【精品解析】高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.4.2圆的一般方程

高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.4.2圆的一般方程
一、单选题
1．（2020高二上·成都月考）圆 的圆心到直线 的距离为2，则 （　　）
A． B． C． D．2
2．已知圆C：x2+y2=4，则圆C关于直线l：x﹣y﹣3=0对称的圆的方程为（　　）
A．x2+y2﹣6x+6y+14=0 B．x2+y2+6x﹣6y+14=0
C．x2+y2﹣4x+4y+4=0 D．x2+y2+4x﹣4y+4=0
3．若直线 平分圆 ，则 的值为（　　）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
4．（2020高二下·泸县月考）已知定点 ，点 在圆 上运动，则线段 的中点 的轨迹方程是（　　）
A． B．
C． D．
5．若方程 表示圆，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．若圆 的圆心到直线 的距离为 ，则 的值为（　　）
A．-2或2 B． 或 C．2或0 D．-2或0
7．圆 关于直线 对称的圆的方程是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知圆 的圆心在直线 上，则该圆的面积为（　　）
A．4π B．2π C．π D．
9．过三点A（1，-1），B（1,4），C（4，-2）的圆的方程是（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
10．已知方程 ，若方程表示圆，则 的值可能为（　　）．
A．-2 B．0 C．1 D．3
三、填空题
11．设 为圆 上的动点， 是圆的切线且 ，则点 的轨迹方程是　 　．
12．已知动点P到点A(4,1)的距离是到点B(-1,-1)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为　 　.
13．若过点 可作圆 的两条切线，则实数 的取值范围为　 　．
14．已知圆 上任一点 关于直线 对称的点 仍在该圆上，则 　 　．
15．如图，O是坐标原点，圆O的半径为1，点A（-1，0），B（1，0），点P，Q分别从点A，B同时出发，圆O上按逆时针方向运动.若点P的速度大小是点Q的两倍，则在点P运动一周的过程中， 的最大值是　 　.
四、解答题
16．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为 ，求圆的一般方程．
17．已知某曲线上的点到定点O(0,0)与到定点 的距离的比值为k,求此曲线的方程，并判定曲线的形状.
18．（2017高二上·阳高月考）如图，已知矩形 四点坐标为A（0，-2），C（4，2），B（4，-2），D（0，2）．
（1）求对角线 所在直线的方程；
（2）求矩形 外接圆的方程；
（3）若动点 为外接圆上一点，点 为定点，问线段PN中点的轨迹是什么，并求出该轨迹方程。
19．已知以点C为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0上．设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】圆的标准方程是 ，圆心为 ，
∴ ，解得 ．
故答案为：B.
【分析】配方求出圆心坐标，再由点到直线距离公式计算．
2．【答案】A
【知识点】关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】设圆心C（0，0）关于直线l：x﹣y﹣3=0的对称点为D（a，b），
则由 ；
∴对称圆的方程为（x﹣3）2+（y+3）2=4 x2+y2﹣6x+6y+14=0．
故答案为：A
【分析】 设圆心C（0，0）关于直线l：x-y-3=0的对称点为D（a，b），则由垂直和中点在轴上2个条件，解方程组求得对称圆的圆心D的坐标，即可求得对称圆的方程 。
3．【答案】A
【知识点】关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】解：因为直线 平分圆 ，
又圆的标准方程为 ，
所以直线经过圆心 ，
所以 ，
故答案为：A．
【分析】 根据题意，由圆的方程分析圆的圆心，进而分析可得圆心在直线x+y+a=0上，将圆心坐标代入直线方程可得a-2-1=0，解可得a的值，即可得答案．
4．【答案】C
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设 ,则 满足 .故 .故 .
又点 在圆 上.故 .
故选：C
【分析】设 再表达出 的坐标代入圆方程 化简即可.
5．【答案】A
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】由二元二次方程表示圆的充要条件可知： ，解得 ，
故答案为：A．
【分析】 由二元二次方程表示圆的条件得到m的不等式，解不等式即可得到结果 。
6．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】把圆的方程化为标准式为： ，所以圆心坐标为 .
