华东师大版九年级数学下册第27章圆单元复习题

华东师大版九年级数学下册第27章圆单元复习题
一、单选题
1．已知⊙O的半径为5，OA＝4，则点A在（　　）
A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定
2．如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=42°，则∠ABC的度数是（　　）
A．21° B．24° C．42° D．48°
3．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，AB⊥CD，OA=2，CD=2 ，则∠D等于（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
4．在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆（　　）
A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离
5．如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠AOB=122°，则∠AOC的度数为（　　）
A．122° B．120° C．61° D．58°
6．如图点A，B，C都在上，若的半径为3，，则劣弧的长是（　　）
A． B．π C． D．
7．如图所示的向日葵图案是用等分圆周画出的，则⊙O与半圆P的半径的比为（　　）
A．5﹕3 B．4﹕1 C．3﹕1 D．2﹕1
8．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（　　）
A．30° B．45° C．60° D．67.5°
9．如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC．则四边形OACB是（　　）
A．正方形 B．长方形
C．菱形 D．以上答案都不对
10．如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（　　）．
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB＝100°，则∠ACB的度数是　 　.
12．如图，C是⊙O上一点，若，则的度数是　 　.
13．如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，若cos∠CDB＝ ，BD＝5，则⊙O的半径为　 　．
14．如图所示，在中，是线段BC上的一个动点，以AD为直径画分别交AB，AC于E，F，连结EF，则EF的最小值为　 　.
三、解答题
15．如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD2=AB AE．
求证：DE是⊙O的切线．
16．已知：如图，BC是⊙O的弦，线段AD经过圆心O，点A在圆上，AD⊥BC，垂足为点D，若AD=8，tanA= ．
（1）求弦BC的长；
（2）求⊙O半径的长．
17．如图，在△ABC中，AB=AC．分别以B、C为圆心，BC长为半径，BC下方画弧，设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD．若BC=6，∠BAC=50，求弧ED，弧FD的长度之和（结果保留π）．
18．如图，已知A、B、C、D四点在⊙O上，AB、CD交于点E，AD＝BC，求证：AB＝CD．
四、综合题
19．如图，的对角线相交于点D，经过A、D两点，与的延长线相交于点，点为上一点，且．连接AE、DF相交于点，若，．
（1）求对角线的长；
（2）求证：为矩形．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．
21．如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，且 于D，与⊙O交于点F．
（1）判断AC是否是∠DAE的平分线？并说明理由；
（2）连接OF与AC交于点G，当AG＝GC＝1时，求切线 的长．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC.以BC为直径画圆O分别交AB，AC于点D，E.
（1）求证：BD＝CE；
（2）当△ABC中，∠B＝70°且BC＝12时，求 的长.
23．如图，点C是以AB为直径的半圆O上一点，且 ，AD平分 交BC于点D，CP平分 交AD于点P， ， .
（1）求证：四边形CEPF为正方形；
（2）求 的最大值；
（3）求 的最小值.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：∵OA＝4＜5，
∴点A与⊙O的位置关系是点在圆内.
故答案为：A.
【分析】若点A到圆心的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵直线PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∴∠AOP=90°-∠P=48°，
∵∠AOP=∠B+∠OCB，
∵OB=OC，
∴∠B= ∠AOP=24°．
故答案为：B.
【分析】先利用切线的性质得到∠OAP=90°，则利用互余和计算出∠AOP=48°，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ABC的度数．
3．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AB⊥CD，CD=2 ，
∴CE= ．
在Rt△OCE中，OC=OA=2，CE= ，
∴∠EOC=60°，
∴∠D=30°.
故C符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据垂径定理求得CE的长，在Rt△OCE中，利用三角函数的定义可求得∠EOC的度数，再由圆周角定理可求出∠D的度数.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：圆心到X轴的距离是4，到y轴的距离是3，
4=4，3＜4，
∴圆与x轴相切，与y轴相交，
故选C．
【分析】首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到X轴的距离是4，到Y轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案．
5．【答案】A
【解析】【分析】由于在⊙O中,弧AB=弧AC,所以∠AOC=∠AOB=122°.
