华东师大版八年级数学上册第14章勾股定理单元复习题 (1)（含解析）

华东师大版八年级数学上册第14章勾股定理单元复习题
一、单选题
1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．4，5，6 C．3，4，5 D．5，8，10
2．下列四组数中，为勾股数的是（　　）
A．2，3，5 B．4，12，13 C．3，4，5 D．32，42，52
3．下列数组不能构成直角三角形三边长的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．1， ， D．2，3，4
4．如图所示，已知矩形ABCD，AB=4，AD=3，点E为边DC上不与端点重合的一个动点，连接BE，将BCE沿BE翻折得到BEF，连接AF并延长交CD于点G，则线段CG的最大值是（　　）
A．1 B．1.5 C．4- D．4-
5．用反证法证明命题：如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF．证明的第一步应是（　　）
A．假设CD∥EF B．假设CD不平行于EF
C．假设AB∥EF D．假设AB不平行于EF
6．如图， 中， ，点 是 的中点，将 沿 翻折得 ， 连接 ，则点 到 的距离为（　　）
A． B． C． D．2
7．将面积为的半圆与两个正方形A和正方形B拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（　　）
A． B．8 C． D．16
8．如图，在离地面高3m处引拉线固定电线杆，拉线AC＝BC，且和地面成60°，则拉线BC的长是（　　）
A．6m B． C． D．
二、填空题
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，D、E分别是边BC、AB上的任意一点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′，如果点B′和顶点A重合，则CD＝　 　cm．
10．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝　 　.
11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，P是直线AB上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，B′A长度的最小值是m，B′A长度的最大值是n，则m+n的值等于　 　．
12．如图，一圆柱形容器（厚度忽略不计），已知底面半径为6cm，高为16cm.现将一根长度为25cm的玻璃棒一端插入容器中，则玻璃棒露在容器外的长度的最小值是　 　cm.
三、解答题
13．如图，在离水面高8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问此时船与岸边的距离比原来近了多少米？（假设绳子是直的）
14．阅读下列文字，回答问题.
题目：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．
证明：假设AC=BC，∵∠A≠45°，∠C=90°，∴∠A≠∠B，∴AC≠BC．这与假设矛盾，所以AC≠BC．
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正.
15．滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱，垂直于地面，滑道的长度与点A到点E的距离相等，滑梯高，且，求滑道的长度.
16．如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计）， 右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高.
四、综合题
17．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边
（1）若a= ，c=4，求b
（2）若c=8，∠A=30°，求b
（3）若a:b=3:4，c=15，求Rt△ABC的面积．
18．如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）求的周长．
（2）求的大小．
19．如图，在 中， 是 边上的一点，已知 ， ， ， .
（1）求证： ；
（2）求 的长.
20．如图，△ABC中， ∠C=90°，边AB的垂直平分线交AB、AC分别于点D，点E，连结BE.
（1）若∠A=40°，求∠CBE的度数.
（2）若AB=10，BC=6，求△BCE的面积.
21．在△ABC中， ，设c为最长边．当 时，△ABC是直角三角形；当 时，利用代数式 和 的大小关系，可以判断△ABC的形状（按角分类）．
（1）请你通过画图探究并判断：当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为　 　三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为　 　三角形．
（2）小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当 时，△ABC为锐角三角形；当 时，△ABC为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：
当 ， 时，最长边c在什么范围内取值时，△ABC是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵12+22=5≠32=9，不是直角三角形，错误；
B、42+52=41≠62=36，不是直角三角形，错误；
C、32+42=25=52，是直角三角形，正确；
D、 52+82=89≠102=100，不是直角三角形，错误；
故答案为：C.
【分析】先找出最大边，然后根据勾股逆定理分析判断，最大边的平方小于另外两边的平方和是锐角三角形，等于另外两边的平方和是直角三角形，大于另外两边的平方和是钝角三角形.
2．【答案】C
【解析】【解答】A， ，不能构成直角三角形，故该选项错误；
B， ，不能构成直角三角形，故该选项错误；
C， ，能构成直角三角形，故该选项正确；
D， ，不能构成直角三角形，故该选项错误；
故答案为：C.
【分析】分别求出各选项中较小两数的平方和，再求出较大数的平方；若较小两数的平方和=较大数的平方，则这三个数是勾股数，即可求解.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、32+42=52，能组成直角三角形，不符合题意；
B、52+122=132，能组成直角三角形，不符合题意；
C、12+（ ）2=（ ）2，能组成直角三角形，不符合题意；
D、22+32≠42，不能组成直角三角形，符合题意．
故选：D．
【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
4．【答案】D
【解析】【解答】由图可知：DG最小时CG最大，故当∠GAD最小（∠GAB最大）时，CG取最大值，
∵F在以B为圆心，BC为半径的圆上，
∴AF与圆相切时，∠GAB最大，
即AF⊥BF，此时点G、E重合，
∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED，
∵∠AFB=∠D=90°，BF=BC=AD,
∴△ABF≌△AED，
∴AE=AB=4，
∴DE= ，
∴CE=CG= ,
故答案为：D.
