专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）
【人教A版2019必修第二册】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2023·高一课时练习）已知复数，求的值．
【解题思路】由题知，，，，进而根据周期性求解即可.
【解答过程】解：因为，
所以
所以
所以，，
所以
2．（2023·高一课时练习）已知非零复数，满足，求证：一定是负数．
【解题思路】设，根据化简得，
而，根据非零复数则可判断，则是纯虚数，则是负数.
【解答过程】设
，即
则
化简得
，
又，否则中至少有一个为零，
则是纯虚数,是负数.
3．（2023·高三课时练习）已知是复数，、均为实数（为虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
【解题思路】设 ，化简、并根据其均为实数求得参数x，y，化简并根据其在复平面上对应的点在第一象限列不等式即可求得的范围.
【解答过程】设 ，∵为实数，∴，∴.
∵为实数，∴．∴．
∵在复平面上对应的点在第一象限， ∴，解得.
∴实数a的取值范围是．
4．（2022春·陕西榆林·高二校考期中）已知复数，i是虚数单位），是实数.
(1)求b的值；
(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1）利用复数的除法可求，再结合其为实数可求；
（2）利用复数的乘方可求，再由它对应的点所处的象限可求的取值范围.
【解答过程】（1）∵，∴
∵是实数，∴，解得.
（2）由（1）知,
∴，
∵复数在复平面内对应的点在第二象限，
∴，解得，
故实数m的取值范围是.
5．（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知复数，其中.
(1)若为实数，求的值；
(2)若为纯虚数，求的值.
【解题思路】（1）由题意得，求解即可；
（2）先由题意求得，再根据复数的除法法则化简复数，由此可求得答案.
【解答过程】（1）若z为实数，则，解得．
（2）若为纯虚数，则，解得，∴，
故.
6．（2022·高一单元测试）设复数.
(1)若是实数，求；
(2)若是纯虚数，求的共轭复数.
【解题思路】(1)根据是实数，求得，再由复数的乘法运算即可求得；
(2)由是纯虚数，可得，即有，即可得的共轭复数.
【解答过程】（1）解：是实数，
，
；
（2）解：是纯虚数，
所以，解得，
所以，
故的共轭复数为.
7．（2022春·重庆酉阳·高一阶段练习）已知复数（为虚数单位，，且为纯虚数．
(1)求复数；
(2)若复数，求的模．
【解题思路】（1）由为纯虚数，结合题意可求出，即可求出复数.
（2）由复数的乘法和除法运算化简复数，再由复数的模长公式即可求出答案.
【解答过程】（1）
因为复数，则，
因为为纯虚数，所以，又因为，所以.
所以.
（2）
，则.
8．（2023·高一课时练习）设复数，求证：
(1)，，1都是1的立方根；
(2)．
【解题思路】（1）写出复数的三角形式，利用三角形式进行计算即可证明；
（2）利用复数的三角运算求出，进而可得的值.
【解答过程】（1）
，
，
，
所以，，1都是1的立方根；
（2），
.
9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，bR，i是虚数单位，若复数与=2+bi互为共轭复数.
(1)判断复平面内对应的点在第几象限;
(2)计算.
【解题思路】（1）根据共轭复数的定义求得，得复数，再得其对应点的坐标，从而得其所在象限；
（2）由复数的乘方法则计算．
【解答过程】（1）因为复数与=2+bi互为共轭复数，
则a=2，b=1，=2+i，其对应的点为，
故在第一象限;
（2）．
10．（2023·高一单元测试）已知，且，若．
(1)求复数的三角形式与；
(2)求．
【解题思路】（1）求出复数的模和辐角主值后，可得复数的三角形式；
（2）根据，以及求出，将和代入可求出结果.
【解答过程】（1）因为，所以其模，设其辐角为，
则，，
因为复数对应的点在第四象限，所以 ，
所以复数的三角形式为.
（2）因为，所以 ，
因为，所以 ,
所以，所以，
所以 .
