湘教版九年级数学上册 3.4 相似三角形的判定与性质（1） 同步练习
一、选择题
1．如图，DE∥BC，AD：DB=2：1，那么△ADE与△ABC的相似比为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AD：DB=2：1，
∴ = ．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE与△ABC的相似比= = ．
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的判定定理，可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边的比表示出三角形的相似比。
2．两相似三角形对应高长的比为3：4，则对应中线长的比为（ ）
A．3：4 B．9：16 C． ：2 D．4：3
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两相似三角形对应高长的比为3：4，
∴此两个三角形的相似比为：3：4，
∴对应中线长的比为：3：4．
故答案为：A．
【分析】两个相似三角形对应中线比等于三角形的相似比。
3．把一个三角形变成和它相似的三角形，若面积扩大5倍，则边长扩大（ ）；若边长扩大5倍，则面积扩大（ ）
A．5倍，10倍 B．10倍，25倍 C． 倍，25倍 D．25倍，25倍
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：因为面积扩大了5倍，
所以边长扩大了 倍，边长扩大5倍，则面积扩大25倍．
故答案为：C
【分析】根据两个相似三角形的面积比为边长比的平方进行求解即可。
4．如图，△OED∽△OCB，且OE=6，EC=21，则△OCB与△OED的相似比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△OED∽△OCB，
∴△OCB与△OED的相似比即为OC与OE的比值，
又OE=6，EC=21，
∴OC：OE=（21﹣6）：6=15：6=5：2，
故答案为：B．
【分析】根据△OCB与△OED的相似比即为三角形的高OC与OE的比值，据此进行解答即可。
5．已知△ABC∽△A′B′C′， ，AB边上的中线CD长4cm，△ABC的周长20cm，则△A′B′C′的周长和A′B′边上的中线C′D′分别长（ ）
A．10cm，2cm B．40cm，8cm C．40cm，2cm D．10cm，8cm
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，设△A′B′C′的周长为x
则 ，解得x=40
又 ，CD=4cm
∴C′D′=8cm
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的周长比等于对应边的比、相似三角形的中线比也等于对应边的比，据此解答即可。
6．两个相似三角形的对应边的比是2：3，周长之和是20，那么这两个三角形周长分别为（ ）
A．8和12 B．9和11 C．7和13 D．8和15
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的对应边的比是2：3，
∴这两个三角形周长比为：2：3，
∵周长之和是20，
∴这两个三角形周长分别为：20× =8，20× =12．
故答案为：A
【分析】根据相似三角形的周长比等于对应边的比求解。
7．下列三种方法：①相似三角形对应高的平分线的比等于相似比；②相似三角形对应高的比等于周长比；③周长之比等于1的两个三角形全等，其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：因为：⑴相似三角形周长的比等于相似比．
⑵相似三角形面积的比等于相似比的平方．
⑶相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
所以②正确，①错误，③正确．
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的性质解答即可。
8．如图，已知△ABC，D，E分别是AB，AC边上的点．AD=3cm，AB=8cm，AC=10cm．若△ADE∽△ABC，则AE的值为（ ）
A． cm B． cm或 cm
C． cm或 cm D． cm
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：连接DE，
∵△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=AE：AC
∴3：8=AE：10
∴AE=
故答案为：A．
【分析】连接DE，可证△ADE∽△ABC，通过对应边成比例，求出AE的长度。
二、填空题
9．两个相似三角形对应中线的比为1：4，它们的周长之差为27cm，则较大的三角形的周长为 cm．
【答案】36
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：令较大的三角形的周长为xcm．
小三角形的周长为（x﹣27）cm，
由两个相似三角形对应中线的比为1：4得，
1：4=（x﹣27）：x，
解之得x=36cm．
故答案为：36．
【分析】相似三角形周长比等于对应中线比，利用三角形的周长比，求解出大三角形的周长。
10．已知△ABC∽△A′B′C′，且它们的周长比为1：2，它们的面积比为 ．
【答案】1：4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且它们的周长比为1：2，
∴它们的相似比为1：2，
∴它们的面积比为1：4．
故答案为：1：4
【分析】根据相似三角形的面积比等于周长比的平方求解。
11．如图，已知△ABC∽△DCA，则 = = ．
【答案】；
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC∽△DCA，
∴ = = ．
故答案为： ；
【分析】根据相似三角形对应边成比例求解即可。
12．等腰△ABC的顶角是36°，若△ABC∽△A’B’C’，那么△A′B′C′的底角是 度．
【答案】72