则圆心到直线 的距离 ，
即 ，化简得 或 ，解得： 或 .
所以 的值为0或2.
故答案为：C.
【分析】 把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，根据点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值即可．
7．【答案】C
【知识点】关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】由圆的方程可知圆心坐标为： ，半径为：
设圆心关于直线 的对称点为
则： ，解得： ，即所求圆圆心为：
所求圆的方程为：
故答案为：C
【分析】 先求圆心和半径，再去求对称点坐标，可得到圆的标准方程．
8．【答案】A
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】 ,
,
即圆心为 ，半径
圆心在直线 上，
，
即 ，
所以圆的半径 ，
.
故答案为：A
【分析】 求出圆的圆心，代入直线方程，求出m，然后求解圆的半径，即可求解圆的面积．
9．【答案】A
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】设圆的一般方程为：
将 三点代入方程得到方程组：
解得： ，故圆方程为：
故答案为：A
【分析】 设圆的方程为，将A、B、C的坐标代入得到关于D、E、F的方程组，解之得到圆的方程。
10．【答案】A,B
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】因为方程 表示圆，
所以 ，
解得 ，
所以满足条件的只有 与0．
故答案为：AB
【分析】根据圆的一般方程可求出a的取值范围，即可得出答案。
11．【答案】
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设 ，易知圆 的圆心 ，半径 ，
因为 是圆的切线且 ，
所以 ，
所以 ,即 ，
所以点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆．
所以点 的轨迹方程是 ．
【分析】 圆 的圆心为，半径为1，根据PA是圆的切线，且|PA|=1，可得，从而可求P点的轨迹方程。
12．【答案】
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设 ，则由题意可知 ，即 ，化简整理得 .
【分析】 设P为（x，y），依据题中条件动点 P到点A(4,1)的距离是到点B(-1,-1)的距离的2倍，列关于x，y的方程式，化简即可得点P的轨迹方程．
13．【答案】
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】圆心为 ，半径 ，由于过点 可作两条切线，所以 在圆外，即 ，解得 .
【分析】 把已知圆的方程化为标准方程，找出圆心P的坐标和圆的半径r，并根据二元二次方程构成圆的条件可得a的范围，利用两点间的距离公式求出|AP|的值，由过A可作圆的两条切线，得到点A在圆P外，可得|AP|的值大于圆的半径r，列出关于a的不等式，求出不等式的解集，与求出的a的范围求出并集，可得满足题意a的取值范围．
14．【答案】
【知识点】关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】由 ，得 ，所以该圆的圆心是 ，
根据题意得，圆心在直线 上．将 代入 中，得 ，解得 ．
故答案为：
【分析】 根据A点关于直线x-ay+2=0的对称点在圆上，得到直线x-ay+2=0过圆心，将圆心坐标代入直线方程即可求出a的值．
15．【答案】2
【知识点】单位圆与三角函数线
【解析】【解答】设 ，根据题意得， ，且 ，
依题意得 ，
∴ ，当且仅当 时，等号成立．故答案为2
【分析】 利用转速是两倍关系得转角为两倍，设出∠BOQ=α后，推出∠AOP=2α，然后根据三角函数坐标定义可得P、Q两点的坐标，再用数量积公式计算，最后用正弦函数最值可得．
16．【答案】解：圆心C ，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－ － －1＝0，即D＋E＝－2.①
又∵半径长r＝ ，
∴D2＋E2＝20.②
由①②可得 或
又∵圆心在第二象限，∴－ ＜0即D＞0.
则
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0
【知识点】圆的一般方程
【解析】【分析】 根据题意，求得 圆心C ，在x+y-1=0上，且 r＝ ,联解得D、E的值，即可得到圆C的方程．
17．【答案】解：设点 是已知曲线上任意一点，由题意得 ，化简得 ，当 ，即 或 时， ，所以 ，因为 ，所以方程 表示以 为圆心，以 为半径的圆.