11．（2023·高一课时练习）已知复数的实部与虚部的差为．
(1)若，且，求复数的虚部；
(2)当取得最小值时，求复数的实部．
【解题思路】（1）由复数的实部、虚部的运算，可得，再结合题意可得，再确定在复平面内对应的点的坐标即可；
（2）先求出函数取最小值时对应的值，再结合复数的除法运算即可得解.
【解答过程】（1）由题意可得，
因为，所以，
又，所以，即，
则，
所以复数的虚部为．
（2）因为，所以当时，取得最小值，
此时，，
则，
所以的实部为．
12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数．
(1)求z的共轭复数；
(2)若，求实数a，b的值．
【解题思路】（1）根据复数乘方、除法的运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可；
（2）根据复数相等的定义进行求解即可.
【解答过程】（1），
所以z的共轭复数为；
（2）.
13．（2023·高一课时练习）复数，其中为虚数单位．
(1)求及；
(2)若，求实数，的值．
【解题思路】（1）首先根据复数的运算求解出复数，进而根据复数的模长公式求解；
（2）首先将代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数，的值.
【解答过程】（1）∵，
∴．
（2）由（1）可知，
由，得：，
即，∴，解得
14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知是复数，（为虚数单位）为实数，且.
(1)求复数；
(2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）设（，），利用复数的运算法则、复数为实数的条件即可得出；
（2）根据复数的运算法则和几何意义即可得出.
【解答过程】（1）根据题意，设复数（，），
则为实数，即，解得，
所以，.
又∵，∴，得，
所以复数.
（2）由（1）知，对应的点在第四象限，
所以解得：，即.
所以实数的取值范围是.
15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n，求及的值．
【解题思路】利用进位制求出的值，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求出结果.
【解答过程】∵ ．
∴，
∴，
．
16．已知.
(1)设，求的三角形式；
(2)如果 ，求实数a，b的值.
【解题思路】（1）求出的共轭复数，代入化简，再求，最后再整理成的三角形式；
（2）根据 ，得到，列方程组即可求解.
【解答过程】（1）已知，，
， 对应的点是，对应的复数辐角为，故，又由对应的，，得到，故的三角形式为；
（2），
，
，解得.
17．（2022春·河南郑州·高二期中）已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数(是的共轭复数).
(1)设复数，求；
(2)设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）根据已知条件，结合纯虚数和共轭复数的定义，求出，再结合复数模公式，即可求解；（2）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解.
【解答过程】（1）
∵，∴.
，
为纯虚数，
，解得，
故，
，
则.
（2）
，
，
复数所对应的点在第一象限，
，解得，
故实数的取值范围为.
18．（2022春·浙江·高一期中）已知复数使得，，其中是虚数单位．
(1)求复数的模；
(2)若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）设复数，，由复数的运算性质和复数为实数的条件，虚部为，解方程即可得到复数，从而求出其模；
（2）计算复数，由复数对应的点在第一象限，可得的不等式组，解不等式即可得到的范围．
【解答过程】（1）
解：设复数，，
根据题意，，
所以，即；
又，
所以，即，
所以，则；
（2）
解：由（1）可知，
所以。
在复平面内对应的点为，位于第一象限，
所以且，解得，即的取值范围为．
19．（2022秋·广东中山·高二阶段练习）已知，i是虚数单位．
(1)求；
(2)设复数在复平面内所对应的点分别为，O为坐标原点，若所构成的四边形为平行四边形，求复数．
【解题思路】（1）由复数的四则运算法则求解
（2）由复数的几何意义求解
【解答过程】（1）
；
（2）
若为平行四边形，则
若为平行四边形，则，得
若为平行四边形，则，得．
20．（2022秋·浙江台州·高二开学考试）复数，，其中是虚数单位，且为纯虚数．
(1)求复数；
(2)若复数(b∈R)在复平面内对应的点在第四象限,求b的取值范围．
【解题思路】（1）利用纯虚数的定义，由，解出即可得出．
（2）利用复数的几何意义，由题意得，解出即可得出．
【解答过程】（1）
．
因为为纯虚数，所以，所以．
（2）
，
由已知，
解得，
所以实数的取值范围为.
