第七章 复数全章综合测试卷（基础篇）
【人教A版2019】
考试时间：90分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023·高一课时练习）下列命题中正确的是（ ）．
A．；
B．；
C．若x，，则的充要条件是；
D．若，则．
2．（5分）（2023秋·福建龙岩·高三期末）已知复数是纯虚数,则实数=（ ）
A．－1 B．1 C．－2 D．2
3．（5分）（2023·高一课时练习）以下不满足复数的三角形式的是（ ）．
A．；
B．；
C．；
D．．
4．（5分）（2022·全国·高三专题练习）设，其中为实数，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（5分）（2022春·黑龙江·高一期中）已知为虚数单位，复数，则下列命题不正确的是（ ）
A．的共轭复数为 B．的虚部为
C．在复平面内对应的点在第一象限 D．
6．（5分）（2023秋·河南郑州·高三期末）已知在复平面内，复数z所对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）设复数，则（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）（2023春·福建泉州·高三阶段练习）已知复数是关于的方程的一个根，则（ ）
A．4 B． C． D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）以下四种说法正确的是（ ）
A．=i
B．复数的虚部为
C．若z=，则复平面内对应的点位于第二象限
D．复平面内，实轴上的点对应的复数是实数
10．（5分）（2022秋·河南许昌·高三阶段练习）已知复数z满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．复数z的模为 B．复数z在复平面内所对应的点在第四象限
C．复数z的共轭复数为 D．
11．（5分）（2022春·福建三明·高一期末）设复数，其中i是虚数单位，下列判断中正确的是（ ）
A． B．
C．z是方程的一个根 D．满足最小正整数n为3
12．（5分）（2022春·江苏常州·高一期末）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式（为虚数单位，为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（ ）
A．表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限
B．
C．
D．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023·高三课时练习）复数与在复平面上对应的向量分别为与，则向量对应的复数是 .
14．（5分）（2023·高一课时练习）把复数（i为虚数单位）改写成三角形式为 ．
15．（5分）（2022春·河南濮阳·高一阶段练习）设复数满足，则 ．
16．（5分）（2022春·河南信阳·高一阶段练习）下面给出的几个关于复数的命题，
①若是纯虚数，则实数
②复数是纯虚数
③复数在复平面内对应的点位于第三象限
④如果复数满足，则的最小值是2
以上命题中，正确命题的序号是 .
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022春·上海浦东新·高一期末）已知复数满足，求复数.
18．（12分）（2023·高一课时练习）计算．
(1)；
(2)．
19．（12分）（2022·高一课时练习）求下列复数的模和辐角主值.
(1)；
(2).
20．（12分）（2022·全国·高一专题练习）下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．
(1)；
(2)；
(3)z3＝ －2(cos θ＋isin θ)．
21．（12分）（2022春·天津宁河·高一阶段练习）已知复数，．
(1)若z是实数，求m的值．
(2)若z是纯虚数，求m的值．
(3)若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；
22．（12分）（2023·高一课时练习）设复数是方程的一个根．
(1)求；
(2)设（其中i是虚数单位，），若的共轭复数满足，求．第七章 复数全章综合测试卷（基础篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023·高一课时练习）下列命题中正确的是（ ）．
A．；
B．；
C．若x，，则的充要条件是；
D．若，则．
【解题思路】根据复数的运算法则即可判断结果．
【解答过程】，故A 正确；
，故B错误；
若x，，若有；若有；
故是的充分不必要条件，C错误；
若，取则，故D错；
故选：A.
2．（5分）（2023秋·福建龙岩·高三期末）已知复数是纯虚数,则实数=（ ）
A．－1 B．1 C．－2 D．2
【解题思路】对复数进行化简,根据纯虚数的定义列出方程求解即可.
【解答过程】,
根据题意得,解得.
故选:A.
