形DEFG最大面积。
7．如图，为了测量油桶内油面的高度，将一根细木棒自油桶边缘的小孔插入桶内，测得木棒插入部分的长为 ，木棒上沾油部分的长为 ，桶高为 ，那么桶内油面的高度是（ ）
A．32 cm B．30 cm C．50 cm D．48 cm
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图：
AB为油桶高，DE为桶内油面的高度，AC为木棒插入部分的长，CD为木棒上沾油部分的长，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴CD：CA=DE：AB，
∴60：100=DE：80，
∴DE=48cm，
故答案为：D．
【分析】由题意画出图形，其中AB为油桶高，DE为桶内油面的高度，AC为木棒插入部分的长，CD为木棒上沾油部分的长，由题意知DE∥AB，根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△CDE∽△CAB，从而可得比例式CD：CA=DE：AB求解。
8．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.42米，则树高为（ ）
A．6.93米 B．8米 C．11.8米 D．12米
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】根据题意画出图形如图所示，
其中AB为树高，EH为树影在第一级台阶上的影长，AE为树影在地上部分的长，ED的长为台阶高，并且由光沿直线传播的性质可知AF即为树影在地上的全长，
∵ ，
∴EH=0.3×0.6=0.18，
∴AF=AE+EH+HF=4.42+0.18+0.2=4.8，
∵ ，
∴AB= =8（米），
故答案为：B．
【分析】根据题意画出图形。其中AB为树高，EH为树影在第一级台阶上的影长，AE为树影在地上部分的长，ED的长为台阶高，并且由光沿直线传播的性质可知AF即为树影在地上的全长，根据物长：影长=物长：影长可求解。
二、填空题
9．如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则击球的高度h为 .
【答案】1.4m
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图，
由题意得：△ABC∽△ADE，
∴ = ，
∴ = ，
h=1.4m
【分析】由题意可得BC∥DE，根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABC∽△ADE，可得比例式求解。
10．如图， 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚 距离墙脚 ，梯上点 距墙 ， 长 ，则梯子的长为 ．
【答案】3.5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图，
因为梯子每一条踏板均和地面平行，所以构成一组相似三角形，
即△ABC∽△ADE，则 ，
设梯子长为x米，则
，
解得，x=3.5，
故答案为：3.5．
【分析】由题意平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABC∽△ADE，于是可得比例式，结合题中的已知条件计算即可求解。
11．如图，直角三角形纸片ABC，AC边长为10cm，现从下往上依次裁剪宽为4cm的矩形纸条，若剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC的长度是 cm．
【答案】20
【知识点】矩形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】如图所示：
由题意可知：AC=10，AE=10-8=2，DE=4
即
解得：BC=20
故答案为：20
【分析】由矩形的性质可得ED∥BC，平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△AED∽△ACB，根据相似三角形的性质可得比例式求解。
12．如图，要在宽AB为20米的瓯海大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD与灯柱BC成120°角，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线（即O为AB的中点）时照明效果最佳，若CD= 米，则路灯的灯柱BC高度应该设计为 米（计算结果保留根号）．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的应用
【解析】【解答】如图，延长OD，BC交于点P. ∵∠ODC=∠B= 90°，∠P= 30°，OB= 10米， CD= 米， 在直角△CPD中，DP = DC*cos30°= 3米，PC=2 米。.∠P=∠P， ∠PDC=∠B= 90°， △PDCC∽△PBO，∴∴PB=10 米， BC=PB- PC= (10 -2 )=8 米
【分析】延长OD，BC交于点P.由题意根据三角形内角和定理可得∠P= 30°，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可求得PC的长，再根据勾股定理可求得PD的长，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得 △PDC∽△PBO，可得比例式求得PB的长，由线段的构成可得BC=BP-PC求解。
13．如图，为测量出湖边不可直接到达的A、B间的距离，测量人员选取一定点O，使A、O、C和B、O、D分别在同一直线上，测出CD=150米，且OB=3OD，OA=3OC，则AB= 米．
【答案】450
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵OB=3OD，OA=3OC，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴ = = ，即 = ，解得AB=450（米）．
故答案为：450
【分析】由已知条件根据有两边的比相等，且它们的夹角也相等的两个三角形相似可得△AOB∽△COD，从而可得比例式求解。
14．如图，已知零件的外径为30 mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）测量零件的内孔直径AB．若OC∶OA=1∶2，且量得CD＝12 mm，则零件的厚度x= mm．
【答案】3
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵OC=OD，AC=BD，
∴OA=OB；∴ = ；
又∵∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△AOB；故 = ，即 = ；
得AB=24mm.∴x= ×（30-24）=3（mm）.
故答案为：3.