21．（2022春·江苏盐城·高一期中）若复数，复数．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求．
【解题思路】（1）利用复数的加法化简复数，根据复数的概念可得出关于实数的等式，即可求得实数的值；
（2）当时，利用复数的除法可求得复数.
【解答过程】（1）
解：由已知，则，解得.
（2）
解：当时，.
22．（2022春·福建福州·高一期末）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位.
(1)求的值;
(2)记复数，求复数的模.
【解题思路】（1）将代入方程，利用复数相等，得到方程，求出；
（2）在第一问的基础上得到，从而求出模长.
【解答过程】（1）
由题意得:，
即，
所以，
所以，，
解得：；
（2）
，，
所以.
23．（2022春·北京昌平·高一期中）已知复数.
(1)求；
(2)若，求.
【解题思路】（1）根据复数的乘除法运算求解即可；
（2）根据复数相等的条件可得，进而可得
【解答过程】（1）
，故
（2）
由（1），若则，即，
故，解得，故.
24．（2022秋·山东临沂·高二开学考试）已知复数（i是虚数单位）.
(1)求复数z的共轭复数和模；
(2)若.求a，b的值.
【解题思路】（1）利用复数运算化简，从而求得的共轭复数以及模.
（2）根据复数相等列方程，化简求得的值.
【解答过程】（1）
，
所以z的共轭复数，
.
（2）
因为，
即，
也即，
所以，解得.
25．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二开学考试）已知复数，，i为虚数单位．
(1)若，求z的共轭复数；
(2)若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）先由复数除法运算化简求出，即可得出共轭复数；
（2）先求出，根据象限列出不等式即可求出.
【解答过程】（1）
由，所以；
（2）
由题意，复数，，则，
∵复数在复平面上对应的点在第一象限，
∴解得，
∴实数a的取值范围．
26．（2022·全国·高一专题练习）已知复数满足，虚数满足.
(1)求；
(2)若，求的值.
【解题思路】（1）解方程即可求解；
（2）先化简，再根据可求解.
【解答过程】（1）易解得，所以；
（2）由（1）可知，，
所以，
又，所以.
27．（2022春·广西百色·高二期末）已知复数，.
(1)求；
(2)求.
【解题思路】（1）先求出，再求；（2）先求出，再利用的周期性求和.
【解答过程】(1)
由题可得：，
所以
(2)
因为
所以.
28．（2022春·上海长宁·高一阶段练习）已知复数满足，的虚部为．
(1)求复数；
(2)若，设、、在复平面上的对应点分别为A、B、C，求的面积．
【解题思路】设，结合条件求即可得z；
（2）结合（1）结论，利用复数的四则运算即可得 的对应坐标，进而求它们构成的△的面积；
【解答过程】（1）设，则.由的虚部为2，有.∴或即或.
（2）因为，所以，.∴点，直线 ，所以且A到的距离为1；∴.∴△的面积为2.
29．（2023·高一课时练习）设i为虚数单位，n为正整数，．
(1)观察，，，…猜测：（直接写出结果）；
(2)若复数，利用（1）的结论计算．
【解题思路】（1）观察规律即可得；
（2）由特殊角三角函数得，结合（1）的结论及诱导公式化简求值即可.
【解答过程】（1）由观察得；
（2），
由（1）得
.
30．（2022春·上海普陀·高一阶段练习）已知复数、对应的向量为.
(1)若向量，且，.求对应的复数;
(2)容易证明:，类比到对应的向量，请写出类似的结论，并加以证明;
(3)设，求的值.
【解题思路】（1）由向量垂直和向量的模相等用坐标表示列方程组计算即可；
（2）直接通过计算证明即可；
（3）将复数、设为代数形式表示，由已知条件列方程组解出所需式子的值并代入即可.
