数学人教A版（2019）必修第一册4.5.1函数的零点与方程的解 课件（共49张ppt）

(共49张PPT)
4.5.1　函数的零点与方程的解
第四章 指数函数与对数函数
4.5　函数的应用(二)
课标要求
1.结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系.2.了解零点存在性定理、会判断函数零点的个数.
素养要求
通过本节内容的学习，使学生体会转化思想在研究函数中的作用，提升学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象素养.
内容
索引
问题导学预习教材
必备知识探究
互动合作研析题型
关键能力提升
拓展延伸分层精练
核心素养达成
问题导学预习教材 必备知识探究
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
一、函数零点的概念
1.问题　我们已经学习过二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点，它是指使得ax2＋bx＋c＝0的实数x.
(1)二次函数的零点是几何中的“点”吗？
提示　不是，二次函数的零点是一个实数.
提示　f(x)，g(x)，h(x)存在；p(x)不存在.
(3)上述问题(2)中，函数f(x)，g(x)，h(x)的零点分别是什么？它们的图象与x轴交点的坐标分别是什么？
2.填空　(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使______________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
f(x)＝0
x轴
f(x)＝0
A.(2，0) B.2
C.(－2，0) D.－2
B
二、函数零点存在定理
1.问题　观察函数f(x)＝x2－2x－3的图象：
(1)f(x)在区间(－2，1)上有零点吗？f(－2)·f(1)的值和0有什么关系？
提示　有零点，f(－2)·f(1)<0.
(2)f(x)在区间(2，4)上有零点吗？f(2)·f(4)的值与0有什么关系？
提示　有零点，f(2)·f(4)<0.
2.思考　给出下列函数图象，根据图象分析判断：
(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)<0，那么f(x)在区间(a，b)内是否一定有零点？有多少个零点？
提示　一定有，至少有一个.
(2)如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象不连续，但f(a)f(b)<0，那么f(x)在区间(a，b)内是否一定有零点？
提示　不一定.
3.填空　函数零点存在定理
(1)条件：①如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条__________的曲线；②___________<0.
(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得______________，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
温馨提醒　1.①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；
②f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可，否则结论不一定成立.
2.该定理是一个充分不必要条件，反过来，若在(a，b)上有零点，则不一定有f(a)f(b)<0成立.如：函数y＝x2有零点x0＝0，但函数值在零点两侧同号.
连续不断
f(a)·f(b)
f(c)＝0
D
4.做一做　若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内(　　)
A.必有唯一零点
B.一定没有零点
C.必有无数个零点
D.可能有两个零点
解析　f(x)在区间(a，b)内的零点情况不确定，可以无零点，也可能有零点，有零点的话， 零点个数不定.
×
5.思考辨析　正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.
×
×
×
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
A.(－1，0)，(1，0) B.－1，1
C.(－1，0) D.－1
(2)设函数f(x)＝21－x－4，g(x)＝1－log2(x＋3)，则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为________.
解析　(1)由x＋1＝0且x≤0，得x＝－1.
由ln x＝0且x>0，得x＝1.
∴函数f(x)的零点为x＝±1.
(2)令f(x)＝21－x－4＝0解得x＝－1，
令g(x)＝1－log2(x＋3)＝0，解得x＝－1，
所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为－2.
B
题型一　求函数的零点
-2
探究函数零点的两种方法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
思维升华
CD
(2)函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________.
解析　∵函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，
∴2a＋b＝0，即b＝－2a，
∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1).
例2 (1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
A
题型二　判断函数零点所在的区间
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是(　　)
A.(－3，－1)和(2，4)
B.(－3，－1)和(－1，1)
C.(－1，1)和(1，2)
D.(－∞，－3)和(4，＋∞)
解析　易知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，
又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0.
所以f(x)在(－3，－1)内有零点，
即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根.
同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2，4)内有根.
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，4) D.(4，＋∞)
C
由零点存在定理，可知包含f(x)零点的区间是(2，4).
确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
思维升华
A.(0，1) B.(1，10)
C.(10，100) D.(100，＋∞)
解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在定义域内单调递增，
B
又函数f(x)的图象在(0，＋∞)内连续不断，
∴在(1，10)内，函数f(x)存在零点.
题型三　函数零点个数问题
角度1　判断函数零点个数
例3 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数.
