北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元复习题（含解析）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元复习题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 344.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-23 13:55:14 | ||
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文档简介
北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元复习题
一、单选题
1．下列函数关系中，y是x的二次函数的是（ ）.
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数 的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
4．将抛物线 向下平移2个单位长度，得到的抛物线为（ ）
A． B． C． D．
5．若 是二次函数，则m的值为（ ）
A．2 B．-2 C．2或-2 D．0
6．如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax-a(a是常数，且a≠0)在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（ ）
A．y=（x-2）2+1 B．y=（x+2）2+1
C．y=（x-2）2-3 D．y=（x+2）2-3
8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，以下结论正确的是（ ）
A．abc＞0 B．方程ax2+bx+c=0有两个实数根分别为-2和6
C．a-b+c＜0 D．当y=4时，x的取值只能为0
9．若二次函数y＝x2﹣6x+k的图象经过A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3+ ，y3）三点，则y1，y2，y3关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
10．二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是（ ）
A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．﹣1＜t＜1
二、填空题
11．已知A（-1，3），B（2，3）是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上两点，该抛物线的对称轴是直线 .
12．已知二次函数 的图象如图所示，若方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 。
13．抛物线y=-x2+15有最 值，顶点坐标是 ．
14．已知抛物线 过点 ，与 轴和直线 分别相交于点A、B，点 为抛物线上A，B两点之间（包含A，B两点）的一个动点，若 ，则b的取值范围为 .
三、解答题
15．已知将成本为40元的某种商品按50元的定价售出时，能卖出500个，如果该种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，如何定价才能获得最大收益？
16．如图，请根据图中信息，求出这个二次函数解析式：
17．在同一坐标系中，画出函数y1＝2x2，y2＝2(x－2)2与y3＝2(x＋2)2的图象，并说明y2，y3的图象与y1＝2x2的图象的关系．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(-1，0)，B(4，0)，C(0，-4)，⊙M是△ABC的外接圆，M为圆心。
⑴求抛物线的解析式；
⑵求阴影部分的面积；
⑶在正半轴上有一点P，作PQ⊥x轴交BC于Q，设PQ=K，△CPQ的面积为S，求S关于K的函数关系式，并求出S的最大值。
四、综合题
19．已知函数y=-(m+2) (m为常数)，求当m为何值时：
（1）y是x的一次函数
（2）y是x的二次函数 并求出此时纵坐标为-8的点的坐标.
20．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的A处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式.已知球网与O点的水平距离为，高度为，球场的边界距O点的水平距离为.
（1）当时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围.
21．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）该运动员身高1.7米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？．
22．用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图①②③中的一种）
设竖档AB＝x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行）
（1）在图①中，如果不锈钢材料总长度为 12 米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为 3 平方米？
（2）在图②中，如果不锈钢材料总长度为 12 米，当x为多少时，矩形架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
（3）在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，3），tan∠OAC= ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点H是线段AC上任意一点，过H作直线HN⊥x轴于点N，交抛物线于点P，求线段PH的最大值；
（3）点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在点M使点E恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：选项A中， 不是二次函数，故选项A错误；
选项B中， 不是二次函数，故选项B错误；
选项C中， 是二次函数，故选项C正确；
选项D中， 不是二次函数，故选项D错误.
故答案为：C.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此判断.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴此函数的顶点坐标为（3，1），
故答案为：A．
【分析】根据二次函数的图象与性质求解即可。
3．【答案】D
【解析】【解答】∵二次函数解析式是
∴对称轴是直线
故答案为：D
【分析】根据二次函数顶点式的性质直接写出对称轴即可。
4．【答案】B
【解析】【解答】由抛物线平移的规律，可得将抛物线y=2x2向下平移2个单位后所得到的抛物线为，
故答案为：B.
【分析】利用抛物线的平移规律即可写出表达式。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意的得：
解得：
∴m=-2，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的定义，令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：A、由一次函数y=ax-a的图象可得：a＞0，此时一次函数y=ax-a的图象与y轴相交于负半轴，二次函数y=ax2-2x+1的图象开口向上，对称轴x=-＞0，故选项A错误；
B、由一次函数y=ax-a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2-2x+1的图象开口向下，故选项B错误；
C、由一次函数y=ax-a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2-2x+1的图象开口向下，对称轴x=-＜0，故选项C正确；
D、由一次函数y=ax-a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2-2x+1的图象开口向下，对称轴x=-＜0，故选项D错误.