当 时，原方程可化为 ，即表示线段OA的垂直平分线
【知识点】轨迹方程
【解析】【分析】 设点 是已知曲线上任意一点，由题意得 ，化简得 ，当 时，可得 ，对于形如的方程要注意，当时，才为圆的方程，此时 可判断此方程为圆的方程； 当 时，原方程可化为 ，即表示线段OA的垂直平分线 。
18．【答案】（1）解：由两点式可知，对角线 所在直线的方程为 ，
整理得
（2）解：设G为外接圆的圆心，则G为AC的中点，∴G 即（2，0）
设r为外接圆半径，则r= ， ∴r=
∴外接圆方程为
（3）解：设P点坐标 ，线段PN中点M坐标为（x，y），则 ，
∴①∵ 为外接圆上一点 ∴ 将①代入整理得： ，
∴该轨迹为以原点为圆心， 为半径的圆，轨迹方程为 。
【知识点】直线的两点式方程；直线的一般式方程；轨迹方程；圆方程的综合应用
【解析】【分析】(1)由题可知A点和C点的坐标，可根据两点式求解直线方程。
（2）首先根据矩形外接圆的特点求出外接圆的圆心，即为AC的中点，可求得圆心坐标，再依据外接圆半径与矩形的关系求得半径，最后根据圆心和半径求得外接圆方程。
（3）首先用PN中点和N点来表示P点，又由于P点是外接圆上的一点，将P点代入到外接圆方程中，即求得PN中点的轨迹方程。
19．【答案】解：∵线段AB的中点为(1,2)，直线AB的斜率为1，
∴线段AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)，即y＝－x＋3.
联立 解得
即圆心C为(－3,6)，
则半径r＝ ＝2 .
又|AB|＝ ＝4 ，
∴圆心C到AB的距离d＝ ＝4 ，
∴点P到AB的距离的最大值为d＋r＝4 ＋2 ，
∴△PAB的面积的最大值为 ×4 ×(4 ＋2 )＝16＋8 .
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆方程的综合应用
【解析】【分析】 依题意，所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x+3y-15=0的交点，求出圆心与半径，
求出|AB|，圆心到AB的距离d，求出P到AB距离的最大值d+r，即可求△PAB的面积的最大值．
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.4.2圆的一般方程
一、单选题
1．（2020高二上·成都月考）圆 的圆心到直线 的距离为2，则 （　　）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】圆的标准方程是 ，圆心为 ，
∴ ，解得 ．
故答案为：B.
【分析】配方求出圆心坐标，再由点到直线距离公式计算．
2．已知圆C：x2+y2=4，则圆C关于直线l：x﹣y﹣3=0对称的圆的方程为（　　）
A．x2+y2﹣6x+6y+14=0 B．x2+y2+6x﹣6y+14=0
C．x2+y2﹣4x+4y+4=0 D．x2+y2+4x﹣4y+4=0
【答案】A
【知识点】关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】设圆心C（0，0）关于直线l：x﹣y﹣3=0的对称点为D（a，b），
则由 ；
∴对称圆的方程为（x﹣3）2+（y+3）2=4 x2+y2﹣6x+6y+14=0．
故答案为：A
【分析】 设圆心C（0，0）关于直线l：x-y-3=0的对称点为D（a，b），则由垂直和中点在轴上2个条件，解方程组求得对称圆的圆心D的坐标，即可求得对称圆的方程 。
3．若直线 平分圆 ，则 的值为（　　）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【答案】A
【知识点】关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】解：因为直线 平分圆 ，
又圆的标准方程为 ，
所以直线经过圆心 ，
所以 ，
故答案为：A．
【分析】 根据题意，由圆的方程分析圆的圆心，进而分析可得圆心在直线x+y+a=0上，将圆心坐标代入直线方程可得a-2-1=0，解可得a的值，即可得答案．
4．（2020高二下·泸县月考）已知定点 ，点 在圆 上运动，则线段 的中点 的轨迹方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设 ,则 满足 .故 .故 .
又点 在圆 上.故 .
故选：C
【分析】设 再表达出 的坐标代入圆方程 化简即可.
