人教版八年级数学上册第十三章轴对称单元复习题（含解析）

人教版八年级数学上册第十三章轴对称单元复习题
一、单选题
1．下列四个交通标志图中，为轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．将点P(2，3)向右平移3个单位长至点Q，点Q沿y轴折至点M，则（　　）
A．M(﹣5，﹣3) B．M(5，3) C．M(0，3) D．M(﹣5，3)
3．下列剪纸作品中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，点E是斜边的中点，，且，则 （　　）
A．60° B．70° C．80° D．90°
5．如图，点在的垂直平分线上，若，则为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．在等边三角形△ABC，若AB边上的高CD与边BC所夹得角为30°，且BD=3，则△ABC的周长为（　　）
A．18 B．9 C．6 D．4.5
7．已知点 和 关于x轴对称，则a+b的值为（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．5
8．邢台主城区持续打造“五分钟健身圈”，2023年底前将再建40家健身驿站，总数达到100家.如图，有三个小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个健身驿站，使该驿站到三个小区的距离相等，则驿站应建在（　　）
A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处
C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处
9．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为F、G．若BG＝4，AC＝5，则△ABC的周长是（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
10．如图，在中，AB=AC=4，∠B=∠C=15°.则△ABC的面积为（　　）
A．16 B．4 C．6 D．8
二、填空题
11．若点A（a，﹣2）与点B（﹣3，b）关于x轴对称，则ab＝　 　．
12． 如图，在△ABC中，∠C=37°，边BC垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，AB=CD，那么∠A=　 　°．
13．如图，点P为三边垂直平分线的交点，若，，则的度数为　 　．
14．如图，A（3,4），B（0,1），C为x轴上一动点，当△ABC的周长最小时，则点C的坐标为　 　．
三、解答题
15．如图,在△ABC中,∠B=22.5°,AB的垂直平分线交AB于点Q,交BC于点P,PE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,AD交PE于点F.求证:DF=DC.
16．已知：△ABC中，∠B=∠C，
求证：△ABC是等腰三角形．
17．已知等腰三角形的周长是22，一边长为5，求它的另外两边长.
18．如图，已知△ABC是等边三角形，D为边BC上一点，以CD为边向外作等边三角形CDE，连结AD，BE．
（1）试说明AD=BE．
（2）如果∠CBE=30°，试说明BD=CD．
四、综合题
19．如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，BC上，且AD＝BE，BD＝AC，过E作EF⊥AB于F.
（1）求证：∠FED＝∠CED；
（2）若BF＝ ，直接写出CE的长为　 　.
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B是第一象限的点，且AB⊥y轴，且AB＝OA，点C是线段OA上任意一点，连接BC，作BD⊥BC，交x轴于点D．
（1）依题意补全下图；
（2）用等式表示线段OA，AC与OD之间的数量关系，并证明；
（3）连接CD，作∠CBD的平分线，交CD边于点H，连接AH，求∠BAH的度数．
21．如图，点C，E，F，B在一条直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．
（1）求证：AB=CD；
（2）若AB=CF，∠B=50°，求∠D的度数．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点在网格的格点上.
（1）写出点A，B的坐标：A　 　，B　 　.
（2）在图中作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1
（3）求△ABC的面积.
23．
（1） 是 的中线， ， 则 的取值范围是　 　．
（2）在（1）问的启发下，解决下列问题：如图， 是 的中线， 交 于 ，交 于 ，且 ，求证： ．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形 。根据轴对称图形的定义对每个选项一一判断求解即可。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵点P(2，3)向右平移3个单位长至点Q，
∴点Q坐标为(5，3)，
∵点Q沿y轴折至点M，
∴点M坐标为(﹣5，3).
故答案为：D.
【分析】根据点的坐标的平移规律“横坐标右加左减”，由点P可得点Q坐标，再根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得点M坐标.
