专题7.4 复数的四则运算（重难点题型检测）
【人教A版2019】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2023·高一课时练习）在复数范围内，有下列命题：①的平方根只有i；②i是1的平方根；③若复数是某一元二次方程的根，则一定是方程的另一个根；④若z为纯虚数i，则z的平方根为虚数．上述命题中真命题的个数为（ ）
A．3 B．2 C．0 D．1
2．（3分）（2022秋·云南·高三阶段练习）已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）已知复数是纯虚数，则（ ）
A．3 B．1 C． D．
4．（3分）若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2022秋·江苏南通·高三阶段练习）已知，则在复平面内，其共轭复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．（3分）（2023春·福建泉州·高三阶段练习）已知复数是关于的方程的一个根，则（ ）
A．4 B． C． D．
7．（3分）（2022春·北京西城·高一阶段练习）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（ ）
A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i
8．（3分）（2023秋·上海·高二期末）设（、、）.已知关于的方程有纯虚数根，则关于的方程的解的情况，下列描述正确的是（ ）
A．方程只有虚根解，其中两个是纯虚根
B．可能方程有四个实数根的解
C．可能有两个实数根，两个纯虚数根
D．可能方程没有纯虚数根的解
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022秋·湖南长沙·高三阶段练习）已知复数，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．的虚部为1
C． D．
10．（4分）（2022春·安徽合肥·高一期中）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（ ）
A．点位于第二象限 B． C． D．
11．（4分）（2023秋·河北唐山·高三期末）已知为虚数单位，复数，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
12．（4分）（2023秋·重庆·高三学业考试）已知复数是关于x的方程的两根，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．若，则
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·全国·高三专题练习）已知复数，则复数 .
14．（4分）（2023·高一课时练习）在平行四边形中，对角线与相交于点O，若向量，对应的复数分别是，，则向量对应的复数是 .
15．（4分）（2022·吉林长春·长春模拟预测）已知是实数，关于的方程的两个虚数根为.若，则的值为 .
16．（4分）（2022春·上海浦东新·高一期末）以下四个命题中所有真命题的序号是 ．
（1）若、，则；
（2）若、，则；
（3）若、，，则，；
（4）若、，，，则．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022春·高一课时练习）计算：
(1)；
(2)；
(3).
18．（6分）（2022·高一课时练习）如图，向量对应的复数是z，分别作出下列运算的结果对应的向量：
（1）；
（2）；
（3）.
19．（8分）（2023·高三课时练习）已知复数满足，且是关于的实系数一元二次方程的一个根，求的值．
20．（8分）（2022·高一单元测试）复数满足为纯虚数；
(1)求复数；
(2)求.
21．（8分）（2023·高一课时练习）已知复数，，，分别记作，，，即，，，求证：
(1)；
(2)；
(3)．
22．（8分）（2022·高一单元测试）已知z为复数，为实数.
(1)当时，求复数z在复平面内对应的点Z的集合；
(2)当时，若（）为纯虚数，求的值和的取值范围.专题7.4 复数的四则运算（重难点题型检测）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2023·高一课时练习）在复数范围内，有下列命题：①的平方根只有i；②i是1的平方根；③若复数是某一元二次方程的根，则一定是方程的另一个根；④若z为纯虚数i，则z的平方根为虚数．上述命题中真命题的个数为（ ）
A．3 B．2 C．0 D．1
【解题思路】对于①②，根据平方根的定义即可判断；对于③，举反例即可排除；对于④，利用平方根的定义与复数相等的性质求得的平方根，从而得以判断.
【解答过程】对于①，的平方根有两个，分别为和，故①错误；
对于②，1的平方根是和1，故②错误；
对于③，令，则是方程的一个根，但方程的另一个根是，并非，
实际上，只有实系数方程的虚根才是共轭复数，故③错误；
对于④，设的平方根为，则，即，
故，解得或，
所以的平方根为或，显然z的平方根是虚数，故④正确；
综上：①②③错误，④正确，故真命题的个数为.
故选：D.
2．（3分）（2022秋·云南·高三阶段练习）已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由复数的坐标表示，共轭复数定义可得答案.
