人教版九年级数学上册第二十二章二次函数单元复习题（含解析）

人教版九年级数学上册第二十二章二次函数单元复习题
一、单选题
1．抛物线 的顶点坐标是（　　）
A．（2，1） B．
C． D．
2．已知抛物线 ，（1，y1）与（2，y2）是该抛物线上的两点，则y1与y2的大小关系是（　　）．
A．y1>y2 B．y13．已知二次函数 ，当 时，函数值是－5，则下列关于 ， 的关系式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．函数y=(x+1)2-2的最小值是（　　）
A．1　 　 B．－1　 C．2　 D．－2
5．关于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（　　）
A．图象的开口向上
B．图象的对称轴为x＝2
C．图象与y轴交于点（0，1）
D．图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
6．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：（1）b2＞4ac； （2）abc＞0；（3）2a+b=0；（4）a+b+c＞0；（5）a﹣b+c＜0．其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．将抛物线y＝x2﹣2向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x+3）2+3 B．y＝（x﹣3）2+1
C．y＝（x+2）2+1 D．y＝（x+3）2+1
8．如图，抛物线 的对称轴为直线 ，若关于 的一元二次方程 （ 为实数）在 的范围内有解，则 的取值错误的是（　　）
A． B． C． D．
9．将二次函数 的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为 （　　）
A． B． C． D．
10．二次函数（、、是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
… -1 0 1 2 …
… 2 2 …
且当时，对应的函数值．有以下结论：①；②；③关于的方程的负实数根在和0之间；④和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
二、填空题
11．已知函数 y＝(m＋2) 是二次函数，则m等于　 　
12．如果点A(－1，4)，B(m，4)在抛物线y＝a(x－1)2＋h上，那么m的值为　 　.
13．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与　 　的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax＋ （a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为　 　
三、解答题
15．当k分别取－1，1，2时，函数y＝(k－1)x2－4x＋5－k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．
16．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC=5，求该二次函数的解析式．
17．某商场购进一批单价为元的商品，若按每件元的价格销售，每月能卖出件；若按每件元的价格销售，每月能卖出件；假定每月销售量件与售价元件之间满足一次函数关系．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当售价定为多少元时，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？
18．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（x-m）（x-n）（m，n为实数）．
（1）当m＝1，若图象经过点（2，6），求该函数的表达式；
（2）若n＝m-1，①当x≤2时，y1随着x增大而减小，求m的取值范围；
②设一次函数y2＝x-m，当函数y＝y1+y2的图象经过点（a，0）时，求a-m的值．
四、综合题
19．物价问题涉及民生，关系全局，为保证市场秩序稳定，某超市积极配合市场运作，诚信经营．据了解，该超市每天调运一批成本价为8元/千克的大蒜，以不超过12元/千克的单价销售，且每天销售大蒜的数量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示．
（1）求出每天销售大蒜的数量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系式；
（2）该超市将大蒜销售单价定为多少元时，每天销售大蒜的利润可达到318元；
（3）求该超市大蒜销售单价定为多少元时，每天销售大蒜的利润最大，并求出最大利润．
20．如图，用长30米的竹篱笆围成一个矩形菜园，其中一面靠墙，墙长10米，墙的对面有一个2米宽的门，设垂直于墙的一边长为x米，菜园的面积为S平方米．
（1）直接写出S与x的函数关系式；
（2）若菜园的面积为96平方米，求x的值；
（3）若在墙的对面再开一个宽为a（0＜a＜3）米的门，且面积S的最大值为124平方米，直接写出a的值．
21．如图，二次函数y2＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C，C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数y1＝mx+n的图象经过B、D两点.
（1）求a、b的值及点D的坐标；
（2）根据图象写出y2＞y1时，x的取值范围.
22．已知抛物线经过点，顶点为B．
（1）求a的值及顶点B的坐标；
（2）求直线AB的函数表达式；
（3）若P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为，的面积为S，求S的最大值．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（2，0）．点P是x轴上方抛物线上一动点（不落在y轴上），设点P的横坐标为m，矩形PDOC的周长为L．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．
（2）当矩形PDOC的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．
（3）求L与m之间的函数关系式．
（4）设直线y＝x与矩形PDOC的边交于点Q，当△OCQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：抛物线解析式为： ，
∴抛物线顶点坐标为：（﹣2，1）
故答案为：D．
【分析】由抛物线的顶点式可直接看出其顶点坐标.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：抛物线 的对称轴为直线x= ，开口向上
∴当x＞-2时，y随x的增大而增大
∵-2＜1＜2
∴y1故答案为：B．
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，在根据对称轴两侧的增减性即可得出结论．
3．【答案】C
【解析】【解答】∵ ，函数值是-5，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】把x=1，函数值为5，代入 ， 即可求解.
