北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元复习题（含解析）

北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元复习题
一、单选题
1．如图所示，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为2∶5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角形的对应边长为（　　）
A．3.2 cm B．8 cm C．10 cm D．20 cm
2．相距125千米的两地在地图上的距离为25cm，则该地图的比例尺为
A．1∶5000 B．1∶50000 C．1∶500000 D．1∶5000000
3．如图所示，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为.以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点的坐标是（　　）.
A． B． C． D．
4．如图， 中， 两点分别在 边上，且 ∥ ，如果 ， ，则 （　　）
A．3 B．4 C．9 D．12
5．已知△ABC的三条边长分别为3，5，6，若使△ABC∽△DEF，则△DEF的三条边长可以（　　）
A．4，6，7 B．4，7，8 C．12，10，8 D．18，15，9
6．如图，中，E是延长线上一点，交于点F，且，，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．如图，在中，E为边上的点，若，交于F，则等于（　　）
A．4：5 B．2：5 C．5：9 D．4：9
8．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比是（　　）
A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．5：2
9．已知点C是AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB=4cm，则AC的长为（　　）
A．（2﹣2）cm B．（6﹣2）cm C．（﹣1）cm D．（3﹣）cm
10．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则S△CDF：S四边形ABFE等于（　　）
A．1：3 B．2：5 C．3：5 D．4：9
二、填空题
11．若 ，则x=　 　．
12．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使点B翻折到点E处，如果DE∶AC=1∶3，那么AD∶AB=　 　
13．如图4-5所示，在中，是AB的中点，DE交对角线AC于点.若的面积为1，则的面积为　 　.
14．如图，在中，，AD平分交BC于点D，，则　 　
三、解答题
15．已知，且，求的值。
16．如图，点D，E，F分别在△ABC的各边上，且DE BC，DF AC，若 ，BF=6，则DE的长为多少？
17．如图，AD、BC相交于点P，连结AC、BD，且∠1=∠2，AC=3，CP=2，DP=1，求BD的长.
18．如图，点D在△ABC的边AB上，∠ACD＝∠B，AD＝6cm，DB＝8cm，求：AC的长．
四、综合题
19．如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB，在边AD上取点E，连结CE，过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．
（1）证明：△AEF∽△DCE．
（2）若AB=2，AE=3，AD=7，求线段AF的长．
20．如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于点M．连接CM交DB于点N．
（1）求证： ；
（2）若CD=6，AD =8，求MN的长．
21．如图1，已知正方形 和正方形 ，点 在同一直线上，连接 ， ， 与 相交于点 ．
（1）求证： ．
（2）如图2， 是 边上的一点，连接 交 于点 ，且 ．
①求证： ；
②若 ，直接写出 的值．
22．如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3.
（1）求 的值；
（2）求BC的长.
23．如图
（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO= ，BO：CO=1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．
请回答：∠ADB=　 　°，AB=　 　．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO= ，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解： ∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为1：2，三角尺的一边长为5cm，
∴投影三角形的对应边长为：5÷ =10cm．
故答案为：D.
【分析】根据位似图形对应边的比等于位似比即可得出答案。
2．【答案】C
【解析】【分析】由题知相距125千米的两地在地图上的距离为25cm，则该地图的比例尺=
【点评】本题考查比例，解答本题的关键是通过审题列出式子，本题属基础题
3．【答案】B
【解析】【解答】解： 在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0），以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标是 .
故答案为：B.
【分析】在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，新图形与原图形的位似比为k，与原图形上（x，y）对应的位似图形上的点的坐标是（-kx，-ky）或（kx，ky），根据性质即可直接得出答案.
4．【答案】B
【解析】【解答】∵DE∥BC，∴ ，又AC=6，∴AE=4，故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，利用比例式建立方程求解即可。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，边长为6的边是边长为3的边的2倍，
即两条边的比是1：2；
故若△ABC∽△DEF，则在△DEF中，其中两条边的比也是是1：2；
∵4：7≠1：2，8：12≠1：2，
∴A、C不符合题意；
∵，
∴B不符合要求；
∵，
∴D符合要求；
故答案为：D.
