河南省郑州市宇华实验学校2023-2024学年高二上学期宏志班1月第二次月考数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 河南省郑州市宇华实验学校2023-2024学年高二上学期宏志班1月第二次月考数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 861.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-22 11:12:48 | ||
图片预览
文档简介
宇华实验学校2023-2024（上）第二次月考
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）
1、复数满足,为虚数单位,在复平面上复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象 C.第三象限 D.第四象限
2、已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为)，且，则m+3n的值是( )
A.-6 B.6 C.14 D.-14
3、在直三棱柱中，， ，，M是的中点，以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线CM与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4、在空间中，l,m是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A.若，，则
B.若
C.若
D.若
5、直线与圆的位置关系是( )
A.相交 B.相离 C.相交或相切 D.相切
6、如图,要测量底部不能到达的某铁塔的高度,在塔的同一侧选择两观测点,且在两点测得塔顶的仰角分别为.在水平面上测得两地相距,则铁塔的高度是( )
A. B. C. D.
7、已知抛物线的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作，垂足为.若四边形的面积为14，且，则抛物线C的方程为( )
A. B. C. D.
8、对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，称为“局部奇函数”.若为定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9、在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则( )
A.平面的一个法向量为 B.平面的一个法向量为
C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为
10、随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，则( )
A. 可以排成9个不同的三位数 B. 所得的三位数是奇数的概率为
C. 所得的三位数是偶数的概率为 D. 所得的三位数大于400的概率为
11、已知，且,是方程的两个实根，则下列结论正确的是( )
A.tan B. C.an D.
12、已知点P为双曲线 (，)所在平面内一点，，分别为C的左、右焦点，,线段分别交双曲线于两点,.设双曲线的离心率为e,则下列说法正确的有( )
A.若平行渐近线,则e=2 B.若,则e=+2
C.若,则 D.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13、在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为.若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是__________.
14、在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，平面ABC，.M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为______.
15已知椭圆的左、右焦点分别为，.若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为_____________.
16、已知正实数x，y满足，则的最小值为__________..
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）17（10分）、已知的三个顶点为，，.
(1)求外接圆的方程；
(2)若圆与圆相交于点P，Q，求.
18（12分）、如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E为BC的中点.
(1)证明：平面ABCD.
(2)在线段AN上是否存在点S，使得平面AMN 如果存在，求出线段AS的长度；若不存在，请说明理由.
19（12分）、在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若.
（1）求角A的大小；
（2）若，求面积的取值范围.
20（12分）、已知四边形满足，，是的中点，将沿着翻折成，使平面平面，为的中点．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求平面与平面所成角的正弦值．
21（12分）、某区消费者协会在3月15号举行了大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识.组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第4组的概率；
（2）已知第1组群众中男性群众有2名，组织方要从第1组中随机抽取3名群众组成维权志愿者服务队，求抽取的3名群众中，至少有2名女性群众的概率
22（12分）、已知椭圆的左、右两个顶点分别为，点P为椭圆上异于的一个动点，设直线的斜率分别为，若动点Q与的连线斜率分别为，且，记动点Q的轨迹为曲线.
1.当时，求曲线的方程；
2.已知点，直线与分别与曲线交于两点，设的面积为，的面积为，若，求的取值范围.
参考答案
1、答案：D
解析：依题意可得,
,
所以在复平面上复数对应的点位于第四象限,故选D。
2、答案：A
解析：，，且，，，，故选A.
3、答案：A
解析：设，则，，，所以，，，
因为，所以，解得，
所以，，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
4、答案：D
解析：若，，，则或异面，故A错误；
若，，则或，故B错误；
若，，，可能有，故C错误；
若，，则，又，则，故D正确，故选：D.
5、答案：A
解析：方法一：直线恒过定点，而点在圆内，故直线与圆相交.选A.
方法二：因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相交.故选A.
方法三：联立直线方程与圆的方程，消去x并整理，得，则，所以直线与圆相交.故选A.
6、答案：D
7、答案：C
解析：作出图形如下所示，过点F作，垂足为.设，，故，，由抛物线定义可知，，则，故.四边形的面积，解得，故抛物线C的方程为.故选C.
8、答案：B
解析：因为函数为定义在R上的“局部奇函数”，所以方程有解，即方程有解，整理得，即方程有解，令，则，即方程（*）在上有解，设.
（1）当方程（*）有两个相等的解时，由解得.