3．【答案】A
【解析】【解答】A、不是轴对称图形，本选项符合题意；
B、是轴对称图形，本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形 。根据轴对称图形的定义对每个选项一一判断求解即可。
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵CD为AB边上的高，
∴∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，
∠BCD=30°，BD=3，
∴BC=2BD=6，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=6，
∴△ABC的周长=3×6=18.
故答案为：A.
【分析】在直角三角形BCD中，由30度角所对的直角边等于斜边的一半得BC=2BD可求出BC的值，由等边三角形的性质可得AB=BC=AC，然后根据三角形的周长等于三边之和可求解.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵点 和 关于x轴对称，
∴ ， ，即 ， ，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】根据关于x轴对称的点坐标的特征可以得到 ， ，求出a、b的值，再代入计算即可。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意
要使该驿站到三个小区的距离相等，
则驿站应建在三条边的垂直平分线的交点处
故答案为：D
【分析】根据中垂线定理，即垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可以判定到三角形三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点。
9．【答案】B
【解析】【解答】解：连接AD、DC．
∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC，
∴DG=DF．
∵D在AC的中垂线上，
∴DA=DC．
在Rt△DGA与Rt△DFC中，
∵DG=DF，DA=DC，
∴Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）．
∴AG=CF，
∵DG=DF，BD=BD，
∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL）．
∴BG=BF．
又∵AG=CF，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=BG-AG+BF+FC+AC=2BG+AC=2×4+5=13.
故答案为：B.
【分析】连接AD、DC，根据角平分线的性质可得DG=DF，由垂直平分线的性质可得DA=DC，证明Rt△DGA≌Rt△DFC，Rt△BDG≌Rt△BDF，得到AG=CF，BG=BF，据此不难求出△ABC的周长.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：过C作CD⊥AB交BA的延长线于D，
∵∠B=∠ACB=15°，
∴∠CAD=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，
∵AC=4，CD是AB边上的高，
∴CD=AC=×4=2，
∴S△ABC=×4×2=4，
故答案为：B.
【分析】过C作CD⊥AB交BA的延长线于D，首先由三角形外角的性质得∠CAD=∠B+∠ACB=30°，根据含30°角直角三角形的性质得CD=2，进而利用三角形面积计算公式即可算出答案.
11．【答案】9
【解析】【解答】解：∵点A（a，﹣2）与点B（﹣3，b）关于x轴对称，
∴a＝﹣3，b＝2，
∴ab＝（﹣3）2＝9．
故答案为9．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标变化，横坐标不变，纵坐标互为相反数求a，b的值，从而求解.
12．【答案】74
【解析】【解答】解：连接BD，如图所示：
∵DE垂直平分BC，AB=CD，
∴BD=CD=AB，
∵∠C=37°，
∴∠DBC=∠C=37°，
∴∠ADB=2∠C=74°，
∵AB=BD，
∴∠A=∠ADB=74°，
故答案为74．
【分析】根据线段垂直平分线的性质定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质求解。连接BD，由题意易得BD=CD=AB，然后可得∠DBC=∠C=37°，进而根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质可求解．
13．【答案】
【解析】【解答】解：∵P为三边垂直平分线的交点 ，
∴AP=PC=BP，
∴∠PAC=∠PCA=20°，∠PCB=∠PBC=30°，
∴，
∴.
故答案为：100°.
【分析】由垂直平分线上的点到线段两端点距离相等得AP=PC=BP，由等边对等角得∠PAC=∠PCA=20°，∠PCB=∠PBC=30°，根据三角形的内角和定理可得就爱哦APC=140°，∠BPC=120°，再根据周角的定义求得 ∠PCB的度数 .
14．【答案】
【解析】【解答】先作出点B关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点C,则点 的坐标为
由两点之间线段最短可知， 的长即为 的长，因为AB是定值，所以此时△ABC的周长最小
设直线 的解析式为
将 代入解析式得
解得
∴直线 的解析式为
当 时， ，解得
∴点
故答案为： .
