第七章 复数全章综合测试卷（提高篇）
【人教A版2019】
考试时间：90分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·高一课时练习）设复数和的辐角主值分别为和，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）（2022·高一课时练习）已知复数，，在复平面上对应的点分别为，，，若四边形为平行四边形（为复平面的坐标原点），则复数的模为（ ）
A． B．17 C． D．15
3．（5分）（2022秋·广西·高二阶段练习）设，满足，其在复平面对应的点为，求点构成的集合所表示的图形面积（ ）
A．1 B．5 C． D．
4．（5分）（2023秋·江西赣州·高三期末）若复数（a，，为其共轭复数），定义：.则对任意的复数，有下列命题：：；：；：；：若，则为纯虚数.其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（5分）（2022·全国·高一专题练习）已知复数满足且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（2022春·湖北武汉·高一期中）已知，“实系数一元二次方程的两根都是虚数”是“存在复数z同时满足且”的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充分必要 D．既非充分又非必要
7．（5分）（2022·全国·高三专题练习）欧拉公式（其中，为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，下列结论中正确的是（ ）
A．的实部为 B．在复平面内对应的点在第一象限
C． D．的共轭复数为
8．（5分）（2022·高一课时练习）下列命题正确的是（ ）
A．复数是关于的方程的一个根，则实数
B．设复数，在复平面内对应的点分别为，，若，则与重合
C．若，则复数对应的点在复平面的虚轴上(包括原点)
D．已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，若（是虚数单位，为复平面坐标原点，，），则
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022春·辽宁沈阳·高一阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．复数z满足
B．，，，则，中至少一个为0
C．复数z满足，则最大值为
D．的虚部为
10．（5分）（2022秋·江苏泰州·高三期中）设复数z在复平面内对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则z的虚部为－2i
B．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i
C．若点Z坐标为（－1，3），且z是关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的一个根，则p＋q＝12
D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
11．（5分）（2022秋·湖南长沙·高三开学考试）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为9+i
C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限
D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
12．（5分）（2022春·江苏宿迁·高一期末）年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（是自然对数的底，是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且的共轭复数为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．表示的复数对应的点在复平面内位于第一象限
C．
D．若，为两个不同的定点，为线段的垂直平分线上的动点，则
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023·高一课时练习）满足的复数为 ．
14．（5分）（2023·高三课时练习）若是关于x的实系数方程的一个根，则方程的另一个根为 .
15．（5分）（2022·全国·高一专题练习）在复平面内，等腰直角三角形以为斜边（其中为坐标原点），若对应的复数，则直角顶点对应的复数 .
16．（5分）（2022春·浙江宁波·高一期末）设复平面内的不同三点对应复数分别为，若（是虚数单位），则的值为 .
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022春·高一课时练习）已知复数z满足，且是纯虚数.
（1）求的值；
（2）求z的辐角主值.
18．（12分）（2022·高一课时练习）（1）计算：；
（2）若复数z满足，，求复数的三角形式.
19．（12分）（2022春·浙江金华·高一期中）已知复数是虚数单位.
(1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；
(2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值.
20．（12分）（2022春·全国·高一期中）已知复数，其中i为虚数单位．
（I）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围；
（II）若z满足，求m的值．
21．（12分）（2022春·福建福州·高一期中）在复平面内，已知正方形ABCD的三个顶点A，B，C对应的复数分别是．
(1)求点D对应的复数；
(2)若________，求对应的复数．
在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分．
①点T是的垂心．
②点T是的外心．
22．（12分）（2022春·上海普陀·高一期末）在复平面内，设复数对应向量，它的共轭复数对应向量．
(1)若复数是关于的方程的一个虚根，求出实数的取值范围，并用表示；
(2)若，且点满足，求的重心所对应的复数；
(3)若，可知在变化时会对应到不同的复数，若取不同的，，使得其所对应的复数满足，求证：所对应的点可以构成矩形．第七章 复数全章综合测试卷（提高篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·高一课时练习）设复数和的辐角主值分别为和，则等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】依题意可得，，，，再根据两角和的余弦公式求出，计算可得；
【解答过程】解：依题意复数和的辐角主值分别为和，
所以，，，，
所以，
因为，，所以，
所以，
故选：C.