故选A．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：如图：连接、，
，
，
∴劣弧的长．
故答案为：C．
【分析】根据圆周角与圆心角关系及扇形弧长公式得出结论。
7．【答案】D
【解析】【分析】连接OA、OP、OB；
∵向日葵图案是用等分圆周画出的，
∴此圆内接多边形是正六边形，
∴∠AOB=60°；
∵△AOB是等腰三角形，P为AB边的中点，
∴∠AOP=∠AOB=30°，△AOP是直角三角形，
∴AP=OA，即⊙O与半圆P的半径的比为2：1．
故选D．
8．【答案】D
【解析】【分析】根据等腰三角形性质和三角形外角性质求出∠COD=2∠A，求出∠D=∠COD，根据切线性质求出∠OCD=90°，即可求出答案；
【解答】∵OA=OC
∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A，
∵OC=CD，
∴∠D=∠COD，
∵PD切⊙O于C，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=∠COD=45°，
∠A=∠COD=22，.5°，
∴∠PCA=∠A+∠D=67.5°．
故选D．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形性质，三角形的外角性质的应用，熟记定理是解题的关键．
9．【答案】C
【解析】【分析】根据垂径定理和特殊四边形的判定方法求解．
【解答】由垂径定理知，OC垂直平分AB，即OC与AB互相垂直平分，所以四边形OACB是菱形．
故选C．
【点评】本题综合考查了垂径定理和菱形的判定方法．
10．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AD=CD=8，
∴OB⊥AC.
在Rt△AOD中，
OA=，
∴OB=OA=10，
∴BD=OB-OD=10-6=4.
故答案为：B.
【分析】先根据垂径定理证明OB⊥OA；再根据勾股定理求出OA的长，因为OB=OA，所以根据BD=OB-OD即可求出BD的长.
11．【答案】50°
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=100°，
∴∠ACB= ∠AOB= ×100=50°．
故答案为: 50°．
【分析】已知⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=100°，根据圆周角定理可求得∠ACB的度数．
12．【答案】48°
【解析】【解答】解：由圆周角定理可得，
故答案为：.
【分析】由圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB，据此计算.
13．【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
∵∠CDB和∠CAB所对的弧都是AC弧，
∴∠CAB=∠CDB，
∵AB为直径，H为CD的中点，
∴CH⊥AB，CB=BD=5，∠ACB=90°，
∵cos∠CDB= cos∠CDB＝= ，
设CA=4k，AB=5k，
∴BC==3k，
∴3k=5，即k=，
∴AB=5k=.
∴⊙O的半径为.
故答案为：.
【分析】连接AC， 根据圆周角定理求出∠CAB=∠CDB，根据垂径定理求出CH⊥AB，CB=BD=5，设CA=4k，AB=5k，根据勾股定理求出BC=3k=5，则可求出k值，从而求出AB长，即可解决问题.
14．【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OE、OF，过点O作OM⊥EF于点M，则EM=FM，
∵∠ACB=75°，∠ABC=45°，
∴∠BAC=60°，
∴∠EOF=120°，
∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE=30°，
∴OM=OE，
∴，
当OE最小时，EF的值就最小，
∵点D是BC上的动点，AD为直径，
∴当AD⊥BC时，AD最小，即OE的值最小，
过点A作AH⊥BC于点H，
∴∠AHB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAH=∠ABH=45°，
∴AH=BH，
∵AH2+BH2=AB2，
∴2AH2=AB2=16，
∴AH=（负值已舍），即AD的最小值为，
∴OE的最小值为，
∴EF的最小值为.
故答案为：.