3．（5分）（2023·高一课时练习）以下不满足复数的三角形式的是（ ）．
A．；
B．；
C．；
D．．
【解题思路】逐一计算每个选项即可得答案.
【解答过程】对于A：，符合；
对于B：，符合；
对于C：，不符合；
对于D：，符合;
故选：C.
4．（5分）（2022·全国·高三专题练习）设，其中为实数，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】化简可得，然后利用“实对实，虚对虚”即可求解.
【解答过程】因为，
所以，
故，解得，.
故选：A.
5．（5分）（2022春·黑龙江·高一期中）已知为虚数单位，复数，则下列命题不正确的是（ ）
A．的共轭复数为 B．的虚部为
C．在复平面内对应的点在第一象限 D．
【解题思路】根据复数的定义和几何意义解决即可.
【解答过程】由题知，复数的共轭复数为，虚部为1，在复平面内对应的点为在第一象限，，故B错误,
故选：B.
6．（5分）（2023秋·河南郑州·高三期末）已知在复平面内，复数z所对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先得复数，再进行除法运算即可.
【解答过程】依题意，．
故选：A.
7．（5分）设复数，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由复数，利用复数的除法得到 ，再转化为三角形式求解.
【解答过程】解：因为复数，
所以，
，
，
，
所以，
故选：C.
8．（5分）（2023春·福建泉州·高三阶段练习）已知复数是关于的方程的一个根，则（ ）
A．4 B． C． D．
【解题思路】将代入方程，利用复数相等得到方程组解出，再利用模长公式求解即可.
【解答过程】由题意可得，
即，
所以，
所以，解得，
所以，
故选：C.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）以下四种说法正确的是（ ）
A．=i
B．复数的虚部为
C．若z=，则复平面内对应的点位于第二象限
D．复平面内，实轴上的点对应的复数是实数
【解题思路】利用复数的乘方运算计算判断A，C；利用复数的意义判断B；利用复数的几何意义判断D作答.
【解答过程】对于A，，A正确；
对于B，复数的虚部为，B正确；
对于C，，则，复平面内对应的点在y轴负半轴上，C不正确；
对于D，复平面内，实轴上的点对应的复数是实数，D正确.
故选：ABD.
10．（5分）（2022秋·河南许昌·高三阶段练习）已知复数z满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．复数z的模为 B．复数z在复平面内所对应的点在第四象限
C．复数z的共轭复数为 D．
【解题思路】根据复数的四则运算和几何意义求解即可.
【解答过程】因为，所以，
，
有，故A正确；
复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限，故B错误；
复数的共轭复数为，故C错误；
因为，故D正确，
故选:AD.
11．（5分）（2022春·福建三明·高一期末）设复数，其中i是虚数单位，下列判断中正确的是（ ）
A． B．
C．z是方程的一个根 D．满足最小正整数n为3
【解题思路】由共轭复数的定义写出，应用复数加法、乘方运算判断A、B；在复数域内求的根判断C；应用复数的三角表示有，即可判断最小正整数n判断D.
【解答过程】由题设，，则，，
所以A正确，B错误；
由的根为，故z是该方程的一个根，C正确；
由，则，故最小正整数n为3时，，正确.
故选：ACD.
12．（5分）（2022春·江苏常州·高一期末）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式（为虚数单位，为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（ ）
A．表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限
B．
C．
D．
【解题思路】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项．
【解答过程】解：对于A：，因为，所以，，
所以表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：由，，
所以，所以，选项D正确；
故选：BCD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023·高三课时练习）复数与在复平面上对应的向量分别为与，则向量对应的复数是 .
【解题思路】根据给定条件，求出、的坐标，进而求出的坐标即可作答.
【解答过程】因为复数与在复平面上对应的向量分别为与，
则，，因此,
所以向量对应的复数是.
故答案为：.
14．（5分）（2023·高一课时练习）把复数（i为虚数单位）改写成三角形式为 ．
【解题思路】根据复数三角表示的定义求解即可.
