2018-2019学年数学北师大版九年级上册4.2 平行线分线段成比例 同步练习
一、选择题：
1．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6， ，则EC的长是（ ）
A．4.5 B．8 C．10.5 D．14
2．（2017·苏州模拟）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A，B，C和点D，E，F．若 = ，DE=4，则EF的长是（ ）
A． B． C．6 D．10
3．如图1，H为平行四边形ABCD中AD边上一点，且AH= DH，AC和BH交于点K，则AK：KC等于（ ）
A．1：2 B．1：1 C．1：3 D．2：3
4．如图，△ABC中，D在AB上，E在AC上，下列条件中，能判定DE//BC的是（ ）
A．AD AC=AE AB B．AD AE=EC DB
C．AD AB=AE AC D．BD AC=AE AB
5．如图，在△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC.以下四个结论：① ；② ；③ ；④ . 其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F， = ，DE=6，则EF= ．
7．如图，在△ABC中有菱形AMPN，如果 ，那么 ＝ ．
8．（2017九上·江门月考）如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为 ．
9．如图4，l1∥l2∥l3，AM＝2，MB＝3，CD＝4.5，则ND＝ ，CN＝ .
10．如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且 ，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F.若AB＝15，则EF＝ ．
三、解答题
11．如图所示，D，E是△ABC的边AB，AC上的两点，AE：AC=2：3，且AD=10，AB=15，DE=8，求BC的长．
12．如图，EG∥BC，GF∥DC，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的值．
13．如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC，求证：AF·BD ＝ AD·FD
14．如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交于CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．
15．如图所示，已知AB∥EF∥CD，AC、BD相交于点E，AB=6cm，CD=12cm，求EF．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵DE∥BC，∴ ．∵AE＝6，∴ ，∴AC＝14．∴EC＝8．
故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例定理可得比例式AE：EC=AD：DB，即可求得AC的长。
2．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵l1∥l2∥l3，
∴ ，
即 ，
解得：EF=6．
故答案为：C．
【分析】依据平行线分线段成比例定理列比例式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】比例的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AH= DH，∴ ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴△AHK∽△CBK，∴AK：KC=1：3，故答案为：C．
【分析】由平行四边形的性质可得D=BC，AD∥BC，根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△AHK∽△CBK，于是可得比例式AK：KC=AH：CB=AH：AD，将已知条件用合比性质可得AH：AD=1：3，则AK：KC=1：3。
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A．∵AD AC=AE AB，∴AD：AB=AE：AC，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，故此选项正确；
B．∵AD AE=EC DB，∴AD：DB=EC：AE，不能推出△ADE∽△ABC，∴不能推出∠ADE=∠B，∴不能推出DE∥BC，故此选项错误；
C．∵AD AB=AE AC，不能推出△ADE∽△ABC，∴不能推出∠ADE=∠B，∴不能推出DE∥BC，故此选项错误；
D．∵BD AC=AE AB，不能推出△ADE∽△ABC，∴不能推出∠ADE=∠B，∴不能推出DE∥BC，故此选项错误；
故答案为：A．
【分析】（1）将乘积式化为比例式得AD：AB=AE：AC，∠A是公共角，所以根据有两边的比相等，且它们的夹角也相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质可得∠ADE=∠B，由平行线的判定即可得DE∥BC；
（2）将乘积式化为比例式得AD：DB=EC：AE，∠A是公共角，但∠A不是其中两条线段的夹角，所以不能判断△ADE∽△ABC，则不能得出角相等，也不能判断两直线平行；
（3）（4）由（2）知，∠A不是其中两条线段的夹角，所以不能判断△ADE∽△ABC，则不能得出角相等，也不能判断两直线平行；
5．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】①∵MN ∥ BC，∴ AN：CN = AM：BM ，该项错误；②∵DN ∥ MC，∴ AD：DM = AN：NC ，再由（1）得 AD：DM = AM：BM，该项正确；③根据（1）知，此项正确；④根据（2）知，此项正确．所以正确的有3个，故答案为：C．
【分析】由题意根据平行线分线段成比例定理可得比例式：；；。
6．【答案】9
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴ = ，即 = ，
∴EF=9．
故答案为9
【分析】根据已知AD∥BE∥CF，可得出AB、BC、DE、EF四条线段成比例，代入计算可求出EF的长。
7．【答案】
【知识点】比例的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∵菱形AMPN，
∴MP∥AC，
∴ .