【分析】连接OE、OF，过点O作OM⊥EF于点M，由垂径定理得EM=FM，由三角形的内角和定理得∠BAC=60°，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠EOF=120°，由等腰三角形的性质及三角形的内角和可得∠OEF=∠OFE=30°，进而根据含30°角直角三角形的性质得OM=OE，再利用勾股定理表示出，当OE最小时，EF的值就最小，又点D是BC上的动点，AD为直径，当AD⊥BC时，AD最小，即OE的值最小，过点A作AH⊥BC于点H，由等腰直角三角形的性质得AH=BH，根据勾股定理建立方程可求出AH=（负值已舍），即AD的最小值为，从而此题就不难得出答案了.
15．【答案】证明：连接DC，DO并延长交⊙O于F，连接AF．
∵P点为△ABC的内心，
∴∠BAD=∠DAE，
又∵AD2=AB AE，即 = ，
∴△BAD∽△DAE，
∴∠ADB=∠E．
又∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ACB=∠E，BC∥DE，
∴∠CDE=∠BCD=∠BAD=∠DAC，
又∵∠CAF=∠CDF，
∴∠FDE=∠CDE+∠CDF=∠DAC+∠CAF=∠DAF=90°，
故DE是⊙O的切线．
【解析】【分析】连接DC、AF，连接DO并延长交圆O于点F，先证△BAD∽△DAE，得到∠ADB=∠E，再由平行线的性质可证∠FDE=90°可得.解答此题的关键是作出辅助线，证出△BAD∽△DAE.
16．【答案】（1）解：∵AD⊥BC， ，
∴ ．
∵AD=8，∴BD=4．
又∵经过圆心O的直线AD⊥BC，
∴BC=2BD=8．
（2）解：连接OC．
设⊙O的半径为r，那么OD=8﹣r．
在△COD中，（8﹣r）2+42=r2，
∴r=5，
即⊙O的半径为5．
【解析】【分析】（1）根据题意，利用锐角三角函数的定义，在Rt△ABD中求出BD的长，再根据经过圆心O的直线AD⊥BC，就可求出BC的长。
（2）连接OC，设⊙O的半径为r，那么OD=8﹣r．利用勾股定理建立方程，求解即可求出圆的半径。
17．【答案】解：∵AB=AC，∠BAC=50°，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∵BD=CD=BC，
∴△BDC为等边三角形，
∴∠DBC=∠DCB=60°，
∴∠DBE=∠DCF=55°，
∵BC=6，∴BD=CD=6，
∴弧ED的长度=弧FD的长度=；
∴弧ED，弧FD的长度之和为+=．
【解析】【分析】由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=65°，由等边三角形的性质得出∠DBC=∠DCB=60°，再由平角的定义求出∠DBE=∠DCF=55°，然后根据弧长公式求出弧ED，弧FD的长度，即可得出结果．
18．【答案】解：∵AD＝BC，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴AB＝CD．
【解析】【分析】在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量有相等的关系.先找到弦AB与CD所对的弧，利用圆心角定理判断AB与CD所对的弧的关系即可解决.
19．【答案】（1）解：是直径，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．
（2）证明：，
是平行四边形
，
∴AC=OB
为矩形．
【解析】【分析】（1）利用弧相等，圆周角定理可推出，可得，据此求出AD的长，由矩形的性质知AC=2AD，即得结论；
（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形即证.
20．【答案】（1）证明：∵∠PBC=∠D，∠PBC=∠C，
∴∠C=∠D，
∴CB∥PD；
（2）解：连结OC，OD．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴ = ，
∵∠PBC=∠C=22.5°，
∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45°，
∴∠AOC=180°﹣∠BOC=135°，
∴劣弧AC的长为： = ．
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠PBC=∠D ，根据垂径定理得出 = ，根据等弧所对的圆周角相等得出 ∠PBC=∠C， 故 ∠C=∠D， 再根据内错角相等二直线平行得出 CB∥PD；
（2） 连结OC，OD． 根据垂径定理得出 = ，根据同弧或等弧所对的所对的圆心角等于圆周角的2倍得出 ∠BOC=∠BOD=2∠C=45°， 进而根据邻补角的定义得出∠BOC的度数，最后根据弧长计算公式l=即可算出答案。
21．【答案】（1）解：AC是∠DAE的平分线.证明：连接 ．
∵DE是⊙O的切线，∴OC⊥DE，.