5．若方程 表示圆，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】由二元二次方程表示圆的充要条件可知： ，解得 ，
故答案为：A．
【分析】 由二元二次方程表示圆的条件得到m的不等式，解不等式即可得到结果 。
6．若圆 的圆心到直线 的距离为 ，则 的值为（　　）
A．-2或2 B． 或 C．2或0 D．-2或0
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】把圆的方程化为标准式为： ，所以圆心坐标为 .
则圆心到直线 的距离 ，
即 ，化简得 或 ，解得： 或 .
所以 的值为0或2.
故答案为：C.
【分析】 把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，根据点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值即可．
7．圆 关于直线 对称的圆的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】由圆的方程可知圆心坐标为： ，半径为：
设圆心关于直线 的对称点为
则： ，解得： ，即所求圆圆心为：
所求圆的方程为：
故答案为：C
【分析】 先求圆心和半径，再去求对称点坐标，可得到圆的标准方程．
8．已知圆 的圆心在直线 上，则该圆的面积为（　　）
A．4π B．2π C．π D．
【答案】A
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】 ,
,
即圆心为 ，半径
圆心在直线 上，
，
即 ，
所以圆的半径 ，
.
故答案为：A
【分析】 求出圆的圆心，代入直线方程，求出m，然后求解圆的半径，即可求解圆的面积．
9．过三点A（1，-1），B（1,4），C（4，-2）的圆的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】设圆的一般方程为：
将 三点代入方程得到方程组：
解得： ，故圆方程为：
故答案为：A
【分析】 设圆的方程为，将A、B、C的坐标代入得到关于D、E、F的方程组，解之得到圆的方程。
二、多选题
10．已知方程 ，若方程表示圆，则 的值可能为（　　）．
A．-2 B．0 C．1 D．3
【答案】A,B
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】因为方程 表示圆，
所以 ，
解得 ，
所以满足条件的只有 与0．
故答案为：AB
【分析】根据圆的一般方程可求出a的取值范围，即可得出答案。
三、填空题
11．设 为圆 上的动点， 是圆的切线且 ，则点 的轨迹方程是　 　．
【答案】
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设 ，易知圆 的圆心 ，半径 ，
因为 是圆的切线且 ，
所以 ，
所以 ,即 ，
所以点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆．
所以点 的轨迹方程是 ．
【分析】 圆 的圆心为，半径为1，根据PA是圆的切线，且|PA|=1，可得，从而可求P点的轨迹方程。
12．已知动点P到点A(4,1)的距离是到点B(-1,-1)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为　 　.
【答案】
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设 ，则由题意可知 ，即 ，化简整理得 .
【分析】 设P为（x，y），依据题中条件动点 P到点A(4,1)的距离是到点B(-1,-1)的距离的2倍，列关于x，y的方程式，化简即可得点P的轨迹方程．
13．若过点 可作圆 的两条切线，则实数 的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】圆心为 ，半径 ，由于过点 可作两条切线，所以 在圆外，即 ，解得 .
【分析】 把已知圆的方程化为标准方程，找出圆心P的坐标和圆的半径r，并根据二元二次方程构成圆的条件可得a的范围，利用两点间的距离公式求出|AP|的值，由过A可作圆的两条切线，得到点A在圆P外，可得|AP|的值大于圆的半径r，列出关于a的不等式，求出不等式的解集，与求出的a的范围求出并集，可得满足题意a的取值范围．
14．已知圆 上任一点 关于直线 对称的点 仍在该圆上，则 　 　．
【答案】
【知识点】关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】由 ，得 ，所以该圆的圆心是 ，
根据题意得，圆心在直线 上．将 代入 中，得 ，解得 ．
故答案为：
【分析】 根据A点关于直线x-ay+2=0的对称点在圆上，得到直线x-ay+2=0过圆心，将圆心坐标代入直线方程即可求出a的值．
15．如图，O是坐标原点，圆O的半径为1，点A（-1，0），B（1，0），点P，Q分别从点A，B同时出发，圆O上按逆时针方向运动.若点P的速度大小是点Q的两倍，则在点P运动一周的过程中， 的最大值是　 　.