2．（5分）（2022·高一课时练习）已知复数，，在复平面上对应的点分别为，，，若四边形为平行四边形（为复平面的坐标原点），则复数的模为（ ）
A． B．17 C． D．15
【解题思路】令，结合已知有，列方程求参数a、b，进而求复数的模.
【解答过程】若，则，而，
由四边形为平行四边形（为复平面的坐标原点），
所以，即，则，
所以.
故选：A.
3．（5分）（2022秋·广西·高二阶段练习）设，满足，其在复平面对应的点为，求点构成的集合所表示的图形面积（ ）
A．1 B．5 C． D．
【解题思路】复数 ，根据复数的几何意义可知，满足的点为两个圆所夹的圆环（包括边界），根据两圆面积之差即可求出.
【解答过程】设复数 ，则，.
则等价于，即有.
所以复平面对应的点为表示复平面上以为圆心，以2，3为半径的两个圆所夹的圆环（包括边界），故其面积为．
故选：D.
4．（5分）（2023秋·江西赣州·高三期末）若复数（a，，为其共轭复数），定义：.则对任意的复数，有下列命题：：；：；：；：若，则为纯虚数.其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】A选项，利用复数模长公式计算出；
B选项，利用复数加法法则计算得到；
C选项，利用复数乘法法则计算得到；
D选项，利用复数除法法则计算得到，当，此时不一定是纯虚数.
【解答过程】，，，
则，，，
故，正确；
，正确；
，
，
则，错误；
，
若，且，此时为实数，
故错误；
故选：B.
5．（5分）（2022·全国·高一专题练习）已知复数满足且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先根据条件求得复数，再利用三角函数表示复数，以及结合欧拉公式，计算复数的值.
【解答过程】设，
，即，
，解得：
，
当时，
，
则
，
当时，
，
则
，
故选：D.
6．（5分）（2022春·湖北武汉·高一期中）已知，“实系数一元二次方程的两根都是虚数”是“存在复数z同时满足且”的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充分必要 D．既非充分又非必要
【解题思路】分别求出实系数一元二次方程的两根都是虚数，存在复数z同时满足且的等价条件，分析二者的关系即可得出结论.
【解答过程】∵实系数一元二次方程的两根都是虚数，
∴，∴；
设，
由可得，表示以为圆心，以2为半径的圆；
由可得是以为圆心，以1为半径的圆.
由题意可知复平面上的圆和圆有公共交点.
所以，即，
所以，实数，
因为不能推出，也不能推出，
所以“实系数一元二次方程的两根都是虚数”是“存在复数z同时满足且”的既不是充分条件也不是必要条件.
故选：D.
7．（5分）（2022·全国·高三专题练习）欧拉公式（其中，为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，下列结论中正确的是（ ）
A．的实部为 B．在复平面内对应的点在第一象限
C． D．的共轭复数为
【解题思路】根据复数实部定义、复数的几何意义、模长的计算和共轭复数定义依次判断各个选项即可.
【解答过程】对于A，，则实部为，A错误；
对于B，对应的点为，
，，对应的点位于第二象限，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，则其共轭复数为，D错误.
故选：C.
8．（5分）（2022·高一课时练习）下列命题正确的是（ ）
A．复数是关于的方程的一个根，则实数
B．设复数，在复平面内对应的点分别为，，若，则与重合
C．若，则复数对应的点在复平面的虚轴上(包括原点)
D．已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，若（是虚数单位，为复平面坐标原点，，），则
【解题思路】结合一元二次方程的复数根、复数模、复数对应点、向量运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【解答过程】对于A：复数是关于的方程的一个根，所以：，
，故A错误；
对于B：设复数，在复平面内对应的点分别为，，若，
即这两个向量的模长相等，但是与不一定重合，故B错误；
对于C：若，设，故：，整理得：，故，故C正确；
对于D：已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，
若，所以，
，
，
解得：，，故，故D错误．
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022春·辽宁沈阳·高一阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．复数z满足
B．，，，则，中至少一个为0
C．复数z满足，则最大值为
D．的虚部为
【解题思路】对于A：取特殊值复数z=i，否定结论；对于B：设.直接计算即可判断；对于C：设复数，利用圆的性质计算可得；对于D：求出.即可判断.