故答案为：C.
【分析】 先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，然后判断正误，即可得出答案.
7．【答案】C
【解析】【分析】采用逐一排除的方法．先根据对称轴为直线x=2排除B、D，再将点（0，1)代入A、C两个抛物线解析式检验即可．
【解答】∵抛物线对称轴为直线x=2，
∴可排除B、D选项，
将点（0，1)代入A中，得（x-2)2+1=（0-2)2+1=5，故A选项错误，
代入C中，得（x-2)2-3=（0-2)2-3=1，故C选项正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质．关键是根据对称轴，点的坐标与抛物线解析式的关系，逐一排除．
8．【答案】B
【解析】【解答】因为
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0 ）与x轴交于点（-2，0）、（6，0），故方程
ax2+bx+c=0的两个实数根为-2和6。
故答案为：B。
【分析】抛物线开口向下故a＜0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，与y轴交于点（0，4），故c=4，abc＜0；抛物线y=ax2+bx+c（a≠0 ）与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的解；当x=-1时，抛物线上点在x轴上方，故a-b+c＞0，当y=4时，根据函数的对称性，x的取值为0或4。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：∵y＝x2﹣6x+k，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝ ＝3，
C（3+ ，y3）关于直线x＝3的对称点是（3- ，y3），
∵ 1＜1＜3- ，
∴y1＞y2＞y3，
故答案为：A．
【分析】先求出二次函数的队曾在，再求出点A、B、C到对称轴的距离，再根据二次函数增减性判断即可。
10．【答案】B
【解析】【分析】由二次函数的解析式可知，当x=1时，所对应的函数值y=t=a+b+1．把点（-1，0)代入y=ax2+bx+1，a-b+1=0，然后根据顶点在第一象限，可以画出草图并判断出a与b的符号，进而求出t=a+b+1的变化范围．
【解答】∵二次函数y=ax2+bx+1的顶点在第一象限，
且经过点（-1，0)，
∴易得：a-b+1=0，a＜0，b＞0，
由a=b-1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①，
由b=a+1＞0得到a＞-1，结合上面a＜0，所以-1＜a＜0②，
∴由①+②得：-1＜a+b＜1，
在不等式两边同时加1得0＜a+b+1＜2，
∵a+b+1=t代入得0＜t＜2，
∴0＜t＜2．
故选：B
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用．
11．【答案】
【解析】【解答】解：A（-1，3），B（2，3）是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上两点，
抛物线的对称轴为
故答案为： .
【分析】根据抛物线的对称性进行解答即可.
12．【答案】
【解析】【解答】解：由图象可知：二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，5），
∴ =5，即b2-4ac=-20a，
∵ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，
∴方程ax2+bx+c-k=0的判别式△＞0，即b2-4a（c-k）=b2-4ac+4ak=-20a+4ak=-4a（5-k）＞0
∵抛物线开口向下
∴a＜0
∴5-k＞0
∴k＜5．
故答案为：k＜5．
【分析】根据二次函数的一般形式的顶点坐标为（，），可得b2-4ac=-20a，再根据一元二次方程的根的判别式可得，结合抛物线开口向下确定a的符号，即可求解。
13．【答案】大；(0，15)
【解析】【解答】解：∵ 抛物线y=-x2+15
a=-1＜0
∴抛物线开口向下，则抛物线y=-x2+15有最大值，顶点坐标为：（0,15）
故答案为：大；（0,15）
【分析】根据函数解析式，由a＜0可知抛物线开口向下，抛物线有最高点，则函数有最大值；再求出顶点坐标。
14．【答案】b≤-4
【解析】【解答】解：将点 代入 得：
，
整理得： ，
，
，解得 ，
则抛物线的解析式为 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
点 为抛物线上A，B两点之间（包含A，B两点）的一个动点，且 ，
，
解得 ，
故答案为：b≤-4.
【分析】先将点代入函数，整理得到a=1， 则抛物线为y＝x2＋bx 3，所以抛物线开口向上，接着求出A、B的坐标，最后根据进而即可求出答案.