【解答过程】（1）设，，则
因为，所以①
又，所以②
联立①②得或，
即或.
（2），证明如下：
；
（3）设，
由题可得，，，.
所以①，②，
②得，
所以.
设，则
，
又，
所以，.
即.
所以.专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）
【人教A版2019必修第二册】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2023·高一课时练习）已知复数，求的值．
2．（2023·高一课时练习）已知非零复数，满足，求证：一定是负数．
3．（2023·高三课时练习）已知是复数，、均为实数（为虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
4．（2022春·陕西榆林·高二校考期中）已知复数，i是虚数单位），是实数.
(1)求b的值；
(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.
5．（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知复数，其中.
(1)若为实数，求的值；
(2)若为纯虚数，求的值.
6．（2022·高一单元测试）设复数.
(1)若是实数，求；
(2)若是纯虚数，求的共轭复数.
7．（2022春·重庆酉阳·高一阶段练习）已知复数（为虚数单位，，且为纯虚数．
(1)求复数；
(2)若复数，求的模．
8．（2023·高一课时练习）设复数，求证：
(1)，，1都是1的立方根；
(2)．
9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，bR，i是虚数单位，若复数与=2+bi互为共轭复数.
(1)判断复平面内对应的点在第几象限;
(2)计算.
10．（2023·高一单元测试）已知，且，若．
(1)求复数的三角形式与；
(2)求．
11．（2023·高一课时练习）已知复数的实部与虚部的差为．
(1)若，且，求复数的虚部；
(2)当取得最小值时，求复数的实部．
12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数．
(1)求z的共轭复数；
(2)若，求实数a，b的值．
13．（2023·高一课时练习）复数，其中为虚数单位．
(1)求及；
(2)若，求实数，的值．
14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知是复数，（为虚数单位）为实数，且.
(1)求复数；
(2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围.
15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n，求及的值．
16．已知.
(1)设，求的三角形式；
(2)如果 ，求实数a，b的值.
17．（2022春·河南郑州·高二期中）已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数(是的共轭复数).
(1)设复数，求；
(2)设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
18．（2022春·浙江·高一期中）已知复数使得，，其中是虚数单位．
(1)求复数的模；
(2)若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
19．（2022秋·广东中山·高二阶段练习）已知，i是虚数单位．
(1)求；
(2)设复数在复平面内所对应的点分别为，O为坐标原点，若所构成的四边形为平行四边形，求复数．
20．（2022秋·浙江台州·高二开学考试）复数，，其中是虚数单位，且为纯虚数．
(1)求复数；
(2)若复数(b∈R)在复平面内对应的点在第四象限,求b的取值范围．
21．（2022春·江苏盐城·高一期中）若复数，复数．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求．
22．（2022春·福建福州·高一期末）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位.
(1)求的值;
(2)记复数，求复数的模.
23．（2022春·北京昌平·高一期中）已知复数.
(1)求；
(2)若，求.
24．（2022秋·山东临沂·高二开学考试）已知复数（i是虚数单位）.
(1)求复数z的共轭复数和模；
(2)若.求a，b的值.
25．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二开学考试）已知复数，，i为虚数单位．
(1)若，求z的共轭复数；
(2)若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
26．（2022·全国·高一专题练习）已知复数满足，虚数满足.
(1)求；
(2)若，求的值.
27．（2022春·广西百色·高二期末）已知复数，.
(1)求；
(2)求.
28．（2022春·上海长宁·高一阶段练习）已知复数满足，的虚部为．
(1)求复数；
(2)若，设、、在复平面上的对应点分别为A、B、C，求的面积．
29．（2023·高一课时练习）设i为虚数单位，n为正整数，．
(1)观察，，，…猜测：（直接写出结果）；
(2)若复数，利用（1）的结论计算．
30．（2022春·上海普陀·高一阶段练习）已知复数、对应的向量为.
(1)若向量，且，.求对应的复数;
(2)容易证明:，类比到对应的向量，请写出类似的结论，并加以证明;
(3)设，求的值.