【分析】如果两个三角形是相似三角形，则对应边成比例，观察△ABC可知，有两边的比是1：2，即可判断A和C选项；分别求三角形三边的对应比判断是否相等，即可判定B和D选项，即可得出答案.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：C
【分析】先证明，可得，再将数据代入求出即可。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE：EC＝2：3，
∴BE：AD＝2：5，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴BF：FD＝BE：AD＝2：5，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等得AD∥BC，AD＝BC，根据平行三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可得△ADF∽△EBF，进而根据相似三角形对应边成比例即可得出答案.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：与是位似图形，点为位似中心，
且
又
故答案为：C.
【分析】根据位似图形的性质可得且△ABC∽△DEF，根据OA：AD=2：3可得，然后根据相似三角形的周长比等于相似比进行解答.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意知：AC=AB=4×=2（ ﹣1）=2
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（ ）叫做黄金比，AC=4×=2（ ﹣1）．﹣2．
故选A．
10．【答案】B
【解析】【解答】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ED∥BC，BC=AD，
∴△DEF∽△BCF，
∴
∵AE=DE，
设△DEF的面积为S．则△CDF的面积为2S，△BFC的面积为4S，△BCD
的面积=△ABD的面积=6S，
∴四边形ABFE的面积为5S，
∴S△CDF：S四边形ABFE=2：5，
故选：B．
【分析】由△DEF∽△BCF，推出 ,由AE=DE，推出 设△DEF的面积为S．则△CDF的面积为2S，△BFC的面积为4S，△BCD的面积=△ABD的面积=6S，推出四边形ABFE的面积为5S，由此即可解决问题；
11．【答案】2.5
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴5（1+x）=7x，
解得x=2.5．
故答案为：2.5．
【分析】方程两边同时乘以5x可将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后，再进行检验即可.
12．【答案】 ∶1
【解析】【解答】解：∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，∴∠BCA=∠ECA，AE=AB=CD，EC=BC=AD．∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∴∠ECA=∠DAC，设AD与CE相交于F，则AF=CF，∴AD﹣AF=CE﹣CF，即DF=EF，∴ = ．又∵∠AFC=∠DFE，∴△ACF∽△DEF，∴ = = = ，设DF=x，则AF=FC=3x．在Rt△CDF中，CD= =2 x．又∵BC=AD=AF+DF=4x，∴ = = ．故答案为： ∶1
【分析】根据折叠的性质及矩形的性质得出∠BCA=∠ECA，AE=AB=CD，EC=BC=AD ，AD∥BC，根据二直线平行，内错角相等得出∠DAC=∠BCA，根据等量代换得出∠ECA=∠DAC，设AD与CE相交于F，根据等角对等边则AF=CF，根据等式的性质得出DF=EF，从而得出DF∶AF＝EF∶CF，又∵∠AFC=∠DFE，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得出△ACF∽△DEF，根据相似三角形对应边成比例得出DF∶AF＝EF∶CF=DE∶AC=1∶3，设DF=x，则AF=FC=3x．在Rt△CDF中，根据勾股定理表示出CD，又∵BC=AD=AF+DF=4x，从而即可得出答案。
13．【答案】6
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AEG∽△CDG，
【思路点拨】采用间接法，将△ADC分割成△ADG与△CDG两部分，只要求出△ADG与△CDG的面积即可.
【反思】解此类问题时，运用了“相似三角形的面积比等于相似比的平方”以及“高相等时面积比等于底边的比”等知识.
14．【答案】10
【解析】【解答】延长AD至M，使AM=AB，连接BM
即
故填：10
【分析】从问题入手，直接求AD无从下手，题中给了60°的特殊角，想到作辅助线作出等边三角形，同时由同旁内角互补两直线平行又得到相似三角形，根据线段的相似比，把已知线段和未知线段联系起来，求解即可。
15．【答案】解：∵==，
∴3a=2b，4a=2c，
∵2a-b+c=10，
∴2a-1.5a+2a=10，
解得：a=4，
∴b=6，c=8，
∴a+2b-3c=4+2×6-3×8=-8.
【解析】【分析】由比例性质可得3a=2b，4a=2c，再结合2a-b+c=10，可得到2a-1.5a+2a=10，解得a=4，从而求得b=6，c=8，再代入式中计算即可.
16．【答案】解：∵DE//BC，DF//AC，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴DE=CF，
∵DE//BC，
∴ ，
∵AE：EC=1：2，
∴AE：AC=1：3，
∴ ，
∴DE=3．
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例，列出比例式，代入求解即可。
17．【答案】解：解：∵∠1=∠2，∠APC=∠BPD，
∴△APC∽△BPD，
∴
∴
解之：
【解析】【分析】图形中隐含对顶角相等，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△APC∽△BPD，利用相似三角形的对应边，可求出BD的长.