15．【答案】解：设售价为x元，获得的利润为y元，则销售个数为500-20(x-50)，
由题意得，
y＝(x-40)×(500-20x+1000)
＝-20(x-40)(x-75)
＝-20(x2-115x+3000)
＝-20(x-57.5)2-60000+66125
＝-20(x-57.5)2+6125
答：当x＝57.5元时得到最大利益6125元．
【解析】【分析】设售价为x元，获得的利润为y元，根据题意列出函数解析式y＝(x-40)×(500-20x+1000)＝-20(x-57.5)2+6125，再利用二次函数的性质求解即可。
16．【答案】解：由图可知，图象过(-1， 0)、(2， 0)、(0， -2)三点，
设这个二次函数解析式为y=ax2 +bx+c(a≠0)，把以上三点代入解析式得：
解得：
∴这个二次函数解析式为y=x2-x+2；
【解析】【分析】观察图象得出抛物线经过（-1， 0）、（2， 0）、（0， 2）三点， 设这个二次函数解析式为y=ax2+bx+c代入抛物线的解析式得出关于a，b，c的方程组，解方程组得出a，b，c的值，即可得出答案.
17．【答案】解：如图，
y2的图象由y1=2x2的图象向右平移2个单位得到；
y3的图象由y1=2x2的图象向左平移2个单位得到．
【解析】【分析】由图像可知：向右平移2个单位长度可得抛物线；向左平移2个单位长度可得抛物线。
18．【答案】解：（1）由抛物线经过A（-1，0），B（4，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-4），
将C（0，-4）代入上式中，得-4a=-4，a=1．
∴y=（x+1）（x-4）=x2-3x-4．
（2）∵A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）．
∴OB=OC=4，OA=1
∴∠OBC=45°，∴∠AMC=90°
∴AM2+MC2=OA2+OC2=12+42=17
∴AM2=CM2=，
∴S阴影=．
（3）∠OBC=45°，PQ⊥x轴；
∴BP=PQ=k，
∴S=k （4-k）=-k2+2k．
∴当k=2时，S最大值=2．
【解析】【分析】
（1）已知了A、B、C三点坐标可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）要求扇形的面积需要知道半径的长和扇形的圆心角的度数，先求圆心角∠AMC的度数，由于OB=OC，因此∠ABC=45°，根据圆周角定理可得出∠AMC=90°．再求半径，由于三角形AMC是等腰直角三角形，因此半径的平方等于AC的平方的一半，可在直角三角形OAC中求出AC的平方，据此可根据扇形的面积公式求出扇形的面积．
（3）求三角形CPQ的面积可以PQ为底，以OP为高，已知了PQ=k，在等腰直角三角形BPQ中，BP=PQ=k，也就能表示长OP的长，据此可求出S与k的函数关系，根据函数的性质即可求出S的最大值．
19．【答案】（1）由y=-(m+2) (m为常数)，y是x的一次函数，得 解得m=± ，当m=± 时，y是x的一次函数.
（2）由y=-(m+2) (m为常数)，y是x的二次函数，得 解得m=2，m=-2(错误的要舍去)，当m=2时，y是x的二次函数，当y=-8时，-8=-4x2，解得x=± ，故纵坐标为-8的点的坐标是(± ，-8).
【解析】【分析】（1）根据形如y=kx（，k是常数）是一次函数，可得出一次函数；
（2）根据根据形如（是常数，）是二次函数，可得答案，根据函数值，得出自变量的值，即可得出符合条件的点。
20．【答案】（1）解：由图象可知：点A的坐标为
将点和代入解析式中，得
，解得：
∴y与x的关系式为.
（2）解：球能越过球网，球不会出界，理由如下
将代入中，得
，
∴球能越过球网；
将代入中，得
，
∴该抛物线与x轴的右交点必在（18，0）的左侧，
∴球不会出界，
综上：球能越过球网，球不会出界.
（3）解：将点代入解析式中，得：
解得：
∴抛物线的解析式为
若球一定能越过球网，则当时， ；
∴，解得：
若不出边界，即抛物线与x轴的右交点在的左侧或重合，即当时，；
∴，解得
综上：若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围为.
【解析】【分析】（1）由题意得A（0，2），将点A（0，2）及h=2.8分别代入y=a（x-6）2+h可求出a的值，从而得出y关于x的函数解析式；
（2）将x=9代入（1）所求的函数解析式算出对应的函数值，再将该值与2.45比大小即可判断得出球是否过网；将x=9代入（1）所求的函数解析式算出对应的函数值，再将该值与0比大小即可判断得出球是否出界；
（3）将点A（0，2）代入y=a（x-6）2+h可表示出a的值为 ，得抛物线的解析式为， 若球一定能越过球网，则当x=9时， y＞2.45，据此建立不等式求解得出h的取值范围， 若不出边界，即抛物线与x轴的右交点在（18，0）的左侧或重合，即当x=18时，y≤0，据此建立不等式，求解可得h的取值范围，综上即可得出答案.