【分析】先作出点B关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点C,再用待定系数法求出直线 的解析式，进而求出点C的坐标即可.
15．【答案】证明:连接PA, 则PA=PB,∴∠B=∠PAB=22.5° ，∴∠APD=45°.又∵AD⊥BC∴PD=AD.∵AD⊥BC,∴∠DPF+∠PFD=90°.∵PE⊥AC,∴∠AFE+∠DAC=90°.又∵∠AFE=∠PFD,∴∠DPF=∠DAC.在△PDF和△ADC中, ∴△PDF≌△ADC(ASA).∴DF=DC.
【解析】【分析】:连接PA,根据中垂线的性质定理得出PA=PB,根据等边对等角得出∠B=∠PAB=22.5° ，根据三角形的外角定理得出∠APD=45°，根据等腰直角三角形的性质得出PD=AD ，然后根据等角的余角相等得出∠DPF=∠DAC，然后利用ASA判断出△PDF≌△ADC ，根据全等三角形对应边相等得出DF=DC.
16．【答案】证明：过点A作AH⊥BC于点H，则∠AHB=∠AHC=90°，在△ABH和△ACH中，∵ ∠B=∠C ∠BHA=∠AHC AH=AH，∴△ABH≌△ACH（AAS），∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形
【解析】【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据垂直的定义得出∠AHB=∠AHC=90°，然后利用AAS判断出△ABH≌△ACH，根据全等三角形对应边相等得出AB=AC，根据有两边相等的三角形是等腰三角形即可得出结论。
17．【答案】解：若底边为5，设腰长为x，则5+2x＝22，解得：x＝8.5；
若腰为5，设底边为xcm，则2×5+x＝22，解得：x＝12.
∵5+5＜12，∴不合题意.
所以等腰三角形另外两边长分别为8.5和8.5.
【解析】【分析】由题意分两种情况讨论求解：① 若底边为5，根据等腰三角形的性质和三角形三边关系定理可求解；
② 若腰为5，同理可求解.
18．【答案】（1）解：和都是等边三角形，
.
在和中，
；
（2）解：由（1）可知△ADC≌△BEC，
，
，
，即AD平分.
为等边三角形，
.
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠BCE=60°，从而利用SAS判断出△ADC≌△BEC，由全等三角形的对应边相等得AD=BE；
（2）由全等三角形的对应角相等得∠CAD=∠CBE=30°，从而由角的和差及等边三角形的性质得∠CAD=∠BAD=30°，进而根据等腰三角形的三线合一可得BD=CD.
19．【答案】（1）证明：连接CD，
∵AC＝BC，∠ACB＝90，
∴∠A＝∠B＝45°，
ADC和△BED中，
∴△ADC≌△BED（SAS），
∴DC＝DE，∠DCA＝∠EDB，
∴∠ECD＝∠CED
∠DCA+∠ECD＝∠EDB+∠FED＝90°，
∴∠FED＝∠ECD，
∴∠FED＝∠CED
（2）5
【解析】【解答】（2）解：作DH⊥EC于H，
∵DC＝DE，DH⊥EC，
∴EH＝HC＝ EC，∠EDH＝∠CDH，
∵DH∥AC，
∴∠CDH＝∠ACD，
∴∠FDE＝∠FDH，又EF⊥AB，EH⊥DH，
∴EF＝EH＝ EC，
∵∠BFE＝90°，∠B＝45°，
∴EF＝BF＝ ，
∴EC＝5，
故答案为：5.
【分析】（1） 连接CD， 由题意用边角边可证△ADC≌△BED，由全等三角形的性质可得DC＝DE，∠DCA＝∠EDB，由等边对等角得∠ECD＝∠CED，根据等角的余角相等可得 ∠FED＝∠ECD，则结论可得证；
（2）作DH⊥EC于H，结合已知用等腰三角形的三线合一可得EH＝HC＝EC，∠EDH＝∠CDH，由平行线的性质和已知可得∠FDE＝∠FDH，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得EF＝EH，于是EF＝BF，则CE=2EF可求解.
