一次函数的应用 选择方案
一、内容和内容解析
1. 内容
建立函数模型解决“选择上网收费方式”问题．
2. 内容解析
选择上网收费方式问题是生活中的常见问题，具有一定的开放性. 事实上生活中的数学问题大多是具有开放性的综合问题，所以对这类问题的探究是“数学回归生活，服务于生活”的需要．本课是一次函数的应用，但本课设置的目的不仅仅停留在如何解决这个问题，而是通过这个问题的解决过程让学生体验“建模解题”的过程，渗透建模思想．
建立函数模型解决问题大致分为三个环节：首先，设置变量，建立实际问题中变量间的函数关系，将实际问题转化为函数模型；其次，利用函数的性质解决函数问题；最后，用函数问题的解解释实际问题，得到实际问题的解．在这三个环节中“建立模型”尤为重要，需要学生具有一定的分析、转化能力．
本课涉及到一次函数间的大小比较问题．函数间比较大小，需在自变量为同一定值的前提下进行，在稍显复杂的问题中，我们多借助函数图像来确定函数间的大致关系以及重要节点的大致位置等．
基于以上分析，本课的教学重点是：建立一次函数模型解决“选择上网收费方式”问题．
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）体验建立函数模型解决问题的一般过程．
（2）体会函数模型思想，增强应用意识和应用能力．
2. 目标解析
达成目标（1）需经历以下过程：发现问题中的关键变量—“时间与费用”，并根据题意建立变量间的函数关系式；结合图像比较、分析不同函数在不同区间上的大小关系；根据函数问题的结果解释 “选择上网收费方式”问题．
达成目标（2）需要学生体会：如何通过感知问题的起点与目标，确定变量及变量间的函数关系？如何通过分析，将表格信息转化为函数解析式？如何借助图像分析，确定不同函数在各区间上的大小关系？如何利用函数问题的结果准确的解释实际问题？
三、教学问题诊断分析
本课要解决的是一个综合性问题，对学生的能力要求较高．首先，学生需根据问题的情境确定恰当的知识模型，并准确地将实际问题抽象为数学问题；其次，问题的起点与目标跨度较大，学生需自主将解决问题的过程分解为不同的阶段，并确定阶段任务和阶段目标；第三，阶段任务也没有明确的提示，需学生选择适当的知识及途径来解决．
学生在以往的学习中，更习惯于利用知识解决任务单一且指向性明确的问题，在独立面对综合性问题的时候会感觉无从下手．学生面临的主要困难是：（1）对题意（尤其是表格信息）的准确理解；（2）由问题向函数模型的迁移；（3）合理的规划建模解题的过程等．所以本课要解决的关键问题不是一次函数本身的问题，而是如何建模、如何合理规划建模解题的完整过程的问题．
本课的教学难点是：建立函数模型，规划解题思路．
四、教学过程设计
1.情境引入，明确目标
引言
做一件事情，有时有不同的实施方案．比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常有必要的．应用数学的知识和方法对各种方案进行比较分析，可以帮助我们清楚的认识各种方案，作出理性的决策．
当我们面对不同的方案，怎样运用数学方法进行比较并作出合理的选择？请看下面问题：
下表给出A，B，C三种上宽带网的收费方式．
收费方式
月使用费/元
包时上网时间/h
超时费/（元/min）
A
30
25
0.05
B
50
50
0.05
C
120
不限时
选择哪种收费方式能节约上网费用？
问题1 你了解表格中这些数字的含义吗？
追问1：如果每月的上网时间为20小时，选择哪种收费方式能节约上网费用？
追问2：如果每月的上网时间为150小时，选择哪种收费方式能节约上网费用？
师生活动：学生阅读问题，教师引导学生表达对问题的初步认识．
设计意图：通过提问和学生的回答，了解学生对表格信息的理解能力及理解水平，引导学生对表格信息做初步梳理和简单加工．通过两个追问，渗透收费方式的选择与上网时间相关．
问题2 你能确定选择哪种收费方式能节约上网费用吗？为什么？
师生活动：教师提问，学生思考并回答．
设计意图：进一步明确上网费用的多少与上网时间相关，随着时间的变化，所选的最优方案也不同．
问题3 面对这样一个问题，我们应从哪里入手呢？
追问1：这个问题要我们做什么？