4．【答案】D
【解析】【分析】此函数的最小值，在x=-1时，y=-2，此时取最小值。
故选D.
【点评】二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数)；（2）顶点式：y=a（x-h)2+k；（3）交点式（与x轴)：y=a（x-x1)（x-x2)．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：A选项，a＝1＞0，开口向上，故该选项不符合题意；
B选项，图象的对称轴为x＝2，故该选项不符合题意；
C选项，当x＝0时，y=5，图象与y轴交于点（0，5）故该选项符合题意；
D选项，图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，故该选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据a的符号判断二次函数图象的开口，则可判断A；根据y＝（x﹣k）2+h，其对称轴为x=k，依此判断B；令x=0，求出y的值，则可判断C；根据“左加右减，上加下减”的平移规律判断D；即可作出选择.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：（1）抛物线与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，则b2＞4ac，故（1）正确；
（2）抛物线开口方向向上，则a＞0．
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0．
对称轴在y轴的左侧，a、b同号，即b＞0．
所以abc＜0．故（2）错误；
（3）对称轴x=﹣=﹣1，则b﹣2a=0，故（3）错误；
（4）如图，当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，故（4）正确；
（5）如图，当x=﹣时，y＜0，即a﹣b+c＜0．故（5）正确；
综上所述，正确的个数是3个．
故选：B．
【分析】根据抛物线与x轴交点的个数判定根的判别式的符号；由抛物线的开口方向，抛物线与y轴的交点位置以及抛物线对称轴可以判定a、b、c的符号；由x=1和x=﹣1可以得到相应的y值的符号．
7．【答案】D
【解析】【解答】解：抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），把点（0，﹣2）向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度所得点的坐标为（3，1），
所以平移后抛物线的解析式为y＝（x+3）2+1，
故答案为：D.
【分析】先得到抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），再把点（0，﹣2）向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度所得点的坐标为（3，1），得到平移后抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出解析式即可.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴
解得，m=4．
∴抛物线的解析式为
当x=2时，
∴抛物线的顶点坐标为（2，4）．
当x=1时，
当x=3时，
∵关于x的一元二次方程是 ，
∴ ．
∵方程 在 的范围内有解，
∴抛物线 与直线y=t在 范围内有公共点，如图所示．
故答案为：A
【分析】结合函数图象分析求解即可。
9．【答案】A
【解析】【解答】原抛物线的顶点为（0，0），向下平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（0，-1）；
可设新抛物线的解析式为y=（x-h）2+k，代入得：y=x2-1．
故答案为：A．
【分析】由题意知二次函数的顶点为（0，0），根据平移的性质可得平移后的顶点为（0，-1），则由顶点式可得平移后的解析式.
10．【答案】B
【解析】【解答】①将点（0，2）与点（1，2）代入解析式得：，则a、b互为相反数，∴，故①不符合题意；
②∵a、b互为相反数，
∴将x=-1与x=2代入解析式得：，
则：，
∵当时，对应的函数值，
∴得：，即：，
∴.
故②符合题意；
③∵函数过点（1，2）且当时，对应的函数值，
∴方程的正实数根在1和 之间，
∵抛物线过点（0，2）与点（1，2），
∴结合抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线，
∴结合抛物线的对称性可得关于的方程的负实数根在和0之间.
故③符合题意；
④∵函数过点（1，2）且当时，对应的函数值，
∴可以判断抛物线开口向下，
∵在抛物线的右侧时，恒在抛物线的右侧，此时恒成立，
∴的横坐标大于等于对称轴对应的x，即，解得时；
∵当与在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当的横坐标到对称轴的距离小于到对称轴的距离时满足，即当时，满足，
∴当时，解得，即与在抛物线的异侧时满足，，
∴综上当时，.
故④不符合题意.
故答案为：B.
【分析】①将点（0，2）与点（1，2）代入解析式中可求出c=2，a+b=0，即得a、b互为相反数，可得abc＜0；②将x=-1与x=2代入解析式得，即得，当时，对应的函数值y=3a+8＜0，即，从而得出；③由函数过点（1，2）且当时，对应的函数值，可得方程的正实数根在1和 之间，根据表格中的数据及抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线，从而得出可得关于的方程的负实数根在和0之间；④由，根据图象上点的坐标特征可求出，据此判断即可.
11．【答案】2
【解析】【解答】函数 是二次函数，
解得：
故答案为：
【分析】所给二次函数只有一项，所以这项是二次项，且二次项系数不为0.