【分析】由菱形的性质可得MP∥AC，根据平行线分线段成比例定理可得比例式，再运用合比性质即可求解。
8．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥GH，
∴ = ，即 = ①，
∵GH∥CD，
∴ = ，即 = ②，
①+②，得 + = + = =1，
∴ + =1，
解得GH= ．
故答案为 ．
【分析】利用平行线分线段成比例定理，可得出对应相等成比例，结合两比例式，就可求出GH的长。
9．【答案】2.7；4.5
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得：ND=2.7，
∴CD=CN+ND=1.8+2.7=4.5．
故答案为：4.5．
【分析】根据平行线分线段成比例定理可得比例式求解。
10．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵DE∥BC，
∴ = ，
∵ ，
∴ = ，即 = ，
∵AB=15，
∴AE=10，
∵DF∥CE，
∴ = ，即 = ，
解得：AF= ，
则EF=AE﹣AF=10﹣ = ，
故答案是：
【分析】根据两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例结合题意可得比例式：，将已知的线段代入比例式计算即可求解。
11．【答案】解：∵AD=10，AB=15，∴AD：AB=10：15=2：3，而AE：AC=2：3，∴AE：AC=AD：AB，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ ，即 ，∴BC=12．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由已知条件计算可得比例式AE：AC=AD：AB，逆用平行线分线段成比例定理可得DE∥BC，根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质得比例式即可求解。
12．【答案】解：∵EG∥BC，
∴ ＝ .
又∵GF∥DC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
∴FD＝4，
∴AD＝10
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】由题意，根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例可得比例式=，将已知条件代入计算即可求解。
13．【答案】证明：∵EF∥CD，∴AF：DF=AE：EC， ∵DE∥BC，∴AD：DE=AE：EC．
∴AF：DF=AD：DB， ∴AF·BD ＝ AD·FD ．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】由题意知EF∥CD，DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理可得比例式：AF：DF=AE：EC，AD：DE=AE：EC；于是可得AF：DF=AD：DB，将比例式化为乘积式即可求解。
14．【答案】解：设BE=x，∵EF=32，GE=8，∴ ，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴ ，∴则 ①∵DG∥AB，∴△DFG∽△CBG，∴ 代入① ，解得：x=±16（负数舍去），故BE=16．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由题意知，AD∥BC，DG∥AB，根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△AFE∽△CBE，△DFG∽△CBG，于是可得比例式：，，联立解方程组即可求解。
15．【答案】解：∵AB∥CD，
∴ ，
∴ ，
∵AB∥EF，
∴ ，
即 ，
解得EF=4cm
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】由AB∥CD，可得出对应相等成比例，求出CE：AC的值，再利用AB∥EF，得出对应边成比例，就可求出EF的长。
1 / 12018-2019学年数学北师大版九年级上册4.2 平行线分线段成比例 同步练习
一、选择题：
1．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6， ，则EC的长是（ ）
A．4.5 B．8 C．10.5 D．14
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵DE∥BC，∴ ．∵AE＝6，∴ ，∴AC＝14．∴EC＝8．
故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例定理可得比例式AE：EC=AD：DB，即可求得AC的长。
2．（2017·苏州模拟）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A，B，C和点D，E，F．若 = ，DE=4，则EF的长是（ ）
A． B． C．6 D．10
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵l1∥l2∥l3，
∴ ，
即 ，
解得：EF=6．
故答案为：C．
【分析】依据平行线分线段成比例定理列比例式求解即可.
3．如图1，H为平行四边形ABCD中AD边上一点，且AH= DH，AC和BH交于点K，则AK：KC等于（ ）
A．1：2 B．1：1 C．1：3 D．2：3
【答案】C
【知识点】比例的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AH= DH，∴ ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴△AHK∽△CBK，∴AK：KC=1：3，故答案为：C．
【分析】由平行四边形的性质可得D=BC，AD∥BC，根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△AHK∽△CBK，于是可得比例式AK：KC=AH：CB=AH：AD，将已知条件用合比性质可得AH：AD=1：3，则AK：KC=1：3。
4．如图，△ABC中，D在AB上，E在AC上，下列条件中，能判定DE//BC的是（ ）
A．AD AC=AE AB B．AD AE=EC DB
C．AD AB=AE AC D．BD AC=AE AB
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A．∵AD AC=AE AB，∴AD：AB=AE：AC，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，故此选项正确；
B．∵AD AE=EC DB，∴AD：DB=EC：AE，不能推出△ADE∽△ABC，∴不能推出∠ADE=∠B，∴不能推出DE∥BC，故此选项错误；
C．∵AD AB=AE AC，不能推出△ADE∽△ABC，∴不能推出∠ADE=∠B，∴不能推出DE∥BC，故此选项错误；
D．∵BD AC=AE AB，不能推出△ADE∽△ABC，∴不能推出∠ADE=∠B，∴不能推出DE∥BC，故此选项错误；
故答案为：A．
【分析】（1）将乘积式化为比例式得AD：AB=AE：AC，∠A是公共角，所以根据有两边的比相等，且它们的夹角也相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质可得∠ADE=∠B，由平行线的判定即可得DE∥BC；
（2）将乘积式化为比例式得AD：DB=EC：AE，∠A是公共角，但∠A不是其中两条线段的夹角，所以不能判断△ADE∽△ABC，则不能得出角相等，也不能判断两直线平行；
（3）（4）由（2）知，∠A不是其中两条线段的夹角，所以不能判断△ADE∽△ABC，则不能得出角相等，也不能判断两直线平行；
5．如图，在△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC.以下四个结论：① ；② ；③ ；④ . 其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】①∵MN ∥ BC，∴ AN：CN = AM：BM ，该项错误；②∵DN ∥ MC，∴ AD：DM = AN：NC ，再由（1）得 AD：DM = AM：BM，该项正确；③根据（1）知，此项正确；④根据（2）知，此项正确．所以正确的有3个，故答案为：C．
【分析】由题意根据平行线分线段成比例定理可得比例式：；；。
二、填空题
6．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F， = ，DE=6，则EF= ．
【答案】9
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴ = ，即 = ，
∴EF=9．
故答案为9
【分析】根据已知AD∥BE∥CF，可得出AB、BC、DE、EF四条线段成比例，代入计算可求出EF的长。
7．如图，在△ABC中有菱形AMPN，如果 ，那么 ＝ ．
【答案】
【知识点】比例的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∵菱形AMPN，
∴MP∥AC，
∴ .