21．【答案】（1）解：抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，
∴设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，
由图可知函数图象过点(1.5，3.05)，
∴2.25a+3.5=3.05，
解得：a=-0.2，
∴抛物线的表达式为y= - 0.2x2+3.5；
（2）解：设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则球出手时，球的高度为(h+1.7+0.25)m，
∵(1)中求得y= - 0.2x2+3.5，
∴ ，
解得：h=0.3，
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.3m.
【解析】【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2＋3.5，依题意可知函数图象经过点(1.5，3.05)，代入可得a的值；（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得 ，解方程求出h即可.
22．【答案】（1）解： AD= ，
由题意得： ，
，
∴ ，
答：当 或3米时，矩形框架ABCD的面积为3平方米；
（2）解： ，
，
，
当 时，
4 ，
答：当 时，矩形架ABCD的面积S最大，最大面积是3平方米；
（3）解： ，
，
，
当 时
．
答：当 时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积是 平方米．
【解析】【分析】(1)由题意可得3AD+3AB=12，从而可得出AD的表达式；根据矩形的面积=长×宽，可得出方程；(2)由题意可得3AD+4AB=12，从而可得出AD的表达式；根据矩形的面积=长×宽，可得出S与x的函数关系式；(3)由题意可得3AD+nAB=a，从而可得出AD的表达式，根据矩形的面积=长×宽，可得出S与x的函数关系式，利用配方法可求出S的最大值．
23．【答案】（1）解：∵C（0，3），
∴OC=3，
∵tan∠OAC= ，
∴OA=4，
∴A（﹣4，0）．
把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=ax2+2ax+c中，
得 ，解得： ，
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣ x+3
（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，
得： ，解得： ，
∴直线AC的解析式为y= x+3．
设N（x，0）（﹣4＜x＜0），则H（x， x+3），P（x，﹣ x2﹣ x+3），
∴PH=﹣ x2﹣ x+3﹣（ x+3）=﹣ x2﹣ x=﹣ （x+2）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴PH有最大值，
当x=﹣2时，PH取最大值，最大值为
（3）解：过点M作MK⊥y轴于点K，交对称轴于点G，则∠MGE=∠MKC=90°，
∴∠MEG+∠EMG=90°，
∵四边形CMEF是正方形，
∴EM=MC，∠MEC=90°，
∴∠EMG+∠CMK=90°，
∴∠MEG=∠CMK．
在△MCK和△MEG中， ，
∴△MCK≌△MEG（AAS），
∴MG=CK．
由抛物线的对称轴为x=﹣1，设M（x，﹣ x2﹣ x+3），则G（﹣1，﹣ x2﹣ x+3），K（0，﹣ x2﹣ x+3），
∴MG=|x+1|，CK=|﹣ x2﹣ x+3﹣3|=|﹣ x2﹣ x|=| x2+ x|，
∴|x+1|=| x2+ x|，
∴ x2+ x=±（x+1），
解得：x1=﹣4，x2=﹣ ，x3=﹣ ，x4=2，
代入抛物线解析式得：y1=0，y2= ，y3= ，y4=0，
∴点M的坐标是（﹣4，0），（﹣ ， ），（﹣ ， ）或（2，0）．
【解析】【分析】（1）由点C的坐标以及tan∠OAC= 可得出点A的坐标，结合点A、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，由点A、C的解析式利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，设N（x，0）（﹣4＜x＜0），可找出H、P的坐标，由此即可得出PH关于x的解析式，利用配方法即二次函数的性质即可解决最值问题；（3）过点M作MK⊥y轴于点K，交对称轴于点G，根据角的计算依据正方形的性质即可得出△MCK≌△MEG（AAS），进而得出MG=CK．设出点M的坐标利用正方形的性质即可得出点G、K的坐标，由正方形的性质即可得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程，解方程即可求出x值，将其代入抛物线解析式中即可求出点M的坐标．本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）根据二次函数的性质解决最值问题；（3）根据正方形的性质得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据正方形的性质找出关于x的含绝对值符号的一元二次方程，解方程求出点的横坐标是关键．
1 / 1
一、单选题
1．下列函数关系中，y是x的二次函数的是（ ）.
