湘教版九年级数学上册 3.2 平行线分线段成比例 同步练习
一、选择题
1．如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（ ）
A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG= GC D．EG=2GC
2．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若 = ，则 =（ ）
A． B． C． D．1
3．如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于E，则下列结论不正确的是（ ）
A．BC=3DE B． =
C．△ADE∽△ABC D．S△ADE= S△ABC
4．（2016九下·广州期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．
6．（2016九下·大庆期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，若 = ，则 =（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC的值是（ ）
A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5
8．如图，AD∥BC，AD⊥AB，点A，B在y轴上，CD与x轴交于点E（2，0），且AD=DE，BC=2CE，则BD与x轴交点F的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2018·舟山）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3，于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知 ，则 = 。
10．如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC=1：2，DE=3，则EF的长为 ．
11．如图，在△ABC中，若DE∥BC， = ，DE=4，则BC的长是 ．
12．如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若 = ，AD=10，则AO= ．
13．如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且 ，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F．若AB=15，则EF= ．
14．如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，已知AB=4，CD=3，OD=2，那么线段OA的长为 ．
15．（2017·松北模拟）如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC= ．
三、解答题
16．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求 的值．
17．如图，在△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC，DE∥BC．
求证：DE=EC．
18．如图，在正方形ABCD中，E是AB的中点，连接CE，过B作BF⊥CE交AC于F．求证：CF=2FA．
19．已知：如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE∥CD交AC的延长线于点E．
（1）求证：BC=CE；
（2）求证： ．
20．如图，已知E是平行四边形ABCD中DA边的延长线上一点，且AE=AD，连接EC分别交AB，BE于点F、G．
（1）求证：BF=AF；
（2）若BD=12cm，求DG的长．
21．如图所示，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．
（1）说明点G是线段BC的一个三等分点；
（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（保留作图痕迹，不必证明）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】根据DB=4FB，找出EG与GC的比例关系。
2．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解： ∵a∥b∥c，
∴ = = ．
故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例可得出。
3．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵BD=2AD，
∴AB=3AD，
∵DE∥BC，
∴ = = ，
∴BC=3DE，A结论正确；
∵DE∥BC，
∴ = ，B结论正确；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，C结论正确；
∵DE∥BC，AB=3AD，
∴S△ADE= S△ABC，D结论错误，
故答案为：D．
【分析】A、B、C三个选项可根据平行线分线段成比例求得；根据相似三角形的面积比为边长比的平方，所以得知D错误。
4．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ，
即 ，
解得：EC=2，
故选：B．
【分析】根据平行线分线段成比例可得 ，代入计算即可解答．
5．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AG=2，GB=1，
∴AB=AG+BG=3，
∵直线l1∥l2∥l3，
∴ = ，
故答案为：D．
【分析】根据平行线分线段成比例可求得比值。
6．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = = ，
故选C．
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．
7．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：过点D作DF∥CA交BE于F，如图，
∵DF∥CE，
∴ = ，
而BD：DC=2：3，
∴ = ，则CE= DF，
∵DF∥AE，
∴ = ，
∵AG：GD=4：1，
∴ = ，则AE=4DF，
∴ = = ．
故答案为：D．
【分析】做出辅助线，利用平行线分线段成比例的关系求出比值。
8．【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，设OF=a，AD=DE=x，CE=y，则BC=2y，
则 = = ，
即 = ，
xy=a（x+y），
又∵ = ，
即 = ，2xy=（2﹣a）（x+y），
∴2a（x+y）=（2﹣a）（x+y）且x+y≠0，
∴2a=（2﹣a），
解得a= ．
故点F的横坐标为 ．
故答案为：A．
【分析】设出各个边长的长度，根据AD∥BC，平行线分线段成比例的关系，得出比值，进而求得点F的横坐标。
9．【答案】2
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：由和BC=AC-AB，
则，
因为直线l1∥l2∥l3，
所以=2
故答案为2
【分析】由和BC=AC-AB，可得的值；由平行线间所夹线段对应成比例可得
10．【答案】6
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵a∥b∥c，
∴ = ，
∴ = ，
∴EF=6，
故答案为：6．
【分析】根据平行线分线段成比例的关系，通过DE与EF的比值，求出EF的值。
11．【答案】10cm
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = ，
又∵ = ，
∴ = ，
∴ = ，
∴BC=10cm．
故答案为：10cm．
【分析】根据平行线分线段成比例的关系，得出各线段的比例关系，求出BC的长度。
12．【答案】4
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴ = = ，即 = ，
解得，AO=4，
故答案为：4．
【分析】根据平行线分线段成比例的关系，得出，求出AO的值。