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：因为△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’的顶角也是36°，
则底角为（180°﹣36°）÷2=72°
故答案为：72
【分析】相似三角形的对应角是相等的，通过等腰三角形的性质求出底角度数。
13．如图中两三角形相似，则x= ．
【答案】2
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由图形可得 = ，
解得x=2．
故答案为：2．
【分析】相似三角形的对应边与对应角相等，求出x的值。
14．已知有两个三角形相似，一个边长分别为2，3，4，另一个的对应边长分别为x，y，12，则x= ，y= ．
【答案】6；9
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：因为相似三角形对应边成比例，所以 ，则x=6，y=9．
故答案为：6；9
【分析】根据相似三角形对应边成比例，据此进行解答即可。
15．△ABC的三边分别为 、 、2，△A′B′C′的两边长分别为2和2 ，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边的长是 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设△A′B′C′的第三边的长为x，
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴ = = ，解得x=2 ，
即△A′B′C′的第三边的长是2 ．
故答案为2 ．
【分析】根据相似三角形对应边成比例，求得第三边的长。
三、解答题
16．如图，已知△ABC∽△AED，AD=5cm，AC=10cm，AE=6cm，∠A=66°，∠ADE=65°，求AB的长及∠C的度数．
【答案】解：∵△ABC∽△AED，∠ADE=65°，
∴∠ADE=∠C=65°，
∵ ，
∴ = ，
解得：AB=12cm
答：AB的长为12cm，∠C的度数为65°。
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形对应边成比例以及对应角相等，求解出AB的长以及∠C的度数。
17．如图，已知以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，且AD=3，DE=2.5，AE=4，AC=6，∠AED=∠B，求△ABC的周长．
【答案】解：∵△ABC∽△AED，
∴ = = ，即 = = ，
∴AB=8，BC=5，
∴AB+BC+AC=8+5+6=19，
即△ABC的周长为19
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】通过相似三角形的对应边成比例，求得边长和周长。
18．如图，已知△AOB∽△DOC，OA=2，AD=9，OB=5，DC=12．求AB，OC的长．
【答案】解：∵OA=2，AD=9，
∴OD=9﹣2=7，
∵△AOB∽△DOC，
∴ = = ，
∵OA=2，OB=5，DC=12，
∴ = = ，解得OC= ，AB= ．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形的性质，对应边成比例，求得AB的值。
19．已知△ABC中，AB=15cm，BC=21cm，AC=30cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最长边长为40cm，求△A′B′C′的其余两边的长．
【答案】解：设△A′B′C′的其余两边的长度分别是x，y，
根据题意，得 = ， = ，
解得x=20，y=28，
答：△A′B′C的其余两边的长分别是20cm和28cm．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据相似三角形对应边成比例，求出△A′B′C′的其余两边的长度。
20．两个相似三角形的一对对应边长分别是24cm和12cm．
（1）若它们的周长和是120cm，则这两个三角形的周长分别为多少？
（2）若它们的面积差是420cm2，则这两个三角形的面积分别为多少？
【答案】（1）解：设这两个三角形的周长分别是x、y，根据题意得
，
解得x=80，y=40，
答：这两个三角形的周长分别是80，40
（2）解：设这两个三角形的面积分别是S1、S2，根据题意得
，
解得S1=560，S2=140，
答：这两个三角形的面积分别是560，140
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用相似三角形的周长比等于对应边长的比，以及周长和，求出两个三角形的周长。（2）根据面积差以及面积比，求出两个三角形的面积。
21．已知：如图，△ADE∽△ABC，AB=10cm，AD=6cm，BC=12cm，∠A=56°，∠ADE=40°．求：∠ACB的度数及DE的长。
【答案】解：△AED中已知，
∵∠A=56°，∠ADE=40°，
∴∠AED=84°．
∵△ADE∽△ABC，
∴∠ACB=∠AED=84°， ．
∴ = ．
∴DE=7.2（cm）
答：∠ACB的度数是84°，DE是7.2 cm。
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形的对应边成比例、对应角相等，据此进行解答即可。
22．已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k．
（1）如果CD和C′D′是它们的对应高，那么 等于多少？
（2）如果CD和C′D′是它们的对应角平分线，那么 等于多少？如果CD和C′D′是它们的对应中线呢？
【答案】（1）解：相似三角形的相似比等于其对应高的比，
∴ =k
（2）解：当其为角平分线时， =k．
当其为中线时， =k
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的相似比等于对应高的比求解。（2）相似三角形的对应角平分线以及对应中线都等于相似三角形的相似比。
1 / 1湘教版九年级数学上册 3.4 相似三角形的判定与性质（1） 同步练习
一、选择题
1．如图，DE∥BC，AD：DB=2：1，那么△ADE与△ABC的相似比为（ ）
A． B． C． D．2