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数 的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
4．将抛物线 向下平移2个单位长度，得到的抛物线为（ ）
A． B． C． D．
5．若 是二次函数，则m的值为（ ）
A．2 B．-2 C．2或-2 D．0
6．如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax-a(a是常数，且a≠0)在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（ ）
A．y=（x-2）2+1 B．y=（x+2）2+1
C．y=（x-2）2-3 D．y=（x+2）2-3
8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，以下结论正确的是（ ）
A．abc＞0 B．方程ax2+bx+c=0有两个实数根分别为-2和6
C．a-b+c＜0 D．当y=4时，x的取值只能为0
9．若二次函数y＝x2﹣6x+k的图象经过A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3+ ，y3）三点，则y1，y2，y3关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
10．二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是（ ）
A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．﹣1＜t＜1
二、填空题
11．已知A（-1，3），B（2，3）是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上两点，该抛物线的对称轴是直线 .
12．已知二次函数 的图象如图所示，若方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 。
13．抛物线y=-x2+15有最 值，顶点坐标是 ．
14．已知抛物线 过点 ，与 轴和直线 分别相交于点A、B，点 为抛物线上A，B两点之间（包含A，B两点）的一个动点，若 ，则b的取值范围为 .
三、解答题
15．已知将成本为40元的某种商品按50元的定价售出时，能卖出500个，如果该种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，如何定价才能获得最大收益？
16．如图，请根据图中信息，求出这个二次函数解析式：
17．在同一坐标系中，画出函数y1＝2x2，y2＝2(x－2)2与y3＝2(x＋2)2的图象，并说明y2，y3的图象与y1＝2x2的图象的关系．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(-1，0)，B(4，0)，C(0，-4)，⊙M是△ABC的外接圆，M为圆心。
⑴求抛物线的解析式；
⑵求阴影部分的面积；
⑶在正半轴上有一点P，作PQ⊥x轴交BC于Q，设PQ=K，△CPQ的面积为S，求S关于K的函数关系式，并求出S的最大值。
四、综合题
19．已知函数y=-(m+2) (m为常数)，求当m为何值时：
（1）y是x的一次函数
（2）y是x的二次函数 并求出此时纵坐标为-8的点的坐标.
20．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的A处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式.已知球网与O点的水平距离为，高度为，球场的边界距O点的水平距离为.
（1）当时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围.
21．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）该运动员身高1.7米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？．
22．用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图①②③中的一种）
设竖档AB＝x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行）
（1）在图①中，如果不锈钢材料总长度为 12 米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为 3 平方米？
（2）在图②中，如果不锈钢材料总长度为 12 米，当x为多少时，矩形架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
（3）在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，3），tan∠OAC= ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点H是线段AC上任意一点，过H作直线HN⊥x轴于点N，交抛物线于点P，求线段PH的最大值；
（3）点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在点M使点E恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：选项A中， 不是二次函数，故选项A错误；
选项B中， 不是二次函数，故选项B错误；
选项C中， 是二次函数，故选项C正确；
选项D中， 不是二次函数，故选项D错误.
故答案为：C.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此判断.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴此函数的顶点坐标为（3，1），
故答案为：A．
【分析】根据二次函数的图象与性质求解即可。
3．【答案】D
【解析】【解答】∵二次函数解析式是
∴对称轴是直线
故答案为：D
【分析】根据二次函数顶点式的性质直接写出对称轴即可。
4．【答案】B
【解析】【解答】由抛物线平移的规律，可得将抛物线y=2x2向下平移2个单位后所得到的抛物线为，
故答案为：B.
【分析】利用抛物线的平移规律即可写出表达式。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意的得：
解得：
∴m=-2，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的定义，令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：A、由一次函数y=ax-a的图象可得：a＞0，此时一次函数y=ax-a的图象与y轴相交于负半轴，二次函数y=ax2-2x+1的图象开口向上，对称轴x=-＞0，故选项A错误；
B、由一次函数y=ax-a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2-2x+1的图象开口向下，故选项B错误；
C、由一次函数y=ax-a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2-2x+1的图象开口向下，对称轴x=-＜0，故选项C正确；
D、由一次函数y=ax-a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2-2x+1的图象开口向下，对称轴x=-＜0，故选项D错误.
