银川市兴庆区2023/2024学年度(上)高一期末考试
数 学 试 卷
一、单选题(每小题5分)
1．已知集合，则＝（ ）
A． B． C．[1,2] D．[0,2)
2．已知角的终边过点，则cos的值是（ ）
A. B. C. D.
3．函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
4．已知某扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长为（ ）
A. B. C. D.
5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，
隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来研究函数图象的特征，
函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
6．已知，，则（ ）
A. B. C. D.
7．已知实数满足，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若关于的方程
有个根，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题(每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选的得0分.)
9．在下列函数中，最小正周期为π的偶函数为（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法正确的有（ ）
A. 函数，若，
则
B. 函数可以用二分法求零点
C. 方程在区间上有且只有个实根
D. 函数且的图象过定点
11．已知函数的部分图象
如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵
坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象
D. 若方程在上有两个不等实数根，，
则
12．如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生
产中仍得到使用如图，一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水
面的距离为单位：在水下则为负数、与时间单位：之间的关系是
，则下列说法正确的是（ ）
A. 筒车的半径为，旋转一周用时
B. 筒车的轴心距离水面的高度为
C. 盛水筒出水后至少经过才可以达到最高点
D. 时，盛水筒处于向上运动状态
三、填空题(每小题5分)
13．函数的定义域是________．
14．若函数是，且的反函数，且，则________．
15．________．
16．已知函数满足，，且在区间
单调，则的取值个数为________个．
四、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．本小题分
已知．
求的值；
求的值．
18．本小题分
已知函数．
求的最小正周期和单调递增区间；
求在区间上的最大值和最小值，并求出此时的值．
19．本小题分
已知函数，其中．
求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；
若函数的最小值为，求实数的值．
20．本小题分
已知满足．
求的解析式；
若，求的值．
21．本小题分
为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化闽江上游水域的水质省环保局于年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，年月底测得蒲草覆盖面积为，年月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积单位：与月份单位：月的关系有两个函数模型与可供选择．
分别求出两个函数模型的解析式；
若年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到？参考数据：
22．本小题分
已知函数的图象过点．
若关于的方程在有实根，求实数的取值范围；
若函数 则是否存在实数，对任意的，存在，使成立？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由银川市兴庆区2023/2024学年度(上)高一期末考试
数 学 试 卷 答 案
一、选择题
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A D B A C D D BC AC ABD AC
填空题
13. ; 14,; 15. 16. 8
解答题
17.【答案】解：，………………………………2分
解得；…………………………………………………………5分
，
…………………………………………7分
． …………………………………10分
【答案】解：
，…………………………3分
最小正周期
单调递增区间为,+]，……………………6分
，
，
，……………………………………8分
当，即，；……………………10分
当时，，． …………………………12分
19.【答案】解：要使函数有意义，则有 ………………3分
解得， 所以函数的定义域为．……………………6分
函数可化为……………………………………8分
因为，所以
因为，所以，即，……………10分
由，解得．………………………………12分
【答案】解：周期为，=2……………3分
满足，
的图象关于直线对称，
，
，）
又，
，………………………………6分
，即，…………………………7分
………………10分
,),
=………………………………12分
21.【答案】解：若选择模型，
则，解得，，……………………………………3分
故函数模型为．
若选择模型，
则，解得，，
故函数模型为．…………………………………………6分
把代入，可得，
把代入，可得，可知与相差比较大，
故选择模型更合适．……………………………………9分
令，可得，
两边取对数可得，
即，
所以，…………………………………………………………11分
至少到年月底蒲草覆盖面积能达到． ……………………12分
22.【答案】解：因为函数 的图象过点，
所以，即，所以 ，
所以，……………………………………3分
因为单调递增，
所以单调递增，
方程在有实根转化为与函数y=m 有交点
所以函数的值域为．
………………………………6分
由题意知任意，存在使成立，
则，…………………………7分
当时，，
又，
对于 时，令，则
令， ……………………9分
所以对于恒成立，，
所以，或者对于恒成立，………………11分
即或者，，
所以，或者，即，或者，
综上，存在，对任意，存在使得成立．…………………………12分