13．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = ，
∵ = ，
∴ = ，即 = ，
∵AB=15，
∴AE=10，
∵DF∥CE，
∴ = ，即 = ，
解得：AF= ，
则EF=AE﹣AF=10﹣ = ，
故答案为：
【分析】根据平行线分线段成比例的关系，得出比例关系，然后通过计算，得出比值，最后计算出EF的长度。
14．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解： ∵AB∥CD，
∴OA：OD=AB：CD，即OA：2=4：3，
∴OA= ．
故答案为： ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理求解。
15．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴ ，
即 ，
解得：EC= ．
故答案为： ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可直接求解．
16．【答案】解：∵DE∥BC，
∴ = ，
∵AD=3，AB=5，
∴ =
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理直接求解。
17．【答案】证明：∵DE∥BC，
∴ = ．
又∵AB=AC，
∴DB=EC．
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠EBC．
而∵∠DBE=∠EBC，
∴∠DEB=∠DBE．
∴DB=DE．
∴DE=EC．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理，结合题目中所给的条件，求证出DE=EC。
18．【答案】证明：延长BF交AD于G，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=AD，∠DAB=∠ABC=90°，AD∥BC，∴∠ABG+∠CBG=90°，∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCE=90°，∴∠ABG=∠BCE，∴△ABG≌△BCE，∴AG=BE，∵BE= AB，∴AG= AB= BC，∴AG：BC=1：2，∵AD∥BC，∴FA：CF=AG：BC=1：2，∴CF=2FA．
【知识点】三角形全等的判定；平行线分线段成比例
【解析】【分析】延长BF交AD于G，根据全等三角形的判定定理得到△ABG≌△BCE，又根据AD∥BC，求出CF=2FA。
19．【答案】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD．
又∵BE∥CD，
∴∠CBE=∠BCD，∠CEB=∠ACD．
∵∠ACD=∠BCD，
∴∠CBE=∠CEB．
故△BCE是等腰三角形，BC=CE．
（2）证明：∵BE∥CD，根据平行线分线段成比例定理可得 = ，
又∵BC=CE，
∴ =
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的定义，证明出△BCE是三角形，得出BC=CE。（2）根据平行线分线段成比例定理求出比例关系。
20．【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD=BC．∴∠E=∠BCF．∵AE=AD，∴AE=BC．∵∠AFE=∠BFC，
∴△AEF≌△BCF．
∴BF=AF．
（2）解：∵BC∥DE，
∴BC：DE=BG：DG．
∵DE=2BC，
∴DG=2BG．
∴DG= BD．
∵BD=12，
∴DG=8
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出△AEF≌△BCF，求出BF=AF。（2）根据平行线分线段成比例定理求出比例关系，求出DG。
21．【答案】（1）解：∵OE⊥BC，CD⊥BC，
∴OE∥CD．
∵△OEF∽△CDF，
∴ ．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴ ．
∴G是BC的三等分点
（2）解：依题意画图所示，
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形与矩形的性质，以及平行线分线段成比例定理求解。（2）连接DG，交AC于P点，做PR⊥BC交BC于R，R点为四等分点。
1 / 1湘教版九年级数学上册 3.2 平行线分线段成比例 同步练习
一、选择题
1．如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（ ）
A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG= GC D．EG=2GC
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】根据DB=4FB，找出EG与GC的比例关系。
2．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若 = ，则 =（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解： ∵a∥b∥c，
∴ = = ．
故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例可得出。
3．如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于E，则下列结论不正确的是（ ）
A．BC=3DE B． =
C．△ADE∽△ABC D．S△ADE= S△ABC
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵BD=2AD，
∴AB=3AD，
∵DE∥BC，
∴ = = ，
∴BC=3DE，A结论正确；
∵DE∥BC，
∴ = ，B结论正确；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，C结论正确；
∵DE∥BC，AB=3AD，
∴S△ADE= S△ABC，D结论错误，
故答案为：D．
【分析】A、B、C三个选项可根据平行线分线段成比例求得；根据相似三角形的面积比为边长比的平方，所以得知D错误。
4．（2016九下·广州期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ，
即 ，
解得：EC=2，
故选：B．
【分析】根据平行线分线段成比例可得 ，代入计算即可解答．
5．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AG=2，GB=1，
∴AB=AG+BG=3，
∵直线l1∥l2∥l3，
∴ = ，
故答案为：D．
【分析】根据平行线分线段成比例可求得比值。
6．（2016九下·大庆期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，若 = ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = = ，
故选C．
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．
7．如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC的值是（ ）
A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：过点D作DF∥CA交BE于F，如图，
∵DF∥CE，
∴ = ，
而BD：DC=2：3，
∴ = ，则CE= DF，
∵DF∥AE，
∴ = ，
∵AG：GD=4：1，
∴ = ，则AE=4DF，
∴ = = ．
故答案为：D．
【分析】做出辅助线，利用平行线分线段成比例的关系求出比值。
8．如图，AD∥BC，AD⊥AB，点A，B在y轴上，CD与x轴交于点E（2，0），且AD=DE，BC=2CE，则BD与x轴交点F的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，设OF=a，AD=DE=x，CE=y，则BC=2y，
则 = = ，
即 = ，
xy=a（x+y），
又∵ = ，
即 = ，2xy=（2﹣a）（x+y），
∴2a（x+y）=（2﹣a）（x+y）且x+y≠0，
∴2a=（2﹣a），
解得a= ．
故点F的横坐标为 ．