故答案为：C.
【分析】 先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，然后判断正误，即可得出答案.
7．【答案】C
【解析】【分析】采用逐一排除的方法．先根据对称轴为直线x=2排除B、D，再将点（0，1)代入A、C两个抛物线解析式检验即可．
【解答】∵抛物线对称轴为直线x=2，
∴可排除B、D选项，
将点（0，1)代入A中，得（x-2)2+1=（0-2)2+1=5，故A选项错误，
代入C中，得（x-2)2-3=（0-2)2-3=1，故C选项正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质．关键是根据对称轴，点的坐标与抛物线解析式的关系，逐一排除．
8．【答案】B
【解析】【解答】因为
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0 ）与x轴交于点（-2，0）、（6，0），故方程
ax2+bx+c=0的两个实数根为-2和6。
故答案为：B。
【分析】抛物线开口向下故a＜0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，与y轴交于点（0，4），故c=4，abc＜0；抛物线y=ax2+bx+c（a≠0 ）与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的解；当x=-1时，抛物线上点在x轴上方，故a-b+c＞0，当y=4时，根据函数的对称性，x的取值为0或4。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：∵y＝x2﹣6x+k，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝ ＝3，
C（3+ ，y3）关于直线x＝3的对称点是（3- ，y3），
∵ 1＜1＜3- ，
∴y1＞y2＞y3，
故答案为：A．
【分析】先求出二次函数的队曾在，再求出点A、B、C到对称轴的距离，再根据二次函数增减性判断即可。
10．【答案】B
【解析】【分析】由二次函数的解析式可知，当x=1时，所对应的函数值y=t=a+b+1．把点（-1，0)代入y=ax2+bx+1，a-b+1=0，然后根据顶点在第一象限，可以画出草图并判断出a与b的符号，进而求出t=a+b+1的变化范围．
【解答】∵二次函数y=ax2+bx+1的顶点在第一象限，
且经过点（-1，0)，
∴易得：a-b+1=0，a＜0，b＞0，
由a=b-1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①，
由b=a+1＞0得到a＞-1，结合上面a＜0，所以-1＜a＜0②，
∴由①+②得：-1＜a+b＜1，
在不等式两边同时加1得0＜a+b+1＜2，
∵a+b+1=t代入得0＜t＜2，
∴0＜t＜2．
故选：B
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用．
11．【答案】
【解析】【解答】解：A（-1，3），B（2，3）是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上两点，
抛物线的对称轴为
故答案为： .
【分析】根据抛物线的对称性进行解答即可.
12．【答案】
【解析】【解答】解：由图象可知：二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，5），
∴ =5，即b2-4ac=-20a，
∵ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，
∴方程ax2+bx+c-k=0的判别式△＞0，即b2-4a（c-k）=b2-4ac+4ak=-20a+4ak=-4a（5-k）＞0
∵抛物线开口向下
∴a＜0
∴5-k＞0
∴k＜5．
故答案为：k＜5．
【分析】根据二次函数的一般形式的顶点坐标为（，），可得b2-4ac=-20a，再根据一元二次方程的根的判别式可得，结合抛物线开口向下确定a的符号，即可求解。
13．【答案】大；(0，15)
【解析】【解答】解：∵ 抛物线y=-x2+15
a=-1＜0
∴抛物线开口向下，则抛物线y=-x2+15有最大值，顶点坐标为：（0,15）
故答案为：大；（0,15）
【分析】根据函数解析式，由a＜0可知抛物线开口向下，抛物线有最高点，则函数有最大值；再求出顶点坐标。
14．【答案】b≤-4
【解析】【解答】解：将点 代入 得：
，
整理得： ，
，
，解得 ，
则抛物线的解析式为 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
点 为抛物线上A，B两点之间（包含A，B两点）的一个动点，且 ，
，
解得 ，
故答案为：b≤-4.
【分析】先将点代入函数，整理得到a=1， 则抛物线为y＝x2＋bx 3，所以抛物线开口向上，接着求出A、B的坐标，最后根据进而即可求出答案.