【解答过程】由题可得，且在第三象限，
所以辐角的主值为，
所以，
故答案为：.
15．（5分）（2022春·河南濮阳·高一阶段练习）设复数满足，则 ．
【解题思路】根据对数的除法运算求解复数，即可求得模长.
【解答过程】解：复数z满足，则，
所以.
故答案为：.
16．（5分）（2022春·河南信阳·高一阶段练习）下面给出的几个关于复数的命题，
①若是纯虚数，则实数
②复数是纯虚数
③复数在复平面内对应的点位于第三象限
④如果复数满足，则的最小值是2
以上命题中，正确命题的序号是 ②③ .
【解题思路】根据纯虚数的概念和复数的几何意义逐个检验可得
【解答过程】对于①，因为为纯虚数，所以，
解得，故①错误；
对于②，因为，所以，所以是纯虚数，故②正确；
对于③，因为，，所以在
复平面内对应的点在第三象限，故③正确；
对于④，由复数的几何意义知，表示复数z对应的点Z到点
和到点的距离之和，又因为，所以复数z对应的点Z在线段AB上，
而表示点Z到点的距离，
所以其最小值为，故④错误．
故答案为：②③．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022春·上海浦东新·高一期末）已知复数满足，求复数.
【解题思路】设，根据已知条件列方程，求得，进而求得.
【解答过程】设，所以，
代入方程得，
由复数相等的条件得，
解得，所以.
18．（12分）（2023·高一课时练习）计算．
(1)；
(2)．
【解题思路】（1）由复数的乘法与加法法则计算；
（2）由复数的乘法法则计算．
【解答过程】（1）；
（2）
19．（12分）（2022·高一课时练习）求下列复数的模和辐角主值.
(1)；
(2).
【解题思路】直接求出复数的模，然后根据其对应的点可得辐角主值.
【解答过程】（1）
，
∴复数z的模为32，辐角主值为.
（2）
，
则复数的模.
设辐角为，则，
∵点在第四象限，
∴，，
∴.
20．（12分）（2022·全国·高一专题练习）下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．
(1)；
(2)；
(3)z3＝ －2(cos θ＋isin θ)．
【解题思路】(1) 由复数的三角形式的特征判断即可；
(2) 由复数的三角形式的特征判断，求出复数的模和辐角可得答案；
(3) 由复数的三角形式的特征判断，求出复数的模和辐角可得答案.
【解答过程】(1)
解：符合三角形式的结构特征，是三角形式．
(2)
解：由“加号连”知，不是三角形式．
，
模，.复数对应的点在第三象限，所以取，
所以；
(3)
解：由“模非负”知，不是三角形式．
复平面上的点Z1(－2cos θ，－2sin θ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cos θ”已在前，不需要变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．
所以z3＝－2(cos θ＋isin θ)＝2[cos(π＋θ)＋isin (π＋θ)]．
21．（12分）（2022春·天津宁河·高一阶段练习）已知复数，．
(1)若z是实数，求m的值．
(2)若z是纯虚数，求m的值．
(3)若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；
【解题思路】（1）由复数的概念可得，解出即可得到结果；
（2）由复数的概念可得，解出即可得到结果；
（3）根据复数的几何意义，可得，解出不等式组即可得到结果.
【解答过程】（1）因为为实数，
所以，解得或.
（2）因为是纯虚数，所以有，解得.
（3）因为对应复平面上的点在第四象限，所以有，
解得.
22．（12分）（2023·高一课时练习）设复数是方程的一个根．
(1)求；
(2)设（其中i是虚数单位，），若的共轭复数满足，求．
【解题思路】（1）利用实系数一元二次方程的求根公式解得；
（2）根据复数的乘法运算及复数的模的运算可得，进而即得.
【解答过程】（1）因为，
所以，
所以，
所以或；
（2）由，可得，
当时，，
所以，解得，
当时，，
当时，.