12．【答案】3
【解析】【解答】解：∵ 抛物线y＝a(x－1)2＋h ，
∴对称轴是x=1，
又∵ 点A(－1，4)，B(m，4) 在其上，
∴点A、B关于直线x=1对称，
∴，
∴m=3。
故答案为：3
【分析】根据抛物线的解析式可知其对称轴，由A、B两点的纵坐标相等，可知A、B两点关于对称轴对称，据此即可解答。
13．【答案】x轴；根
【解析】【解答】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，
故答案为(1).x轴；(2).根
【分析】根据二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，可解答。
14．【答案】2
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2－2ax＋ （a＞0）与y轴交于点A，
∴A（0， ），抛物线的对称轴为x＝1，
∴顶点P坐标为（1， a），点M坐标为（2， ）
∵点M为线段AB的中点，
∴点B坐标为（4， ）
设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0）
将点P（1， a）代入得： a＝k
∴y＝（ a）x
将点B（4， ）代入得 ＝（ a）×4
解得a＝2，
故答案为：2.
【分析】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，利用点M为线段AB中点，得出点B坐标；用含a的式子表示出点P坐标，写出直线OP的解析式，再将点B坐标代入即可求解出a的值.
15．【答案】解：(1)当k＝1时，函数为y＝－4x＋4，是一次函数(直线)，无最值；
(2)当k＝2时，函数y＝x2－4x＋3，为二次函数，此函数开口向上，只有最小值而无最大值；
(3)当k＝－1时，函数为y＝－2x2－4x＋6，为二次函数，此函数开口向下，有最大值．
因为y＝－2x2－4x＋6＝－2(x＋1)2＋8，则当x＝－1时，函数有最大值为8.
【解析】【分析】考查二次函数的性质。
16．【答案】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣4），
∵B（4，0）两点，交y轴于C，BC=5，
∴C点坐标为（0，3）或（0，﹣3），
当C点坐标为（0，3），把（0，3）代入得a （﹣1） （﹣4）=3，解得a= ，
所以此时抛物线的解析式为y= （x﹣1）（x﹣4）=﹣ x2﹣ x+5；
当C点坐标为（0，﹣5），把（0，﹣5）代入得a （﹣1） （﹣4）=﹣5，解得a=﹣ ，
所以此时抛物线的解析式为y=﹣ （x﹣1）（x﹣4）=﹣ x2+ x﹣5，
所以该二次函数的解析式为y=﹣ x2﹣ x+5或y=﹣ x2+ x﹣5
【解析】【分析】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a（x﹣1）（x﹣4），再利用B点坐标和BC=5得到C点坐标，然后把C点坐标代入可求出a的值，从而得到两个解析式．
17．【答案】（1）解：由题意，可设，
把，代入得，
解得，
所以与之间的关系式为：；
（2）解：设利润为，则
所以当时，取得最大值，最大值为元．
答：当销售价格定为元时，每月的利润最大，每月的最大利润为元．
【解析】【分析】(1)由题意可得直线上两点的坐标，用待定系数法即可求得直线解析式；
（2）根据利润=单件利润×销售量，列出W关于x的二次函数，再将二次函数化为顶点式，利用二次函数的性质得到定价6元时有最大利润400元.
18．【答案】（1）解：时，，
将代入，
得，
解得，
（2）解：①∵n=m-1，
∴y1=(x-m)(x-m+1)，
抛物线与x轴交点坐标为，
抛物线对称轴为直线，
时，随着增大而减小，且抛物线的开口向上，
，
解得；
②
，
函数图象经过，
函数图象经过，
或，
或.
【解析】【分析】（1）将m=1，(2，6)代入，利用待定系数法求得函数解析式；
（2）)①将n＝m-1代入解析式可得y1=(x-m)(x-m+1)，故抛物线与x轴交点坐标为，进而可得抛物线对称轴为直线，由当x≤2时，y1随着x增大而减小可得，解得；
②由y1、y2的解析式可得，令y=0可得函数图象经过，又因为函数图象经过，故或，进而解得或.