（2）当方程（*）有两个不相等的解，其中一个解小于2，另一个解大于等于2时，则或解得.
（3）当方程（*）有两个不相等的解，且两个解都大于等于2时，由解得.综上所述，，故选B.
9、答案：AC
解析：由题意，知，，，，，，.，平面，故A正确；
，且，不是平面的法向量，故B不正确；
，，，，又，是平面的一个法向量，故C正确；
，且，不是平面的法向量，故D不正确.
10、答案：BD
解析：使用1，5，6三个数字可以排成156，165，516，561，615，651，共6个不同的三位数，三位数为偶数的有156，516，共2个，相应的概率；三位数有165，561，615，651，共4个，相应的概率；大于400的三位数个数为4，所以相应的概率为.
11、答案：BCD
解析：，且，是方程的两不等实根，，故A错误；，，故D正确；，故B正确；，
当且仅当时，等号成立，故C正确．
故选：BCD．
12、答案：ACD
解析：本题考查双曲线的定义、离心率问题、焦半径问题.由题意为直角三角形,点P坐标为,直线斜率.不妨设点P在第一象限,如图.
选项A,若平行渐近线,则,得,故A正确.
选项B,若,则.连接(图略),由,解得,得,故B错误.
选项C,若,则.连接(图略),由,解得,得,故C正确.
选项D,,,点M的坐标为,代入双曲线方程得,,则,故D正确.故选ACD.
13、答案：
解析：圆C的标准方程为，圆心为，则题中条件可转化为圆C的圆心到直线的距离不大于2，则，整理得，解得.故k的最大值是.
14、答案：
解析：易知,,，故以B为坐标原点，BA,BC所在直线分别为x轴，y轴，过点B且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，由M为PC的中点可得，则，，
设为平面MBA的一个法向量，
则即
令，则，所以，所以点P到平面MAB的距离.
15、答案：
解析：在中，由正弦定理知.因为，椭圆离心率，所以，即.①
又因为点P在椭圆上，所以，
将①代入可得.
又，所以两边同除以a得.
又，所以.
16、答案：
解析：方法一：由题意可得，当且仅当，即，时取等号.
方法二：，当且仅当，即，时取等号.
17、答案：(1)
(2)
解析：(1)设外接圆的方程为，且，
分别把三个顶点，，的坐标代入，
可得解得满足，
则圆的方程为.
(2)先将圆方程化为，
列出方程组
再将圆与圆的方程相减，即，
得公共弦所在直线的方程为.
又因为圆的圆心坐标为，且半径，
则圆心到公共弦所在直线的距离为，
故公共弦.
18、答案：(1)证明见解析
(2)线段AS的长度为
解析：(1)证明：连接BD，如图(1).
因为平面，平面ABCD，
所以.
因为，
所以四边形MDBN为平行四边形.
所以.
又平面，平面ABCD，所以平面ABCD.
(2)由题意知DM，DC，DA两两垂直.
以点D为原点，DA，DC，DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图(2)的空间直角坐标系，
则，，，，，
假设在线段AN上存在点S，使得平面AMN，连接AE.
易知，，.
设，，
则.
由平面AMN，得即
解得.
此时，所以.
故在线段AN上存在点S，使得平面AMN，此时线段AS的长度为.
19、（1）答案：
解析：由及正弦定理得：
，
因为，，所以，，
所以，又，所以；
（2）答案：
解析：由正弦定理，，，
由得：，
即①，由余弦定理得，解得，
所以，，
，
为锐角三角形，且，
即，，
，.
面积的取值范围为.
20、解析：（1）取的中点，连接，易知，
则为等边三角形，则，又因为平面平面，所以平面，所以；.
（2）连接，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直
角坐标系，则，，，，，
则，，
，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，设平面的法向量为，
则，即，令，则，
则，又两平面的夹角范围为
所以平面与平面所成角的正弦值为．
21、解析：（1）设第2组的频率为，则
；
第4组的频率为，
所以被采访人恰好在第2组或第4组的概率为.
（2）设第1组的频数为，则.
记第1组中的男性群众为，，女性群众为，，，，则随机抽取3名群众的所有可能的结果为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种，
其中至少有2名女性群众包含的所有可能的结果为，，，，，，，，，，，，，，，，共16种，所以抽取的3名群众中，至少有2名女性群众的概率为.
22、解析：1.设，则，
因为，则
设,
所以，
整理得.
所以，当时，曲线的方程为.
2.设.由题意知，
直线的方程为：，直线的方程为：.
