2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数与最值（含答案）

2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数与最值
1．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣4，0），C（2，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
2．如图在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点、交反比例函数的图像于点，点在反比例函数的图像上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求面积的最大值．
3．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可利用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为．
(1)求S与x的函数关系式；
(2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少m；
(3)当的长是多少m时，S取得最大值，最大值是多少？
4．已知二次函数中，x与y的部分对应值如下表所示：
x … －4 －3 －1 0 …
y … m 0 0 －3 …
(1)表中的m＝______；
(2)求此二次函数的最大值．
5．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（4，5）与点B（0，﹣3），且与x轴交于点C、D．
(1)求该二次函数的表达式，以及与x轴的交点坐标．
(2)若点Q（m，n）在该二次函数图象上，
①求n的最小值；
②若点Q到x轴的距离小于3，请结合函数图象直接写出m的取值范围．
6．已知直线（）与抛物线相交于、两点（点在点的左侧）．

(1)不论取何值，直线必经过定点，直接写出点的坐标；
(2)如图，已知、两点关于抛物线的对称轴对称．
①求证：直线必经过一定点；
②当时，的最大值与最小值的差为2，求的值．
7．如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆，围成矩形．设矩形与墙垂直的一边长，面积为．

①当时，求的值；
②当取最大值时，求的值．
8．如图（1），一块钢板余料截面的两边为线段，，另一边曲线为抛物线的一部分，其中点为抛物线的顶点，于，以边所在直线为轴，边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，规定一个单位代表1米．已知米，米，米．
(1)求曲线所在抛物线的函数表达式；
(2)若在该钢板余料中截取一个一边长为3米的矩形，设该矩形的另一边长为米，求的取值范围；
(3)如图（2），若在该钢板余料中截取一个，其中点在抛物线上，记的面积为，求的最大值．
9．公司电商平台准备在2022年十一长假期间销售某种儿童玩具，市场调查反映：当它的售价为每件80元时，每天可卖出100件；售价每增加1元，每天销售量会减少2件．（售价不能超过每件100元），已知玩具的进价为60元．设售价增加x元，每天售出y件．
(1)请直接写出y与x之间的函数表达式；
(2)求当x为多少时，平台每天销售这种玩具可获利润2250元？
(3)设平台每天销售这种玩具可获利w元，求当x为多少时，w最大，最大值是多少？
10．如图，已知二次函数的图像经过点．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)当x取何值时，该二次函数取得最大值？最大值是多少？
(3)当时，请写出x的取值范围．
11．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，交于点，连接．
(1)求的值和反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出当时，不等式的解集；
(3)直线沿轴方向平移，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？
12．如图，在平面直角坐标系中，过点、两点的抛物线的顶点C在x轴正半轴上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点C的坐标；
(3)为线段AB上一点，，作轴交抛物线于点M，求PM的最大值？
13．已知：如图，二次函数与x轴交于点和点．

(1)求抛物线的解析式．
(2)当时，求二次函数的最大值和最小值．
(3)点P是抛物线上一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的纵坐标为，已知点P与点Q不重合，且线段的长度随m的增大而减小．
①求m的取值范围．
②当时，在线段的右边作正方形，直接写出正方形与二次函数的图象交点的个数及对应的m的取值范围．
14．如图1，抛物线与x轴交于点x和点，与y轴交于点C，且，P为上方抛物线上一动点，其横坐标为m．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若，求点P的坐标；
(3)如图2，过点P作，求的最大值．
15．已知抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为C，连接，点P在线段下方的抛物线上运动．

(1)如图1，连接，，若，求点P的坐标．
(2)如图2，过点P作轴交于点Q，交于点H，求周长的最大值．
(3)如图3，直线，分别与y轴交于点E，F，当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1） ；（2）S关于m的函数关系式为 ， S的最大值为4．
2．（1）；（2）
3．(1)
(2)当为时，面积为
(3)当的长是米时，围成的花圃的面积最大，最大面积是平方米
4．(1)-3
(2)1
5．(1)，与x轴的交点坐标为和
(2)①-4；②1﹣＜m＜0或2＜m＜1+
6．(1)
(2)②或
7．①或；②
8．(1)
(2)
(3)
9．(1)
(2)5元
(3)当x为15元时w最大，最大值是2450元
10．(1)
(2)，最大值为4
(3)
11．(1)，
(2)；
(3)时，的面积最大，最大值为．
12．(1)
(2)
(3)
13．(1)
(2)有最大值5，最小值
(3)①或；②当时，正方形与抛物线有一个交点；当，时，正方形与抛物线有两个交点；当时，正方形与抛物线有三个交点
14．(1)抛物线的解析式
(2)点的坐标为或
(3)的最大值为
15．(1)或；
(2)最大值为；
(3)当点P运动时，为定值，定值为8．
答案第1页，共2页