故答案为：A．
【分析】设出各个边长的长度，根据AD∥BC，平行线分线段成比例的关系，得出比值，进而求得点F的横坐标。
二、填空题
9．（2018·舟山）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3，于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知 ，则 = 。
【答案】2
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：由和BC=AC-AB，
则，
因为直线l1∥l2∥l3，
所以=2
故答案为2
【分析】由和BC=AC-AB，可得的值；由平行线间所夹线段对应成比例可得
10．如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC=1：2，DE=3，则EF的长为 ．
【答案】6
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵a∥b∥c，
∴ = ，
∴ = ，
∴EF=6，
故答案为：6．
【分析】根据平行线分线段成比例的关系，通过DE与EF的比值，求出EF的值。
11．如图，在△ABC中，若DE∥BC， = ，DE=4，则BC的长是 ．
【答案】10cm
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = ，
又∵ = ，
∴ = ，
∴ = ，
∴BC=10cm．
故答案为：10cm．
【分析】根据平行线分线段成比例的关系，得出各线段的比例关系，求出BC的长度。
12．如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若 = ，AD=10，则AO= ．
【答案】4
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴ = = ，即 = ，
解得，AO=4，
故答案为：4．
【分析】根据平行线分线段成比例的关系，得出，求出AO的值。
13．如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且 ，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F．若AB=15，则EF= ．
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = ，
∵ = ，
∴ = ，即 = ，
∵AB=15，
∴AE=10，
∵DF∥CE，
∴ = ，即 = ，
解得：AF= ，
则EF=AE﹣AF=10﹣ = ，
故答案为：
【分析】根据平行线分线段成比例的关系，得出比例关系，然后通过计算，得出比值，最后计算出EF的长度。
14．如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，已知AB=4，CD=3，OD=2，那么线段OA的长为 ．
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解： ∵AB∥CD，
∴OA：OD=AB：CD，即OA：2=4：3，
∴OA= ．
故答案为： ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理求解。
15．（2017·松北模拟）如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC= ．
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴ ，
即 ，
解得：EC= ．
故答案为： ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可直接求解．
三、解答题
16．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求 的值．
【答案】解：∵DE∥BC，
∴ = ，
∵AD=3，AB=5，
∴ =
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理直接求解。
17．如图，在△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC，DE∥BC．
求证：DE=EC．
【答案】证明：∵DE∥BC，
∴ = ．
又∵AB=AC，
∴DB=EC．
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠EBC．
而∵∠DBE=∠EBC，
∴∠DEB=∠DBE．
∴DB=DE．
∴DE=EC．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理，结合题目中所给的条件，求证出DE=EC。
18．如图，在正方形ABCD中，E是AB的中点，连接CE，过B作BF⊥CE交AC于F．求证：CF=2FA．
【答案】证明：延长BF交AD于G，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=AD，∠DAB=∠ABC=90°，AD∥BC，∴∠ABG+∠CBG=90°，∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCE=90°，∴∠ABG=∠BCE，∴△ABG≌△BCE，∴AG=BE，∵BE= AB，∴AG= AB= BC，∴AG：BC=1：2，∵AD∥BC，∴FA：CF=AG：BC=1：2，∴CF=2FA．
【知识点】三角形全等的判定；平行线分线段成比例
【解析】【分析】延长BF交AD于G，根据全等三角形的判定定理得到△ABG≌△BCE，又根据AD∥BC，求出CF=2FA。
19．已知：如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE∥CD交AC的延长线于点E．
（1）求证：BC=CE；
（2）求证： ．
【答案】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD．
又∵BE∥CD，
∴∠CBE=∠BCD，∠CEB=∠ACD．
∵∠ACD=∠BCD，
∴∠CBE=∠CEB．
故△BCE是等腰三角形，BC=CE．
（2）证明：∵BE∥CD，根据平行线分线段成比例定理可得 = ，
又∵BC=CE，
∴ =
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的定义，证明出△BCE是三角形，得出BC=CE。（2）根据平行线分线段成比例定理求出比例关系。
20．如图，已知E是平行四边形ABCD中DA边的延长线上一点，且AE=AD，连接EC分别交AB，BE于点F、G．
（1）求证：BF=AF；
（2）若BD=12cm，求DG的长．
【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD=BC．∴∠E=∠BCF．∵AE=AD，∴AE=BC．∵∠AFE=∠BFC，
∴△AEF≌△BCF．
∴BF=AF．
（2）解：∵BC∥DE，
∴BC：DE=BG：DG．
∵DE=2BC，
∴DG=2BG．
∴DG= BD．
∵BD=12，
∴DG=8
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出△AEF≌△BCF，求出BF=AF。（2）根据平行线分线段成比例定理求出比例关系，求出DG。
21．如图所示，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．
（1）说明点G是线段BC的一个三等分点；
（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（保留作图痕迹，不必证明）．
【答案】（1）解：∵OE⊥BC，CD⊥BC，
∴OE∥CD．
∵△OEF∽△CDF，
∴ ．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴ ．
∴G是BC的三等分点
（2）解：依题意画图所示，
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形与矩形的性质，以及平行线分线段成比例定理求解。（2）连接DG，交AC于P点，做PR⊥BC交BC于R，R点为四等分点。
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