【分析】由图可知：DG最小时CG最大，故当∠GAD最小（∠GAB最大）时，CG取最大值，由F在以B为圆心，BC为半径的圆上得到AF⊥BF，此时点G、E重合，证明△ABF≌△AED，得到AE=AB=4，再利用勾股定理求出DE即可得到CG的最大值.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵用反证法证明命题：如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF．
∴证明的第一步应是：从结论反面出发，故假设CD不平行于EF．
故选：B．
【分析】根据要证CD∥EF，直接假设CD不平行于EF即可得出．
6．【答案】A
【解析】【解答】解：如图：连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H，过E作EF⊥BC，垂足为F
∵ 中，
∴
∵点 是 的中点
∴CD=BD= BC=
∴AD=DC=DB=
∵ BC·AH=AB·AC
∴AH=
∵AE=AB,DE=DB=DC
∴AD垂直平分线段BE,△BCE是直角三角形
∵ AD·BO= BD·AH
∴OB=
∴BE=2OB=
∴
∵sin∠ECB=
∴ ，解得EF= .
故答案为：A.
【分析】连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H，过E作EF⊥BC，垂足为F，利用勾股定理求出BC的长，由此可求出DB，DC的长，再利用三角形的面积公式可求出AH的长；再证明AD垂直平分线段BE，利用三角形的面积公式求出OB的长，即可求出BE的长；然后利用勾股定理求出EC的长，最后利用解直角三角形求出EF的长。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：已知半圆的面积为
，
所以半圆的直径为：
，
即如图直角三角形的斜边为：4，
设两个正方形的边长分别为：
，
，
则根据勾股定理得：
，
即两个正方形面积的和为16．
故答案为：D．
【分析】根据半圆的面积求出半径，即得直角三角形的斜边，然后利用勾股定理即可求解.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：，，，
，
，
，
，
解得，
故拉线的长是，
故答案为：C．
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质可得，再结合，可得，最后求出即可。
9．【答案】
【解析】【解答】解：设CD＝xcm，则BD＝（16﹣x）cm，
由折叠得：AD＝BD＝16﹣x，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD2+AC2＝AD2，
∴x2+122＝（16﹣x）2，
解得：x＝，
即CD＝（cm）．
故答案为：．
【分析】设CD＝xcm，则BD＝（16﹣x）cm，利用勾股定理可得x2+122＝（16﹣x）2，再求出x的值即可。
10．【答案】1或
【解析】【解答】解：如图1中，当∠PCB′＝90°时，设PB＝PB′＝x.
∵AC＝3，CB＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝ ＝ ＝5，
由翻折的性质可知，AB＝AB′＝5，
在Rt△PCB′中，PC2+CB′2＝PB′2，
∴（4﹣x）2+22＝x2，
∴x＝ ，
∴PB＝ .
如图2中，当∠CPB′＝90°，设PB＝y.
过点A作AT⊥B′P交B′P的延长线于点T，则四边形ACPT是矩形，
∴PT＝AC＝3，AT＝CP＝4﹣y，
在Rt△ATB′中，AB′2＝AT2+B′T2，
∴52＝（4﹣y）2+（y+3）2，
解得y＝1或0（0舍弃），
∴PB＝1，
综上所述，PB的值为：1或 .
【分析】分两种情况看：①如图1，当∠PCB′＝90°时，②如图2，当∠CPB′＝90°，根据折叠的性质及勾股定理分别解答即可.
11．【答案】16
【解析】【解答】解：如图，∵点P是直线AB上的动点，
∴△BCP沿CP所在的直线翻折得到△B'CP，点B落在以点C为圆心，BC为半径的圆上，
∴CM=CN=BC=6，
圆外一点到圆上的点的距离最大和最小的点是圆外一点过圆心的直线和圆的交点，
延长AC交圆于M，
∴B′A长度的最小值是m=AN=AC﹣CN=8﹣6=2，
B′A长度的最大值是n=AM=AC+CM=8+6=14，
∴m+n=14+2=16；
故答案为16．
【分析】先判断出B′A长度的最大值和B′A长度的最小值的位置，最后简单计算即可．
12．【答案】8
【解析】【解答】解：如图所示为最小值，
由题意可知，△ACD中，AC＝12cm，CD＝16cm，∴AD＝ ＝20cm，∴玻璃棒露在容器外的长度＝28－20＝8cm，
故答案为：8cm.