∵AD⊥DE，∴∠ADC＝∠OCE＝ ,
∴AD∥OC，.
∴∠2＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠1＝∠ACO，
∴∠1＝∠2，∴AC是∠DAE的平分线.
（2）解：∵ ＝1 ， ∴ ，即 .
又∠1＝∠2， , ∴
又 ， ∴△ 是等边三角形，
， ，.
又∠ADE＝ ，
∴ .
∴CE＝AC＝AG＋CG＝2
【解析】【分析】（1）先由切线性质和垂直定义得∠ADC＝∠OCE，进而利用平行线的判定得∠2＝∠ACO，然后利用半径相等转换为等边对等角性质，最后等量代换得角相等，即可证明AC是∠DAE的平分线.
（2）先利用等腰三角形的三线合一证明A C ⊥ O G，再由∠1＝∠2根据等角的余角相等得 ∠ A F G ＝ ∠ A O G ，从而得出△ A O F 是等边三角形，得出内角为60°后再求得 ∠ E ＝ 30 °，然后利用直角三角形30°角的性质得出答案。
22．【答案】（1）证明：如图1，连接CD和BE，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠BCD＝∠CBE，
∴ ＝ ，
∴BD＝CE.
（2）解：如图2，连接OD、OE，
∵AB＝AC，∠B＝70°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠DOC＝140°，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE＝70°，
∴∠COE＝40°，
∴∠DOE＝100°，
∵BC＝12，
∴⊙O的半径为6，
∴ 的长＝ ＝ π.
【解析】【分析】（1） 连接CD和BE， 由直径所对的圆周角是直角，可得∠BDC＝∠CEB＝90°， 由AB＝AC，可得∠ABC＝∠ACB，利用三角形内角和求出∠BCD＝∠CBE，从而得出 ＝ ，继而得出BD＝CE.
（2）连接OD、OE，先求出∠DOE的度数，然后利用弧长公式求解即可.
23．【答案】（1）证明：∵AB为直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形CEPF是矩形，
∵CP平分 ，
∴ ，
∴四边形CEPF为正方形；
（2）解：过点C作CG⊥AB，如图：
由 可知，
当 最大时， 有最大值，
即 ；
由三角形的面积公式，则
，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∴ 的最大值是2；
（3）解：设 ，
∵ ， ，
∴PE∥AC，
∴△PED∽△ACD，
∴①；
同理：PF∥BC，△PAF∽△DAC，
∴②，
由①+②，得 ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
当x取最大值时， 有最小值；
∵AD平分 ，
∴点P为△ACB的内心，
∴PE，PF为内切圆半径；
作PH⊥AB，垂足为H，如图：
则易得AF=AH，BE=BH，
∴ ，
∴ ，
设 ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ；
∴ ；
∴ 的最大值为 ，
∴ ，
∴ 的最小值 ；
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，根据垂直的概念可得∠PFC=∠PEC=90°，推出四边形CEPF是矩形，根据角平分线的性质可得PF=PE，然后结合正方形的判定定理进行证明；
（2）过点C作CG⊥AB，根据△ABC的面积公式可得当CG取得最大值时，AC·BC有最大值，而CG的最大值为
AB=1，然后结合三角形的面积公式进行计算；
（3）设PE=PF=CE=CF=x，分别证明△PED∽△ACD，△PAF∽△DAC，由相似三角形的性质可得，，两式相加可得，易知点P为△ACB的内心，则PE，PF为内切圆半径，作PH⊥AB，垂足为H，则AF=AH，BE=BH，AF+BE=AB，CE=CF=
，设=acB，BC=a，AB=c=2，表示出x，由勾股定理可得a2+b2=4，则(a-b)2=a2+b2-2ab≥0，推出ab≤2，然后求出a+b的最大值，进而得到x的最大值，据此求解.
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