【解答过程】由题意知，则.
故选：A.
3．（3分）已知复数是纯虚数，则（ ）
A．3 B．1 C． D．
【解题思路】求出复数的代数形式，再根据纯虚数的概念列式计算.
【解答过程】,
因为复数是纯虚数，
则，解得，
故选：B.
4．（3分）若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义以及复数的运算可得出，再利用复数的模长公式可求得结果.
【解答过程】因为，则，则，
所以，，
因此，.
故选：D.
5．（3分）（2022秋·江苏南通·高三阶段练习）已知，则在复平面内，其共轭复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】利用复数的运算化简复数，可得其共轭复数，利用复数的几何意义可得出结论.
【解答过程】因为，则，则，
所以，，因此，复数所对应的点位于第四象限.
故选：D.
6．（3分）（2023春·福建泉州·高三阶段练习）已知复数是关于的方程的一个根，则（ ）
A．4 B． C． D．
【解题思路】将代入方程，利用复数相等得到方程组解出，再利用模长公式求解即可.
【解答过程】由题意可得，
即，
所以，
所以，解得，
所以，
故选：C.
7．（3分）（2022春·北京西城·高一阶段练习）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（ ）
A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i
【解题思路】根据复数加法的几何意义及法则即可求解.
【解答过程】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，
又因为，
所以由复数加法的几何意义可得，
.
故选：C.
8．（3分）（2023秋·上海·高二期末）设（、、）.已知关于的方程有纯虚数根，则关于的方程的解的情况，下列描述正确的是（ ）
A．方程只有虚根解，其中两个是纯虚根
B．可能方程有四个实数根的解
C．可能有两个实数根，两个纯虚数根
D．可能方程没有纯虚数根的解
【解题思路】根据给定条件，设，再利用方程根的意义结合复数相等，推理计算判断作答.
【解答过程】，，关于的方程有纯虚数根，设纯虚数根为，
则有，即，即有，，，
方程化为，方程有两个纯虚数根为，
方程化为：，
整理得，于是得或，
因此方程有两个纯虚数根，
而方程中，，
因此方程无实数根，有两个虚数根，不是纯虚数根，
所以选项A正确，选项B，C，D均不正确.
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022秋·湖南长沙·高三阶段练习）已知复数，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．的虚部为1
C． D．
【解题思路】先化简复数，然后求出的共轭复数即可验证选项AB，
求出复数的模验证选项C，化简选项D即可
【解答过程】因为，
所以，故A正确；
的虚部为，故选项B错误；
由，故选项C正确，
由，
所以，
故选项D错误，
故选：AC.
10．（4分）（2022春·安徽合肥·高一期中）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（ ）
A．点位于第二象限 B． C． D．
【解题思路】由题意画出图形，求出的坐标，得到，然后逐一分析四个选项得答案．
【解答过程】解：如图，
由题意，，，，
为平行四边形，则，
，点位于虚轴上，故错误；
，故正确；
，故正确；
，故错误．
故选：．
11．（4分）（2023秋·河北唐山·高三期末）已知为虚数单位，复数，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
【解题思路】根据复数运算、共轭复数、复数相等等知识确定正确答案.
【解答过程】A选项，，A选项正确.
B选项，，B选项错误.
C选项，，
，
若，则，解得，所以C选项正确.
D选项，当时，，所以D选项错误.
故选：AC.
12．（4分）（2023秋·重庆·高三学业考试）已知复数是关于x的方程的两根，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．若，则
【解题思路】在复数范围内解方程得，然后根据复数的概念、运算判断各选项．
【解答过程】，∴，不妨设，，
，A正确；
，C正确；
，∴，时，，B错；
时，，，计算得，
，，同理，D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·全国·高三专题练习）已知复数，则复数 .
【解题思路】先利用等比数列的前n项和求出，利用的周期性即可求解.
【解答过程】
.
因为，而，
所以，所以.
故答案为：.
14．（4分）（2023·高一课时练习）在平行四边形中，对角线与相交于点O，若向量，对应的复数分别是，，则向量对应的复数是 .
【解题思路】利用复数的几何意义，由求解.
