2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（特殊三角形）（含答案）

2024年中考数学高频压轴题训练——
二次函数压轴题（特殊三角形）
1．如图抛物线经过直线的坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C．
（1）求此抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标：
（2）求的面积．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是(3，0)，点C的坐标是(0，﹣3)，动点P在抛物线上．
（1）= ，c= （直接填写结果）
（2）是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
3．如图，抛物线经过A、B、C三点，点、，点B在y轴上．点P是直线下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线于点E，动点P在什么位置时，最大，求出此时P点的坐标；
(3)点Q是抛物线对称轴上一动点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出点Q坐标．
4．与x轴交于A（-4，0），B(2，0)与y轴交于点C，点P为直线AC上方抛物线上的动点．
(1)求抛物线解析式．
(2)如图，求△APC面积的最大值．
(3)如图，点M为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使以点M、A、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．
5．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，且，．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点P是抛物线位于第二象限上的点，过点P作轴，交直线AB于点Q，交x轴于点H，过点P作PD⊥AB于点D．
①求线段PD的最大值；
②若时，请求出此时点P的坐标．
6．如图1，直线l： y＝x+4与x轴，y轴分别交于A、B两点．二次函数y = ax22ax2（a > 0）的图像经过点A，交y轴于点C．
　　 　　 　　
（1　）则点C　坐　标为 _________ ；抛物线对称轴是直线 _________ ；a的值是 _________ ；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，经过点M作x轴的垂线MD，交直线l于点E，过点C作CD⊥MD，垂足为D，连接CM．设点M的横坐标为m．
①当点M位于第一象限的抛物线上，且△CDM是等腰直角三角形时，CM交直线于点F．设点F至直线DM的距离d1，到y轴的距离为d2，求的值．
②如图2，将△CDM绕点C逆时针旋转得到△C，且旋转角∠MC = ∠OAB，当点M的对应点落在y轴上时，请直接写出点M的横坐标m的值．
7．如图1，已知抛物线的顶点坐标为（－1，）与y轴交于A（0，3），交直线：x＝－2于点B，点C（0，2）在y轴上，连接BC并延长，交抛物线于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，E为直线上位于点B下方一动点，连接DE、BD、AD，若，求点E的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，P为射线EB上一点，作PQ⊥直线DE于点Q，若△APQ为直角三角形，请求出P点的坐标；
8．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM＋BM最小时，求点M的坐标．
（3）抛物线上是否存在点P，使△ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
9．已知：如图，二次函数的图象与轴交于、两点，其中点坐标为，点，另抛物线经过点，为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的面积．
（3）是否存在在抛物线上的点使得的面积为15，如果存在求出点的坐标，若不存在请说明理由．
10．如图，已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标；
（3）若点Q在抛物线上，当△ABQ是以AB为直角边的直角三角形时，求点Q的坐标．
11．在平面直角坐标系中，坐标原点为O，已知抛物线与y轴交于点A，它的顶点为B，连接，则称为抛物线的伴生三角形，直线为抛物线的伴生直线．

（1）如图1，求抛物线的伴生直线的解析式．
（2）已知抛物线的伴生直线为，求k的值．
（3）如图2，若抛物线的伴生直线是，且伴生三角形是直角三角形，求此抛物线的解析式．
12．如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中，边AB在x轴负半轴上，点C在y轴的正半轴上，AB=10．，抛物线经过点B，C，D．
(1)求抛物线的解析式：
(2)若直线EF与BC平行，与同物线只有一个交点，求直线EF的解析式；
(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使三角形PBC是以BC为腰的等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．

13．已知：直线与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线y＝x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 （1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AE下方抛物线上一动点，求△PAE面积的最大值；
（3）动点Q在x轴上移动，当△QAE是直角三角形时，直接写出点Q的坐标；
14．如图所示，抛物线y1＝﹣x2与直线y2＝﹣x﹣交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）根据图象回答：
①当x取何值时，y1的值随x的增大而增大？
②当x取何值时，y1＜y2？
（3）求△AOB的面积．
（4）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（5）抛物线上找一点Q，使得△ABQ是直角三角形，请直接写出Q点横坐标
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于A（-1，0）、B（4，0）、C（0，-4）三点，点P是直线BC下方抛物线上的一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）动点P运动到什么位置时，四边形PBOC面积最大？求出此时点P坐标和四边形PBOC的最大面积．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）y=x2-2x-3，顶点D的坐标为（1，-4）；（2）6．
2．（1）-2，-3；（2）存在，
3．(1)
(2)
(3)或或或
4．(1)
(2)3
(3)存在，点坐标为(-1，-4)或（-1，）或（-1，）或（-1，）．
5．(1)
(2)①PD的最大值为；②
6．（1），，；（2）；（3）
7．（1）；（2）E(-2,-1)；（3）（-2，1）或（-2，9）
8．（1）y＝﹣x2＋5x＋6；（2）；（3）存在4个，P的坐标为（﹣2，﹣8）或（4，10）或（2＋2，4＋2）或（2﹣2，4﹣2）．
9．（1）；（2）；（3）存在，，，，
10．（1）A(-1,0)，B(0,-3)；（2）；（3）Q或Q．
11．（1）；（2）；（3）或．
12．(1)；(2) ；(3)存在，P点坐标为或 或或
13．（1）；（2）；（3）Q（1，0）或（，0）
14．（1）A（﹣，﹣），B（3，﹣9）；（2）①当x＜0时，y1的值随x的增大而增大，②当x＞3或x＜﹣时，y1＜y2；（3）；（4）(-3，0)，(，0），（，0），（，0）；（5）(，)，(，)．
15．（1）；（2）存在满足条件的P点，其坐标为；（3）16．
答案第1页，共2页