18．【答案】解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得，AC＝2 ．
【解析】【分析】通过两个三角形有两组对应角相等，则两个三角形相似，得出△ADC∽△ACB，再通过相似三角形，对应边成比例，得出结果.
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵CE⊥EF，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
又∵∠F+∠AEF=90°，
∴∠F=∠DEC，
∴△AEF∽△DCE
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=2，
∵AE=3，AD=7，
∴ED=AD﹣AE=4，
∵△AEF∽△DCE，
∴ ，
∴ ，
∴AF=6．
【解析】【分析】（1）由四边形ABCD为矩形，于是得到∠A=∠D=90°，根据垂直的定义得到∠AEF+∠DEC=90°，于是得到∠F=∠DEC，即可得到结论；（2）由四边形ABCD为矩形，得到DC=AB=2，求出ED=AD﹣AE=4，根据相似三角形的性质得到 ，代入数据即可得到结论．
20．【答案】（1）解：∵ DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠BDC，
∵∠ABD=∠BCD =90° ，
∴ ADB≌ BDC，
∴，
∴BD2=AD·CD；
（2）解：∵ BM∥CD，
∴∠MBD=∠BDC，
∴∠ADB=∠MBD，
∴BM=MD，∠MAB=∠MBA，
∴BM=MD=AM=4，
∵BD2=AD·CD=6×8=48，
∴BC2=BD2-CD2=12，
∴MC2=MB2+BC2=28，
∴MC=，
∵BM∥CD，
∴ MNB∽ CND，
∴，
∴MN=.
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定定理，证得 ADB≌ BDC，得到，即可得出BD2=AD·CD；
（2）根据平行线的性质及角平分线的定义，得出∠ADB=∠MBD，可得BM=MD，∠MAB=∠MBA，从而得出BM=MD=AM=4，再求出BD，BC，MC的长，再根据 MNB∽ CND，得出，即可求出
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CEGF是正方形，
∴BC=CD=AB，CE=CF，∠BCE=∠DCF=90°
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴BE=FD；
（2）解：①∵四边形ABCD和四边形CEGF是正方形，
∴CD//GE，GF=EC
∴ ，
∴
∴
∵
∴
∵BC=CD
∴
②∵
∴
∵
∴
∵AB=CD
∴
【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出BC=CD，CE=CF，∠BCE=∠DCF=90°，由SAS证明△BCE≌△DCF，得出对应边相等BE=FD；（2）①由正方形的性质得出CD//GE，得出 ，从而得到 ，再结合已知条件利用比例的性质即可得证②由 得出 ，结合①可得 ，从而即可得出 的值
22．【答案】（1）解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
（2）解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，即 ，
∴BC=9
【解析】【分析】（1）根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似可得△ADE∽△ABC，于是可得比例式求解；
（2）由（1）知，△ADE∽△ABC，于是可得比例式求解。
23．【答案】（1）75；4
（2）解：过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC=∠BEA=90°．∵∠AOD=∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴ = = ．∵BO：OD=1：3，∴ = = ．
∵AO=3 ，
∴EO= ，
∴AE=4 ．
∵∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠BAC=30°，AB=AC，
∴AB=2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（4 ）2+BE2=（2BE）2，解得：BE=4，∴AB=AC=8，AD=12．
在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+122=CD2，
解得：CD=4
【解析】【解答】解：（1）∵BD∥AC，
∴∠ADB=∠OAC=75°．
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴ = = ．
又∵AO= ，
∴OD= AO= ，
∴AD=AO+OD=4 ．
∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，
∴∠ABD=180°﹣∠BAD﹣∠ADB=75°=∠ADB，
∴AB=AD=4 ．
故答案为：75；4 ．
【分析】（1）利用平行线的性质，可求出∠ADB的度数，证明∠ADB=∠OAC，利用相似三角形的判定定理证明△BOD∽△COA，得出对应边成比例，求出OD的长，再求出AD的长，然后证明∠ABD=∠ADB，可求得AB的长。
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，先证明△AOD∽△EOB，得出对应边成比例，求出EO、AE的长，再证明AB=2BE，利用勾股定理求出BE的长，就可得出AC、AD的长，然后在Rt△CAD中，利用勾股定理求出CD的长即可解答。
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