【答案】2
【知识点】单位圆与三角函数线
【解析】【解答】设 ，根据题意得， ，且 ，
依题意得 ，
∴ ，当且仅当 时，等号成立．故答案为2
【分析】 利用转速是两倍关系得转角为两倍，设出∠BOQ=α后，推出∠AOP=2α，然后根据三角函数坐标定义可得P、Q两点的坐标，再用数量积公式计算，最后用正弦函数最值可得．
四、解答题
16．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为 ，求圆的一般方程．
【答案】解：圆心C ，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－ － －1＝0，即D＋E＝－2.①
又∵半径长r＝ ，
∴D2＋E2＝20.②
由①②可得 或
又∵圆心在第二象限，∴－ ＜0即D＞0.
则
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0
【知识点】圆的一般方程
【解析】【分析】 根据题意，求得 圆心C ，在x+y-1=0上，且 r＝ ,联解得D、E的值，即可得到圆C的方程．
17．已知某曲线上的点到定点O(0,0)与到定点 的距离的比值为k,求此曲线的方程，并判定曲线的形状.
【答案】解：设点 是已知曲线上任意一点，由题意得 ，化简得 ，当 ，即 或 时， ，所以 ，因为 ，所以方程 表示以 为圆心，以 为半径的圆.
当 时，原方程可化为 ，即表示线段OA的垂直平分线
【知识点】轨迹方程
【解析】【分析】 设点 是已知曲线上任意一点，由题意得 ，化简得 ，当 时，可得 ，对于形如的方程要注意，当时，才为圆的方程，此时 可判断此方程为圆的方程； 当 时，原方程可化为 ，即表示线段OA的垂直平分线 。
18．（2017高二上·阳高月考）如图，已知矩形 四点坐标为A（0，-2），C（4，2），B（4，-2），D（0，2）．
（1）求对角线 所在直线的方程；
（2）求矩形 外接圆的方程；
（3）若动点 为外接圆上一点，点 为定点，问线段PN中点的轨迹是什么，并求出该轨迹方程。
【答案】（1）解：由两点式可知，对角线 所在直线的方程为 ，
整理得
（2）解：设G为外接圆的圆心，则G为AC的中点，∴G 即（2，0）
设r为外接圆半径，则r= ， ∴r=
∴外接圆方程为
（3）解：设P点坐标 ，线段PN中点M坐标为（x，y），则 ，
∴①∵ 为外接圆上一点 ∴ 将①代入整理得： ，
∴该轨迹为以原点为圆心， 为半径的圆，轨迹方程为 。
【知识点】直线的两点式方程；直线的一般式方程；轨迹方程；圆方程的综合应用
【解析】【分析】(1)由题可知A点和C点的坐标，可根据两点式求解直线方程。
（2）首先根据矩形外接圆的特点求出外接圆的圆心，即为AC的中点，可求得圆心坐标，再依据外接圆半径与矩形的关系求得半径，最后根据圆心和半径求得外接圆方程。
（3）首先用PN中点和N点来表示P点，又由于P点是外接圆上的一点，将P点代入到外接圆方程中，即求得PN中点的轨迹方程。
19．已知以点C为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0上．设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．
【答案】解：∵线段AB的中点为(1,2)，直线AB的斜率为1，
∴线段AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)，即y＝－x＋3.
联立 解得
即圆心C为(－3,6)，
则半径r＝ ＝2 .
又|AB|＝ ＝4 ，
∴圆心C到AB的距离d＝ ＝4 ，
∴点P到AB的距离的最大值为d＋r＝4 ＋2 ，
∴△PAB的面积的最大值为 ×4 ×(4 ＋2 )＝16＋8 .
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆方程的综合应用
【解析】【分析】 依题意，所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x+3y-15=0的交点，求出圆心与半径，
求出|AB|，圆心到AB的距离d，求出P到AB距离的最大值d+r，即可求△PAB的面积的最大值．
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