15．【答案】解：设售价为x元，获得的利润为y元，则销售个数为500-20(x-50)，
由题意得，
y＝(x-40)×(500-20x+1000)
＝-20(x-40)(x-75)
＝-20(x2-115x+3000)
＝-20(x-57.5)2-60000+66125
＝-20(x-57.5)2+6125
答：当x＝57.5元时得到最大利益6125元．
【解析】【分析】设售价为x元，获得的利润为y元，根据题意列出函数解析式y＝(x-40)×(500-20x+1000)＝-20(x-57.5)2+6125，再利用二次函数的性质求解即可。
16．【答案】解：由图可知，图象过(-1， 0)、(2， 0)、(0， -2)三点，
设这个二次函数解析式为y=ax2 +bx+c(a≠0)，把以上三点代入解析式得：
解得：
∴这个二次函数解析式为y=x2-x+2；
【解析】【分析】观察图象得出抛物线经过（-1， 0）、（2， 0）、（0， 2）三点， 设这个二次函数解析式为y=ax2+bx+c代入抛物线的解析式得出关于a，b，c的方程组，解方程组得出a，b，c的值，即可得出答案.
17．【答案】解：如图，
y2的图象由y1=2x2的图象向右平移2个单位得到；
y3的图象由y1=2x2的图象向左平移2个单位得到．
【解析】【分析】由图像可知：向右平移2个单位长度可得抛物线；向左平移2个单位长度可得抛物线。
18．【答案】解：（1）由抛物线经过A（-1，0），B（4，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-4），
将C（0，-4）代入上式中，得-4a=-4，a=1．
∴y=（x+1）（x-4）=x2-3x-4．
（2）∵A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）．
∴OB=OC=4，OA=1
∴∠OBC=45°，∴∠AMC=90°
∴AM2+MC2=OA2+OC2=12+42=17
∴AM2=CM2=，
∴S阴影=．
（3）∠OBC=45°，PQ⊥x轴；
∴BP=PQ=k，
∴S=k （4-k）=-k2+2k．
∴当k=2时，S最大值=2．
【解析】【分析】
（1）已知了A、B、C三点坐标可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）要求扇形的面积需要知道半径的长和扇形的圆心角的度数，先求圆心角∠AMC的度数，由于OB=OC，因此∠ABC=45°，根据圆周角定理可得出∠AMC=90°．再求半径，由于三角形AMC是等腰直角三角形，因此半径的平方等于AC的平方的一半，可在直角三角形OAC中求出AC的平方，据此可根据扇形的面积公式求出扇形的面积．
（3）求三角形CPQ的面积可以PQ为底，以OP为高，已知了PQ=k，在等腰直角三角形BPQ中，BP=PQ=k，也就能表示长OP的长，据此可求出S与k的函数关系，根据函数的性质即可求出S的最大值．
19．【答案】（1）由y=-(m+2) (m为常数)，y是x的一次函数，得 解得m=± ，当m=± 时，y是x的一次函数.
（2）由y=-(m+2) (m为常数)，y是x的二次函数，得 解得m=2，m=-2(错误的要舍去)，当m=2时，y是x的二次函数，当y=-8时，-8=-4x2，解得x=± ，故纵坐标为-8的点的坐标是(± ，-8).
【解析】【分析】（1）根据形如y=kx（，k是常数）是一次函数，可得出一次函数；
（2）根据根据形如（是常数，）是二次函数，可得答案，根据函数值，得出自变量的值，即可得出符合条件的点。
20．【答案】（1）解：由图象可知：点A的坐标为
将点和代入解析式中，得
，解得：
∴y与x的关系式为.
（2）解：球能越过球网，球不会出界，理由如下
将代入中，得
，
∴球能越过球网；
将代入中，得
，
∴该抛物线与x轴的右交点必在（18，0）的左侧，
∴球不会出界，
综上：球能越过球网，球不会出界.
（3）解：将点代入解析式中，得：
解得：
∴抛物线的解析式为
若球一定能越过球网，则当时， ；
∴，解得：
若不出边界，即抛物线与x轴的右交点在的左侧或重合，即当时，；
∴，解得
综上：若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围为.
【解析】【分析】（1）由题意得A（0，2），将点A（0，2）及h=2.8分别代入y=a（x-6）2+h可求出a的值，从而得出y关于x的函数解析式；
（2）将x=9代入（1）所求的函数解析式算出对应的函数值，再将该值与2.45比大小即可判断得出球是否过网；将x=9代入（1）所求的函数解析式算出对应的函数值，再将该值与0比大小即可判断得出球是否出界；
（3）将点A（0，2）代入y=a（x-6）2+h可表示出a的值为 ，得抛物线的解析式为， 若球一定能越过球网，则当x=9时， y＞2.45，据此建立不等式求解得出h的取值范围， 若不出边界，即抛物线与x轴的右交点在（18，0）的左侧或重合，即当x=18时，y≤0，据此建立不等式，求解可得h的取值范围，综上即可得出答案.