19．【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（9，110），（10，108）代入，得 ，
解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+128（8≤x≤12）
（2）解：根据题意得：（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣2x+128）＝318，
解得：x＝11或61（舍去），
∴x＝11．
即：超市将大蒜销售单价定为11元时，每天销售大蒜的利润可达到318元；
（3）解：设每天的销售利润为W（元），则：
W＝（x﹣8）y，
＝（x﹣8）（﹣2x+128），
＝﹣2（x﹣8）（x﹣64），
∵a＝﹣2＜0，
∴当 即x＜36时，W随x的增大而增大，
∵8≤x≤12，
∴当x＝12时，W取得最大值，最大值为416．
答：当超市大蒜销售单价定为12元时，每天销售大蒜的利润最大，最大利润是416元．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意求出 （x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣2x+128）＝318， 再求解即可；
（3）先求出W ＝﹣2（x﹣8）（x﹣64）， 再根据函数的性质求解即可。
20．【答案】（1）解：S＝（30﹣2x+2）x＝﹣2x2+32x
（2）解：当S＝96时，即96＝﹣2x2+32x，
解得：x1＝12，x2＝4，
∵墙长10米，
∴30﹣8+2＝25＞10，
∴x的值为12
（3）解：a的值为2.8
【解析】【解答】解：（3）∵S＝（30﹣2x+a+2）x＝﹣2x2+（32+a）x，
∵32﹣2x+a≤10，则x≥a+11，
∵面积取得最大值为S＝124，
∴﹣2x2+（32+a）x＝124，
把x＝a+11代入，得
﹣2（a+11）2+（32+a）（a+11）＝124，
解得a＝2.8．
答：a的值为2.8.
【分析】（1）由题意可得平行于墙的一边长为(30-2x+2)m，然后根据矩形的面积公式可得S与x的关系式；
（2）令S=96，求出x的值，然后根据墙长10米对求出的x的值进行取舍；
（3）由题意可得平行于墙的一边长为(30-2x+a)m，根据墙长为10m可得x≥a+11，令S=124，然后将x=a+11代入求解可得a的值.
21．【答案】（1）解：设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，
则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
所以b＝﹣2，
抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
当x＝0时，y2＝ax2+bx+3＝0，则C点坐标为（0，3），
由于C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D点坐标为（﹣2，3）；
（2）解：当﹣2＜x＜1时，y2＞y1.
【解析】【分析】（1）由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则设抛物线解析式为y＝a(x+3)(x-1)＝ax2+2ax-3a=ax2+bx+3，则-3a＝3，求出a、b的值，据此可得抛物线的解析式以及对称轴，令x=0，求出y的值，可得点C的坐标，根据对称性可得点D的坐标；
（2）根据图象，找出二次函数图象在一次函数图象上方部分所对应的x的范围即可.
22．【答案】（1）解：将点代入得，，
解得，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：设直线AB的函数解析式为，
∴，
解得，
∴直线AB的函数解析式为：；
（3）解：如图，过点P作轴，交AB于C，
则，，
∴，
∴，
当时，
∵，
∴S最大值为．
【解析】【分析】（1）将点A代入抛物线即可求出a，再根据抛物线的顶点公式可求出点B；
（2）利用待定系数法求出直线AB的函数表达式；
（3）过点P作轴，交AB于C， 根据点P、C的坐标，可得PC，利用铅垂高表示出S即可解决问题。
23．【答案】（1）解：将A(-1，0)和B(2，0)代入，得：，
解得：，
∴．
（2）解：∵点P的横坐标为m，且点P在图象上，
∴P(m，)，D(0，)．
该抛物线对称轴为．
∵P、D关于对称轴对称，
∴，
解得
∴当时，矩形PDOC的面积被抛物线的对称轴平分．
（3）解：由题意，D(0，)，C(m，0）．
当点P在第一象限时，
∴，
∴，即；
②当点P在第二象限时，
∴，
∴，即；
综上所述，或．
（4）解：当0＜m＜或m＝时，△OCQ是等腰直角三角形．
【解析】【解答】解：(4)联立
解得：，（舍），
∴M(，)，
由图象可知，当P点在M点左侧时，始终有为等腰直角三角形，
∴0＜m＜．
当P点在M点右侧时，要使为等腰直角三角形，即点Q坐标为(，)，如图．
∴此时M点坐标为(m，)，
∴，
解得：，
∵点P在x轴上方，
∴满足条件的m的值为m＝．
综上所述，当0＜m＜或m＝时，△OCQ是等腰直角三角形．
【分析】（1）利用待定系数法结构求出二次函数解析式；
（2）根据点P的横坐标为m，且点P在图象上，得出点P、D的坐标，得出该抛物线对称轴，再根据P、D关于对称轴对称，即可得出m的值，从而得出当时，矩形PDOC的面积被抛物线的对称轴平分；
（3）当点P在第一象限时，当点P在第二象限时，两种情况讨论即可；
（4）画出函数图象，分两种情形：当P点在M点左侧时，当P点在M点右侧时，分别求解即可。
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