【分析】由菱形的性质可得MP∥AC，根据平行线分线段成比例定理可得比例式，再运用合比性质即可求解。
8．（2017九上·江门月考）如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为 ．
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥GH，
∴ = ，即 = ①，
∵GH∥CD，
∴ = ，即 = ②，
①+②，得 + = + = =1，
∴ + =1，
解得GH= ．
故答案为 ．
【分析】利用平行线分线段成比例定理，可得出对应相等成比例，结合两比例式，就可求出GH的长。
9．如图4，l1∥l2∥l3，AM＝2，MB＝3，CD＝4.5，则ND＝ ，CN＝ .
【答案】2.7；4.5
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得：ND=2.7，
∴CD=CN+ND=1.8+2.7=4.5．
故答案为：4.5．
【分析】根据平行线分线段成比例定理可得比例式求解。
10．如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且 ，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F.若AB＝15，则EF＝ ．
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵DE∥BC，
∴ = ，
∵ ，
∴ = ，即 = ，
∵AB=15，
∴AE=10，
∵DF∥CE，
∴ = ，即 = ，
解得：AF= ，
则EF=AE﹣AF=10﹣ = ，
故答案是：
【分析】根据两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例结合题意可得比例式：，将已知的线段代入比例式计算即可求解。
三、解答题
11．如图所示，D，E是△ABC的边AB，AC上的两点，AE：AC=2：3，且AD=10，AB=15，DE=8，求BC的长．
【答案】解：∵AD=10，AB=15，∴AD：AB=10：15=2：3，而AE：AC=2：3，∴AE：AC=AD：AB，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ ，即 ，∴BC=12．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由已知条件计算可得比例式AE：AC=AD：AB，逆用平行线分线段成比例定理可得DE∥BC，根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质得比例式即可求解。
12．如图，EG∥BC，GF∥DC，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的值．
【答案】解：∵EG∥BC，
∴ ＝ .
又∵GF∥DC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
∴FD＝4，
∴AD＝10
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】由题意，根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例可得比例式=，将已知条件代入计算即可求解。
13．如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC，求证：AF·BD ＝ AD·FD
【答案】证明：∵EF∥CD，∴AF：DF=AE：EC， ∵DE∥BC，∴AD：DE=AE：EC．
∴AF：DF=AD：DB， ∴AF·BD ＝ AD·FD ．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】由题意知EF∥CD，DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理可得比例式：AF：DF=AE：EC，AD：DE=AE：EC；于是可得AF：DF=AD：DB，将比例式化为乘积式即可求解。
14．如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交于CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．
【答案】解：设BE=x，∵EF=32，GE=8，∴ ，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴ ，∴则 ①∵DG∥AB，∴△DFG∽△CBG，∴ 代入① ，解得：x=±16（负数舍去），故BE=16．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由题意知，AD∥BC，DG∥AB，根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△AFE∽△CBE，△DFG∽△CBG，于是可得比例式：，，联立解方程组即可求解。
15．如图所示，已知AB∥EF∥CD，AC、BD相交于点E，AB=6cm，CD=12cm，求EF．
【答案】解：∵AB∥CD，
∴ ，
∴ ，
∵AB∥EF，
∴ ，
即 ，
解得EF=4cm
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】由AB∥CD，可得出对应相等成比例，求出CE：AC的值，再利用AB∥EF，得出对应边成比例，就可求出EF的长。
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