21．【答案】（1）解：抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，
∴设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，
由图可知函数图象过点(1.5，3.05)，
∴2.25a+3.5=3.05，
解得：a=-0.2，
∴抛物线的表达式为y= - 0.2x2+3.5；
（2）解：设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则球出手时，球的高度为(h+1.7+0.25)m，
∵(1)中求得y= - 0.2x2+3.5，
∴ ，
解得：h=0.3，
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.3m.
【解析】【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2＋3.5，依题意可知函数图象经过点(1.5，3.05)，代入可得a的值；（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得 ，解方程求出h即可.
22．【答案】（1）解： AD= ，
由题意得： ，
，
∴ ，
答：当 或3米时，矩形框架ABCD的面积为3平方米；
（2）解： ，
，
，
当 时，
4 ，
答：当 时，矩形架ABCD的面积S最大，最大面积是3平方米；
（3）解： ，
，
，
当 时
．
答：当 时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积是 平方米．
【解析】【分析】(1)由题意可得3AD+3AB=12，从而可得出AD的表达式；根据矩形的面积=长×宽，可得出方程；(2)由题意可得3AD+4AB=12，从而可得出AD的表达式；根据矩形的面积=长×宽，可得出S与x的函数关系式；(3)由题意可得3AD+nAB=a，从而可得出AD的表达式，根据矩形的面积=长×宽，可得出S与x的函数关系式，利用配方法可求出S的最大值．
23．【答案】（1）解：∵C（0，3），
∴OC=3，
∵tan∠OAC= ，
∴OA=4，
∴A（﹣4，0）．
把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=ax2+2ax+c中，
得 ，解得： ，
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣ x+3
（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，
得： ，解得： ，
∴直线AC的解析式为y= x+3．
设N（x，0）（﹣4＜x＜0），则H（x， x+3），P（x，﹣ x2﹣ x+3），
∴PH=﹣ x2﹣ x+3﹣（ x+3）=﹣ x2﹣ x=﹣ （x+2）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴PH有最大值，
当x=﹣2时，PH取最大值，最大值为
（3）解：过点M作MK⊥y轴于点K，交对称轴于点G，则∠MGE=∠MKC=90°，
∴∠MEG+∠EMG=90°，
∵四边形CMEF是正方形，
∴EM=MC，∠MEC=90°，
∴∠EMG+∠CMK=90°，
∴∠MEG=∠CMK．
在△MCK和△MEG中， ，
∴△MCK≌△MEG（AAS），
∴MG=CK．
由抛物线的对称轴为x=﹣1，设M（x，﹣ x2﹣ x+3），则G（﹣1，﹣ x2﹣ x+3），K（0，﹣ x2﹣ x+3），
∴MG=|x+1|，CK=|﹣ x2﹣ x+3﹣3|=|﹣ x2﹣ x|=| x2+ x|，
∴|x+1|=| x2+ x|，
∴ x2+ x=±（x+1），
解得：x1=﹣4，x2=﹣ ，x3=﹣ ，x4=2，
代入抛物线解析式得：y1=0，y2= ，y3= ，y4=0，
∴点M的坐标是（﹣4，0），（﹣ ， ），（﹣ ， ）或（2，0）．
【解析】【分析】（1）由点C的坐标以及tan∠OAC= 可得出点A的坐标，结合点A、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，由点A、C的解析式利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，设N（x，0）（﹣4＜x＜0），可找出H、P的坐标，由此即可得出PH关于x的解析式，利用配方法即二次函数的性质即可解决最值问题；（3）过点M作MK⊥y轴于点K，交对称轴于点G，根据角的计算依据正方形的性质即可得出△MCK≌△MEG（AAS），进而得出MG=CK．设出点M的坐标利用正方形的性质即可得出点G、K的坐标，由正方形的性质即可得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程，解方程即可求出x值，将其代入抛物线解析式中即可求出点M的坐标．本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）根据二次函数的性质解决最值问题；（3）根据正方形的性质得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据正方形的性质找出关于x的含绝对值符号的一元二次方程，解方程求出点的横坐标是关键．
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