【分析】根据“两边对应成比例，且夹角相等”可判定△COD∽△AOB，再根据相似三角形的性质可得=，将已知代入可求AB，然后再求得零件的厚度。
15．（2018·泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”
用今天的话说，大意是：如图， 是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门 位于 的中点，南门 位于 的中点，出东门15步的 处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于 处的树木（即点 在直线 上）？请你计算 的长为 步．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵DEFG是正方形，∴∠EDG=90°，∴∠KDC+∠HDA=90°．
∵∠C+∠KDC=90°，∴∠C=∠HDA．
∵∠CKD=∠DHA=90°，∴△CKD∽△DHA，
∴CK：KD=HD：HA，∴CK：100=100：15，
解得：CK= ．
故答案为： ．
【分析】根据正方形的性质及已知证明∠C=∠HDA，∠CKD=∠DHA，再证明△CKD∽△DHA，得出对应边成比例，就可求出CK的长。
三、解答题
16．为测小河的宽度，小明同学在小河两侧各立一根标杆A和B，过一侧标杆B作BD⊥AB，在BD上截取BC∶CD=a∶b，过点D作DE⊥BD，当点E，点C和点A在一条直线上时，只需测出DE的长c，就能算出河宽AB．你能帮助小明同学写出完整的解答过程吗 (结果用含a，b，c的代数式表示)
【答案】解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴DE∥AB，∴△EDC∽△ABC，∴ ，即 ，∴AB=
【知识点】平行线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由同垂直于一条直线的两条直线互相平行可得DE∥AB，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△EDC∽△ABC，由相似三角形的性质可得比例式求解。
17．如图，小华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离EB=20m，镜子与小华的距离ED=2m时，小华刚好从镜子中看到铁塔顶端点A．已知小华的眼睛距地面的高度CD=1.5m，求铁塔AB的高度．
【答案】解：结合光的反射原理得：
在 和 中，
即
解得AB=15(m)
答：铁塔AM的高度是15m
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由入射角等于反射角可得∠CED=∠AEB，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得Rt△CDE Rt△ABE，然后可得比例式求解。
18．如图，足球场边有一路灯P，在灯下足球门横梁AB在地面上的影子为CD，经测量得知CD=10.8米，已知足球门横梁AB=7.2米，高AE=BF=2.44米，
试求路灯P距地面的高度．
【答案】解：∵AB∥CD，
∴△PAB∽△PCD，
∴ ，
∴ ，
∵AE∥PG，
∴ ，
即 ，
∴PG=7.32（m），
答：路灯P距地面的高度为7.32m．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△PAB∽△PCD，可得比例式，同理可得，将已知条件代入计算即可求解。
19．如图是一个常见铁夹的侧面示意图， ， 表示铁夹的两个面， 是轴， 于点 ，已知 ， ， ，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出 、 两点间的距离．
【答案】解：作出示意图，连接 ，同时连接 并延长交 于 ，因为夹子是轴对称图形，故 是对称轴，∴ ， ，∵ ， ，∴ ，∴ ，而 ，即 ，∴ ，∴
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据题意画出图形，连接 AB ，同时连接 OC 并延长交AB于E，由轴对称的性质可得OE ⊥ AB ， AE = BE ，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得Rt△OCD∽Rt△OAE，可得比例式，其中OC可用勾股定理求出，再将已知条件代入计算即可求解。
20．钟楼是西安标志性的建筑之一，建于1384年，是中国古代遗留下来众多钟楼中保存最完整的一座．为了对钟楼有基本的认识，小明和小亮运用所学的数学知识对钟楼进行了测量，由于无法直接测量出它的高度，他们先在地面选择了一点C放置平面镜，小明到F点时正好在平面镜中看到顶尖A，小明的眼睛距地面的高度EF=1.5米；然后在点D处放置平面镜小亮到H点时正好在平面镜中看到顶尖A（点B、C、F、D、H共线）．小亮的眼睛距地面的高度GH=1.6米，此时测得俯角∠KGD=39°，如图，已知CF=1米，DF=20米，AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据以上测量数据及信息，计算钟楼的高度，（参考数据：sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8）
【答案】解：如图设AB=x，BC=y．∵AB⊥BD，GH⊥BH，∴∠ABC=∠EFC=90°，∵∠ACB=∠ECF，∴△ACB∽△ECF，∴ ，∴ ，∴x= y ①同理：△ADB∽△GDH，∴ ，∴ =tan39°=0.8 ②由①②解得y=36（米），答：钟楼的高度为36米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由题意根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ACB∽△ECF，可得比例式，可将AB用含BC的代数式表示，同理可得：△ADB∽△GDH，可得比例式，将已知条件代入比例式计算即可求解。
21．如图，是一个照相机成像的示意图，像高MN，景物高度AB、CD为水平视线，根据物体成像原理知：AB∥MN，CD⊥MN．
（1）如果像高MN是35mm，焦距CL是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物的距离LD是多少？
（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少毫米？
【答案】（1）解：∵AB∥MN，
∴△LMN∽△LBA，
∴ = ．
∵像高MN是35 mm，焦距是50 mm，拍摄的景物高度AB是4.9 m，
∴ = ，解得LD=7，
∴拍摄点距离景物7米
（2）解：拍摄高度是2 m的景物，拍摄点离景物有4 m，像高不变，
∴ = ，解得LC=70，
∴相机的焦距应调整为70 mm
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△LMN∽△LBA，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比得出MN∶AB=LC∶LD，根据比例式列出方程，求解得出LD的长；
（2）根据相似三角形对应边的比等于对应高的比得出MN∶AB=LC∶LD，由于题中给出了MN=35mm，AB=2m，LD=4m，代入比例式求解得出LC的长。
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