【解答过程】对于A：取复数z=i，则，不满足.故A不正确；
对于B：设.
则，
所以，则或.
所以，中至少一个为0.故B正确；
对于C：设复数，其对应的点为.
由可得：表示点Z在以为圆心，1为半径的圆上.
表示点Z到的距离.
由圆的性质可得：.
因为，所以.即最大值为.故C正确；
对于D：因为.
所以的虚部为.故D错误.
故选：BC.
10．（5分）（2022秋·江苏泰州·高三期中）设复数z在复平面内对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则z的虚部为－2i
B．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i
C．若点Z坐标为（－1，3），且z是关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的一个根，则p＋q＝12
D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
【解题思路】A选项：根据虚部的概念判断即可；
B选项：根据模的公式判断即可；
C选项：根据的坐标得到，然后代入中得到，解方程即可；
D选项：设，根据得到，然后根据几何图形求面积即可.
【解答过程】A选项：因为，所以的虚部为-2，故A错；
B选项：设，则可以得到，即，有好多种情况，例如，，，此时，故B错；
C选项：若的坐标为，则，又是关于的实系数方程的一个根，所以，所以，解得，，故C正确；
D选项：设，则，即，所以的集合所构成的图形为环形，如下所示：
所以面积为，故D正确.
故选：CD.
11．（5分）（2022秋·湖南长沙·高三开学考试）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为9+i
C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限
D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
【解题思路】由复数的几何意义对四个选项依次判断即可．
【解答过程】对于选项A，设，只需即可，故错误；
对于选项B，复数与分别表示向量与，
表示向量的复数为，故正确；
对于选项C，点的坐标为，则对应的点为，在第三象限，故正确；
对于选项D，若复数满足，则复数对应的点在以原点为圆心，内圆半径为1，外圆半径为的圆环上，故所构成的图形面积为，故正确；
故选：BCD．
12．（5分）（2022春·江苏宿迁·高一期末）年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（是自然对数的底，是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且的共轭复数为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．表示的复数对应的点在复平面内位于第一象限
C．
D．若，为两个不同的定点，为线段的垂直平分线上的动点，则
【解题思路】根据共轭复数的定义及复数的几何意义，对各选项逐一判断即可.
【解答过程】解：对于A选项， ，
，
则，选项A正确；
对于B选项，，
， ，，
表示的复数对应的点在复平面中位于第二象限，选项B错误；
对于C选项，
则 ，
，选项C正确；
对于D选项，可转化为与两点间距离，可转化为与两点间距离，
由于为线段的垂直平分线上的动点，
根据垂直平分线的性质可知与两点间距离等于与两点间距离，
则，选项D正确.
故选：ACD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023·高一课时练习）满足的复数为 ．
【解题思路】根据复数的定义及复数的模计算即可.
【解答过程】设，
因为,所以，
可得,
可得,即得，
计算可得.
所以，
故答案为: .
14．（5分）（2023·高三课时练习）若是关于x的实系数方程的一个根，则方程的另一个根为 .
【解题思路】根据给定条件，利用方程根的意义结合复数相等求出b，c，再解方程作答.
【解答过程】因为是方程的根，则，整理得，
而，于是得，解得，
方程为：，即，解得或，
所以方程的另一个根为.
故答案为：.
15．（5分）（2022·全国·高一专题练习）在复平面内，等腰直角三角形以为斜边（其中为坐标原点），若对应的复数，则直角顶点对应的复数 或 .
【解题思路】根据复数的几何意义 由，得到，点的坐标为，设点的坐标为，再根据三角形是以为斜边的等腰直角三角形，则有，再运算求解..
【解答过程】因为，
所以，点的坐标为.
设点的坐标为，
则.
由题意得，，
所以，
解得或，
所以复数或.
故答案为：或.
16．（5分）（2022春·浙江宁波·高一期末）设复平面内的不同三点对应复数分别为，若（是虚数单位），则的值为 .
【解题思路】设，由得，进而求得，，即可求得.
【解答过程】设，由可得，
即，整理得，
即，
则；又复数对应的向量为，
则，，
则，
，
则，则，则.