【分析】根据实际情景可知：按AD方向放置的时候， 玻璃棒露在容器外的长度最小，利用勾股定理即可算出答案。
13．【答案】解：在中，
∵，，，
∴．
依题意得．
在中，
答：船离岸边距离比原来近了．
【解析】【分析】利用勾股定理求出AD的长，再利用线段的和差求出DB的长即可。
14．【答案】解：有错误. 改正：
假设AC=BC，则∠A=∠B，又∠C=90°，所以∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾，
所以AC=BC不成立，
所以AC≠BC.
【解析】【分析】反证法的步骤：①假设结论成立，②从假设出发推出矛盾，③假设不成立，则结论成立，据此判断即可.
15．【答案】解：设AC=x m，则AE=AC=x m，AB=AE-BE=（x-0.5）m，
由题意得：∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x-0.5）2+1.52=x2，
解得x=2.5，
∴AC=2.5m.
【解析】【分析】设AC=xm，则AE=AC=xm，AB=(x-0.5)m，由题意得：∠ABC=90°，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理计算即可.
16．【答案】解：设AD＝xm，则由题意可得
AB＝(x－0.5)m，AE＝(x－1)m，
在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，
即(x－1)2＋1.52＝(x－0.5)2，
解得x＝3．
即秋千支柱AD的高为3m．
【解析】【分析】支柱AD的长等于秋千的长度加上秋千垂直时离地面的距离，所以本题应先求出秋千的长度，过点B做AD的垂线，交AD于点E，可得DE=1m，则AE=AD-1，因为BE=1.5m ， AB=AD-0.5，因为，所以，即可求出AD的值.
17．【答案】（1）解：由勾股定理得： ；
（2）解：∵∠C=90°，∠A＝30°，c＝8，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵a：b=3：4，c=15，
设a=3x，b=4x，
由勾股定理得：(3x)2+(4x)2=152，
解得：x=3，
∴a=3x=9，b=4x=12，
∴Rt△ABC的面积＝ .
【解析】【分析】（1）直接运用勾股定理即可得出答案；（2）根据30°角所对的直角边等于斜边一半可求出a，利用勾股定理可得出b；（3）利用勾股定理构建方程求出a，b的值，再根据三角形面积公式计算即可．
18．【答案】（1）解：∵，，，∴的周长．
（2）解：∵，，∴，∴是直角三角形∴．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB、AC和BC的长，再利用三角形的周长公式计算即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可得到。
19．【答案】（1）证明：在△ABD中，
∵AB=17，AD=15，BD=8；
∴AD2+BD2=AB2，
∴△ABD是直角三角形，其中∠ADB=90°，
∴AD⊥BC；
（2）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ACD中，∴AD2+CD2=AC2，
即152+CD2=252，
解得：CD=20或CD= 20（舍）
∴CD的长为20.
【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理由AD2+BD2=AB2即可判断出△ABD是直角三角形，且∠ADB=90° ，即可得证；
（2）由勾股定理知AD2+CD2=AC2，即152+CD2=252，解之可得答案.
20．【答案】（1）解：∵∠C= ，∠A=40°，
∴∠CBA= ，
∵DE是AB的垂直平分线
∴BE=AE，
∴∠EBA=∠A=40°，
∴∠CBE=∠CBA—∠EBA =10°；
（2）解：∵ AB=10，BC=6，
∴AC= =8，
设CE= ，则AE=BE=
∴ ，
解得： ，
∴△BCE的面积为 .
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理的得出∠CBA=50°，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出BE=AE， 根据等边度等角得出 ∠EBA=∠A=40°， 从而根据 ∠CBE=∠CBA—∠EBA 算出答案；
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AC的长， 设CE= ，则AE=BE= ，在Rt△BCE中，根据勾股定理建立方程，求解即可解决问题.
21．【答案】（1）锐角；钝角
（2）解：∵c为最长边，2+4=6，∴4 c<6，a2+b2=22+42=20，
①a2+b2>c2，即c2<20， 4≤c＜ ，
∴当4 c< 时，这个三角形是锐角三角形；
②a2+b2=c2，即c2=20，c= ，
∴当c= 时，这个三角形是直角三角形；
③a2+b220，c> ，
∴当 【解析】【解答】解：( 1 )∵两直角边分别为6、8时，斜边= =10，
∴△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；
当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；
【分析】( 1 )根据勾股定理当两直角边分别为6、8时斜边=10；△ABC三边分别为6、8、9时，通过画图得到△ABC为锐角三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，通过画图得到△ABC为钝角三角形；（2）根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，c为最长边，得到4 c<6，a2+b2>c2时，得到c2<20，4≤c＜2，这个三角形是锐角三角形；a2+b2=c2，即c2=20，c=2 ，这个三角形是直角三角形；a2+b220，c＞2，这个三角形是钝角三角形.
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