【解答过程】因为向量，对应的复数分别是，，
所以
故答案为：.
15．（4分）（2022·吉林长春·长春模拟预测）已知是实数，关于的方程的两个虚数根为.若，则的值为 .
【解题思路】根据求出参数的取值范围，再由韦达定理及虚根成对原理求出，，再由得到方程，解得即可.
【解答过程】解：因为关于的方程的两个虚数根为，（是实数），
则，解得或，
所以，，
根据虚根成对原理可得，又因为，所以或，
于是，得到，于是（符合题意）．
故答案为：.
16．（4分）（2022春·上海浦东新·高一期末）以下四个命题中所有真命题的序号是 （1） ．
（1）若、，则；
（2）若、，则；
（3）若、，，则，；
（4）若、，，，则．
【解题思路】设出复数、，由共轭复数及复数的运算即可判断（1）、（2）；取特殊的复数、，由复数的运算即可判断（3）、（4）.
【解答过程】设，对于（1），，则
，（1）正确；
对于（2），，
，则，（2）错误；
对于（3），取，显然满足、，又，但，故（3）错误；
对于（4），取，显然满足、，又，但，故（4）错误.
故答案为：（1）.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022春·高一课时练习）计算：
(1)；
(2)；
(3).
【解题思路】（1）（2）（3）根据复数的加减运算法则即可求解；
【解答过程】(1)
解：；
(2)
解：；
(3)
解：.
18．（6分）（2022·高一课时练习）如图，向量对应的复数是z，分别作出下列运算的结果对应的向量：
（1）；
（2）；
（3）.
【解题思路】复数与以原点为起点的向量是一一对应的，根据平行四边形法则作出相应向量即可.
【解答过程】（1）复数1与复平面内点一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量，如图所示：
（2）复数与复平面内点一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量，如图所示：
（3）复数与复平面内点一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量如图所示：
19．（8分）（2023·高三课时练习）已知复数满足，且是关于的实系数一元二次方程的一个根，求的值．
【解题思路】设,根据条件求出，由和为实系数一元二次方程的两个根，可解得.
【解答过程】设，则，
得解得
所以，，满足．
所以．
20．（8分）（2022·高一单元测试）复数满足为纯虚数；
(1)求复数；
(2)求.
【解题思路】（1）由复数的乘法运算，纯虚数的概念，复数的模长公式求解即可；
（2）有复数的除法与乘方运算求解即可
【解答过程】（1）因为，
所以，
则由题意可得：，解得，
所以；
（2）.
21．（8分）（2023·高一课时练习）已知复数，，，分别记作，，，即，，，求证：
(1)；
(2)；
(3)．
【解题思路】利用复数四则运算规则即可证明（1）（2）（3）
【解答过程】（1），
，
则.
（2）
，
，
则.
（3）
，
，
则.
22．（8分）（2022·高一单元测试）已知z为复数，为实数.
(1)当时，求复数z在复平面内对应的点Z的集合；
(2)当时，若（）为纯虚数，求的值和的取值范围.
【解题思路】（1）设，x，，将用x，y表示.由复数满足题中所给的不等式可知，复数必为实数（虚数不能比较大小）.可求出x，y所满足的关系式，再结合它们的范围，即可得到复数z在复平面内对应的点的集合；
（2）在（1）的基础上，结合本小问所给的不等式，求出实数x的范围.因为，且u为纯虚数，所以且.从而求出实数 的值为3.再结合，可以将写成关于实数x的函数，求出该函数的值域即可.
【解答过程】（1）
设，x，，
则为实数，
∴，∴或.
当时，.
∵，∴，
当时，解得；当时，不等式的解集为空集.
∴点Z的集合为.
当时，.∵，∴，解得.
又，∴.
∴点Z的集合为.
综上，复数z在复平面内对应的点Z的集合为或.
（2）
由（1）可得当时，.
∵，∴，
∵当时，；当时，，
∴不等式的解集为空集.
故不存在满足条件的.
当时，.
∵，∴，解得.
∵为纯虚数，
∴且，
∵，∴，，∴.
∵，∴.
∴，.