追问2：选择方案的依据是什么？
师生活动：教师引导学生，通过阅读问题明确问题的起点（条件）和目标，知道根据省钱原则方案．
设计意图：感知问题首先要感知问题的起点和目标，即知道在什么条件下需要做什么事，从而为我们后续的工作指明方向．
2．分析问题，规划思路
问题4 要比较三种收费方式的费用，需要做什么？
师生活动：教师引导学生认识到需要算出每种方案各自的费用并进行比较，
追问1：方式C需要多少钱？
追问2：方式A，B的费用确定吗？影响费用的因素是什么？
追问3：方式A，B的费用与上网时间t有什么关系？
师生活动：以教师引导的形式进行如下分析：
（1）费用的构成要素及其关系
当上网时间不超过规定时间时，费用=月费；
当上网时间超过规定时间时，费用=月费 + 超时费用（即超时使用价格×超时时间）
（2）用适当方法表示出A，B两种方案的费用（设上网时间为t h）
方式A：
当上网时间不超过25 h时，费用=30元；
当上网时间超过25 h时，费用=30 + 0.05×60（t -25）
方式B：
当上网时间不超过50 h时，费用=50
当上网时间超过50 h时，费用=50 + 0.05×60（t -50）
用式子表示数量关系：
方案A
方案B
用函数图象表示数量关系，如图．
追问4：怎样比较三种收费方式的费用？
设计意图：感知问题的整体结构和数量关系，是从粗略到精细，从定性到定量的过程，要感知本题中费用随上网时间的变化而变化，并把这两个变量作为研究的对象，并不是自动生成的，需要经过费用构成要素分析、各要素的可变性分析、变量的确定、变量之间关系的确定及数量表示等过程．在感知问题中数量关系的基础上，教师要进一步引导学生标据，设出变量或未知数，用式子表示这些数量之间关系．最终把问题转化为比较一次函数大小．
3．建立模型，解决问题
任务l 请把原来的问题转化为函数问题．
师生活动：学生独立建立函数模型，把实际问题转化为函数问题．
设上网时间为t h，方案A费用为y1元，方案B费用为y2元，方案C费用为y3元，则
．
比较y1， y2， y3的大小．
设计意图：通过前面的分析，在写出函数式的基础上，通过建立一次函数模型，把实际问题转为一次函数的问题，这是感知问题、分析问题基础上的用一次函数模型对实际问题进行数学表征，通过这种表征，把实际问题转化为函数问题．
任务2 独立解决上面的函数问题，并进行相互交流．
师生活动：教师引导学生解决函数问题．
当时，即，解方程，得；
当时，即，解方程，得．
结合图象可知：
（1）当时，；
（2）当时，；
（3）当时，且；
（4）当时，；
（5）当时，．
设计意图：上述函数问题，需要在画出函数图象、观察函数图象的基础上对上网时间进行分段讨论，让学生体会根据函数图象作出整体时间分段规划，应用方程和不等式解决具体时间段中的函数值大小比较，精细分析数量关系的过程．
任务3 请解释你得到结果的实际意义，并检查自己解题过程正确与否．
师生活动：教师引导学生解释上述结果的实际意义，
当上网时间不超过h时，选择方案A最省钱；
当上网时间等于h时，选择方案A或B均可；
当上网时间为h至h时，选择方案B最省钱；
当上网时间等于h时，选择方案B或C均可；
当上网时间超过h时，选择方案C最省钱．
设计意图：让学生解释数学模型解的实际意义，发展自我评价的意识．
4．小结
请大家带着下列问题回顾上述问题的解决过程，谈谈自己的感悟：
（l）在解决“选择上网收费方式”问题的过程中，经历了哪些步骤？
（2）明确解决问题的起点与目标有何作用？
（3）你是怎样发现问题中的变量之间的函数关系的？
设计意图：让学生带着问题回顾解决实际问题的过程，可以提高反思过程的针对性，突出反思问题解决的关键节点和核心思想这两个重点，帮助学生概括应用一次函数解决实际问题的基本思路．
5.巩固应用
甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费，则小红在哪家商场购物的实际花费较少？
师生活动：学生独立解决问题，教师巡视指导，学生交流展示．
设计意图：让学生通过同类问题的解决，巩固问题解决的基本过程，进一步熟悉“确定起点、目标”，确定核心变量并建立适当的函数模型，等基本步骤，提升解决问题的能力.
6.作业
略