2．两相似三角形对应高长的比为3：4，则对应中线长的比为（ ）
A．3：4 B．9：16 C． ：2 D．4：3
3．把一个三角形变成和它相似的三角形，若面积扩大5倍，则边长扩大（ ）；若边长扩大5倍，则面积扩大（ ）
A．5倍，10倍 B．10倍，25倍 C． 倍，25倍 D．25倍，25倍
4．如图，△OED∽△OCB，且OE=6，EC=21，则△OCB与△OED的相似比是（ ）
A． B． C． D．
5．已知△ABC∽△A′B′C′， ，AB边上的中线CD长4cm，△ABC的周长20cm，则△A′B′C′的周长和A′B′边上的中线C′D′分别长（ ）
A．10cm，2cm B．40cm，8cm C．40cm，2cm D．10cm，8cm
6．两个相似三角形的对应边的比是2：3，周长之和是20，那么这两个三角形周长分别为（ ）
A．8和12 B．9和11 C．7和13 D．8和15
7．下列三种方法：①相似三角形对应高的平分线的比等于相似比；②相似三角形对应高的比等于周长比；③周长之比等于1的两个三角形全等，其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
8．如图，已知△ABC，D，E分别是AB，AC边上的点．AD=3cm，AB=8cm，AC=10cm．若△ADE∽△ABC，则AE的值为（ ）
A． cm B． cm或 cm
C． cm或 cm D． cm
二、填空题
9．两个相似三角形对应中线的比为1：4，它们的周长之差为27cm，则较大的三角形的周长为 cm．
10．已知△ABC∽△A′B′C′，且它们的周长比为1：2，它们的面积比为 ．
11．如图，已知△ABC∽△DCA，则 = = ．
12．等腰△ABC的顶角是36°，若△ABC∽△A’B’C’，那么△A′B′C′的底角是 度．
13．如图中两三角形相似，则x= ．
14．已知有两个三角形相似，一个边长分别为2，3，4，另一个的对应边长分别为x，y，12，则x= ，y= ．
15．△ABC的三边分别为 、 、2，△A′B′C′的两边长分别为2和2 ，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边的长是 ．
三、解答题
16．如图，已知△ABC∽△AED，AD=5cm，AC=10cm，AE=6cm，∠A=66°，∠ADE=65°，求AB的长及∠C的度数．
17．如图，已知以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，且AD=3，DE=2.5，AE=4，AC=6，∠AED=∠B，求△ABC的周长．
18．如图，已知△AOB∽△DOC，OA=2，AD=9，OB=5，DC=12．求AB，OC的长．
19．已知△ABC中，AB=15cm，BC=21cm，AC=30cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最长边长为40cm，求△A′B′C′的其余两边的长．
20．两个相似三角形的一对对应边长分别是24cm和12cm．
（1）若它们的周长和是120cm，则这两个三角形的周长分别为多少？
（2）若它们的面积差是420cm2，则这两个三角形的面积分别为多少？
21．已知：如图，△ADE∽△ABC，AB=10cm，AD=6cm，BC=12cm，∠A=56°，∠ADE=40°．求：∠ACB的度数及DE的长。
22．已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k．
（1）如果CD和C′D′是它们的对应高，那么 等于多少？
（2）如果CD和C′D′是它们的对应角平分线，那么 等于多少？如果CD和C′D′是它们的对应中线呢？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AD：DB=2：1，
∴ = ．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE与△ABC的相似比= = ．
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的判定定理，可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边的比表示出三角形的相似比。
2．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两相似三角形对应高长的比为3：4，
∴此两个三角形的相似比为：3：4，
∴对应中线长的比为：3：4．
故答案为：A．
【分析】两个相似三角形对应中线比等于三角形的相似比。
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：因为面积扩大了5倍，
所以边长扩大了 倍，边长扩大5倍，则面积扩大25倍．
故答案为：C
【分析】根据两个相似三角形的面积比为边长比的平方进行求解即可。
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△OED∽△OCB，
∴△OCB与△OED的相似比即为OC与OE的比值，
又OE=6，EC=21，
∴OC：OE=（21﹣6）：6=15：6=5：2，
故答案为：B．
【分析】根据△OCB与△OED的相似比即为三角形的高OC与OE的比值，据此进行解答即可。
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，设△A′B′C′的周长为x
则 ，解得x=40
又 ，CD=4cm
∴C′D′=8cm
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的周长比等于对应边的比、相似三角形的中线比也等于对应边的比，据此解答即可。
6．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的对应边的比是2：3，
∴这两个三角形周长比为：2：3，
∵周长之和是20，
∴这两个三角形周长分别为：20× =8，20× =12．
故答案为：A
【分析】根据相似三角形的周长比等于对应边的比求解。
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：因为：⑴相似三角形周长的比等于相似比．