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022春·高一课时练习）已知复数z满足，且是纯虚数.
（1）求的值；
（2）求z的辐角主值.
【解题思路】（1）由复数乘法法则和共轭复数的性质计算．
（2）由是纯虚数.得，化简变形为得，结合（1）解方程可得．
【解答过程】（1）由得.
因为，所以，所以；
（2）由是纯虚数得，
所以，
所以
所以，所以.
于是z，是方程的两根，解得，
所以
当时，z的辐角主值为；
当时，z的辐角主值为.
18．（12分）（2022·高一课时练习）（1）计算：；
（2）若复数z满足，，求复数的三角形式.
【解题思路】（1）由， ，结合复数的三角形式的乘方运算即可求值；（2）由题意得，进而得到 、代入目标式化简后转化为三角形式即可.
【解答过程】（1），
而
∴原式；
（2）由题意知：，所以 ，，
∴.
19．（12分）（2022春·浙江金华·高一期中）已知复数是虚数单位.
(1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；
(2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值.
【解题思路】（1）求出，由其对应点的坐标列不等式求解；
（2）也是方程的根，根据韦达定理先求得，再求得．
【解答过程】（1）由已知得到，因为在复平面上对应点落在第一象限，所以，
解得，所以
（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以是方程的另一个根，所以，所以，
所以，
所以，所以.
20．（12分）（2022春·全国·高一期中）已知复数，其中i为虚数单位．
（I）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围；
（II）若z满足，求m的值．
【解题思路】（I）由实部小于0且虚部大于0，联立不等式组求解即可；
（II）设出，先利用复数的共轭的概念和负数的乘法运算化简已知等式的左端，利用两个复数相等的充要条件可求出z的两个值,进而根据题设条件对应得到两个关于的方程组，分别求解即得．
【解答过程】解：（I）复数z在复平面内对应的点位于第二象限，
，解得：，
所以m的取值范围是；
（II）设，
，
，
即
，
或，
或.
，
当时，，无解；
当时，，解得，
综上可知：．
21．（12分）（2022春·福建福州·高一期中）在复平面内，已知正方形ABCD的三个顶点A，B，C对应的复数分别是．
(1)求点D对应的复数；
(2)若________，求对应的复数．
在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分．
①点T是的垂心．
②点T是的外心．
【解题思路】（1）设，表示出和，利用向量相等列方程组，即可求解；
（2）选①：判断出的垂心为B,求出,利用向量的加法得到,即可求解；
选②：判断出的外心为斜边AC的中点,求出，利用向量的加法得到,即可求解；
【解答过程】(1)
因为点A，B，C对应的复数分别是，
所以,,,所以.
设，则.
因为ABCD为正方形，所以，所以，解得：，
所以，即点D对应的复数.
(2)
选①：因为为直角三角形，且B为直角顶点，
所以的垂心为B,即,
所以
所以,
对应的复数为；
选②：因为为直角三角形，且B为直角顶点，
所以的外心为斜边AC的中点,即.
所以
所以,
对应的复数为.
22．（12分）（2022春·上海普陀·高一期末）在复平面内，设复数对应向量，它的共轭复数对应向量．
(1)若复数是关于的方程的一个虚根，求出实数的取值范围，并用表示；
(2)若，且点满足，求的重心所对应的复数；
(3)若，可知在变化时会对应到不同的复数，若取不同的，，使得其所对应的复数满足，求证：所对应的点可以构成矩形．
【解题思路】（1）复数是关于的方程的一个虚根，可得方程判别式小于0，即可求得答案；
（2）设，则由求得，由三角形重心坐标公式求得的重心坐标，由此可得复数；
（3）求得，说明所对应的点在单位圆上，再取值，说明为单位圆的两直径，即可证明结论.
【解答过程】（1）复数是关于的方程的一个虚根，，
则，即实数的取值范围；
解方程得，
不妨令复数，另一根为，
故.
（2）由可知，故，
设，则由得，即，
解得，故，故的重心为，
故.
（3）由于，则，
则所对应的点都在单位圆上，
又，则且，
不妨取，，则为单位圆的两直径，
则四边形的对角线互相平分且对角线相等，
则四边形为矩形，即所对应的点可以构成矩形．