解　法一　∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，
∴f(x)在(0，1)上必定存在零点.
又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数.
故函数f(x)有且只有一个零点.
法二　在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图.
由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x图象有且只有一个交点，
故f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点.
判断函数零点个数的四种常用方法
(1)转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数.
(3)结合单调性，利用零点存在性定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点问题.
思维升华
角度2　根据零点个数求参数范围
函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点，等价于y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同的交点，
已知函数有零点(方根有根)求参数值或取值范围：
(1)若方程可解，则利用解方程求得方程根，借助不等式确定参数范围.
(2)若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.
思维升华
解析　函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝ex的图象的交点个数.
作出函数图象可知有2个交点，
即函数g(x)＝f(x)－ex有2个零点.
2
解析　当x>0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.
因为函数f(x)有两个不同的零点，
则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，
令f(x)＝0得a＝2x，
因为0<2x≤20＝1，所以0所以实数a的取值范围是(0，1].
(0，1]
课堂小结
1.(1)函数的零点是方程的实根，是函数y＝f(x)图象与x轴交点的横坐标，零点不是一个“点”，是“实数”.
(2)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.两者缺一不可，这是函数y＝f(x)在(a，b)存在零点的充分不必要条件.
2.解决函数零点问题的两种方法：
转化法：函数的零点转化为方程的根，转化为函数图象与x轴的交点.
数形结合：借助图象交点确定零点及方程的根.
拓展延伸分层精练 核心素养达成
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
PART 01
1.下列各图象表示的函数中没有零点的是(　　)
D
解析　根据函数图象与x轴有无交点进行判断，显然D没有零点.
B
解析　当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.
D
综上所述，函数零点为0.
4.(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的有(　　)
A.f(x)在区间(0，1)上一定有零点
B.f(x)在区间(0，1)上一定没有零点
C.f(x)在区间(1，2)上可能有零点
D.f(x)在区间(1，2)上一定有零点
解析　由题知f(0)·f(1)<0，
所以根据函数零点存在定理可得f(x)在区间(0，1)上一定有零点，
又f(1)·f(2)>0，
因此无法判断f(x)在区间(1，2)上是否有零点.
AC
5.若函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是(　　)
A.a>0 B.a≤0
C.a≥0 D.a<0
解析　由y＝x2＋a＝0，得x2＝－a有解，所以a≤0.
B
6.已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点
是____________.
解析　由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2，3，
2
8.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.
解析　因为y＝f(x)有两个零点，
所以|2x－2|－b＝0有两个实根.
即|2x－2|＝b有两个实根.
令y1＝|2x－2|，y2＝b，则y1与y2的图象有两个交点.
由图可知b∈(0，2)时y1与y2有两个交点.
(0，2)
解　(1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，
解之得x＝－3或x＝1(舍去).
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
(2)令(lg x)2－lg x＝0，则lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10，
∴函数f(x)的零点是1，10.
10.已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的零点；
解　当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1.
令f(x)＝0，即2·(2x)2－2x－1＝0，
∴x＝0，∴函数f(x)的零点为0.
(2)若f(x)有零点，求a的取值范围.
解　若f(x)有零点，则方程2a·4x－2x－1＝0有解，
∴g(t)在(0，＋∞)上为增函数，值域为(0，＋∞)，
∴2a>0，即a的取值范围是(0，＋∞).
11.(多选)设f(x)＝|x－1|(x＋1)－x，若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实数解，则实数k可取(　　)
CD
故函数f(x)的图象如图所示，
即关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实数解.
12.已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________.
解析　画出函数y＝3x，y＝log3x，
y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，
观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，
h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标.
由图象可知aa13.已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
解　函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ>0，即4＋12(1－m)>0，
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值；
(3)若f(x)＝0有两个根，且一个根大于2，一个根小于2，求实数m的取值范围.
解　(2)由题意知0是对应方程的根，故有1－m＝0，可解得m＝1.
(3)由题意可得f(2)>0，即－7－m>0，则m<－7.
故实数m的取值范围为(－∞，－7).
解析　因为存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)＝f(x2)，故函数不是单调函数，
又y＝x＋1与y＝2x交于(0，1)和(1，2)点，画出图象如图所示，
(0，1)
由图可知，当0故实数a的取值范围是(0，1).