由1知，曲线的方程为，
联立，消去x，得，得
联立，消去x，得，得
设,则在上递增
又，
的取值范围为
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）
1、复数满足,为虚数单位,在复平面上复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象 C.第三象限 D.第四象限
2、已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为)，且，则m+3n的值是( )
A.-6 B.6 C.14 D.-14
3、在直三棱柱中，， ，，M是的中点，以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线CM与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4、在空间中，l,m是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A.若，，则
B.若
C.若
D.若
5、直线与圆的位置关系是( )
A.相交 B.相离 C.相交或相切 D.相切
6、如图,要测量底部不能到达的某铁塔的高度,在塔的同一侧选择两观测点,且在两点测得塔顶的仰角分别为.在水平面上测得两地相距,则铁塔的高度是( )
A. B. C. D.
7、已知抛物线的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作，垂足为.若四边形的面积为14，且，则抛物线C的方程为( )
A. B. C. D.
8、对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，称为“局部奇函数”.若为定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9、在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则( )
A.平面的一个法向量为 B.平面的一个法向量为
C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为
10、随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，则( )
A. 可以排成9个不同的三位数 B. 所得的三位数是奇数的概率为
C. 所得的三位数是偶数的概率为 D. 所得的三位数大于400的概率为
11、已知，且,是方程的两个实根，则下列结论正确的是( )
A.tan B. C.an D.
12、已知点P为双曲线 (，)所在平面内一点，，分别为C的左、右焦点，,线段分别交双曲线于两点,.设双曲线的离心率为e,则下列说法正确的有( )
A.若平行渐近线,则e=2 B.若,则e=+2
C.若,则 D.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13、在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为.若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是__________.
14、在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，平面ABC，.M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为______.
15已知椭圆的左、右焦点分别为，.若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为_____________.
16、已知正实数x，y满足，则的最小值为__________..
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）17（10分）、已知的三个顶点为，，.
(1)求外接圆的方程；
(2)若圆与圆相交于点P，Q，求.
18（12分）、如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E为BC的中点.
(1)证明：平面ABCD.
(2)在线段AN上是否存在点S，使得平面AMN 如果存在，求出线段AS的长度；若不存在，请说明理由.
19（12分）、在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若.
（1）求角A的大小；
（2）若，求面积的取值范围.
20（12分）、已知四边形满足，，是的中点，将沿着翻折成，使平面平面，为的中点．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求平面与平面所成角的正弦值．
21（12分）、某区消费者协会在3月15号举行了大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识.组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第4组的概率；
（2）已知第1组群众中男性群众有2名，组织方要从第1组中随机抽取3名群众组成维权志愿者服务队，求抽取的3名群众中，至少有2名女性群众的概率
22（12分）、已知椭圆的左、右两个顶点分别为，点P为椭圆上异于的一个动点，设直线的斜率分别为，若动点Q与的连线斜率分别为，且，记动点Q的轨迹为曲线.
1.当时，求曲线的方程；
2.已知点，直线与分别与曲线交于两点，设的面积为，的面积为，若，求的取值范围.
参考答案
1、答案：D
解析：依题意可得,
,
所以在复平面上复数对应的点位于第四象限,故选D。
2、答案：A
解析：，，且，，，，故选A.
3、答案：A
解析：设，则，，，所以，，，
因为，所以，解得，
所以，，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
4、答案：D
解析：若，，，则或异面，故A错误；
若，，则或，故B错误；
若，，，可能有，故C错误；
若，，则，又，则，故D正确，故选：D.
5、答案：A
解析：方法一：直线恒过定点，而点在圆内，故直线与圆相交.选A.
方法二：因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相交.故选A.
方法三：联立直线方程与圆的方程，消去x并整理，得，则，所以直线与圆相交.故选A.
6、答案：D
7、答案：C
解析：作出图形如下所示，过点F作，垂足为.设，，故，，由抛物线定义可知，，则，故.四边形的面积，解得，故抛物线C的方程为.故选C.
8、答案：B
解析：因为函数为定义在R上的“局部奇函数”，所以方程有解，即方程有解，整理得，即方程有解，令，则，即方程（*）在上有解，设.
（1）当方程（*）有两个相等的解时，由解得.
（2）当方程（*）有两个不相等的解，其中一个解小于2，另一个解大于等于2时，则或解得.
（3）当方程（*）有两个不相等的解，且两个解都大于等于2时，由解得.综上所述，，故选B.