20．【答案】（1）解：如图1所示，
（2）解：OA+AC＝OD，
如图1，过B作BE⊥x轴于E，
则四边形AOEB是矩形，
∴BE＝AO，∠ABE＝90°，
∵AB＝AO，
∴AB＝BE，
∵BD⊥BC，
∴∠CBD＝90°，
∴∠ABC＝∠DBE，
在△ABC与△BDE中，
，
∴△ABC≌△EBD（ASA），
∴AC＝DE，
∵OE＝AB＝OA，
∴AO+AC＝OD；
（3）解：如图2，
由（1）知：△ABC≌△EBD，
∴BC＝BD，
∵BD⊥BC，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴∠BCD＝45°，
∵BH平分∠CBD，
∴∠BHC＝90°，
∵∠BAO＝90°，
过H作HN⊥OA，HM⊥AB，
∴四边形ANMH是矩形，
∴∠NHM＝90°，
∴∠NHC＝∠MHB，
∴△CNH≌△BHM（AAS），
∴HN＝HM，
∴AH平分∠CAB，
∴∠BAH＝45°．
【解析】【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）过B作BE⊥x轴于E，则四边形AOEB是矩形，根据矩形的想知道的BE＝AO，∠ABE＝90°，等量代换得到AB＝BE推出△ABC≌△EBD，根据全等三角形的性质得到AC＝DE，等量代换即可得到结论；（3）根据全等三角形的性质得到BC＝BD，推出△BCD是等腰直角三角形，于是得到∠BCD＝45°，根据等腰三角形的性质得到∠BHC＝90°，过H作HN⊥OA，HM⊥AB，证明△CNH≌△BHM，可得出HN＝HM，则AH平分∠CAB，可得到结论．
21．【答案】（1）∵AB∥CD，∴∠B=∠C．
在△ABE和△DCF中，∵ ，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AB=CD；
（2）∵△ABE≌△DCF，∴AB=CD，BE=CF．
∵AB=CF，∴AB=BE，∴△ABE是等腰三角形．
∵∠B=30°，∴∠D=∠A= ．
【解析】【分析】（1）易证得△ABE≌△DCF，即可得AB=CD；（2）易证得△ABE≌△DCF，即可得AB=CD，又由AB=CF，∠B=30°，即可证得△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
22．【答案】（1）（-1，1）；（-3，3）
（2）解：如图，
（3）解：S△ABC=3×5-×2×2-×3×3-×5×1=6.
【解析】【分析】（1）在坐标系中分别读出A、B两点坐标即可；
（2）分别作出A、B、C关于y轴的对称点 A1，B1和C1 ，然后把这三点顺次连接起来即可；
（3）△ABC的面积等于其外接矩形的面积减去其周围三个小直角三角形的面积之和，依此列式计算即可.
23．【答案】（1）
（2）将AD延长至G，使AD=DG，连接BG，如下图所示：
由（1）中结论：△ADC≌△GDB
∴AC=BG，∠CAD=∠G
又∵ ，
∴ ，
∴
∵
∴
∴BG=BF=AC
【解析】【解答】（1）将AD延长至G，使AD=DG，连接BG，如下图所示：
在△ADC和△GDB中
∴△ADC≌△GDB
∴AC=BG=6
在△ABG中
∴
∴
【分析】（1）根据倍长中线法将AD延长一倍，再证△ADC≌△GDB，根据三角形的三边关系即可求出AG的取值范围，从而求出AD的取值范围；（2）由（1）中结论：△ADC≌△GDB，即可得到：AC=BG，∠CAD=∠G，再根据等腰三角形的性质和判定即可得到BG=BF=AC.
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