⑵相似三角形面积的比等于相似比的平方．
⑶相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
所以②正确，①错误，③正确．
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的性质解答即可。
8．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：连接DE，
∵△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=AE：AC
∴3：8=AE：10
∴AE=
故答案为：A．
【分析】连接DE，可证△ADE∽△ABC，通过对应边成比例，求出AE的长度。
9．【答案】36
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：令较大的三角形的周长为xcm．
小三角形的周长为（x﹣27）cm，
由两个相似三角形对应中线的比为1：4得，
1：4=（x﹣27）：x，
解之得x=36cm．
故答案为：36．
【分析】相似三角形周长比等于对应中线比，利用三角形的周长比，求解出大三角形的周长。
10．【答案】1：4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且它们的周长比为1：2，
∴它们的相似比为1：2，
∴它们的面积比为1：4．
故答案为：1：4
【分析】根据相似三角形的面积比等于周长比的平方求解。
11．【答案】；
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC∽△DCA，
∴ = = ．
故答案为： ；
【分析】根据相似三角形对应边成比例求解即可。
12．【答案】72
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：因为△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’的顶角也是36°，
则底角为（180°﹣36°）÷2=72°
故答案为：72
【分析】相似三角形的对应角是相等的，通过等腰三角形的性质求出底角度数。
13．【答案】2
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由图形可得 = ，
解得x=2．
故答案为：2．
【分析】相似三角形的对应边与对应角相等，求出x的值。
14．【答案】6；9
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：因为相似三角形对应边成比例，所以 ，则x=6，y=9．
故答案为：6；9
【分析】根据相似三角形对应边成比例，据此进行解答即可。
15．【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设△A′B′C′的第三边的长为x，
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴ = = ，解得x=2 ，
即△A′B′C′的第三边的长是2 ．
故答案为2 ．
【分析】根据相似三角形对应边成比例，求得第三边的长。
16．【答案】解：∵△ABC∽△AED，∠ADE=65°，
∴∠ADE=∠C=65°，
∵ ，
∴ = ，
解得：AB=12cm
答：AB的长为12cm，∠C的度数为65°。
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形对应边成比例以及对应角相等，求解出AB的长以及∠C的度数。
17．【答案】解：∵△ABC∽△AED，
∴ = = ，即 = = ，
∴AB=8，BC=5，
∴AB+BC+AC=8+5+6=19，
即△ABC的周长为19
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】通过相似三角形的对应边成比例，求得边长和周长。
18．【答案】解：∵OA=2，AD=9，
∴OD=9﹣2=7，
∵△AOB∽△DOC，
∴ = = ，
∵OA=2，OB=5，DC=12，
∴ = = ，解得OC= ，AB= ．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形的性质，对应边成比例，求得AB的值。
19．【答案】解：设△A′B′C′的其余两边的长度分别是x，y，
根据题意，得 = ， = ，
解得x=20，y=28，
答：△A′B′C的其余两边的长分别是20cm和28cm．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据相似三角形对应边成比例，求出△A′B′C′的其余两边的长度。
20．【答案】（1）解：设这两个三角形的周长分别是x、y，根据题意得
，
解得x=80，y=40，
答：这两个三角形的周长分别是80，40
（2）解：设这两个三角形的面积分别是S1、S2，根据题意得
，
解得S1=560，S2=140，
答：这两个三角形的面积分别是560，140
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用相似三角形的周长比等于对应边长的比，以及周长和，求出两个三角形的周长。（2）根据面积差以及面积比，求出两个三角形的面积。
21．【答案】解：△AED中已知，
∵∠A=56°，∠ADE=40°，
∴∠AED=84°．
∵△ADE∽△ABC，
∴∠ACB=∠AED=84°， ．
∴ = ．
∴DE=7.2（cm）
答：∠ACB的度数是84°，DE是7.2 cm。
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形的对应边成比例、对应角相等，据此进行解答即可。
22．【答案】（1）解：相似三角形的相似比等于其对应高的比，
∴ =k
（2）解：当其为角平分线时， =k．
当其为中线时， =k
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的相似比等于对应高的比求解。（2）相似三角形的对应角平分线以及对应中线都等于相似三角形的相似比。
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