9、答案：AC
解析：由题意，知，，，，，，.，平面，故A正确；
，且，不是平面的法向量，故B不正确；
，，，，又，是平面的一个法向量，故C正确；
，且，不是平面的法向量，故D不正确.
10、答案：BD
解析：使用1，5，6三个数字可以排成156，165，516，561，615，651，共6个不同的三位数，三位数为偶数的有156，516，共2个，相应的概率；三位数有165，561，615，651，共4个，相应的概率；大于400的三位数个数为4，所以相应的概率为.
11、答案：BCD
解析：，且，是方程的两不等实根，，故A错误；，，故D正确；，故B正确；，
当且仅当时，等号成立，故C正确．
故选：BCD．
12、答案：ACD
解析：本题考查双曲线的定义、离心率问题、焦半径问题.由题意为直角三角形,点P坐标为,直线斜率.不妨设点P在第一象限,如图.
选项A,若平行渐近线,则,得,故A正确.
选项B,若,则.连接(图略),由,解得,得,故B错误.
选项C,若,则.连接(图略),由,解得,得,故C正确.
选项D,,,点M的坐标为,代入双曲线方程得,,则,故D正确.故选ACD.
13、答案：
解析：圆C的标准方程为，圆心为，则题中条件可转化为圆C的圆心到直线的距离不大于2，则，整理得，解得.故k的最大值是.
14、答案：
解析：易知,,，故以B为坐标原点，BA,BC所在直线分别为x轴，y轴，过点B且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，由M为PC的中点可得，则，，
设为平面MBA的一个法向量，
则即
令，则，所以，所以点P到平面MAB的距离.
15、答案：
解析：在中，由正弦定理知.因为，椭圆离心率，所以，即.①
又因为点P在椭圆上，所以，
将①代入可得.
又，所以两边同除以a得.
又，所以.
16、答案：
解析：方法一：由题意可得，当且仅当，即，时取等号.
方法二：，当且仅当，即，时取等号.
17、答案：(1)
(2)
解析：(1)设外接圆的方程为，且，
分别把三个顶点，，的坐标代入，
可得解得满足，
则圆的方程为.
(2)先将圆方程化为，
列出方程组
再将圆与圆的方程相减，即，
得公共弦所在直线的方程为.
又因为圆的圆心坐标为，且半径，
则圆心到公共弦所在直线的距离为，
故公共弦.
18、答案：(1)证明见解析
(2)线段AS的长度为
解析：(1)证明：连接BD，如图(1).
因为平面，平面ABCD，
所以.
因为，
所以四边形MDBN为平行四边形.
所以.
又平面，平面ABCD，所以平面ABCD.
(2)由题意知DM，DC，DA两两垂直.
以点D为原点，DA，DC，DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图(2)的空间直角坐标系，
则，，，，，
假设在线段AN上存在点S，使得平面AMN，连接AE.
易知，，.
设，，
则.
由平面AMN，得即
解得.
此时，所以.
故在线段AN上存在点S，使得平面AMN，此时线段AS的长度为.
19、（1）答案：
解析：由及正弦定理得：
，
因为，，所以，，
所以，又，所以；
（2）答案：
解析：由正弦定理，，，
由得：，
即①，由余弦定理得，解得，
所以，，
，
为锐角三角形，且，
即，，
，.
面积的取值范围为.
20、解析：（1）取的中点，连接，易知，
则为等边三角形，则，又因为平面平面，所以平面，所以；.
（2）连接，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直
角坐标系，则，，，，，
则，，
，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，设平面的法向量为，
则，即，令，则，
则，又两平面的夹角范围为
所以平面与平面所成角的正弦值为．
21、解析：（1）设第2组的频率为，则
；
第4组的频率为，
所以被采访人恰好在第2组或第4组的概率为.
（2）设第1组的频数为，则.
记第1组中的男性群众为，，女性群众为，，，，则随机抽取3名群众的所有可能的结果为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种，
其中至少有2名女性群众包含的所有可能的结果为，，，，，，，，，，，，，，，，共16种，所以抽取的3名群众中，至少有2名女性群众的概率为.
22、解析：1.设，则，
因为，则
设,
所以，
整理得.
所以，当时，曲线的方程为.
2.设.由题意知，
直线的方程为：，直线的方程为：.
由1知，曲线的方程为，
联立，消去x，得，得
联立，消去x，得，得
设,则在上递增
又，
的取值范围为
同课章节目录